Der Streit um den Satz vom ausgeschlossenen Dritten

1 Die Kaffeetasse

Eine kleine Geschichte wird oft erzählt. Man nehme eine Tasse Kaffee und rühre mit einem Löffel darin herum. Wie, ist gleichgültig: schnell oder langsam, im Uhrzeigersinn oder dagegen. Wenn der Kaffee wieder zur Ruhe gekommen ist, gibt es mindestens einen Punkt in ihm, der genau an seinen ursprünglichen Platz zurückgekehrt ist.

Noch anschaulicher geht es so: Man zerknülle einen Plan dieses Zimmers und werfe ihn auf den Fußboden desselben Zimmers. Irgendwo auf dem Plan liegt dann ein Punkt genau über dem wirklichen Ort, den er darstellt. Wie man den Plan zerknüllt und wohin man ihn wirft, spielt keine Rolle.

Beide Geschichten veranschaulichen denselben mathematischen Satz. Ungefähr lautet er so: Bildet eine stetige Abbildung eine abgeschlossene Kugel in einem endlichdimensionalen euklidischen Raum in sich selbst ab, so besitzt sie mindestens einen Fixpunkt. Allgemeiner darf das Gebiet eine beliebige nichtleere, kompakte, konvexe Menge sein. Abgeschlossenheit allein genügt nicht.

Der Satz trägt einen Namen: Brouwer. Ein Niederländer, der aus der Topologie kam. Als er diese Arbeit leistete, war er in seinen Zwanzigern; seine Dissertation lag erst wenige Jahre zurück.

Auch das Bild von der Kaffeetasse hat eine Geschichte. In der Lehre hat es sich später als nützlicher Vergleich eingebürgert. Für die Behauptung, Brouwer sei beim Kaffeerühren auf seinen Satz gekommen, lässt sich dagegen keine verlässliche Quelle finden. Sie steht in zahllosen populären Darstellungen, und keine sagt, woher sie sie hat. Mit dem zerknüllten Zimmerplan ist es ebenso: ein Beispiel für den Unterricht, kein historischer Beleg.

Sehen wir uns nun an, was der Satz tatsächlich behauptet.

Er sagt: Einen solchen unbewegten Punkt gibt es mit Sicherheit.

Er sagt nicht, welcher Punkt es ist.

Sie halten einen zerknüllten Plan in der Hand. Der Satz versichert Ihnen, dass darauf ein solcher Punkt liegt, gibt Ihnen aber kein Verfahren, mit dem Sie auf ihn zeigen könnten. Sie können den Plan auseinanderfalten und Zentimeter für Zentimeter absuchen. Der Satz garantiert nicht, dass Sie den Punkt finden. Er garantiert nur, dass es ihn gibt. Sie können den Plan auch noch einmal zerknüllen und noch einmal hinwerfen. Jedes Mal gibt es einen solchen Punkt. Und jedes Mal verrät er nicht, wo er ist.

Über den Unterschied zwischen diesen beiden Dingen denkt im Alltag niemand nach. Was es dort gibt, lässt sich auch vorzeigen.

Der Mann aber, der diesen Satz aufschrieb, wandte sich danach mehr als vierzig Jahre lang gegen genau diese Art von Beweis.

Davon handelt diese Folge, und von dem Streit dahinter. Seine zentrale Frage lässt sich in ganz gewöhnlichen Worten stellen: Was meinen wir eigentlich, wenn wir sagen, etwas gebe es?

Die fünfzehnte Folge endete bei einem Gedanken: Bevor jemand die Aufgabe in Angriff nahm, die Widerspruchsfreiheit des eigenen Systems zu beweisen, war schon jemand aufgestanden und hatte gesagt, das, was ihr retten wollt, sollte gar nicht gerettet werden. Dieser Jemand war Brouwer.

2 Mathematik ist etwas, das Menschen tun

1907 legte Brouwer seine Dissertation vor. Ihr Titel lässt sich mit „Über die Grundlagen der Mathematik“ wiedergeben. Das philosophische Gerüst des späteren Intuitionismus stand darin bereits.

Drei Vorstellungen wollte er verwerfen. Mathematik war für ihn zunächst einmal kein System von Zeichen auf Papier. Sie war auch keine Sprache, die sich aus einigen logischen Axiomen herleiten ließ. Und erst recht war sie keine fertige, von Menschen unabhängige Welt, die nur darauf wartete, entdeckt zu werden.

Was war sie dann? Zuallererst, sagte er, eine Tätigkeit, die sich im menschlichen Geist vollzieht.

Den Ursprung dieser Tätigkeit suchte er bei etwas sehr Einfachem: der inneren Zeit. Ein Augenblick vergeht und bleibt zugleich in der Erinnerung erhalten. Damit entsteht die ursprünglichste Unterscheidung überhaupt: das eine und das andere. Die Gegenstände der Mathematik werden in dieser Tätigkeit Schritt für Schritt hervorgebracht.

Das klingt nach einer philosophischen Meinungsverschiedenheit. Es hat aber eine sehr handfeste Folge. Und auf diese Folge kommt es in dieser ganzen Geschichte an.

Ist ein mathematischer Gegenstand schon da, bevor ihn jemand konstruiert hat? Eine mögliche Antwort lautet: ja. Der Mathematiker geht gewissermaßen nur hin und entdeckt ihn. Brouwers Antwort lautete: nein. Er wird erst hervorgebracht, und zwar durch menschliche Tätigkeit.

Damit musste „existieren“ bei ihm etwas anderes bedeuten. Dass etwas existiert, heißt nicht, dass es irgendwo auf uns wartet. Es heißt: Es ist bereits konstruiert worden, oder es gibt ein Verfahren, mit dem es sich konstruieren lässt.

