Hacer que la aritmética hable de sí misma

1. Con un día de diferencia

Königsberg, 7 de septiembre de 1930. En el último día de un congreso, un joven de veinticuatro años toma la palabra durante el debate general y dice unas frases.

Ni el congreso se había convocado por él ni aquella intervención era una conferencia dedicada a su resultado. Era el Segundo Congreso de Epistemología de las Ciencias Exactas, celebrado del 5 al 7 de septiembre por iniciativa del matemático local Kurt Reidemeister y otros organizadores. Había dos grandes temas: los fundamentos de las matemáticas y los problemas de conocimiento que planteaba la teoría cuántica. En la parte dedicada a los fundamentos se habían dispuesto, deliberadamente una junto a otra, las principales posiciones del momento: Carnap exponía el logicismo; Heyting representaba el intuicionismo; von Neumann presentaba el programa de Hilbert; Waismann, una posición influida por Wittgenstein. Hahn también participaba en esas discusiones.

La contribución de Gödel que figuraba en el programa oficial trataba de otro resultado: la completitud de la lógica de primer orden. Era un resultado positivo, conseguido apenas el año anterior. Aquí «completitud» significa que toda consecuencia semántica de primer orden admite una deducción formal. No significa que un conjunto de axiomas aritméticos pueda resolver cualquier enunciado de su lenguaje. Son dos sentidos distintos de completitud, y hay que mantenerlos separados.

La incompletitud apareció durante el debate general del último día. No tenía título propio ni una sesión reservada. Las actas recogen aquella intervención entre las discusiones del domingo y las notas complementarias. Lo que dijo venía a ser esto: incluso en un sistema formal sin contradicciones puede haber enunciados aritméticos que el sistema no sea capaz de demostrar ni de refutar.

Al día siguiente, 8 de septiembre, en otro recinto de la misma ciudad, se reunía la Sociedad Alemana de Naturalistas y Médicos. Hilbert, que tenía entonces sesenta y ocho años, pronunció una conferencia titulada «El conocimiento de la naturaleza y la lógica». Sus dos frases finales se repetirían incontables veces: debemos saber y sabremos. Justo antes había dicho algo que suele perderse al citarlas: en materia de conocimiento no hay un «nunca sabremos» impuesto de antemano. Disponemos del texto publicado de la conferencia y también se conservó una grabación radiofónica de la época.

Los dos acontecimientos estuvieron separados por un día. Primero habló Gödel; después, Hilbert.

La versión más difundida cuenta la historia así: Hilbert acababa de proclamar que sabríamos, cuando un joven ya había demostrado, la víspera, que estaba equivocado.

En esa versión todo está en su sitio salvo una cosa, para la que no hay pruebas: la relación de causa y efecto.

No hay documentación fiable que permita afirmar que Hilbert conociera aquellas frases antes de hablar el 8 de septiembre. Menos aún que sus palabras finales respondieran a alguien. Su conferencia tenía una historia propia; ni el tema ni el argumento se habían improvisado para la ocasión. Estar en la misma ciudad y acudir a congresos contiguos no equivale a haber escuchado aquella intervención.

Hay, además, una diferencia más importante. Las frases de Hilbert expresaban una confianza general en el conocimiento matemático y científico. El teorema de Gödel habla de lo demostrable dentro de un sistema formal determinado. Aunque las fechas estén realmente a un día de distancia, las dos afirmaciones no son, en términos lógicos, la negación una de otra.

La proximidad de las fechas es un hecho. La escena dramática entre los dos hombres no está documentada.

El teorema acabaría siendo uno de los más invocados de toda la historia de las matemáticas. La mayoría de las veces se le hace decir algo que nunca dijo.

2. Dónde dio el golpe

Para entender dónde dio el golpe hay que recordar qué pretendía Hilbert. En el episodio anterior vimos que distinguía dos niveles en las matemáticas. Abajo estaba la matemática finitaria con contenido: signos concretos, cadenas de longitud finita y procedimientos de un número finito de pasos, cosas que podían verse, contarse y comprobarse directamente. Arriba quedaban los objetos infinitos del análisis clásico y la teoría de conjuntos. Hilbert los llamaba elementos ideales.

