Wenn die Arithmetik über sich selbst spricht

1 Ein Tag dazwischen

Königsberg, 7. September 1930. Am letzten Tag einer Tagung meldet sich ein Vierundzwanzigjähriger in der allgemeinen Diskussion zu Wort. Er sagt ein paar Sätze.

Die Tagung wird nicht seinetwegen veranstaltet, und er hält dort auch keinen Vortrag über das Ergebnis, von dem hier die Rede sein wird. Es ist die Zweite Tagung für Erkenntnislehre der exakten Wissenschaften, vom 5. bis zum 7. September, angestoßen unter anderem von dem Königsberger Mathematiker Kurt Reidemeister. Zwei Themen stehen auf dem Programm: die Grundlagen der Mathematik und die erkenntnistheoretischen Fragen der Quantentheorie. Bei den mathematischen Grundlagen hat man die damals maßgeblichen Positionen bewusst nebeneinandergestellt. Carnap spricht über den Logizismus, Heyting vertritt den Intuitionismus, von Neumann erläutert Hilberts Ansatz, Waismann eine von Wittgenstein geprägte Position. Auch Hahn nimmt an den Diskussionen dieses Teils teil.

Gödels offizieller Beitrag gilt einem anderen Ergebnis: der Vollständigkeit der Logik erster Stufe. Das ist ein Erfolg im positiven Sinn, den er im Vorjahr erzielt hat. Vollständigkeit heißt hier, dass jede semantische Folgerung in der Logik erster Stufe auch formal hergeleitet werden kann. Es heißt nicht, dass eine bestimmte Sammlung arithmetischer Axiome jede Aussage ihrer Sprache entscheidet. Diese beiden Begriffe von Vollständigkeit muss man auseinanderhalten.

Die Unvollständigkeit kommt erst in der allgemeinen Diskussion am letzten Tag zur Sprache. Dafür gibt es weder einen eigenen Vortragstitel noch eine eigene Sitzung. Im Tagungsbericht steht die betreffende Passage bei der Sonntagsdiskussion und den Nachträgen. Gödel sagt sinngemäß: Auch in einem widerspruchsfreien formalen System können arithmetische Aussagen auftreten, die sich innerhalb dieses Systems weder beweisen noch widerlegen lassen.

Am nächsten Tag, dem 8. September, spricht Hilbert in derselben Stadt, aber auf einer anderen Veranstaltung: der Versammlung der Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte. Sein Vortrag heißt „Naturerkennen und Logik“. Er ist achtundsechzig Jahre alt. Die beiden Schlusssätze werden später unzählige Male zitiert: „Wir müssen wissen. Wir werden wissen.“ Davor steht ein Satz, der oft unterschlagen wird: Für unser Erkennen gibt es kein grundsätzliches „Wir werden es nicht wissen“. Der Vortrag liegt gedruckt vor; auch eine damalige Rundfunkaufnahme ist erhalten.

Zwischen beiden Ereignissen liegt ein Tag. Erst Gödel, dann Hilbert.

Die geläufigste Erzählung daraus lautet so: Gerade hat Hilbert verkündet, wir würden wissen, da hatte ihm bereits am Vortag ein junger Mann bewiesen, dass er sich irrte.

An dieser Erzählung stimmt alles bis auf das eine, für das ein Beleg fehlt: den behaupteten Zusammenhang von Ursache und Wirkung.

Es gibt keine verlässliche Quelle dafür, dass Hilbert vor seinem Vortrag am 8. September von Gödels Bemerkungen des Vortags wusste. Noch weniger lässt sich belegen, dass er mit seinen Schlusssätzen jemandem antwortete. Der Vortrag hatte eine eigene Vorgeschichte; weder sein Thema noch sein Gedankengang waren aus diesem Anlass kurzfristig entstanden. Wer in derselben Stadt eine benachbarte Tagung besucht, hat deshalb noch nicht im anderen Saal gesessen.

Wichtiger ist ein weiterer Unterschied. Hilberts Schlusssätze bekunden ein umfassendes Vertrauen in mathematische und wissenschaftliche Erkenntnis. Gödels Satz handelt davon, was sich innerhalb eines gegebenen formalen Systems beweisen lässt. Auch wenn nur ein Tag zwischen ihnen liegt: Logisch bilden diese beiden Aussagen kein Paar, bei dem die eine die andere verneint.

Die zeitliche Nähe ist belegt. Das Drama zwischen den beiden Männern ist es nicht.

Gödels Satz wurde später zu einem der meistbemühten Ergebnisse der Mathematikgeschichte. Was man unter Berufung auf ihn behauptet, hat er meistens nicht gesagt.

2 Was der Satz traf

Um zu verstehen, was der Satz traf, müssen wir noch einmal festhalten, was Hilbert erreichen wollte. In der vorigen Folge war von seinen zwei Ebenen der Mathematik die Rede. Unten lag die inhaltliche, finite Mathematik: konkrete Zeichen, endliche Zeichenfolgen und Verfahren mit endlich vielen Schritten. Man konnte sie unmittelbar ansehen, abzählen und überprüfen. Darüber lagen die unendlichen Gegenstände der klassischen Analysis und der Mengenlehre. Hilbert nannte sie die idealen Bestandteile.

