La disputa sobre el principio del tercero excluido

1. La taza de café

Hay una pequeña historia que se cuenta por todas partes. Tomas una taza de café y lo remueves con una cuchara como te apetezca: deprisa, despacio, en un sentido, en el otro. Cuando el café se detiene, hay necesariamente algún punto que ha vuelto exactamente al lugar que ocupaba antes.

Otra imagen funciona todavía mejor. Arruga un plano de esta habitación hasta hacer una bola y tíralo al suelo de la propia habitación. Habrá al menos un punto del plano situado justo encima del lugar real que representa. Da igual cómo lo arrugues y cómo lo tires.

Las dos imágenes hablan del mismo teorema. Su enunciado, a grandes rasgos, es este: si una aplicación continua lleva una bola cerrada de un espacio euclídeo de dimensión finita a esa misma bola, tiene al menos un punto fijo. Más en general, el dominio puede ser cualquier conjunto no vacío, compacto y convexo. No basta con que sea cerrado.

El teorema lleva un nombre: Brouwer. Era neerlandés y venía de la topología. Aún no había cumplido los treinta cuando obtuvo este resultado; hacía pocos años que había presentado su tesis doctoral.

La taza de café tiene también su propia historia. Es una comparación muy útil para enseñar el teorema, difundida después, pero no se encuentra una fuente fiable para la afirmación de que Brouwer lo concibió mientras removía un café. La anécdota aparece en un libro de divulgación tras otro y ninguno dice de dónde la ha sacado. Lo mismo ocurre con el plano arrugado: sirve para dar clase, no como documento histórico.

Veamos ahora qué dice realmente el teorema.

Dice que tiene que haber un punto que no se mueva.

No dice cuál es.

Tienes entre las manos un plano arrugado. El teorema te asegura que en él hay uno de esos puntos, pero no te da ningún procedimiento para señalarlo. Puedes extender el plano y buscar palmo a palmo. El teorema no garantiza que lo encuentres; garantiza que está ahí. También puedes volver a arrugarlo y tirarlo otra vez. En cada ocasión habrá un punto así. En ninguna te dirá dónde está.

Normalmente nadie se detiene a pensar en la diferencia, porque, en la vida corriente, las cosas que existen se pueden poner sobre la mesa.

Sin embargo, el hombre que formuló ese teorema dedicaría más de cuarenta años a combatir esa clase de demostración.

De eso trata este ensayo, y de la disputa que hay detrás. Lo que estaba en juego cabe en una pregunta de lo más corriente: ¿qué queremos decir, exactamente, cuando decimos que algo existe?

El episodio quince terminaba en una frase. Antes de que alguien se propusiera demostrar que su sistema no podía producir contradicciones, hubo quien salió a decir: eso que queréis salvar no debería salvarse. Era él.

2. Las matemáticas son una actividad humana

En 1907, Brouwer presentó su tesis doctoral, cuyo título puede traducirse como Sobre los fundamentos de las matemáticas. Allí estaba ya el armazón filosófico de lo que después se llamaría intuicionismo.

Quería descartar tres ideas. Las matemáticas no eran, ante todo, una colección de signos sobre el papel. Tampoco eran un lenguaje deducido de unos cuantos axiomas lógicos. Y menos aún un mundo ya hecho, independiente de nosotros, al que los seres humanos llegáramos para descubrirlo.

¿Qué eran entonces? Antes que nada, decía, una actividad que tiene lugar en la mente humana.

Buscaba el origen de esa actividad en algo muy sencillo: la experiencia interior del tiempo. Un instante pasa y, a la vez, queda en la memoria. De ahí nace la distinción más elemental entre «uno» y «otro». Los objetos matemáticos se construyen paso a paso en esa actividad.

La diferencia parece puramente filosófica. Pero tiene una consecuencia muy concreta, y esa consecuencia es la clave de todo este ensayo.

¿Está ya ahí un objeto matemático antes de que alguien lo construya? Una respuesta dice que sí: el matemático no hace más que ir a descubrirlo. La de Brouwer es que no. El objeto se construye, y lo construye la actividad humana.

Por eso, en su pensamiento, la palabra «existir» necesita una nueva explicación. Que algo exista no quiere decir que esté esperando en algún lugar. Quiere decir que ya ha sido construido o que disponemos de un procedimiento para construirlo.