El piso de arriba no albergaba unos cuantos adornos prescindibles. Allí estaban los conjuntos que no se dejaban contar del episodio 13, los objetos que los axiomas habían vuelto a delimitar en el episodio 15, y también todo el cálculo y el análisis moderno. Renunciar a él habría supuesto devolver buena parte de las matemáticas construidas durante dos siglos. Brouwer pedía precisamente retirar lo que careciera de sentido constructivo. La mayoría de los matemáticos no estaba dispuesta a hacerlo.

Hilbert proponía conservarlo y responder por ello: demostrar, desde el nivel inferior, que el superior nunca produciría una contradicción.

«Contradicción» puede sonar a una cuenta mal hecha. No es eso. Un sistema incurre en contradicción cuando permite demostrar un enunciado y también su negación. En la lógica habitual, la avería no queda localizada en un punto: inutiliza el sistema entero. A partir de dos enunciados contradictorios se puede deducir cualquier enunciado. Y poder demostrarlo todo equivale a no demostrar nada.

Por eso Hilbert no quería una revisión más para comprobar que nadie se hubiera equivocado. Quería una garantía de que aquel edificio nunca llegaría a producir una contradicción. Y la garantía debía redactarse con los medios más seguros, sin recurrir de nuevo a los mismos recursos cuya seguridad estaba pendiente de garantizar.

La exigencia era muy contenida y muy clara. No preguntaba si los objetos matemáticos existen de verdad, ni si es legítimo hablar del infinito. Preguntaba una sola cosa: si seguimos calculando con estos procedimientos, ¿podemos acabar algún día con una demostración de que cero es igual a uno?

En Bolonia, en 1928, Hilbert aún se mostraba bastante optimista: creía próxima la solución del problema de la consistencia de la aritmética. Ackermann había hecho intentos importantes durante los años veinte. Solo después se descubrieron lagunas en aquellas demostraciones.

Contra esa aspiración iban a dar las pocas frases pronunciadas en septiembre de 1930.

3. Convertir la sintaxis en números

Llegamos al único pasaje de este episodio que exige de verdad la atención del lector. Todo gira en torno a una sola operación. Antes de verla, separemos dos planos. ¿De qué habla, de entrada, la aritmética formalizada? De números naturales, de suma, de multiplicación y de afirmaciones sobre números. «Uno más uno es igual a dos» pertenece a ese plano.

Hay otro plano: lo que decimos sobre el sistema cuando nos situamos fuera de él. Esta cadena de signos es una fórmula bien formada. Esta línea es un axioma. Estas decenas de líneas, juntas, constituyen una demostración. Tal fórmula puede demostrarse. A este plano se lo suele llamar metamatemática. Su objeto no son los números, sino los signos y las demostraciones.

Gödel hizo una cosa: traducir el segundo plano al primero. ¿Cómo?

Primero asignó un número a cada símbolo básico del lenguaje formal.

Después codificó una cadena completa de símbolos, es decir, una fórmula, mediante un solo número.

Y después codificó también una sucesión de fórmulas, es decir, una posible demostración, mediante otro número.

La elección del código no encierra ningún misterio especial. Más adelante se usaron muchos otros, sin que cambiara el resultado. Importan dos condiciones: que se pueda recuperar de manera unívoca lo codificado y que para recuperarlo basten cálculos elementales. No hay aquí una explicación más sencilla que pueda sustituir a esta, pero sí una idea a la que agarrarse: si podemos guardar todo dentro y luego sacarlo tal como estaba, no hemos perdido ni un signo.

Una vez hecha la codificación, «esto es una fórmula bien formada» pasa a significar que cierto número tiene cierta propiedad. «Esto es un axioma» se convierte en otra propiedad numérica. Y «este número codifica una demostración cuya última línea es el enunciado codificado por aquel otro número» se convierte en una relación entre dos números.