Diese obere Ebene war kein entbehrlicher Zusatz. Dort lagen jene Mengen aus Folge 13, die man nie zu Ende zählen kann, die in Folge 15 durch Axiome neu eingefassten Gegenstände, die gesamte Differential- und Integralrechnung und die moderne Analysis. Auf sie zu verzichten hätte bedeutet, einen großen Teil der Mathematik aus zweihundert Jahren wieder zurückzugeben. Brouwer verlangte genau das: Alles ohne konstruktiven Sinn sollte weg. Die meisten Mathematiker wollten ihm darin nicht folgen.

Hilbert wollte das Gebäude behalten und für seine Sicherheit bürgen. Von der unteren Ebene aus sollte bewiesen werden, dass die obere niemals einen Widerspruch hervorbringt.

„Widerspruch“ klingt zunächst nach einem Rechenfehler. Gemeint ist etwas anderes: Ein System kann eine Aussage beweisen und zugleich deren Verneinung. In der üblichen Logik ist dann nicht bloß an einer Stelle etwas schiefgegangen. Das ganze System ist unbrauchbar geworden. Aus zwei einander widersprechenden Aussagen lässt sich jede beliebige Aussage herleiten. Und wenn sich alles beweisen lässt, ist mit einem Beweis nichts mehr gewonnen.

Hilbert verlangte also mehr als eine erneute Fehlersuche. Er wollte eine Garantie, dass dieses System niemals einen Widerspruch ableiten würde. Diese Garantie wiederum musste mit den verlässlichsten verfügbaren Mitteln zustande kommen. Die Mittel, deren Unbedenklichkeit erst verbürgt werden sollte, durften dabei nicht schon vorausgesetzt werden.

Die Forderung war zurückhaltend und sehr klar. Sie fragte weder, ob die mathematischen Gegenstände wirklich existierten, noch, ob das Unendliche zulässig sei. Sie fragte nur: Wenn wir nach diesen Regeln immer weiterrechnen, können wir dann irgendwann bei null gleich eins landen?

Noch 1928 in Bologna war Hilbert zuversichtlich. Die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik schien ihm kurz vor dem Beweis zu stehen. Ackermann hatte in den zwanziger Jahren wichtige Versuche unternommen; erst später zeigten sich Lücken in diesen Beweisen.

Diesen Anspruch trafen die wenigen Sätze vom September 1930.

3 Syntax wird zu Zahlen

Jetzt kommt die einzige Stelle dieser Folge, an der man wirklich genau aufpassen muss. Im Kern ist es nur ein einziger Schritt. Zunächst brauchen wir wieder zwei Ebenen. Wovon handelt eine formalisierte Arithmetik? Von natürlichen Zahlen, von Addition und Multiplikation und von Aussagen über Zahlen. Eins plus eins ist zwei: Das ist eine Aussage auf dieser Ebene.

Auf der anderen Ebene spricht jemand von außen über das System. Diese Zeichenfolge ist eine korrekt gebildete Formel. Diese Zeile ist ein Axiom. Diese paar Dutzend Zeilen ergeben zusammen einen Beweis. Diese Formel lässt sich beweisen. Für solche Aussagen ist die übliche Bezeichnung „Metamathematik“. Ihr Gegenstand sind Zeichen und Beweise, nicht Zahlen.

Gödel übersetzte die zweite Ebene in die erste. Wie geht das?

Zunächst erhält jedes Grundzeichen der formalen Sprache eine Nummer.

Dann wird eine ganze Zeichenfolge, also eine Formel, durch eine einzige Zahl codiert.

Schließlich wird auch eine Folge von Formeln, also ein möglicher Beweis, in einer Zahl codiert.

An der Wahl der Codierung ist nichts Geheimnisvolles. Später hat man viele andere verwendet, ohne dass sich am Ergebnis etwas änderte. Entscheidend sind zwei Eigenschaften: Die Codierung muss sich eindeutig rückgängig machen lassen, und dazu dürfen nur elementare Rechenoperationen nötig sein. Weiter vereinfachen lässt sich das hier nicht. Einen Gedanken kann man aber festhalten: Was sich vollständig hineinpacken und wieder herauslesen lässt, hat unterwegs kein einziges Zeichen verloren.

Nach der Codierung sieht es so aus: Aus „Das ist eine korrekt gebildete Formel“ wird „Diese Zahl besitzt eine bestimmte Eigenschaft“. „Das ist ein Axiom“ wird zu einer anderen Eigenschaft von Zahlen. Und die Feststellung „Diese Zahl codiert einen Beweis, dessen letzte Zeile genau die durch jene andere Zahl codierte Aussage ist“ wird zu einer Beziehung zwischen zwei Zahlen.

Alle diese Eigenschaften und Beziehungen lassen sich in einer hinreichend starken Arithmetik ausdrücken. Der Grund ist unspektakulär: Zu überprüfen, ob ein formaler Beweis korrekt ist, war schon immer eine endliche, mechanische Arbeit, Schritt für Schritt.