¿Y el lenguaje y la lógica? Para él vienen después de esa actividad: expresan y recapitulan lo que ya se ha construido. El cambio invierte por completo el lugar de la lógica. No es ella quien dicta lo que las matemáticas pueden hacer; es la actividad matemática la que determina qué inferencias lógicas se sostienen en cada caso.

El vuelco se ve mejor junto a lo contado en el ensayo anterior. Frege había dedicado veinte años a intentar derivar la aritmética de la lógica: abajo, la lógica; encima, la aritmética. Brouwer colocaba las cosas justo al revés. La lógica era un producto de la actividad matemática, no su cimiento.

En 1907 aún no había llevado esa posición hasta una conclusión concreta. Dio ese paso al año siguiente. En 1908 publicó un breve artículo cuyo título viene a decir La falta de fiabilidad de los principios lógicos. Allí se opuso públicamente por primera vez a la validez universal del principio del tercero excluido.

Antes que él, Molk había expresado dudas sobre cuestiones parecidas. El artículo de 1908 fue la primera exposición pública de la crítica sistemática de Brouwer, no la primera vez que alguien en la historia dudaba del tercero excluido.

3. A qué se oponía exactamente

El principio del tercero excluido dice algo que parece no necesitar demostración: una proposición se cumple o no se cumple; no hay una tercera posibilidad. Sobre la mesa hay un libro o no lo hay. Hoy llueve o no llueve. Suena tan corriente que a nadie se le ocurre pedirle cuentas.

A menudo se cuenta así: Brouwer pensaba que algo podía no ser ni verdadero ni falso y, por eso, consideraba falso el tercero excluido. Pero su pregunta no era esa. No preguntaba por la verdad o la falsedad, sino por el derecho a afirmar: ¿qué tienes en la mano para sostener esa afirmación?

Para decir «esto se cumple», él exigía una construcción terminada. Y decir «esto no se cumple» tampoco equivalía a «hasta ahora no he encontrado una demostración». Hacía falta una construcción que mostrara que suponerlo cierto llevaba a algo imposible.

Según la interpretación constructiva de la disyunción, afirmar «se cumple esto o se cumple su negación» exige, por tanto, presentar una demostración de uno de los dos lados y saber de cuál. Conviene no confundir aquí el principio clásico del tercero excluido con un algoritmo universal capaz de decidir cualquier problema matemático. La lógica clásica admite ese principio sin prometer que todos los problemas sean decidibles.

Brouwer decía que, cuando se trata de lo infinito, no hay razón para dar por supuesto que exista semejante procedimiento.

Se entiende fácilmente por qué una búsqueda finita no plantea esa dificultad si cada comprobación es decidible. Solo hay un número finito de objetos. Se examinan uno a uno y el procedimiento acaba por detenerse. Al terminar, se ha resuelto una de las dos posibilidades y, además, se tiene efectivamente la respuesta.

Con lo infinito no ocurre lo mismo. Hay un ejemplo a mano.

Los decimales de pi no terminan ni se repiten periódicamente. Preguntemos algo: ¿aparecen alguna vez cien sietes seguidos?

Considerémoslo como un problema que una búsqueda aún no ha resuelto. Aunque sigamos calculando hasta un billón de cifras sin encontrarlos, esa búsqueda, por sí sola, no demuestra que jamás vayan a aparecer. «No los he encontrado hasta ahora» nunca se convierte automáticamente en «no aparecerán nunca». Si no disponemos de un método que dé una respuesta afirmativa o negativa en un número finito de pasos, no tenemos en la mano ninguna de las dos.

Sin embargo, el tercero excluido permite decir que necesariamente aparecen o no aparecen, y utilizar sin más esa división dentro de una demostración. Supongamos primero que aparecen y razonemos a partir de ahí. Supongamos después que no aparecen y sigamos la otra rama. Si ambas llevan a la misma conclusión, esa conclusión queda demostrada.

Ese es el movimiento que Brouwer quería detener. No se oponía a las alternativas de la vida diaria. Se oponía al salto entre «todavía no he obtenido ninguna de las dos respuestas» y «alguna de las dos tiene que valer, así que puedo utilizar libremente esta división en mi demostración».

Él lo formulaba con más filo. Preguntar si el tercero excluido era universalmente fiable y preguntar si no existían problemas matemáticos que quedaran para siempre sin solución era, según él, preguntar lo mismo. Y nadie había demostrado nunca esto último.

Tampoco decía que el tercero excluido fallara en todas partes. En las búsquedas finitas con comprobaciones decidibles, y en cualquier otro problema que realmente pudiera decidirse, se podía seguir usando. Solo pretendía cerrarle el paso allí donde no se tenía acceso a ninguna de las dos respuestas.