Und Sprache und Logik? Für Brouwer kommen sie nach dieser Tätigkeit. Sie drücken aus und fassen zusammen, was schon hervorgebracht wurde. Damit kehrt sich die Stellung der Logik vollständig um: Nicht die Logik schreibt der Mathematik vor, was sie tun darf. Die mathematische Tätigkeit entscheidet, welche logischen Schlüsse in einem gegebenen Zusammenhang Bestand haben.

Neben der vorigen Folge wird diese Umkehr besonders deutlich. Frege hatte zwanzig Jahre darauf verwendet, die Arithmetik aus der Logik herzuleiten: unten die Logik, darauf die Arithmetik. Brouwer behauptete genau das Gegenteil. Logik ist ein Erzeugnis mathematischer Tätigkeit, nicht deren Fundament.

1907 hatte er aus dieser Position noch nicht jene konkrete Konsequenz gezogen, um die es hier geht. Diesen Schritt tat er im folgenden Jahr. 1908 erschien sein kurzer Aufsatz über die Unzuverlässigkeit der logischen Prinzipien. Darin bestritt er erstmals öffentlich die uneingeschränkte Gültigkeit des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten.

Schon vor ihm hatte Molk Bedenken in ähnlicher Richtung geäußert. Mit dem Aufsatz von 1908 trat Brouwer erstmals mit seiner eigenen systematischen Kritik an die Öffentlichkeit. Es war nicht das erste Mal in der Geschichte, dass jemand am ausgeschlossenen Dritten zweifelte.

3 Wogegen er sich wandte

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten klingt so selbstverständlich, dass niemand dafür einen Beweis verlangt: Eine Aussage gilt, oder sie gilt nicht. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht. Auf dem Tisch liegt entweder ein Buch, oder es liegt keines dort. Heute regnet es, oder es regnet nicht. So gewöhnlich ist das, dass niemand auf die Idee käme, es zu überprüfen.

Oft hört man, Brouwer habe gemeint, eine Aussage könne weder wahr noch falsch sein, weshalb der Satz vom ausgeschlossenen Dritten falsch sei. Aber um wahr oder falsch ging es ihm hier gar nicht. Er stellte eine andere Frage: Was berechtigt dich zu dieser Behauptung?

Wer sagt, „diese Aussage gilt“, muss nach Brouwer eine abgeschlossene Konstruktion vorlegen können. Und „diese Aussage gilt nicht“ heißt keineswegs: „Ich habe bislang keinen Beweis gefunden.“ Auch dafür braucht man eine Konstruktion, die zeigt, dass die Annahme ihrer Gültigkeit zu etwas Unmöglichem führt.

Bei einer konstruktiven Deutung des Oder gilt daher: Wer behauptet, „diese Aussage oder ihre Verneinung gilt“, muss für eine der beiden Seiten einen Beweis liefern und wissen, für welche. Dabei darf man den klassischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht mit einem universellen Algorithmus gleichsetzen, der sämtliche mathematischen Fragen entscheidet. Die klassische Logik lässt den Satz zu. Sie verspricht damit keineswegs, dass jedes Problem entscheidbar ist.

Für das Unendliche, sagte Brouwer, haben wir keinen Grund, ein solches Verfahren vorauszusetzen.

Warum eine endliche Suche unproblematisch ist, sofern sich jede einzelne Prüfung entscheiden lässt, ist leicht zu sehen. Es gibt nur endlich viele Gegenstände. Man prüft sie nacheinander, und irgendwann hält das Verfahren an. Dann liegt eine der beiden Antworten vor. Und man hat sie tatsächlich in der Hand.

Beim Unendlichen ist das anders. Ein Beispiel liegt bereit.

Die Dezimalentwicklung der Kreiszahl Pi geht unendlich weiter, ohne sich periodisch zu wiederholen. Nun die Frage: Kommen darin irgendwann hundert Siebenen unmittelbar hintereinander vor?

Betrachten wir das als eine Frage, die durch Suchen noch nicht beantwortet ist. Selbst wenn man weiterrechnet und nach einer Billion Nachkommastellen noch keine solche Folge gefunden hat, kann diese Suche allein nicht beweisen, dass sie niemals auftauchen wird. Denn „bisher nicht gefunden“ wird nie von selbst zu „kommt niemals vor“. Solange man kein Verfahren besitzt, das nach endlich vielen Schritten eine bejahende oder verneinende Antwort liefert, hat man keine der beiden Antworten.

Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten muss aber eines von beidem gelten: Die Folge kommt vor, oder sie kommt nicht vor. Und diese Zweiteilung darf man unmittelbar in einem Beweis verwenden. Man nimmt zunächst an, sie komme vor, und zieht daraus Schlüsse. Dann nimmt man an, sie komme nicht vor, und schließt weiter. Führen beide Wege zu demselben Ergebnis, ist dieses Ergebnis bewiesen.

Genau diesen Schritt wollte Brouwer nicht zulassen. Sein Einwand richtete sich nicht gegen alltägliche Entweder-oder-Fragen. Er richtete sich gegen den Sprung von „ich habe noch keine der beiden Seiten in der Hand“ zu „eine von beiden muss gelten, also darf ich diese Fallunterscheidung ohne Weiteres im Beweis verwenden“.

Er selbst formulierte es noch schärfer. Ob der Satz vom ausgeschlossenen Dritten allgemein verlässlich sei, komme auf dieselbe Frage hinaus wie die, ob es keine auf immer unlösbaren mathematischen Probleme gebe. Letzteres aber hatte noch niemand bewiesen.