Die Arithmetik spricht weiterhin nur von natürlichen Zahlen; sie hat nicht plötzlich eine Stimme bekommen. Aber einige natürliche Zahlen sind nun zugleich Namen für Formeln und Beweise. Deshalb kann eine arithmetische Aussage über Zahlen mittelbar besagen: „Für diese Aussage gibt es einen Beweis.“ Oder: „Keine Zahl codiert einen Beweis dieser Aussage.“

Ein letzter Schritt fehlt noch, und er ist der raffinierteste. Auch die Operation, den Zahlencode einer Aussage in diese Aussage selbst einzusetzen, wird arithmetisch codiert. Damit lässt sich eine Aussage bauen, deren arithmetischer Inhalt genau dem folgenden Sachverhalt entspricht: Keine natürliche Zahl codiert einen Beweis eben dieser Aussage.

Lehrbücher verdichten das gern zur Merkhilfe: Diese Aussage sagt von sich selbst, dass sie unbeweisbar ist. Als Merkhilfe ist das in Ordnung. Nur ist es nicht der buchstäbliche Wortlaut der Aussage in Gödels Arbeit von 1931. Sie handelt von Anfang bis Ende von natürlichen Zahlen, genauer: von einer arithmetischen Beziehung zwischen Codierungen und Beweisen. Sie funktioniert anders als das alltagssprachliche „Dieser Satz ist falsch“. Gerade deshalb erzeugt sie in einem widerspruchsfreien System nicht unmittelbar einen Widerspruch.

Genau das meint der Titel dieser Folge. Die Arithmetik entwickelt kein Bewusstsein. Zeichen und Beweise erhalten Zahlencodes, und dadurch lässt sich ein Teil dessen, was vorher nur von außen über das System gesagt wurde, in sein Inneres verlegen.

4 Drei Voraussetzungen

Nun können wir sagen, was der Satz besagt. Gödels Arbeit erschien 1931 in Band 38 der Monatshefte für Mathematik und Physik. Nach der ursprünglichen Paginierung umfasst sie sechsundzwanzig Seiten; als Eingangsdatum ist der 17. November 1930 angegeben. Ihr Titel lautet „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“. Mit den Principia Mathematica sind die drei Bände von Whitehead und Russell gemeint, nicht allgemein die Prinzipien der Mathematik. „Verwandte Systeme“ bedeutet, dass der Beweis nicht an genau diese Symbolsprache gebunden ist: Er lässt sich auf eine recht große Klasse formalisierter Arithmetiken und Mengenlehren übertragen. Auch die römische Eins am Ende hat ihre Geschichte. Gödel hatte eine Fortsetzung erwogen, sie dann aber nicht wie ursprünglich geplant geschrieben.

In der heute gebräuchlichen Form lautet die Aussage ungefähr so: Zu jeder widerspruchsfreien, effektiv axiomatisierbaren formalen Theorie, die genügend elementare Arithmetik ausdrücken kann, gibt es eine Aussage in ihrer eigenen Sprache, die sie weder beweisen noch widerlegen kann.

Keine der drei Voraussetzungen darf fehlen. Gehen wir sie einzeln durch.

Warum Widerspruchsfreiheit nötig ist, haben wir bereits gesehen. In einem System, das einen Widerspruch herleiten kann, lässt sich alles herleiten. Die Frage nach unbeweisbaren Aussagen hat dort ihren Sinn verloren. Gödels Aussage lautet nicht, dass unabhängig von der Widerspruchsfreiheit immer unabhängige Aussagen übrig blieben. Sie lautet: Selbst ein System, das sich noch nicht selbst gesprengt hat, kann unter den genannten Bedingungen nicht vollständig sein.

Effektive Axiomatisierbarkeit schließt aus, dass Axiome und Beweise vorab durch ein unerreichbares Verzeichnis aller Wahrheiten festgelegt werden. Genau genommen verlangt die moderne Fassung nicht einmal einen Algorithmus, der für jede vorgelegte Aussage unmittelbar entscheidet, ob sie ein Axiom ist. Es genügt, wenn sich die Axiome oder die Theoreme effektiv eines nach dem anderen aufzählen lassen. Ist die Axiomenmenge effektiv aufzählbar, aber möglicherweise nicht entscheidbar, kann man einem Beweis endliche Nachweise dafür beifügen, wann die verwendeten Axiome in dieser Aufzählung vorkommen. So bleibt die Prüfung des gesamten Beweises eine endliche mechanische Operation. Und so lässt sich auch „Diese Zahl codiert einen Beweis“ in Arithmetik übersetzen.

Ein Gegenbeispiel zeigt besonders deutlich, wozu diese Voraussetzung dient. Man nehme sämtliche arithmetischen Aussagen, die in den Standardnaturzahlen wahr sind, und fasse sie zu einer Theorie zusammen. In einem bestimmten Sinn ist diese Theorie vollständig: Auf jede Frage gibt sie die richtige Antwort. Nur lässt sie sich eben nicht effektiv axiomatisieren. An dieses vollständige Verzeichnis kommt man nicht heran.