4. Demostrar que existe sin poder mostrarlo

Hasta aquí hemos discutido una afirmación abstracta. Para verla con claridad hace falta asistir a una demostración. Con esta bastará para seguir todo lo que viene después, sin necesitar una sola línea más de matemáticas.

Antes hacen falta dos palabras. La primera es «irracional». Lo vimos en el segundo episodio: la raíz cuadrada de dos no puede expresarse como el cociente de dos enteros. A los números así los llamamos irracionales. La segunda es «potencia»: dos elevado a tres es dos por dos por dos. El exponente no tiene por qué ser entero; si es de otro tipo hay que definir qué significa la operación, pero, una vez definida, sigue dando un número determinado. También usaremos una regla: al elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes.

Ahora, la pregunta: ¿existen dos números irracionales tales que el primero, elevado al segundo, dé exactamente un número racional?

La demostración clásica ocupa dos líneas.

Tomemos la raíz de dos y elevémosla a la raíz de dos. Al resultado lo llamaremos, por el momento, «ese número».

Ese número es racional o no lo es.

Si es racional, hemos terminado. La base es la raíz de dos: irracional. El exponente es la raíz de dos: irracional. El resultado es racional. Ahí tenemos una pareja.

Si ese número no es racional, es irracional. Usemos entonces el resultado de otra manera: lo tomamos como base y lo elevamos de nuevo a la raíz de dos. Los exponentes se multiplican, y raíz de dos por raíz de dos da dos. El resultado es, por tanto, la raíz de dos al cuadrado, es decir, dos. Dos es racional. La base era ese número: irracional. El exponente, la raíz de dos: irracional. También aquí tenemos una pareja.

Los dos casos agotan todas las posibilidades. Luego tiene que existir una pareja de irracionales con esa propiedad.

Veamos ahora qué nos ha entregado la demostración.

Ha probado que tiene que haber una pareja. No ha dicho cuál. En ningún momento ha decidido si ese número era racional o no. Solo ha dicho que, sea cual sea el caso, hay una pareja.

Eso es todo lo que Brouwer quería señalar.

Una cosa es decir: tiene que haber un testigo, porque lo contrario llevaría a una contradicción. Otra es decir: aquí está el testigo; te muestro cómo lo construyo. Para las matemáticas clásicas, las dos cuentan como demostraciones de existencia. Para él, no son lo mismo.

Hay que precisar de dónde procede este ejemplo. Es habitual en la enseñanza posterior, pero no aparece en el breve artículo de 1908. Allí Brouwer discutía el principio general. El ejemplo resulta útil porque condensa ese principio en algo que puede verse entero en un minuto.

Que una demostración no sea constructiva tampoco significa que el objeto jamás pueda encontrarse. El paso que esta prueba por casos dejaba sin decidir pudo resolverse más tarde con nuevos teoremas. El séptimo problema de la lista que Hilbert presentó en 1900 trataba precisamente sobre números de esa clase. En 1934, Gelfond en la Unión Soviética y Schneider en Alemania obtuvieron la respuesta de manera independiente. Así se supo que ese número no era racional: la pareja buscada correspondía al segundo caso, con ese número como base y la raíz de dos como exponente. Pero el descubrimiento posterior no convierte retroactivamente la prueba original en una prueba constructiva. Nunca estuvo en discusión el destino del objeto. Lo que se discutía era qué entregaba aquella demostración.

A estas alturas, cualquiera puede tener ante sí la disputa entera. Lo que queda es asunto de personas.

5. Hilbert traslada la exigencia

El interés de Hilbert por los fundamentos venía de lejos. La consistencia de los axiomas de la aritmética figuraba ya en su lista de problemas de París, en 1900. Entre 1904 y 1905 intentó abordar directamente el cimiento común de la aritmética y la lógica. En 1917 volvió a ocuparse de ello de manera sistemática. Lo que solemos llamar programa de Hilbert tomó forma hacia 1920: lo expuso en 1921 y lo publicó en 1922.

El programa descansaba sobre dos pilares. Primero, formalizar una porción suficientemente amplia de las matemáticas clásicas. Segundo, demostrar, mediante procedimientos finitarios estrictamente delimitados, que esos sistemas formales no podían producir una contradicción.

La parte más ingeniosa era que, en el fondo, cedía en parte ante la objeción.