Er behauptete auch nicht, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten sei überall falsch. Bei endlichen Suchverfahren mit entscheidbaren Einzelschritten und bei anderen tatsächlich entscheidbaren Problemen durfte man ihn weiterverwenden. Seine Sperre galt nur jenem Bereich, in dem man an keine Antwort herankam.

4 Die Existenz beweisen, ohne etwas vorzeigen zu können

Bis hierher ging der Streit noch um eine abstrakte Behauptung. Um sie wirklich zu sehen, muss man einmal selbst dabei sein. Wer dieses eine Beispiel gesehen hat, kann dem Rest folgen. Mehr Mathematik wird dafür nicht gebraucht.

Zwei Begriffe vorweg. Der erste: irrationale Zahl. In der zweiten Folge ging es darum, dass sich die Quadratwurzel aus zwei nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Zahlen dieser Art heißen irrational. Der zweite: Potenz. Zwei hoch drei bedeutet zwei mal zwei mal zwei. Ein Exponent muss keine ganze Zahl sein; für andere Exponenten braucht man eine entsprechend erweiterte Definition. Ist sie festgelegt, bezeichnet die Potenz ebenfalls eine bestimmte Zahl. Und noch eine Regel werden wir brauchen: Potenziert man eine Potenz noch einmal, werden die beiden Exponenten miteinander multipliziert.

Nun die Frage: Gibt es zwei irrationale Zahlen, bei denen die erste, zur Potenz der zweiten erhoben, eine rationale Zahl ergibt?

Der klassische Beweis braucht nur zwei Zeilen.

Man nimmt die Quadratwurzel aus zwei und erhebt sie zur Potenz Quadratwurzel aus zwei. Das Ergebnis nennen wir fürs Erste einfach „jene Zahl“.

Jene Zahl ist entweder rational oder nicht rational.

Ist sie rational, sind wir fertig. Die Basis ist die Quadratwurzel aus zwei: irrational. Der Exponent ist die Quadratwurzel aus zwei: irrational. Das Ergebnis ist rational. Hier haben wir unser Paar.

Ist jene Zahl nicht rational, dann ist sie irrational. Nun verwenden wir sie anders: Wir nehmen sie als Basis und erheben sie noch einmal zur Potenz Quadratwurzel aus zwei. Dabei werden die beiden Exponenten multipliziert. Die Quadratwurzel aus zwei mal die Quadratwurzel aus zwei ist zwei. Das Ergebnis ist also die Quadratwurzel aus zwei zum Quadrat, mithin zwei. Zwei ist rational. Die Basis aber ist jene Zahl: irrational. Und der Exponent ist die Quadratwurzel aus zwei: irrational. Auch hier haben wir unser Paar.

Die beiden Fälle decken sämtliche Möglichkeiten ab. Also muss ein solches Paar irrationaler Zahlen existieren.

Sehen wir nun, was uns dieser Beweis ausgehändigt hat.

Er hat bewiesen, dass es das Paar geben muss. Welches Paar es ist, hat er nicht gesagt. Denn an keiner Stelle hat er entschieden, ob jene Zahl nun rational ist oder nicht. Er sagt nur: Wie es sich auch verhält, ein Paar gibt es in jedem Fall.

Mehr wollte Brouwer gar nicht sagen.

Die eine Behauptung lautet: Es muss einen Zeugen geben, sonst entsteht ein Widerspruch. Die andere lautet: Hier ist der Zeuge; ich konstruiere ihn vor deinen Augen. In der klassischen Mathematik gelten beide als Beweise dafür, dass etwas existiert. Für Brouwer sind sie nicht dasselbe.

Zur Herkunft des Beispiels gehört eine Klarstellung. Es wurde später zu einem beliebten Lehrbeispiel, steht aber nicht in Brouwers Aufsatz von 1908. Dort sprach er über den allgemeinen Grundsatz. Dieses Beispiel macht ihn an einem Vorgang sichtbar, den man in einer Minute überblicken kann. Darin liegt sein Wert.

Nichtkonstruktiv heißt auch nicht, dass sich der Gegenstand niemals finden ließe. Was in diesem Beweis durch Fallunterscheidung unentschieden bleibt, konnte später mithilfe neuer Sätze entschieden werden. Hilberts siebtes Problem aus seiner Liste von 1900 betraf genau diese Art von Zahlen. 1934 fanden Gelfond in der Sowjetunion und Schneider in Deutschland unabhängig voneinander die Antwort. Daraus folgt, dass jene Zahl nicht rational ist. Das gesuchte Paar gehört also zum zweiten Fall: jene Zahl als Basis, die Quadratwurzel aus zwei als Exponent. Doch dadurch wird der ursprüngliche Beweis nicht nachträglich konstruktiv. Gestritten wurde nie über das spätere Schicksal des Gegenstands. Gestritten wurde darüber, was dieser eine Beweis tatsächlich liefert.

An diesem Punkt kann jeder den Streit in seinem ganzen Umfang verstehen. Was jetzt folgt, ist eine Geschichte von Menschen.

5 Hilbert verlegte die Forderung auf eine andere Ebene

Hilberts Interesse an den Grundlagen reichte weit zurück. Schon die Pariser Problemliste von 1900 enthielt die Frage nach der Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome. 1904 und 1905 versuchte er, die gemeinsame Grundlage von Arithmetik und Logik unmittelbar zu bearbeiten. 1917 nahm er die systematische Arbeit daran wieder auf. Was gewöhnlich das Hilbertprogramm heißt, gewann um 1920 seine Gestalt, wurde 1921 vorgetragen und 1922 veröffentlicht.