„Hinreichend stark“ heißt, dass die Theorie genug elementare Zahlentheorie beherrscht, um die beschriebene Codierung zu tragen. Sie muss mit endlichen Folgen, Einsetzungen und grundlegenden Berechnungen umgehen können. Und sie muss Beziehungen darstellen können wie: „Diese Zahl ist der Code eines Beweises jener Aussage.“

Dafür braucht sie weder Differential- und Integralrechnung noch reelle Analysis noch höhere Zahlentheorie. Die Schwelle liegt verblüffend niedrig.

Wie niedrig genau, ist das Thema einer anderen Folge. Hier genügt es, die richtige Seite der Grenze zu sehen. Verlangt wird nicht „enthält viel höhere Mathematik“, sondern „kann bereits recht einfache Berechnungen und endliche Syntax codieren“.

Diese klare moderne Formulierung steht allerdings nicht schon so in der Arbeit von 1931. Gödel brauchte in seinem ursprünglichen Beweis eine stärkere Voraussetzung als bloße Widerspruchsfreiheit, um beide Richtungen zu erhalten: Weder die Aussage noch ihre Verneinung darf beweisbar sein. 1936 veränderte Rosser die selbstbezügliche Aussage so, dass gewöhnliche Widerspruchsfreiheit genügte. Hinter der Lehrbuchfassung, die heute Gödels Namen trägt, stehen also eigentlich zwei Namen.

Nach den drei Voraussetzungen bleibt noch ein Wort zu klären: „wahr“. Der erste Unvollständigkeitssatz besagt zunächst, dass sich eine bestimmte Aussage in einer bestimmten Theorie weder beweisen noch widerlegen lässt. Ob sie in den Standardnaturzahlen wahr ist, verlangt eine Erläuterung der Deutung und der Annahmen, mit denen wir außerhalb der Theorie arbeiten. Bei der üblichen Gödelschen Aussage reicht bereits die Widerspruchsfreiheit der Theorie aus, um von außen auf ihre Wahrheit in den Standardnaturzahlen zu schließen. Man muss nicht zusätzlich annehmen, dass jedes Theorem der Theorie wahr ist. Daraus erwächst uns aber noch keine voraussetzungslose Gewissheit über eben diese Widerspruchsfreiheit. „In diesem System unentscheidbar“ ist deshalb eine präzise Feststellung. „Der Mensch hat eine absolute Wahrheit erkannt, die sich niemals beweisen lässt“ ist etwas ganz anderes.

5 Drei Tage

Der zweite Satz besagt ungefähr Folgendes: Eine widerspruchsfreie, effektiv axiomatisierte und hinreichend starke arithmetische Theorie kann ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht intern beweisen. Gemeint sind dabei die übliche Codierung von Beweisen, ein Beweisbarkeitsprädikat mit den entsprechenden Ableitbarkeitsbedingungen und die standardmäßige Konsistenzaussage. Unter diesen Bedingungen kann die Theorie nicht aus eigener Kraft beweisen: „Mit meinen Mitteln lässt sich kein Widerspruch herleiten.“

Das entscheidende Wort ist „intern“. Der Satz behauptet keineswegs, die Widerspruchsfreiheit einer Theorie könne überhaupt nie bewiesen werden. Eine stärkere Theorie kann sehr wohl beweisen, dass eine schwächere widerspruchsfrei ist; in der späteren Beweistheorie gehört das zum Alltag. Ausgeschlossen ist ein bestimmter Kreis: Eine Theorie, die ihre eigenen Beweise codieren kann und tatsächlich widerspruchsfrei ist, kann sich mit den von ihr selbst anerkannten üblichen Mitteln keine globale Unbedenklichkeitsbescheinigung ausstellen.

Gentzens Arbeit von 1936 macht den Unterschied besonders deutlich. Er bewies die Widerspruchsfreiheit der Peano-Arithmetik mithilfe transfiniter Induktion bis zu einer bestimmten Ordinalzahl. Dafür benötigte er stärkere Prinzipien, deren Berechtigung sich in der Peano-Arithmetik selbst nicht vollständig nachweisen lässt. Das widerlegte den zweiten Unvollständigkeitssatz nicht. Es tat genau das, was dieser offenlässt: von einem stärkeren Standpunkt aus für einen schwächeren bürgen.

Der Satz traf den ehrgeizigsten Teil von Hilberts Vorhaben. Allerdings hing das an einem Wenn. Und dieses Wenn galt damals noch nicht als erledigt.

Damit der zweite Unvollständigkeitssatz das Programm unmittelbar zu Fall bringt, muss man zunächst etwas zugestehen: Die als besonders sicher angesehenen finiten Schlussweisen müssen sich in dem untersuchten arithmetischen System getreu formalisieren lassen.