Una aritmética lo bastante fuerte puede expresar todas esas propiedades y relaciones numéricas. La razón es sencilla: comprobar si una demostración formal es correcta ya era, desde el principio, una tarea mecánica y finita que se realiza paso a paso.

La aritmética sigue hablando exclusivamente de números naturales. No ha aprendido a conversar. Lo que ha cambiado es que algunos números naturales sirven ahora, además, como nombres de fórmulas y demostraciones. Por eso un enunciado aritmético sobre números puede decir indirectamente que «cierto enunciado tiene una demostración» o que «ningún número codifica una demostración de ese enunciado».

Falta un último paso, el más delicado: codificar aritméticamente la operación de introducir en un enunciado el número que designa ese mismo enunciado. Hecho esto, se puede construir un enunciado cuyo contenido aritmético corresponda exactamente a lo siguiente: ningún número natural codifica una demostración de este enunciado.

Los manuales suelen condensarlo en una fórmula memorable: este enunciado afirma que él mismo es indemostrable. Como recordatorio sirve. Pero no es el contenido literal del enunciado del artículo de 1931. De principio a fin, aquel enunciado habla de números naturales y de una relación aritmética entre códigos y demostraciones. No es lo mismo que decir, en el lenguaje corriente, «esta frase es falsa». Precisamente por esa diferencia, no hace estallar de inmediato una contradicción en un sistema consistente.

Ese es el sentido exacto del título de este episodio. La aritmética no ha adquirido conciencia de sí misma. Se han codificado como números los signos y las demostraciones, y así una parte de lo que antes solo se decía desde fuera ha podido trasladarse al interior.

4. Tres condiciones

Ya podemos precisar lo que afirma el teorema. El artículo apareció en 1931, en el volumen 38 de una revista mensual de matemáticas y física. Ocupaba veintiséis páginas según la paginación original, y constaba como recibido el 17 de noviembre de 1930. Su título puede traducirse como «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines, I». Principia Mathematica designa aquí los tres volúmenes de Whitehead y Russell, no los principios de las matemáticas en general. «Sistemas afines» indica que la demostración no sirve únicamente para aquel lenguaje simbólico: puede trasladarse a una clase bastante amplia de aritméticas y teorías de conjuntos formalizadas. Y la «primera parte» del título conserva la huella de un proyecto real. Gödel había considerado una continuación que después no escribió como la había previsto.

La formulación habitual de hoy dice, en esencia, esto: en toda teoría formal consistente, efectivamente axiomatizable y capaz de expresar suficiente aritmética elemental, hay un enunciado de su propio lenguaje que la teoría no puede demostrar ni refutar.

Son tres condiciones. No se puede retirar ninguna. Veámoslas una por una.

Ya hemos visto por qué se exige consistencia. Un sistema que permite deducir una contradicción permite deducir cualquier cosa; en él carece de sentido preguntar si queda algún enunciado sin demostrar. Gödel no dice que haya proposiciones independientes tanto si el sistema tiene contradicciones como si no. Dice que ni siquiera un sistema que aún no se ha hecho saltar por los aires puede alcanzar la completitud.

La axiomatización efectiva impide que los axiomas y las demostraciones vengan fijados de antemano por una lista de verdades inaccesible. En rigor, la formulación moderna no exige un algoritmo que decida sin más si cualquier enunciado dado es un axioma. Basta con que los axiomas, o los teoremas, puedan enumerarse efectivamente uno a uno. Si el conjunto de axiomas es efectivamente enumerable, aunque no necesariamente decidible, cada uso de un axioma puede llevar consigo un testimonio finito de su aparición en la enumeración. De ese modo, verificar la demostración completa sigue siendo una operación mecánica y finita, y la relación «este número codifica una demostración» puede expresarse en la aritmética.

Un contraejemplo deja claro qué excluye esa condición. Reunamos todos los enunciados aritméticos verdaderos en los números naturales estándar y tomemos esa colección como teoría. En cierto sentido, la teoría es completa: da la respuesta correcta a cada enunciado. Pero esa lista es precisamente lo que no constituye una teoría efectivamente axiomatizable. No hay manera de hacerse con ella mediante un procedimiento efectivo.