Das Programm ruhte auf zwei Säulen. Erstens sollte ein hinreichend großer Teil der klassischen Mathematik formalisiert werden. Zweitens sollte man mit streng begrenzten, finiten Mitteln beweisen, dass sich in diesen formalen Systemen kein Widerspruch herleiten lässt.

Der klügste Zug daran war, dass Hilbert dem Einwand ein Stück weit recht gab.

Er unterschied zwei Ebenen der Mathematik. Unten lag die inhaltliche finite Mathematik: konkrete Zahlzeichen, endliche Zeichenfolgen, Verfahren mit endlich vielen Schritten. Man konnte sie unmittelbar betrachten, abzählen und überprüfen. Darüber lagen die unendlichen Gegenstände der klassischen Analysis und Mengenlehre. Diesen Bereich nannte er den idealen Bestandteil.

Brouwer verlangte, alles zu streichen, was keinen konstruktiven Sinn hatte. Hilberts Antwort lautete: Streichen müssen wir es nicht, solange sich von der unteren Ebene aus verlässlich beweisen lässt, dass es zu keinem Widerspruch führt.

Er wies die Forderung nach Konstruktion also keineswegs zurück. Er verlegte sie an eine andere Stelle.

Brouwer verlangte, dass die gesamte Mathematik von Konstruktionen ausgeht. Hilbert verlangte es von jener Ebene, auf der man die Mathematik selbst untersucht. Von dort aus sollte man dann für die klassische Mathematik einstehen können. Kürzer gesagt: Hilbert wollte mit konstruktiven Mitteln die nichtkonstruktive Mathematik retten.

Wer die beiden unter „Formalismus gegen Konstruktivismus“ aufstellt, verdeckt deshalb etwas Gemeinsames. Beide verlangten, dass die letzte Gewähr für Verlässlichkeit in einer für Menschen fassbaren konstruktiven Tätigkeit liegt. Sie unterschieden sich darin, auf welcher Ebene diese Forderung gelten sollte.

Hilbert hat auch nie behauptet, alles bestehe aus bedeutungslosen Zeichen. Er sagte ausdrücklich, dass verlässliches logisches Schließen diskrete Gegenstände voraussetzt, die sich unmittelbar erfassen und vollständig überblicken lassen. In seiner Beweistheorie sind das endliche Zeichenanordnungen: Zahlzeichen, Formeln, Beweise. Als Kurzname für ein Lager ist „Formalismus“ brauchbar. Als Definition seiner Philosophie trifft das Wort nicht zu.

1921 wurde von der anderen Seite ein Ruf laut. Dass er so weit trug, lag daran, wer ihn ausstieß: einer aus den eigenen Reihen.

Weyl war einer von Hilberts hervorragendsten ehemaligen Schülern. In jenem Jahr veröffentlichte er „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“ und schlug sich öffentlich auf Brouwers Seite. Der bekannteste Satz daraus besagt sinngemäß: Brouwer, das ist die Revolution.

„Revolution“ war hier kein Schmuckwort. Weyl sah, dass Brouwer der Mathematik viele vertraute Schlussweisen über das Unendliche nehmen wollte. Damit wurden keine Löcher geflickt. Damit wurde neu bestimmt, was überhaupt als sinnvoller Beweis gelten durfte.

Schmerzhaft war nicht, dass jemand widersprach. Schmerzhaft war, dass es kein Konservativer alten Schlags wie Kronecker war, der das sagte. Es war ein Schüler, den Hilbert selbst ausgebildet hatte, und einer der schöpferischsten Mathematiker seiner Zeit.

Hilbert antwortete bald in einem Hamburger Vortrag. Im folgenden Jahr erschien „Neubegründung der Mathematik“. Darin schrieb er sinngemäß: Weyl und Brouwer folgten Kroneckers Spuren. Um die Mathematik zu retten, würfen sie alles Schwierige über Bord und zerstückelten damit die Wissenschaft. Brouwer bedeute keine Revolution, wie Weyl behaupte, sondern die Wiederholung eines gescheiterten Putsches mit alten Mitteln. Der damalige Angriff sei heftiger gewesen und vollständig gescheitert. Inzwischen sei das Land durch Frege, Dedekind und Cantor gerüstet und gut verteidigt; dieser neue Versuch habe von Anfang an keine Aussicht auf Erfolg. In dieser Konfrontation legte das ausgereifte Programm verbindlich fest, was es leisten sollte.

Dass 1921 aus einer recht speziellen Fachfrage eine Auseinandersetzung zwischen Lagern wurde, war also weniger Brouwers eigenes Werk. Einen großen Anteil daran hatte Weyl. Ein Mann aus Hilberts eigener akademischer Nachfolge hatte sich erhoben und verkündet, die Revolution stehe auf der anderen Seite.

6 Das Jahr 1928

Bisher war von den Differenzen die Rede, die beide Männer auf dem Papier austrugen. Was nun geschah, kam nicht vom Papier. Seine Vorgeschichte beginnt in der internationalen Wissenschaftsordnung nach dem Ersten Weltkrieg, nicht beim Satz vom ausgeschlossenen Dritten.

Wissenschaftler aus Deutschland und seinen Kriegsverbündeten blieben nach dem Krieg für längere Zeit aus mehreren neu gegründeten offiziellen Einrichtungen der internationalen Zusammenarbeit ausgeschlossen. Der Internationale Mathematikerkongress von 1928 in Bologna markierte das weitgehende Ende dieser Phase. Schließlich kamen mehr als siebzig deutsche Mathematiker. Sie bildeten nach dem Gastgeberland Italien die zweitgrößte Delegation, und Hilbert war faktisch ihr führender Vertreter.