Im Januar 1931 schrieb Bernays an Gödel darüber mit großer Vorsicht. Von Neumann neigte zu der Ansicht, alles finite Denken lasse sich auf diese Weise formalisieren. Bernays selbst und Gödel betrachteten die Sache damals noch nicht als entschieden. Erst um die Mitte der dreißiger Jahre setzte sich zunehmend die Auffassung durch, dass die herkömmlichen finiten Methoden zumindest in einer recht schwachen Arithmetik formalisierbar seien. Damit wurde auch die entsprechende Deutung des Einschnitts zur üblichen Auffassung in der Logik.

„1931 beendete Gödel mit einem Schlag das Hilbertprogramm“ ist daher kein Urteil, auf das sich damals alle Beteiligten geeinigt hätten. Von Neumann zog früh eine entschieden negative Bilanz. Bernays und Gödel ließen zunächst offen, ob sich wirklich sämtliche finiten Methoden formalisieren ließen.

Noch etwas gehört hierher, weil es oft verloren geht. Gescheitert war das anspruchsvollste Ziel des Programms, nicht alles, was aus ihm hervorgegangen war. Formale Beweise selbst untersuchen, ideale Bestandteile eliminieren, die Stärke verschiedener Theorien vergleichen: Diese ganze technische Forschungsrichtung blieb bestehen. Die moderne Beweistheorie ist zu einem erheblichen Teil aus dieser Tradition weitergewachsen, nachdem der Schlag sie getroffen hatte. Sie ist nicht deren Grabstein.

Für von Neumanns Anteil haben wir besonders gute Belege: datierte Briefe. Nach der Diskussion in Königsberg dachte er weiter und erkannte eine noch schärfere Konsequenz. Ein hinreichend starkes, widerspruchsfreies arithmetisches System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit bei der natürlichen internen Codierung nicht beweisen. Am 20. November 1930 schrieb er Gödel, er habe diese bemerkenswerte Folgerung entdeckt.

Gödels Manuskript war aber bereits am 17. November bei der Zeitschrift eingegangen. Es enthielt das Ergebnis schon.

Drei Tage.

Diese drei Tage legen die zeitliche Reihenfolge fest. Gödels eingereichtes Manuskript war früher da. Von Neumann gelangte außerordentlich schnell und unabhängig zu derselben Folgerung, ohne die Einzelheiten dieses Teils von Gödels Arbeit zu kennen. Die Reihenfolge der Einreichung nimmt ihm seine unabhängige Entdeckung nicht. Das Ergebnis entstand aber auch nicht in gemeinsamer Arbeit. Und für die Erzählung, von Neumann habe den Satz zuerst gefunden und Gödel ihn später ergänzt, lassen diese drei Tage keinen Platz.

„Nur von Neumann hat damals im Saal verstanden, worum es ging“ ist ein guter Satz für eine Geschichte. Nur gibt es keine Liste, die ihn belegen könnte. Besonders klar dokumentiert ist eines: Von Neumann erfasste die tieferen Folgen sehr schnell. Das zeigen die Briefe. Wie viel die übrigen paar Dutzend Anwesenden jeweils verstanden, geben die Quellen nicht her.

6 Wie die Nachricht sich verbreitete

Gödels Arbeit von 1931 war kein Manuskript, das ein junger Mann ins Vakuum geschickt hätte. Das Wien, in dem er damals lebte, war dicht vernetzt. An der Universität war Hans Hahn nicht nur sein Lehrer; er verband mathematische Logik und Grundlagenforschung mit dem Wiener Kreis. Gödel hatte außerdem bei Carnap Logik gelernt. Schon als Student besuchte er die Diskussionen im Kreis um Schlick. Dass er dort zuhörte, macht ihn jedoch noch nicht zum Anhänger dieser Richtung. Seine spätere Philosophie lag weit von Carnaps Position entfernt.

Ein weiterer Kreis wird oft übersehen: Mengers mathematisches Kolloquium. Es war stärker mathematisch ausgerichtet. Zwar überschnitt es sich mit Schlicks philosophischem Umfeld, war aber nicht dasselbe. Das Kolloquium gab eigene Hefte heraus, in denen später auch kurze Arbeiten Gödels erschienen. Kleine Abhandlungen, Kolloquien, Tagungen und Zeitschriften griffen in Wien ineinander. Neue Ergebnisse machten schnell die Runde.

Die Nachricht verließ Gödels Schreibtisch deshalb zuerst in Wien, nicht in Königsberg. Die frühe Abfolge ist eng getaktet: Am 26. August 1930 teilte er Carnap und anderen den Kern des Ergebnisses mit. Am 7. September erwähnte er es öffentlich in der allgemeinen Diskussion in Königsberg. Im November reichte er die Arbeit ein. 1931 wurde sie veröffentlicht. Private Mitteilung, Wortmeldung auf einer Tagung, Einreichung und Veröffentlichung sind vier verschiedene Ereignisse. Sie lassen sich nicht gegeneinander austauschen und auch nicht alle zur „ersten Bekanntgabe“ erklären.

An welchem Tag Hilbert selbst davon erfuhr, lässt sich nicht festmachen.