Hilbert distinguía dos niveles. Abajo estaba la matemática finitaria dotada de contenido: signos numéricos concretos, cadenas de longitud finita, procedimientos de un número finito de pasos. Todo ello se podía mirar, contar y comprobar directamente. Arriba estaban los objetos infinitos del análisis clásico y de la teoría de conjuntos. A ese nivel lo llamaba el componente ideal.

Brouwer exigía eliminar lo que careciera de significado constructivo. Hilbert respondía: no hace falta eliminarlo si, desde el nivel inferior, podemos demostrar de manera fiable que no conduce a contradicciones.

No rechazaba, por tanto, la exigencia de construcción. La trasladaba a otro sitio.

Brouwer pedía que toda la matemática partiera de la construcción. Hilbert pedía que partiera de ella el nivel desde el que se estudia la matemática y que ese nivel sirviera después de garantía a la matemática clásica. Dicho en menos palabras: Hilbert quería salvar las matemáticas no constructivas por medios constructivos.

Por eso, presentar a los dos hombres como «formalismo contra constructivismo» oculta algo que compartían. Ambos exigían que la garantía última descansara en alguna actividad constructiva al alcance de la comprensión humana. La diferencia estaba en el nivel al que aplicaban esa exigencia.

Hilbert tampoco sostuvo nunca que todo fueran signos sin significado. Dijo expresamente que, para poder confiar en el razonamiento lógico, debían existir primero ciertos objetos discretos que pudieran aprehenderse de forma directa y examinarse por completo. En su teoría de la demostración, esos objetos eran configuraciones finitas de símbolos: numerales, fórmulas y pruebas. «Formalismo» sirve como nombre abreviado de un bando; como definición de su filosofía, falla.

En 1921, alguien lanzó un grito desde el otro lado. Y resonó tanto porque quien gritaba era de los suyos.

Weyl había sido uno de los alumnos más brillantes de Hilbert. Ese año publicó Sobre la nueva crisis de los fundamentos de las matemáticas y se inclinó públicamente por Brouwer. La frase más célebre del artículo decía, en esencia: Brouwer, eso es la revolución.

Aquí «revolución» no era un adorno. Weyl entendía que Brouwer exigía renunciar a muchos razonamientos con el infinito a los que las matemáticas se habían acostumbrado. No se trataba de tapar agujeros, sino de volver a establecer qué contaba como una demostración con sentido.

Lo que dolía no era que alguien llevara la contraria. Era que no lo hiciera un conservador de la vieja escuela, como Kronecker, sino un alumno formado por el propio Hilbert y, además, uno de los matemáticos más creativos de su tiempo.

Hilbert respondió pronto en unas conferencias en Hamburgo y, al año siguiente, publicó La nueva fundamentación de las matemáticas. Allí venía a decir que Weyl y Brouwer seguían las huellas de Kronecker: para salvar la matemática arrojaban por la borda todo lo que causaba dificultades y, con ello, descuartizaban la ciencia. Brouwer no representaba la revolución que anunciaba Weyl; repetía, con viejos medios, un golpe de Estado ya fracasado. Aquel primer intento había sido más violento y había acabado en un fracaso completo. Ahora el país estaba bien defendido, armado por Frege, Dedekind y Cantor; esta vez no había posibilidad de éxito desde el principio. Fue en medio de ese enfrentamiento cuando el programa, ya maduro, dejó fijado sin ambigüedades lo que se proponía hacer.

Así que la transformación, en 1921, de una cuestión bastante especializada en un enfrentamiento de bandos se debió en buena medida a Weyl, más que al propio Brouwer. Había sido un heredero intelectual de Hilbert quien se había levantado para proclamar que la revolución estaba al otro lado.

6. El año 1928

Hasta aquí hemos hablado de las diferencias que dos hombres defendían sobre el papel. Lo que viene ahora no nació del papel. Para contarlo hay que empezar por el orden académico internacional posterior a la Primera Guerra Mundial, no por el principio del tercero excluido.

Durante bastante tiempo después de la guerra, los científicos de Alemania y de sus aliados en el conflicto quedaron excluidos de varios de los nuevos mecanismos oficiales de cooperación internacional. El Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Bolonia en 1928 marcó, en lo esencial, el final de esa etapa. Acudieron más de setenta matemáticos alemanes. Fue la segunda delegación más numerosa, solo por detrás de Italia, el país anfitrión. Hilbert era, de hecho, quien encabezaba al grupo alemán.