Brouwer vertrat die Gegenposition. Die Deutschen sollten, so meinte er, ihre Wiederaufnahme nicht zu Bedingungen akzeptieren, die seiner Ansicht nach weiterhin keine Gleichberechtigung boten. Deshalb warb er nachdrücklich bei deutschen Mathematikern für einen Boykott.

Die Rollenverteilung ist bemerkenswert. Brouwer war Niederländer und machte sich dennoch zum Verteidiger der Ehre der deutschen Mathematik. Mit dem deutschsprachigen Fachmilieu war er längst eng verbunden: Seine wichtigsten Aufsätze erschienen seit Jahren in deutschen Zeitschriften, und er gehörte selbst zum Herausgeberkreis der bedeutendsten deutschen mathematischen Zeitschrift. Wenn er sich in die Frage eines deutschen Boykotts einschaltete, meldete sich also kein völlig unbeteiligter Ausländer zu Wort. Gerade weil er kein Deutscher war, konnte diese Einmischung auf deutsche Kollegen jedoch leicht wie eine Grenzüberschreitung wirken. Hilbert wiederum, einer der angesehensten Vertreter der deutschen Mathematik, wollte zum Kongress fahren und die Beziehungen wiederaufnehmen. Die Mehrheit der deutschen Mathematiker entschied sich schließlich für Hilberts Weg.

Das lässt sich kaum noch ein Streit um den Satz vom ausgeschlossenen Dritten nennen.

Im Göttinger Archiv liegt ein dreiseitiges Manuskript einer politischen Ansprache, wahrscheinlich von Hilberts Frau ins Reine geschrieben. Am Ende steht sinngemäß: Die Mathematik kennt keine Rassen; für sie ist die gesamte Kulturwelt ein einziges Land. Man hat die Kongressakten, die zeitgenössischen Berichte und die einschlägigen Briefe einzeln geprüft. Keines dieser Zeugnisse belegt, dass Hilbert diesen Text in Bologna tatsächlich vorgetragen hat.

Bei diesem Befund lohnt es sich kurz zu verweilen. Überliefert ist das Papier mit seinem Bekenntnis zum Internationalismus. Nicht überliefert ist der Beleg, dass es öffentlich ausgesprochen wurde.

Brouwer arbeitete seit 1914 im Herausgeberkreis der „Mathematischen Annalen“. Bis zum Herbst 1928 waren es vierzehn Jahre.

Am 27. Oktober 1928 traf unvermittelt ein Telegramm bei ihm zu Hause in Laren ein. Daraus erfuhr er, dass die Schritte zur Neuordnung des Herausgeberkreises der „Mathematischen Annalen“ bereits begonnen hatten.

Dieser Konflikt brach nicht mit einem öffentlichen philosophischen Aufsatz aus. Er drang als Verwaltungsmitteilung einer Zeitschrift in das Haus eines Menschen ein.

Nach den geltenden Zuständigkeiten konnte Hilbert einen Mitherausgeber nicht einfach wie ein Firmenchef einseitig entlassen. Am Ende wählte man einen gründlicheren und umstritteneren Weg: Der Verlag löste den gesamten bisherigen Herausgeberkreis auf und setzte sofort einen neuen ein. Auf dessen Liste fehlte Brouwer.

Die anderen Herausgeber standen keineswegs geschlossen dahinter. Carathéodory widersetzte sich Hilberts Vorgehen entschieden, und auch Einstein wandte sich gegen den erzwungenen Ausschluss. Wenige Tage nach dem Telegramm, am 2. November, schrieb Brouwer an Blumenthal und an Carathéodory. Er verteidigte sich und griff das geplante Vorgehen an. Die Überlieferung ist lückenhaft; von mindestens einem dieser Briefe ist eine Abschrift erhalten. Schweigend fügte er sich nicht.

Über die Motive lässt sich kein abschließendes Urteil fällen.

Eine Erklärung lautet: Hilbert war alt geworden, sorgte sich um seine Gesundheit und fürchtete, Brouwer könnte nach seinem Tod zu viel Entscheidungsmacht über die Zeitschrift erhalten. Diese Deutung ist nicht frei erfunden. Carathéodory, Blumenthal und Born, die Hilbert nahestanden, schrieben damals in diesem Sinne. Blumenthals Brief vom 16. November an den Verlag und die Herausgeber und Borns Brief vom 20. November an Einstein geben genau diese Erklärung wieder. Sie dokumentieren jedoch, wie Menschen aus seinem Umfeld die Sache damals deuteten. Sie sind kein Eingeständnis Hilberts.

Brouwer erklärte sich die Sache anders. Einen Teil von Hilberts Feindseligkeit führte er darauf zurück, dass er 1919 die für ihn vorgesehene Berufung nach Göttingen nicht angenommen hatte. Das war eine andere Geschichte als die Erklärung aus Hilberts Kreis, in der es um die Kontrolle über die Zeitschrift ging. Das vorhandene Material erlaubt, beide Deutungen nebeneinanderzustellen. Es erlaubt nicht, eine psychologische Erklärung zur einzig wahren zu erklären.

Das Gerüst der Tatsachen steht durchaus fest. Hilbert ergriff die Initiative. Carathéodory und Einstein widersprachen. Der Verlag löste den Herausgeberkreis auf und setzte ihn neu zusammen. Brouwer wurde ausgeschlossen. Brouwer protestierte. Unklar ist nur, welches Gewicht die verschiedenen Beweggründe in Hilberts Kopf jeweils hatten.