La exigencia de fuerza suficiente pide que la teoría pueda realizar la aritmética elemental necesaria para sostener la codificación que acabamos de ver: manejar sucesiones finitas, sustituciones y cálculos básicos, y representar relaciones como «este número es el código de una demostración de aquel enunciado».

No necesita cálculo infinitesimal, ni análisis real, ni teoría avanzada de números. El umbral es asombrosamente bajo.

Hasta dónde puede rebajarse exactamente es asunto de otro episodio. Por ahora basta con recordar de qué lado está el umbral. No se trata de «contener muchas matemáticas superiores», sino de «poder codificar cálculos bastante básicos y sintaxis finita».

Esta formulación tan limpia no es la que apareció, tal cual, en 1931. Para obtener las dos mitades de la conclusión, que no se puede demostrar ni el enunciado ni su negación, la demostración original de Gödel necesitaba una condición más fuerte que la mera consistencia. En 1936 Rosser modificó el enunciado autorreferente y redujo la exigencia a la consistencia ordinaria. Así que bajo el nombre que figura hoy en los manuales hay, en realidad, dos personas.

Terminadas las tres condiciones, queda una palabra por examinar: «verdadero». La conclusión más básica del primer teorema es que cierto enunciado no se puede demostrar ni refutar dentro de una teoría determinada. Para afirmar que es verdadero en los números naturales estándar hay que especificar la interpretación y los supuestos que adoptamos desde fuera. En el caso del enunciado de Gödel construido de la manera habitual, la consistencia de la teoría basta para deducir externamente que es verdadero en los naturales estándar. No hace falta añadir que todos los teoremas de la teoría sean verdaderos. Pero eso no nos proporciona, por arte de magia, un conocimiento incondicional de su consistencia. Es exacto escribir «indecidible en este sistema». Escribir «la humanidad ha visto una verdad absoluta que nunca podrá demostrarse» ya es otra cosa.

5. Tres días

El segundo teorema afirma, a grandes rasgos, lo siguiente: una teoría aritmética consistente, efectivamente axiomatizada y suficientemente fuerte no puede demostrar dentro de sí misma que nunca producirá una contradicción. Esto se entiende para las codificaciones usuales de las demostraciones, los predicados de demostrabilidad que satisfacen las correspondientes condiciones de derivabilidad y el enunciado estándar de consistencia.

El acento tiene que caer en «dentro de sí misma». El teorema no afirma que nunca se pueda demostrar la consistencia de una teoría. Una teoría más fuerte puede perfectamente demostrar que otra más débil es consistente; la teoría de la demostración posterior hizo de ello una tarea habitual. Lo que se impide es un círculo muy concreto: si una teoría tiene fuerza suficiente para codificar sus propias demostraciones y de hecho es consistente, no puede obtener, con los medios ordinarios que ella misma admite, esa garantía global sobre sí misma.

El trabajo de Gentzen de 1936 lo muestra con especial claridad. Demostró la consistencia de la aritmética de Peano mediante inducción transfinita hasta cierto ordinal. Para ello tuvo que emplear principios más fuertes cuya legitimidad no puede justificarse por completo dentro de la propia aritmética de Peano. No refutó, por tanto, el segundo teorema. Hizo exactamente algo que este permite: respaldar una teoría más débil desde otra posición más fuerte.

El teorema alcanzaba la parte más ambiciosa de la propuesta de Hilbert. Pero había un «si», y entonces no se daba por resuelto.

Para que el segundo teorema condenara directamente el programa, había que aceptar primero que los métodos finitarios de razonamiento considerados más seguros podían formalizarse fielmente dentro del sistema aritmético que se estaba estudiando.