Brouwer defendía lo contrario. Creía que los alemanes no debían aceptar su readmisión en unas condiciones que él seguía considerando desiguales, y los animó activamente a boicotear el congreso.

El reparto de papeles tiene interés. Brouwer era neerlandés, pero se había erigido en defensor del honor de la comunidad matemática alemana. Sus vínculos con el mundo matemático de lengua alemana eran muy estrechos: llevaba años publicando sus principales trabajos en revistas alemanas y formaba parte de la red editorial de la más importante de ellas. Su intervención en el debate sobre si Alemania debía boicotear el congreso no era, pues, la irrupción de un extranjero sin relación con el asunto. Pero precisamente porque no era alemán, sus colegas alemanes podían ver con facilidad aquella intervención como una intromisión. Hilbert, una de las figuras de mayor prestigio de la matemática alemana, defendía asistir y restablecer el trato. La mayoría acabó siguiendo su camino.

Resulta ya difícil llamar a esto una disputa sobre el tercero excluido.

En los archivos de Gotinga se conserva un discurso político de tres páginas, muy probablemente pasado a limpio por la esposa de Hilbert. Su conclusión decía, en sustancia, que las matemáticas no conocen razas y que, para ellas, todo el mundo de la cultura constituye un solo país. Se han revisado las actas del congreso, las noticias de la época y la correspondencia pertinente, documento por documento. Ninguno permite demostrar que Hilbert llegara a leer aquel texto en Bolonia.

Merece la pena detenerse un momento en esa imagen: han quedado las hojas de un discurso internacionalista; no ha quedado prueba de que sus palabras se pronunciaran en público.

Brouwer formaba parte de la redacción de Mathematische Annalen desde 1914. Aquel otoño llevaba catorce años.

El 27 de octubre de 1928 llegó de improviso un telegrama a su casa de Laren. Por él supo que se había puesto en marcha una operación para reorganizar la redacción de Mathematische Annalen.

El conflicto no estalló mediante un artículo filosófico dirigido al público. Entró en casa de un hombre bajo la forma de una notificación administrativa de una revista.

Hilbert no tenía, según las reglas de la revista, la facultad de despedir unilateralmente a otro editor como si fuera su patrón. Se recurrió a un procedimiento más radical y más discutible: la editorial disolvió por completo el consejo de redacción y constituyó inmediatamente otro. Brouwer no figuraba en la nueva lista.

Los demás editores no lo respaldaron unánimemente. Carathéodory se opuso con firmeza al proceder de Hilbert, y Einstein también se situó contra la exclusión forzosa. Pocos días después del telegrama, el 2 de noviembre, Brouwer escribió por separado a Blumenthal y a Carathéodory para defenderse e impugnar la maniobra. La documentación está incompleta, pero se conserva al menos una copia de una de esas cartas. No lo aceptó en silencio.

Sobre los motivos no cabe dictar sentencia.

Una explicación sostiene que Hilbert, ya mayor y preocupado por su salud, temía que, si moría, Brouwer adquiriera demasiado poder de decisión en la revista. No es una invención sin apoyo. Carathéodory, Blumenthal y Born, personas próximas a él, lo explicaban así en las cartas de aquellos días. Esa versión aparece tanto en la carta de Blumenthal a la editorial y a los editores del 16 de noviembre como en la de Born a Einstein del día 20. Pero esas cartas recogen lo que su entorno decía entonces sobre sus motivos, no una confesión de Hilbert.

Brouwer tenía otra explicación. Atribuía parte de la hostilidad de Hilbert a que, en 1919, él había rechazado la propuesta de un puesto que le había llegado de Gotinga. No era la versión sobre el control de la revista que circulaba en el entorno de Hilbert. Los documentos permiten poner ambas interpretaciones una junto a otra; no permiten decidir que una de esas explicaciones psicológicas sea la única verdad.

El esqueleto de los hechos, en cambio, es sólido. Hilbert impulsó la operación. Carathéodory y Einstein se opusieron. La editorial disolvió y recompuso el consejo. Brouwer quedó fuera y protestó. Lo que no sabemos es cuánto pesaba cada uno de aquellos motivos en la mente de Hilbert.

Conviene guardar esta regla aparte: las fechas de los documentos suelen ser más fiables que las motivaciones de sus protagonistas, y las palabras de estos, más fiables que las tramas causales compuestas por la posteridad.

El relato tradicional forma una cadena muy clara. Brouwer rechazaba el tercero excluido. Hilbert defendía las matemáticas clásicas. La disputa se fue agriando hasta que Hilbert lo expulsó de la redacción.