Eines sollte man sich gesondert merken: Auf das Datum eines Dokuments ist meist mehr Verlass als auf das Motiv eines Menschen. Und auf dessen eigene Worte mehr als auf das Kausaldrama späterer Erzähler.

Die herkömmliche Erzählung fügt alles zu einer Kette: Brouwer lehnte den Satz vom ausgeschlossenen Dritten ab, Hilbert verteidigte die klassische Mathematik, ihr Streit wurde immer erbitterter, und schließlich warf Hilbert ihn aus dem Herausgeberkreis.

Diese Kette ist zu glatt, um nicht misstrauisch zu machen. Ordnet man die Briefe und Akten aus der Zeit um 1928 neu, lockern sich ihre Glieder. Zeitlich war der Boykottstreit um Bologna der unmittelbare Anlass der Herausgeberkrise. Und bei diesem Streit ging es um internationale Nachkriegspolitik, nicht um Logik. Neuere Archivforschung legt das Gewicht stärker auf die Spannungen innerhalb der deutschen Mathematik in der Weimarer Zeit und auf den Kampf um die Kontrolle über die Zeitschrift. Den rein gedanklichen Differenzen weist sie für den letzten Konflikt eine geringere Rolle zu. Das macht sie nicht unwichtig. Es heißt nur: Aus einer philosophischen Differenz wird nicht von selbst eine Neuordnung eines Herausgeberkreises.

Verlässlicher ist eine Unterscheidung in drei Sätzen. Der philosophische Gegensatz lieferte die Sprache der langjährigen Feindschaft. Die internationale Politik lieferte 1928 den Zündstoff. Herausgebermacht und Sorgen um die Nachfolge helfen zu erklären, warum der Konflikt ausgerechnet die Form annahm, einen Mann aus dem Herausgeberkreis zu entfernen. Wie viel die einzelnen Motive tatsächlich wogen, bleibt offen.

7 Zurück zu jenem Satz

Das Geschehen traf Brouwer schwer. Auf der öffentlichen Bühne der internationalen Mathematik war er danach deutlich weniger aktiv. Biographien sprechen häufig von „Isolation“ oder „Rückzug“. Für weitergehende psychologische Beschreibungen reicht das Material nicht aus. Fest steht, dass seine bisherige Zusammenarbeit mit Hilberts Kreis vollständig zerbrach.

Nach 1928 hörte er jedoch nicht auf zu arbeiten. Sein Schüler Heyting führte seine Gedanken weiter; um 1930 erhielt die intuitionistische Logik eine formale Gestalt. Brouwer selbst entwickelte unter anderem seine Wahlfolgen weiter. 1934 beteiligte er sich an der Gründung einer neuen Zeitschrift, und ab 1935 engagierte er sich in der Kommunalpolitik von Blaricum. Verloren hatte er 1928 einen Platz in einem internationalen Machtgefüge, nicht seine Gedanken.

Nun können wir zur Kaffeetasse zurückkehren.

Zunächst die Vorgeschichte des Satzes. Denn er entstand nicht an einem einzigen Tag durch einen einzigen Menschen. Bohl hatte schon 1904 ein verwandtes Ergebnis für drei Dimensionen erzielt. Brouwer kam etwa ab 1909 zu entsprechenden Ergebnissen. Hadamard legte 1910 einen Beweis für beliebige Dimensionen vor. Danach begründete Brouwer mit seinen eigenen topologischen Methoden jene Fassung, die seither fest mit seinem Namen verbunden ist. In der Literatur begegnen deshalb mehrere Jahreszahlen: 1909, 1910, 1911. Sie beziehen sich auf verschiedene Arbeiten und verschiedene Formulierungen. Hier gibt es keinen Tag der Erfindung. Es gibt einen Entstehungsprozess.

Entscheidend ist etwas anderes. Diese frühen Beweise waren klassische Beweise. Sie genügten nicht den Maßstäben, die Brouwer später vollständig ausarbeitete.

Das lag nicht daran, dass er als junger Mann noch kein Intuitionist gewesen wäre. Seine Grundposition stand 1907 und 1908 bereits. Die tatsächliche Reihenfolge war diese: Zuerst formulierte er seine Grundlagenphilosophie. Dann widmete er seine Kräfte einige Jahre vor allem der klassischen Topologie und erzielte mit den damals üblichen klassischen Methoden außerordentliche Ergebnisse. Erst danach kehrte er systematisch zum Neuaufbau einer intuitionistischen Mathematik zurück.

So führt ausgerechnet der Satz, der ihn berühmt machte, etwas sehr Konkretes vor. Ein klassischer Beweis kann uns zwingen, einzuräumen, dass es einen unbewegten Punkt geben muss. Er muss uns aber kein Verfahren liefern, mit dem wir aus einer vorgegebenen Abbildung berechnen könnten, wo dieser Punkt liegt. Genau hier stößt er auf Brouwers späteren Anspruch an das Wort „existieren“.

1952 veröffentlichte Brouwer selbst einen zweiseitigen Aufsatz in einer Zeitschrift der britischen Royal Society. Der Titel lautet sinngemäß: „Eine intuitionistische Korrektur des Fixpunktsatzes auf der Sphäre“.

Er ging zu einer Aussage über Näherungen über. Statt unter völlig allgemeinen Voraussetzungen zu behaupten, man könne einen exakten Fixpunkt konstruieren, bewies er etwas anderes: Wie klein man den Abstand im Voraus auch wählt, es lässt sich ein Punkt konstruieren, der durch die Abbildung um weniger als diesen Abstand verschoben wird.