En enero de 1931, Bernays se lo escribió a Gödel con cautela. Von Neumann tendía a pensar que todo razonamiento finitario podía formalizarse así. Ni Bernays ni Gödel consideraban entonces que la cuestión estuviera zanjada. Solo hacia mediados de los años treinta, cuando se extendió la aceptación de que los métodos finitarios tradicionales podían formalizarse al menos en aritméticas relativamente débiles, esa lectura del golpe se convirtió en la interpretación habitual entre los lógicos.

Por eso no se puede presentar «Gödel acabó de una vez con el programa de Hilbert en 1931» como un veredicto que todos sus protagonistas aceptaron en aquel momento. Von Neumann llegó muy pronto a una conclusión tajantemente negativa. Bernays y Gödel dejaron al principio abierta la cuestión de si todos los métodos finitarios admitían formalización.

Conviene añadir algo que también suele omitirse. Lo que fracasó fue el objetivo más ambicioso de aquella propuesta; su herencia no desapareció con él. Estudiar las demostraciones formales como objetos, eliminar los elementos ideales, comparar la fuerza exacta de distintas teorías: toda esa vía técnica siguió abierta. En buena medida, la teoría de la demostración moderna es lo que creció de aquella tradición después del golpe, no su lápida.

La parte de esta historia que protagoniza von Neumann es la mejor documentada, porque tenemos cartas fechadas. Tras el debate de Königsberg siguió pensando en el resultado y vio una consecuencia más incisiva: si un sistema aritmético suficientemente fuerte es consistente, no puede demostrar su propia consistencia mediante la codificación interna natural. El 20 de noviembre de 1930 escribió a Gödel para comunicarle que había descubierto aquel corolario digno de mención.

Pero el manuscrito de Gödel ya había llegado a la revista el 17 de noviembre. Y ya contenía ese resultado.

Tres días de diferencia.

Esos tres días fijan lo que podemos afirmar. El manuscrito presentado por Gödel tiene prioridad temporal. Von Neumann, por su parte, descubrió la misma consecuencia de manera independiente y con extraordinaria rapidez, sin disponer de los detalles de aquella parte del trabajo. El orden de envío no anula su descubrimiento independiente, pero tampoco convierte el resultado en una colaboración entre los dos. En cuanto a la versión según la cual von Neumann lo descubrió primero y Gödel lo añadió después, esos tres días bastan para descartarla.

«Solo von Neumann lo entendió en aquella sala» es una frase estupenda. No tenemos, sin embargo, una lista que permita sostenerla. La documentación respalda algo más preciso: la correspondencia demuestra con especial claridad que von Neumann captó muy pronto las consecuencias profundas. Cuánto entendió cada uno de los otros asistentes, varias decenas de personas, no lo sabemos por las fuentes.

6. Cómo circuló la noticia

El artículo de 1931 no fue un manuscrito lanzado al vacío por un joven. La Viena en la que vivía Gödel era una red muy tupida. En la universidad, Hans Hahn era a la vez su director y la persona que enlazaba la lógica matemática, los fundamentos de las matemáticas y el Círculo de Viena. Gödel también había estudiado lógica con Carnap. Desde sus años de estudiante asistía a las discusiones del grupo reunido en torno a Schlick. Pero escucharlas no lo convertía en un adepto de aquella escuela: su orientación filosófica posterior quedó muy lejos de la de Carnap.

Otro ámbito que suele desaparecer del relato es el coloquio matemático de Menger. Era un entorno más propiamente matemático, con puntos de contacto con el círculo filosófico de Schlick, pero no se confundía con él. Tenía su propia publicación de trabajos, en la que más tarde aparecieron artículos breves de Gödel. Artículos cortos, seminarios, congresos y revistas formaban en Viena un circuito estrechamente conectado por el que las ideas circulaban deprisa.

Así pues, la noticia comenzó a difundirse en Viena, no en Königsberg. La primera secuencia está muy concentrada: el 26 de agosto de 1930 Gödel comunicó a Carnap y a otros el resultado central; el 7 de septiembre lo mencionó públicamente en el debate general de Königsberg; en noviembre envió el artículo; en 1931 se publicó. Son cuatro actos distintos: comunicación privada, intervención en un congreso, envío a una revista y publicación. No se pueden intercambiar ni llamar a los cuatro «el primer anuncio».