Der Briefwechsel zwischen von Neumann, Bernays und Gödel zeigt, dass die Nachricht Hilberts Umfeld schnell erreichte. Er verrät uns aber nicht, wann Hilbert persönlich das Ergebnis las, davon hörte oder seine Tragweite wirklich verstand. Ein Briefwechsel zwischen Gödel und Hilbert zu dieser Frage ist nicht gefunden worden. Nicht einmal ein förmliches Treffen der beiden lässt sich sicher nachweisen.

Die am häufigsten wiedergegebene Reaktion stammt aus einem Bericht von Bernays: Hilbert sei sehr verärgert gewesen, als er vom zweiten Satz erfahren habe. Das ist eine viel spätere Erinnerung. Es ist kein Tagebucheintrag Hilberts vom selben Tag, kein damaliger Brief und kein Sitzungsprotokoll.

Eine deutlichere öffentliche Spur aus Hilberts eigener Hand ist erheblich jünger und ganz undramatisch. Im Vorwort zum ersten Band der Grundlagen der Mathematik von 1934 steht eine kurze Bemerkung dazu. Sie gehört zu seinen sehr wenigen öffentlichen Äußerungen, die unmittelbar auf die Sache eingehen, möglicherweise ist sie sogar die einzige. Hilbert erklärt sich dort nicht für geschlagen. Er hält am Programm fest und sucht nach Anpassungen. Systematisch verarbeitet werden die Ergebnisse erst im wesentlich von Bernays geschriebenen zweiten Band, der 1939 erscheint.

Sobald ein Mensch in die Geschichte eingeht, wird ihm besonders gern nachträglich ein Gesichtsausdruck angedichtet. Hier reichen die Quellen aus, um zu sagen, was Hilbert später schrieb. Wie er in jenem Augenblick dreinsah, lässt sich daraus nicht machen.

Bei anderen verlief die Aufnahme unterschiedlich. Manche verstanden schnell, andere missverstanden das Ergebnis oder wehrten sich dagegen. Zermelo ist der bekannte schwierige Fall. Sein Briefwechsel mit Gödel zeigt Einwände gegen das Ergebnis und gegen seine Reichweite, auf die Gödel mit Erläuterungen antworten musste. Auch solche Einwände darf man nicht zusammenwerfen. Den einen blieb ein Beweisschritt unklar, andere lehnten Gödels Beschreibung der Bedeutung ab, wieder andere stellten bestimmte metamathematische Voraussetzungen infrage. Keine dieser drei Reaktionen ist dasselbe wie der Nachweis eines mathematischen Fehlers. Ein solcher ist ausgeblieben.

Um die Mitte der dreißiger Jahre gehörte der mathematische Kern des Satzes zum gesicherten Wissen der noch jungen Gemeinschaft der mathematischen Logiker. Dazu hatten Gödels Vorlesungen in Princeton 1933 und 1934 ebenso beigetragen wie die Arbeiten von Church, Kleene und Rosser zur Berechenbarkeit.

Das Tempo der Aufnahme lässt sich also so beschreiben: Die führenden Logiker hatten das Ergebnis innerhalb weniger Monate bis einiger Jahre im Wesentlichen verarbeitet. Die Debatte darüber, was es für die mathematische Kultur insgesamt bedeutete, dauerte erheblich länger. Auf dieser Ebene gibt es bis heute keine einheitliche Deutung.

7 Drei begriffliche Verschiebungen

Kaum ein mathematischer Satz ist so oft für fremde Zwecke in Anspruch genommen worden. Viele der gängigen Überdehnungen lassen sich auf drei Arten des begrifflichen Austauschs zurückführen.

Erstens: Aus „relativ zu einer bestimmten Theorie“ wird „absolut“.

Besonders häufig heißt es, Gödel habe bewiesen, dass es mathematische Wahrheiten gebe, die der Mensch niemals erkennen könne. Bewiesen wird jedoch Unbeweisbarkeit relativ zu einer bestimmten formalen Theorie. In einer stärkeren Theorie kann die zuvor unabhängige Aussage durchaus zum Theorem werden. Man kann sie sogar unmittelbar als neues Axiom hinzufügen.

Ebenso oft hört man, Gödel habe eine ganz bestimmte Aussage gefunden, die für immer unbeweisbar bleibe. So ist es nicht. Für jede Theorie, die die Voraussetzungen erfüllt, erhält man eine eigene Aussage dieser Art. Es handelt sich nicht um ein und denselben Satz, der in allen Theorien auf ewig unbeweisbar wäre.

Zweitens: An die Stelle von „formal beweisbar“ tritt „vom Menschen erkennbar“.

Daraus wird dann: Gödel habe bewiesen, dass sich Wahrheit nicht beweisen lasse. Mit dieser Formulierung gehen zwei Dinge zugleich verloren. In welchem System? Und seit wann sind „wahr“ und „beweisbar“ überhaupt dasselbe Wort?

Eine weitere Behauptung lautet, Gödel habe gezeigt, dass Maschinen nicht wie Menschen denken können. Der Satz handelt von einer festgelegten formalen Theorie. Die mathematischen Fähigkeiten eines Menschen mit einem festen, widerspruchsfreien formalen System gleichzusetzen, ist seinerseits eine zusätzliche philosophische Annahme. Der Satz liefert sie nicht mit.