Das Verhältnis dieser beiden Aussagen verdient einen genaueren Blick. Es führt alles zusammen, was in den vorigen Abschnitten zur Sprache kam.

Vom „beliebig nahe“ zum „es gibt einen Punkt, der sich überhaupt nicht bewegt“ darf die klassische Mathematik übergehen. Möglich macht es ein Kompaktheitsprinzip: Liegt eine Punktfolge in einem kompakten Gebiet, kann man klassisch eine konvergente Teilfolge auswählen und mithilfe der Stetigkeit einen Fixpunkt erhalten. Eine solche uneingeschränkte Folgenkompaktheit lässt sich nicht allgemein in die intuitionistische Mathematik übernehmen. Dort ist die Konstruktion der benötigten Teilfolge und ihres Grenzpunkts nicht gewährleistet.

Die klassische Aussage über die Existenz eines exakten Fixpunkts ist damit also nicht widerlegt. Geändert haben sich die im Intuitionismus zulässige Argumentation und die zulässige Schlussfolgerung: Eine beliebig genaue Näherung lässt sich nicht ohne Weiteres zu einem konstruierten exakten Fixpunkt aufwerten.

Weit verbreitet ist die Behauptung, Brouwer habe später seinen eigenen Fixpunktsatz geleugnet. Tatsächlich tat er weniger: Er veröffentlichte eine intuitionistische Korrektur und erklärte, die klassische Beweisführung müsse umgearbeitet werden. Einem klassischen Satz seinen Wahrheitsgehalt abzusprechen ist etwas anderes, als seine Formulierung und seinen Beweis nach intuitionistischen Maßstäben zu ändern.

Er sagte nicht, der Satz sei falsch. Er sagte, der Beweis liefere nicht jene Art von Existenz, die er verlangte.

Legen wir den Titel von 1952 neben die Dissertation von 1907. Ein Mann kehrt nach mehr als vierzig Jahren zu jener Leistung aus seinen Zwanzigern zurück, die ihn berühmt gemacht hat, um sie zu berichtigen. Und der Grund für die Berichtigung ist genau der Gedanke, den er schon in seinen Zwanzigern ausgesprochen hatte.

8 Was blieb

Zuerst das, was nicht geschah.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wurde nicht aus der Mathematik verbannt. Analysis, Algebra und Mengenlehre arbeiten bis heute in großem Umfang mit nichtkonstruktiven Existenzbeweisen. In diesem Sinne brachte Brouwer die mathematische Welt nicht dazu, ihre klassischen Verfahren aufzugeben. Auch der Arbeitsalltag veränderte sich nicht flächendeckend. Gewöhnliche Analysten, Algebraiker und Geometer hörten wegen des kurzen Aufsatzes von 1908 nicht auf, in ihren Beweisen den Satz vom ausgeschlossenen Dritten zu verwenden. Der Intuitionismus wurde zu einer bedeutenden Tradition. Er löste die vorherrschende Mathematik nicht ab.

Hier begegnet uns dieselbe Schwierigkeit wie in der vorigen Folge.

Schon die Beteiligten sprachen in Kriegsbildern. Weyl schrieb von Krise und Revolution, Hilbert von Putsch, und später erhielt sogar der Herausgeberkonflikt den Titel „Krieg der Frösche und Mäuse“. Da liegt es nahe, die zwanziger Jahre als Frontalangriff zweier Heerlager zu schildern. Für die Frösche und Mäuse gibt es tatsächlich eine Briefquelle: Van Dalens Archivstudie führt Einsteins Brief an Born vom 27. November 1928 an. Einstein bezeichnet darin den Streit so und erklärt zugleich, dass er sich auf keine der beiden Seiten schlagen wolle.

Was hat sich dann wirklich verändert?

Grundlegend gewachsen ist die Möglichkeit, Beweise selbst mathematisch zu untersuchen. Wie starke logische Mittel ein Prinzip beansprucht, welche Sätze konstruktiven Gehalt besitzen, ob ein System seine eigene Sicherheit beweisen kann: Aus Fragen, die vorher eher in die Philosophie gehörten, wurden technische Forschungsgebiete. Anders gesagt: Was Mathematiker im Alltag nicht bedenken mussten, wurde zum Gegenstand einer neuen Mathematik.

Brouwer errang etwas anderes. Von nun an konnte man nicht mehr so tun, als gäbe es keinen Unterschied zwischen „die Existenz beweisen“ und „den Gegenstand konstruieren“. Die intuitionistische Logik wurde später zu einer eigenständigen, präzise untersuchbaren Logik. Ob sich aus einem Existenzbeweis ein Zeuge gewinnen lässt und ob ein Beweis ein Verfahren mitliefert, wurden reguläre Fragen der Logik und der Informatik.

Auch Hilbert ist kein Verlierer der Geschichte. Sein ursprüngliches großes Ziel stieß später auf unüberwindliche Grenzen. Aber Beweistheorie, Formalisierung und relative Widerspruchsfreiheit entwickelten sich aus seinem Programm zu eigenen Forschungsfeldern.

Weyl, der die Revolution ausgerufen hatte, blieb selbst nicht dauerhaft auf jener Seite. Unter Brouwers Anforderungen fand die theoretische Physik, die ihm besonders am Herzen lag, keine tragfähige mathematische Grundlage. Mitte der zwanziger Jahre hatte er sich bereits allmählich zurückgezogen. 1946 blickte er auf den Streit zurück und schrieb sinngemäß: Die Krise dauere nun fast fünfzig Jahre. Anscheinend behindere sie die tägliche Arbeit nicht. Er müsse aber eingestehen, dass sie seine mathematische Laufbahn tatsächlich geprägt habe. Sie habe sein Interesse auf Gebiete gelenkt, die ihm sicherer erschienen, und fortwährend an der Begeisterung und Entschlossenheit gezehrt, mit der er forschte. Anderen Mathematikern, fügte er hinzu, dürfte es ähnlich ergangen sein, sofern ihnen nicht gleichgültig sei, was ihre Forschung im Ganzen des menschlichen Daseins bedeute, in seinem Sorgen und Erkennen, Leiden und Schaffen.