El día en que se enteró el propio Hilbert no se puede fijar.

Las cartas entre von Neumann, Bernays y Gödel prueban que la noticia llegó pronto al entorno de Hilbert. No permiten deducir qué día la leyó él, cuándo se la contaron o cuándo comprendió de verdad su alcance. No se ha encontrado correspondencia sobre este asunto entre Hilbert y Gödel. Ni siquiera hay constancia segura de un encuentro formal entre ambos.

La reacción más citada procede de Bernays: al conocer el segundo teorema, Hilbert se enfadó mucho. Pero es un testimonio transmitido bastante después, no una anotación de Hilbert en su diario, una carta suya ni un acta de aquel día.

La huella pública más clara que dejó él mismo es bastante posterior y no tiene nada de teatral. En el prólogo al primer volumen de Fundamentos de las matemáticas, de 1934, aparece un breve comentario. Es una de sus poquísimas referencias públicas directas al asunto, quizá la única. No se da por vencido: sigue defendiendo el programa y busca cómo ajustarlo. La incorporación sistemática de aquellos resultados llegaría en el segundo volumen, escrito principalmente por Bernays y publicado en 1939.

Cuando una persona entra en los libros de historia, uno de los añadidos más fáciles es la expresión de su cara. En este caso, las fuentes alcanzan para contar lo que escribió después. No para describir el gesto que hizo entonces.

La recepción entre los demás fue desigual: hubo comprensión rápida, pero también malentendidos y resistencia. Zermelo es un caso conocido por sus dificultades. Su correspondencia con Gödel muestra objeciones a la conclusión y al alcance que se le atribuía, y Gödel tuvo que aclararlos por carta. También conviene distinguir las objeciones: no entender un paso de la prueba, rechazar la interpretación que Gödel daba de su significado o discutir ciertos supuestos metamatemáticos son tres cosas diferentes. Ninguna equivale a haber encontrado un error matemático real. Eso último no llegó a ocurrir.

A mediados de los años treinta, después de los cursos de Gödel en Princeton de 1933 y 1934 y de los avances de Church, Kleene y Rosser en computabilidad, el núcleo matemático del teorema ya formaba parte del conocimiento común de la naciente comunidad de lógica matemática.

La velocidad de asimilación puede resumirse así: los lógicos más destacados lo incorporaron en un plazo que fue de meses a unos pocos años. Entender su significado dentro de la cultura matemática en conjunto llevó mucho más tiempo, y en ese plano las discusiones siguen sin haber llegado hoy a una interpretación unánime.

7. Tres trampas de interpretación

Pocos teoremas de la historia de las matemáticas se han utilizado tanto fuera de su terreno. Muchas de sus interpretaciones abusivas caben en tres maneras de cambiarle el sentido.

La primera consiste en sustituir «con respecto a una teoría determinada» por «en términos absolutos».

Una de las frases más frecuentes es esta: Gödel demostró que existen verdades matemáticas que la humanidad nunca podrá conocer. El teorema establece una imposibilidad de demostración relativa a una teoría formal concreta. En una teoría más fuerte, aquel mismo enunciado independiente puede convertirse en teorema. Incluso puede incorporarse directamente como axioma.

También se oye que Gödel encontró una proposición concreta que jamás podrá demostrarse. No es así. Cada teoría que cumple las condiciones tiene su propio enunciado. No se trata de una misma proposición que permanezca indemostrable para siempre en todas las teorías.

La segunda sustitución consiste en pasar de «demostrabilidad formal» a «conocimiento humano».

De ahí sale esta afirmación: Gödel demostró que la verdad no se puede demostrar. Por el camino se han perdido dos cosas: de qué sistema estamos hablando y la distinción misma entre «ser verdadero» y «poder demostrarse».

Otra versión dice que Gödel demostró que las máquinas no pueden pensar como los seres humanos. El teorema se refiere a una teoría formal fija. Identificar la capacidad matemática humana con un sistema formal fijo y consistente exige una premisa filosófica adicional. El teorema no la proporciona.