Besonders praktisch ist diese Variante: Der Mensch brauche nur aus dem System herauszutreten, dann erkenne er stets, dass die betreffende Aussage wahr sei; folglich sei er dem System immer überlegen. Wer die Aussage von außen anerkennt, verwendet aber gewöhnlich bereits ein Wissen über die Widerspruchsfreiheit des Systems oder über die Richtigkeit seiner Aussagen. Es gibt keinen einheitlichen, voraussetzungslosen Ausweg ins Freie. Und die stärkere Theorie, auf die man sich draußen stützt, stößt ihrerseits auf genau dieselbe Schwierigkeit in ihrer eigenen Fassung.

Drittens: Aus „einer bestimmten Klasse hinreichend starker Systeme“ werden „alle Systeme“ oder gleich „alle Formen vernünftigen Argumentierens“.

„Alle formalen Systeme sind unvollständig“ ist schlicht falsch. Ob eine aussagenlogische Formel allgemeingültig ist, ist entscheidbar; die üblichen Kalküle sind semantisch vollständig. Daraus folgt wiederum nicht, dass jede beliebige Menge aussagenlogischer Prämissen über jede Aussagenvariable entscheidet. Die Arithmetik mit Addition allein, ohne Multiplikation, ist vollständig und entscheidbar. Dasselbe gilt für die Theorie reell abgeschlossener Körper erster Stufe in der Sprache der Addition, Multiplikation und Ordnung. Diese Theorie ist nicht die gesamte reelle Analysis mit beliebigen Funktionen und Mengen. Auch für die elementare euklidische Geometrie erster Stufe gibt es eine übliche vollständige und entscheidbare Axiomatisierung.

Ebenso falsch ist: „Jedes System mit endlich vielen Axiomen muss unvollständig sein.“ Entscheidend ist nicht die Zahl der Axiome. Entscheidend ist, ob das System Berechnungen ausdrücken kann.

„Die Mathematik ist unvollständig“ verfehlt den Gegenstand, weil die Mathematik kein einzelnes effektiv axiomatisiertes System ist. Viele mathematische Theorien sind vollständig. Und zur Mathematik gehört gerade auch, Axiome zu wechseln, Modelle zu untersuchen und stärkere Theorien zu entwickeln.

Noch weiter geht es, wenn man Rechtsordnungen, Verfassungen, Unternehmenssatzungen, Sprachen oder Gesellschaftsordnungen „Systeme“ nennt und den Satz kurzerhand auf sie anwendet. Hier wechselt das Wort „System“ unbemerkt seine Bedeutung. Eine Verfassung wird nicht dadurch, dass man sie ein System nennt, zu einer effektiv axiomatisierbaren formalen Theorie, die elementare Arithmetik interpretieren kann.

Die drei Verschiebungen scheinen Verschiedenes zu betreffen. Der Handgriff ist jedes Mal derselbe: Eine einschränkende Bestimmung fällt weg. Relativ zu welcher Theorie? In welcher Sprache? Für welche Klasse von Systemen? Sobald eine dieser Angaben fehlt, scheint die Aussage plötzlich sehr viel weiter zu reichen.

Wenn das nächste Mal jemand erklärt, was Gödel alles bewiesen habe, helfen vier Fragen: Welche formale Sprache ist gemeint? Sind die Axiome effektiv gegeben? Ist die Theorie widerspruchsfrei? Wo interpretiert sie hinreichend viel Arithmetik der natürlichen Zahlen? Solange diese Fragen unbeantwortet bleiben, darf man den Satz noch nicht heranziehen. Das ist keine Schikane. Die vier Fragen bündeln die Voraussetzungen, die bei einer Anwendung des modernen Unvollständigkeitssatzes zu prüfen sind. Gödels ursprüngliche Fassung von 1931 und Rossers spätere Verschärfung müssen trotzdem auseinandergehalten werden.

8 Was Gödel selbst sagte

Zum Schluss müssen wir Gödel selbst befragen. Denn das verbreitetste Bild zeigt einen Mann, der mit seinem Satz den Bankrott der menschlichen Vernunft verkündet habe.

Der Gödel der Quellen sieht ganz anders aus. Er schrieb dem Satz durchaus philosophische Bedeutung zu und versuchte, philosophische Folgen daraus zu gewinnen. Er vertrat keineswegs die Ansicht, mathematische Sätze dürften nur etwas über Mathematik sagen. Im Gegenteil: Sein Denken war stark vom mathematischen Realismus und vom Rationalismus geprägt.

Das wichtigste Zeugnis ist sein Vortrag von 1951. Dort stellt er eine Alternative auf: Entweder übersteigt der menschliche Geist in einem gewissen Sinn jede endliche Maschine, oder es gibt zahlentheoretische Probleme, die auch für das menschliche mathematische Erkennen schlechthin unlösbar sind.