Ese encadenamiento resulta demasiado limpio; por eso despierta sospechas. Si volvemos a ordenar las cartas y los archivos de los años cercanos a 1928, sus eslabones se aflojan. Por proximidad temporal, la disputa por el boicot a Bolonia fue el antecedente inmediato de la crisis editorial. Y Bolonia era un problema de política internacional de posguerra, no de lógica. Las investigaciones archivísticas recientes han desplazado el foco hacia las tensiones internas de la comunidad matemática alemana durante la República de Weimar y hacia la lucha por controlar la revista. Con ello, han reducido el peso atribuido a las diferencias puramente intelectuales en el choque final. No significa que esas diferencias carecieran de importancia. Significa que una discrepancia intelectual no se convierte por sí sola en la reorganización de una redacción.

Una distinción más prudente cabe en tres frases. La divergencia filosófica proporcionó el lenguaje de una hostilidad duradera. La política internacional encendió la mecha en 1928. El poder editorial y la inquietud por la sucesión ayudan a entender por qué el conflicto tomó la forma de una expulsión de la redacción; sigue sin poder determinarse el peso real de cada motivo.

7. Volvamos al teorema

El golpe fue muy duro para Brouwer. A partir de entonces tuvo mucha menos presencia en la vida pública de las matemáticas internacionales. Las biografías suelen hablar de «aislamiento» o «retirada». Los documentos no permiten ir más lejos en el retrato psicológico. Lo que sí puede afirmarse es que su antigua colaboración con el círculo de Hilbert quedó definitivamente rota.

Pero Brouwer no dejó de trabajar después de 1928. Su alumno Heyting continuó desarrollando sus ideas y, hacia 1930, la lógica intuicionista quedó formalizada. Él, por su parte, siguió desarrollando nociones como las sucesiones de elección. En 1934 participó en la fundación de una nueva revista y, desde 1935, intervino en la política municipal de Blaricum. Lo que había perdido en 1928 era un puesto en una red internacional de poder, no sus ideas.

Ya podemos volver a la taza de café.

Primero hay que aclarar los antecedentes del teorema, porque no fue obra de un solo hombre en un solo día. Bohl había obtenido en 1904 un resultado relacionado para tres dimensiones. Brouwer empezó a lograr resultados de ese tipo hacia 1909. Hadamard dio en 1910 un argumento para cualquier dimensión y, después, Brouwer estableció con sus propios métodos topológicos la versión que quedó unida a su nombre. La bibliografía ofrece varias fechas: 1909, 1910 y 1911. Corresponden a artículos distintos y a formulaciones distintas. No hay un día de la invención. Hay un proceso.

Lo importante, sin embargo, es otra cosa. Aquellas primeras demostraciones eran clásicas y no satisfacían los criterios que él desarrollaría plenamente más tarde.

Eso no se debe a que el joven Brouwer todavía no fuera intuicionista. Su posición fundamental estaba formada ya entre 1907 y 1908. El orden real fue este: primero expuso su filosofía de los fundamentos; después dedicó unos años principalmente a la topología clásica, donde consiguió resultados extraordinarios con los métodos clásicos habituales de la época; solo entonces volvió de manera sistemática a reconstruir las matemáticas intuicionistas.

El teorema que lo hizo célebre permite así ver algo muy concreto. Una demostración clásica puede obligarte a aceptar que tiene que haber algún punto fijo sin darte necesariamente un procedimiento para calcular dónde está a partir de la transformación que se te ha dado. Ese es justamente el lugar en el que iba a chocar con su posterior exigencia sobre lo que significa «existir».

En 1952 publicó él mismo una nota de dos páginas en una revista de la Royal Society británica. El título venía a decir: Una corrección intuicionista del teorema del punto fijo en la esfera.

Optaba por una formulación aproximada. En vez de afirmar, bajo condiciones completamente generales, que se puede construir un punto fijo exacto, proponía demostrar otra cosa: por pequeña que sea la distancia que fijes de antemano, se puede construir un punto cuyo desplazamiento sea menor que ella.

Vale la pena mirar la relación entre esas dos afirmaciones, porque reúne todo lo visto en las secciones anteriores.