Y está la fórmula más socorrida: basta con que el ser humano salga del sistema para ver que el enunciado es verdadero, y por eso siempre superará al sistema. Aceptar el enunciado desde fuera suele presuponer ya algún conocimiento de la consistencia del sistema o de la corrección de lo que afirma. No hay un procedimiento general y gratuito para saltar al exterior. Además, la teoría más fuerte que usemos desde allí se enfrentará a su propia versión del mismo problema.

La tercera sustitución convierte «cierta clase de sistemas suficientemente fuertes» en «todos los sistemas», o incluso en «cualquier actividad de razonamiento».

«Todos los sistemas formales son incompletos» es sencillamente falso. La validez en lógica proposicional es decidible y sus cálculos habituales son semánticamente completos; eso tampoco significa que cualquier conjunto de premisas proposicionales decida cada variable proposicional. La aritmética con suma pero sin multiplicación es completa y decidible. La teoría de primer orden de los cuerpos reales cerrados, en el lenguaje de la suma, la multiplicación y el orden, también es completa y decidible; no debe confundirse con todo el análisis real, con funciones y conjuntos arbitrarios. La geometría euclídea elemental de primer orden dispone asimismo de una axiomatización estándar completa y decidible.

«Todo sistema con un número finito de axiomas tiene que ser incompleto» también es falso. Lo decisivo no es cuántos axiomas hay, sino si el sistema tiene capacidad para expresar cálculos.

«Las matemáticas son incompletas» falla porque «las matemáticas» no son un sistema de axiomas efectivo. Hay muchas teorías matemáticas completas. Y hacer matemáticas permite, además, cambiar de axiomas, estudiar modelos y construir teorías más fuertes.

Un paso más allá, se llama «sistemas» a las leyes, las constituciones, los estatutos de una empresa, los lenguajes o las instituciones sociales, y se les aplica el teorema sin más. Aquí el cambio de sentido está en la palabra «sistema». Llamar sistema a una constitución no la convierte en una teoría formal efectivamente axiomatizable que pueda interpretar la aritmética elemental.

Las tres trampas parecen recaer sobre cosas distintas, pero el procedimiento es siempre el mismo: borrar una condición que delimita el alcance. Respecto de qué teoría. En qué lenguaje. De qué clase de sistemas se habla. Con omitir una sola, la afirmación ya parece abarcar mucho más.

La próxima vez que alguien diga que Gödel demostró algo, conviene hacer cuatro preguntas: ¿cuál es el lenguaje formal?, ¿los axiomas están dados de manera efectiva?, ¿el sistema es consistente?, ¿dónde interpreta suficiente aritmética de los números naturales? Si no hay respuesta, todavía no corresponde invocar el teorema. No es poner trabas: esas cuatro preguntas recogen las condiciones que hay que comprobar para aplicar los teoremas modernos de incompletitud. Y sigue siendo necesario distinguir la versión original de 1931 del fortalecimiento posterior de Rosser.

8. Lo que dijo el propio Gödel

Al final hay que preguntarle a él. Porque el Gödel que más circula es el hombre que habría proclamado, con su teorema, la bancarrota de la razón humana.

El Gödel de los archivos está muy lejos de esa imagen. Sí creía que el teorema tenía importancia filosófica y sí intentó extraer consecuencias filosóficas de él. No defendía que un teorema matemático solo pudiera decir algo sobre matemáticas. Al contrario: se inclinaba con fuerza por el realismo matemático y el racionalismo.

El documento fundamental es su conferencia de 1951. Allí planteó una alternativa: o la mente humana supera, en algún sentido, a cualquier máquina finita, o existen problemas de teoría de números absolutamente irresolubles también para el conocimiento matemático humano.

Su conclusión no fue la primera opción. Su conclusión fue que al menos una de las dos tiene que cumplirse.