Seine Schlussfolgerung lautet nicht, dass die erste Möglichkeit zutrifft. Sie lautet, dass mindestens eine der beiden zutrifft.

Mit der zweiten Möglichkeit war er ausgesprochen unzufrieden; seine Sympathie galt erkennbar der ersten. Trotzdem gab er seine Vorliebe nicht als etwas aus, das der mathematische Satz bereits bewiesen hätte. Zudem veröffentlichte er den Vortrag zu Lebzeiten nicht. Er erschien erst später in den gesammelten Werken. Philosophische Erkundungen in einem unveröffentlichten Vortragsmanuskript sind kein Bestandteil dessen, was die Arbeit von 1931 offiziell behauptet.

Umso bemerkenswerter ist ein keineswegs pessimistischer Leitsatz, der sich in seinen späten philosophischen Notizbüchern findet. Sinngemäß lautet er: Es gibt systematische Wege, Probleme zu lösen.

Auch machte ihn das Jahr 1931 nicht zu jemandem, der fortan nur noch seinen eigenen Satz erforschte. 1932 erwarb er die Lehrbefähigung für die Universität, 1933 wurde er Privatdozent an der Universität Wien. Es folgten Veröffentlichungen zur intuitionistischen Logik, zur Modallogik, zum Entscheidungsproblem und zur Länge von Beweisen. In der zweiten Hälfte der dreißiger Jahre wandte er sich der Mengenlehre zu. Er entwickelte das konstruktible Universum und bewies damit die relative Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese gegenüber der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.

Privat verschlechterte sich seine Lage dagegen immer weiter. Sein Lehrer Hahn starb. 1936 wurde Schlick, die zentrale Gestalt des Wiener Kreises, von einem Studenten ermordet. Gödel selbst litt in diesen Jahren wiederholt unter schweren gesundheitlichen Krisen. Nach dem „Anschluss“ Österreichs 1938 wurden die Hochschulen umgestaltet. Sein bisheriger Status als Privatdozent verlor seine Gültigkeit; eine neue Lehrberechtigung war an eine politische und rassistische Überprüfung durch das NS-System gebunden. 1940 verließ er mit seiner Frau Österreich und ging in die Vereinigten Staaten.

Ein Mensch beweist ein begrenzendes Ergebnis und bewahrt dennoch über lange Zeit sein rationalistisches Vertrauen in die mathematische Erkenntnisfähigkeit. Darin liegt kein Widerspruch. Was sein Satz begrenzt, ist erheblich enger umrissen, als spätere Deutungen glauben machen.

Was bleibt von dieser Folge? Gerade weil der Satz so belastbar ist, wird er so bedenkenlos ausgeborgt. Seine Belastbarkeit beruht auf unnachgiebig festgelegten Voraussetzungen. Drei Bedingungen. Keine darf fehlen.

Beim Ausborgen geschieht dann immer dasselbe: Eine der drei Bedingungen wird gestrichen. Ohne sie klingt die Aussage besser und lässt sich an viel mehr Stellen einsetzen. Der Preis dafür ist, dass sie kein mathematischer Satz mehr ist.

Wie weit eine Aussage reicht, bestimmen ihre Voraussetzungen. Je weniger Voraussetzungen bleiben, desto größer klingt ihr Geltungsbereich. Und desto weniger sagt sie tatsächlich.

Gödel hatte in jenem Vortrag eine Antwort, die er deutlich bevorzugte. Aufgeschrieben hat er trotzdem nur die Alternative. Zumindest an dieser entscheidenden Stelle machte er aus seiner persönlichen Vorliebe keinen mathematischen Satz.

Eine der drei Voraussetzungen haben wir hier zwar festgehalten, aber noch nicht entfaltet: „hinreichend stark“. Die Schwelle liegt verblüffend niedrig. Ein System muss nur einige sehr grundlegende Rechnungen mit ganzen Zahlen und die Codierung von Syntax leisten können.

Was geschieht nun in der Gegenrichtung? Was, wenn ein System sich absichtlich etwas schwächer macht, so schwach, dass es diese Codierung nicht mehr tragen kann?

Davon handelt die nächste Folge. Die Antwort lautet: Geschlossenheit lässt sich erkaufen. Und ihr Preis lässt sich berechnen.

Mit den Zahlen wird weitergerechnet. Was aber als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend geklärt worden.

Historische Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen betreffen die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen im Text. Bestandsnachweise, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind verschiedene Arten von Belegen.

• Gödels Originalveröffentlichung von 1931: bibliografischer Nachweis
• Wilfried Sieg: Einführung in Gödels Briefwechsel
• Mathematical Association of America: Hilberts Rundfunkansprache und mathematische Erkenntnis
• Solomon Feferman zum Briefwechsel zwischen Bernays und Gödel
• Eine historische Untersuchung zu von Neumanns Entdeckung des zweiten Unvollständigkeitssatzes
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Gödels Unvollständigkeitssätze
• Solomon Feferman: Gibt es absolut unlösbare Probleme?
• Universität St Andrews: Biografie Kurt Gödels
• Institute for Advanced Study, Princeton: Kurt Gödel