La matemática clásica permite pasar de «tan cerca como se quiera» a «hay un punto que no se mueve en absoluto». El paso se apoya en un principio de compacidad: de una sucesión de puntos en una región compacta se puede extraer una subsucesión convergente y, mediante la continuidad, obtener un punto fijo. Esa compacidad secuencial sin condiciones adicionales no puede trasladarse en general a las matemáticas intuicionistas. No está garantizado que puedan construirse la subsucesión y el punto límite necesarios.

Por tanto, no se había refutado la conclusión clásica que asegura un punto fijo exacto. Lo que cambiaba eran los argumentos y las conclusiones admisibles en el intuicionismo: una aproximación de precisión arbitraria no puede convertirse, sin condiciones adicionales, en un punto fijo exacto construido.

Se repite mucho que Brouwer acabó negando su propio teorema del punto fijo. Lo que hizo fue más limitado: publicó una corrección intuicionista en la que sostenía que había que transformar el argumento clásico. Negar la verdad de un teorema clásico y modificar su enunciado y su demostración de acuerdo con criterios intuicionistas son cosas distintas.

No dijo que el teorema fuera falso. Dijo que aquella demostración no entregaba la clase de existencia que él exigía.

Pongamos el título de 1952 junto a la tesis doctoral de 1907. Un hombre pasó más de cuarenta años volviendo sobre aquel resultado que había obtenido antes de los treinta y que lo había hecho famoso. Y la razón por la que lo corregía era exactamente la que ya había expresado antes de los treinta.

8. Qué ha quedado

Empecemos por lo que no ocurrió.

El tercero excluido no fue desterrado de las matemáticas. El análisis, el álgebra y la teoría de conjuntos siguen utilizando abundantemente pruebas de existencia no constructivas. En ese sentido, Brouwer no convenció a la comunidad matemática de que abandonara los métodos clásicos. Tampoco cambió a gran escala la práctica cotidiana. Quienes trabajaban en análisis, álgebra o geometría no dejaron de utilizar el tercero excluido por aquel artículo breve de 1908. El intuicionismo se convirtió en una tradición importante, pero no sustituyó a la corriente principal.

Aquí reaparece el mismo problema que encontramos en el ensayo anterior.

Los propios protagonistas hablaban ya en términos de guerra. Weyl escribía sobre crisis y revolución; Hilbert, sobre golpes de Estado. Hasta la crisis de la revista acabaría recibiendo el título de «La guerra de las ranas y los ratones». Con ese vocabulario es fácil contar los años veinte como una carga frontal entre dos ejércitos. Lo de las ranas y los ratones sí tiene una fuente en la correspondencia: en su investigación de archivo, Van Dalen cita una carta de Einstein a Born del 27 de noviembre de 1928. Einstein empleaba la expresión para describir la disputa y declaraba a la vez que no quería alistarse en ninguno de los dos bandos.

¿Qué fue entonces lo que cambió de verdad?

Lo que se transformó profundamente fue la capacidad de estudiar matemáticamente las propias demostraciones. Qué fuerza lógica exige un principio, qué teoremas contienen una construcción, si un sistema puede demostrar su propia seguridad: preguntas antes más cercanas a la filosofía pasaron a formar parte de disciplinas técnicas. Dicho de otro modo, aquello en lo que un matemático no solía necesitar detenerse se convirtió en una nueva rama de las matemáticas.

Brouwer consiguió otra cosa. Desde entonces ya no se podía fingir que «demostrar que algo existe» y «construirlo» eran indistinguibles. La lógica intuicionista se convirtió después en una lógica independiente, susceptible de estudio preciso. Preguntar si de una prueba de existencia puede extraerse un testigo, o si una demostración lleva consigo un procedimiento, pasó a ser algo habitual en la lógica y en la informática.

Hilbert tampoco fue un derrotado de la historia. Su ambición original acabó encontrándose con límites infranqueables, pero de aquel programa nacieron campos como la teoría de la demostración, la formalización y la consistencia relativa.

Ni siquiera Weyl, que había gritado «revolución», permaneció siempre en ese lado. Con las exigencias de Brouwer no encontraba unas matemáticas capaces de sostener la física teórica que tanto le importaba, y a mediados de los años veinte ya había empezado a retroceder. En 1946, al volver la vista sobre la disputa, vino a decir que la crisis duraba casi cincuenta años y que, en apariencia, no impedía el trabajo diario. Pero tenía que admitir que había marcado de verdad su trayectoria matemática: había orientado sus intereses hacia terrenos que juzgaba más seguros y había seguido desgastando su entusiasmo y su decisión de investigar. Añadía que otros matemáticos probablemente habrían pasado por algo semejante, siempre que no les fuera indiferente qué significaba su trabajo en el conjunto de la existencia humana: una vida de preocupación y conocimiento, de sufrimiento y creación.