La segunda le desagradaba profundamente y sus simpatías estaban claramente con la primera. Pero no hizo pasar su preferencia por algo que el teorema hubiera demostrado. Además, aquella conferencia no se publicó en vida de Gödel: salió a la luz más tarde, en sus obras completas. Una exploración filosófica conservada en un manuscrito inédito no puede presentarse como parte de las declaraciones formales del artículo de 1931.

Hay algo más revelador: en sus cuadernos filosóficos tardíos se conserva incluso una consigna muy poco pesimista, según la cual existen métodos sistemáticos para resolver problemas.

Tampoco 1931 lo convirtió en alguien que solo estudiara su propio teorema. En 1932 obtuvo la habilitación para la docencia universitaria y en 1933 pasó a ser Privatdozent, docente habilitado, en la Universidad de Viena. Después publicó trabajos sobre lógica intuicionista, lógica modal, el problema de decisión y la longitud de las demostraciones. En la segunda mitad de los años treinta se orientó hacia la teoría de conjuntos, desarrolló el universo constructible y demostró la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo relativa a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Su vida personal, en cambio, se deterioraba. Murió su maestro Hahn. En 1936, Schlick, figura central del Círculo de Viena, fue asesinado por un estudiante. El propio Gödel sufrió durante esos años graves crisis de salud recurrentes. Tras la anexión de Austria por Alemania en 1938, la reorganización de las universidades austríacas dejó sin efecto su anterior condición docente. Obtener la nueva autorización para enseñar exigía superar los controles políticos y raciales del régimen nazi. En 1940, él y su esposa salieron de Austria rumbo a Estados Unidos.

Un hombre demuestra un resultado que establece un límite y mantiene, durante mucho tiempo después, su confianza racionalista en la capacidad del conocimiento matemático. No hay contradicción entre ambas cosas. El límite impuesto por el teorema es mucho más acotado de lo que luego se ha querido creer.

¿Qué conviene llevarse de este episodio? Si el teorema se ha prestado a tantos abusos es, precisamente, por su solidez. Y es sólido porque sus premisas están fijadas con todo rigor: tres condiciones, ninguna prescindible.

Cada una de esas apropiaciones repite la misma operación: quitar alguna de las tres condiciones. La frase resultante suena mucho mejor y sirve para muchísimas más cosas. El precio es que ya no es un teorema.

El alcance de una afirmación lo determinan sus premisas. Cuantas menos se enuncian, más parece abarcar; y menos dice en realidad.

En aquella conferencia, Gödel tenía ante sí una respuesta que prefería de manera evidente. Sin embargo, lo que escribió fue solo una disyuntiva. Al menos en esa disyuntiva decisiva, no convirtió directamente su preferencia personal en un teorema.

De las tres condiciones hay una que aquí hemos establecido sin desarrollarla: ser suficientemente fuerte. Su umbral es sorprendentemente bajo. Basta con que el sistema sepa hacer unos cálculos muy básicos con enteros y codificar la sintaxis.

¿Y si probamos en sentido contrario? ¿Qué ocurre cuando un sistema se debilita deliberadamente lo justo para que esa codificación ya no quepa en él?

De eso trata el próximo episodio. La respuesta es que se puede comprar el cierre. Y que su precio se puede calcular.

Las cuentas siguen; lo que cuenta como matemáticas nunca ha terminado de aclararse.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes documentan los detalles históricos y las diferencias de interpretación tratados en el texto. Los registros de las colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son el mismo tipo de evidencia.

• Referencia bibliográfica del artículo original de Gödel de 1931
• Wilfried Sieg: introducción a la correspondencia de Gödel
• Asociación Matemática de Estados Unidos: la alocución radiofónica de Hilbert y el conocimiento matemático
• Solomon Feferman sobre la correspondencia entre Bernays y Gödel
• Estudio histórico del descubrimiento del segundo teorema de incompletitud por von Neumann
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford: los teoremas de incompletitud de Gödel
• Solomon Feferman: ¿existen problemas absolutamente irresolubles?
• Universidad de St Andrews: biografía de Kurt Gödel
• Instituto de Estudios Avanzados de Princeton: Kurt Gödel