Der Intuitionismus ist auch keine Mathematik, die nur eins, zwei, drei zählen kann. Seit 1918 und 1919 arbeitete Brouwer am Neuaufbau von Mengenlehre, Kontinuum und Analysis; später entwickelte er Werkzeuge wie die Wahlfolgen. Eine karge Mathematik war das nicht. Verloren ging oder veränderte sich vielmehr die Gestalt bestimmter klassischer Sätze. Eine klassische Aussage kann dort in mehrere voneinander verschiedene Aussagen auseinanderfallen: Aus der Existenz eines exakten Gegenstands wird womöglich nur noch die Unmöglichkeit seiner Nichtexistenz. Aus der notwendigen Existenz einer exakten Nullstelle wird womöglich nur noch die Möglichkeit, sich einer Nullstelle beliebig anzunähern.

Auch die heutige konstruktive Mathematik ist keine Kopie von Brouwers Lehre. Um 1930 formalisierte Heyting die im Intuitionismus zulässigen Schlussregeln. Schon darin liegt eine leise Spannung zu Brouwer: Für ihn ging die Mathematik der Sprache und der Logik voraus. Seine Nachfolger mussten seine Anschauungen jedoch in eine formale Logik überführen, um sie untersuchen und verwenden zu können. Später entstanden weitere Richtungen. Sie hielten an der Forderung fest, ein Beweis solle berechenbaren Gehalt haben, ohne seine gesamte Philosophie des Geistes zu übernehmen.

Brouwers Ansatz war auch nicht der vorsichtigste unter ihnen. Er ließ bestimmte, sehr besondere Prinzipien über das Kontinuum und Wahlfolgen zu. Einige davon gingen späteren Konstruktivisten, die nur Berechenbares gelten ließen, sogar zu weit. Intuitionismus, Finitismus und Berechenbarkeit sind deshalb keine austauschbaren Wörter.

Geblieben ist also nicht einfach die Frage, ob man an den Satz vom ausgeschlossenen Dritten glauben soll. Geblieben ist eine genauere Frage: Wenn du sagst, etwas existiere, was hast du dann tatsächlich in der Hand?

Zu sagen, etwas gebe es, und es vorzuzeigen, sind zwei verschiedene Dinge.

Im Alltag fällt beides stets zusammen, weshalb niemand es auseinanderhält. Man sagt, im Kühlschrank sei Milch, weil man sie herausholen kann. Nur an einer Stelle trennen sich die beiden Dinge: Man kann beweisen, dass etwas da sein muss, und kommt doch keinen Schritt an es heran.

Als dieser Unterschied 1908 zur Sprache kam, sahen nur sehr wenige Menschen darin ein Problem. Heute wird die Frage täglich beantwortet. Beweise werden Maschinen zur Prüfung übergeben, und aus Beweisen werden Programme gewonnen. Unter diesen Bedingungen ist „liefert dieser Beweis ein Verfahren mit?“ keine bloß philosophische Frage mehr. Daraus ist ein messbares Kriterium geworden. Die entsprechenden Werkzeuge gibt es bereits: Man gibt ihnen einen formalen Beweis, und sie gewinnen aus dem darin enthaltenen Verfahren unmittelbar ausführbaren Code. Welche Programme sich gewinnen lassen, hängt vom formalen System, den verwendeten Axiomen, der Form der Aussage und der zugrunde gelegten Interpretation als Berechnung ab. Ob der Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwendet wird, ist dabei ein Faktor, nicht der einzige Schalter. Auch manche klassischen Beweise lassen sich so übersetzen, dass rechnerischer Gehalt aus ihnen gewonnen werden kann. Und die Prüfung eines Beweises ist eine andere Aufgabe als die Gewinnung eines Programms daraus.

Diese Folge hat einen Maßstab dafür gesetzt, was als Existenz gelten soll. Etwas anderes ist noch offen: Wo liegen die Grenzen eines Beweises selbst?

Hilberts Vorgehen setzte voraus, dass zunächst eines gelingen musste: zu beweisen, dass diese Systeme keinen Widerspruch hervorbringen können, und zwar mit den sichersten verfügbaren Mitteln. Noch 1928 in Bologna war er recht zuversichtlich. Er hielt die Frage nach der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik für beinahe gelöst.

Zwei Jahre später trat auf einer Tagung in Königsberg ein Vierundzwanzigjähriger auf, dessen Namen damals kaum jemand kannte, und gab ein Ergebnis bekannt.

Die Zahlen werden weiter berechnet. Was als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend geklärt worden.

Historische Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen behandeln die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen dieses Essays. Archivbestände, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind verschiedene Arten von Belegen.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Intuitionismus
• Das Hilbertprogramm
• Van Dalen: Der Krieg der Frösche und Mäuse (1990)
• Brouwer und Hilbert 1907–1928
• Van Dalens Brouwer-Biographie
• Eine Untersuchung berechenbarer Gegenbeispiele zum brouwerschen Fixpunktsatz
• Eine Untersuchung konstruktiver näherungsweiser Fixpunkte
• Bibliographischer Nachweis von Brouwers Korrekturaufsatz aus dem Jahr 1952