El intuicionismo tampoco se reducía a unas matemáticas que solo supieran contar uno, dos y tres. Ya desde 1918 y 1919 Brouwer reconstruía los conjuntos, el continuo y el análisis; después desarrolló herramientas como las sucesiones de elección. No era una matemática estéril. Lo que perdía o transformaba era la forma de ciertos teoremas clásicos. Al pasar de un lado al otro, un enunciado clásico podía desdoblarse en varios enunciados diferentes: la existencia de un objeto exacto podía debilitarse hasta la imposibilidad de su inexistencia; la garantía de un cero exacto podía convertirse en la posibilidad de aproximarse a un cero tanto como se quisiera.

Lo que hoy llamamos matemáticas constructivas tampoco es una copia de su sistema. Hacia 1930, Heyting formalizó las reglas de inferencia que admitía el intuicionismo. Había algo ligeramente contrario al espíritu de Brouwer en aquella tarea: él sostenía que las matemáticas precedían al lenguaje y a la lógica, pero quienes vinieron después tuvieron que organizar sus ideas como una lógica formal para poder estudiarlas y utilizarlas. Más adelante aparecieron otras vías que conservaron la exigencia de que las demostraciones tuvieran contenido computable sin aceptar toda su filosofía de la mente.

La propuesta de Brouwer tampoco era la más conservadora. Admitía principios muy particulares sobre el continuo y las sucesiones de elección. Algunos parecían incluso demasiado fuertes a los constructivistas posteriores que solo admitían lo computable. Por eso «intuicionismo», «finitismo» y «computabilidad» no pueden usarse como sinónimos.

Lo que ha quedado, por tanto, no es la pregunta de si debemos creer en el tercero excluido. Es otra más precisa: cuando dices que algo existe, ¿qué has obtenido realmente?

Decir que algo existe y ponerlo delante son dos cosas distintas.

En la vida cotidiana ambas coinciden y por eso nadie se ha molestado en separarlas. Dices que hay leche en la nevera porque puedes sacarla. Solo en un lugar se separan: puedes demostrar que algo tiene que existir y, aun así, no disponer de un solo paso que te acerque a ello.

Cuando se planteó esta distinción en 1908, muy pocos la consideraron un problema. Hoy recibe respuestas todos los días, porque las demostraciones se entregan a las máquinas para que las comprueben y de ellas se extraen programas. Llegados a ese punto, preguntar si una prueba lleva consigo un procedimiento deja de ser una cuestión meramente filosófica: se convierte en un criterio que puede medirse. Ya existen herramientas a las que se da una demostración formal y que extraen su procedimiento en forma de código ejecutable. Qué programa se puede extraer depende del sistema formal, de los axiomas utilizados, de la forma del enunciado y de la interpretación computacional. El uso del tercero excluido es uno de esos factores, no un interruptor único. Ciertas pruebas clásicas también permiten extraer contenido computacional mediante una traducción, y comprobar demostraciones y extraer programas son, en sí mismas, dos tareas diferentes.

Este ensayo ha establecido qué cuenta como existencia. Queda otra cuestión por establecer: dónde están los límites de una demostración.

El método de Hilbert exigía conseguir primero algo: demostrar que aquellos sistemas no podían producir contradicciones, y demostrarlo con los medios más seguros. En Bolonia, en 1928, aún era muy optimista. Creía que la consistencia de la aritmética estaba cerca de resolverse.

Dos años después, en una reunión en Königsberg, un joven de veinticuatro años, por entonces casi desconocido, anunció algo.

Los cálculos con los números continúan. Qué cuenta como matemática nunca ha terminado de quedar claro.

Fuentes y lecturas complementarias

Las siguientes referencias corresponden a los detalles históricos y a las divergencias de interpretación del texto. Los registros de las colecciones, la literatura de la Antigüedad y las reconstrucciones modernas no son pruebas de la misma naturaleza.

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford: Intuicionismo
• El programa de Hilbert
• Dirk van Dalen, La guerra de las ranas y los ratones (1990)
• Brouwer frente a Hilbert, 1907–1928
• Dirk van Dalen, biografía de Brouwer
• Contraejemplos computables al teorema del punto fijo de Brouwer
• Estudio constructivo de puntos fijos aproximados
• La corrección de Brouwer de 1952: registro bibliográfico