数学 · 16 / 25
排中律をめぐる論争
何かが存在すると言うことと、それを構成することは、同じなのか。ブラウワーの不動点からヒルベルトの証明論へ。この論争は、人が証明に対して何を問えるかを変えた。
この篇の目次
一 コーヒーカップ
よく知られた小話がある。カップに入ったコーヒーを、スプーンで好きなようにかき混ぜる。速くても遅くてもいい。右回りでも左回りでもいい。流れが止まったとき、コーヒーのどこか一点は、必ずぴたりと元の場所に戻っている。
もう一つ、もっとわかりやすい言い方がある。この部屋の地図をくしゃくしゃに丸め、部屋の床に投げる。すると地図のどこか一点は、その点が表している現実の場所の、真上に来る。どう丸めても、どう投げても。
どちらも、同じ定理を言い表している。大まかにはこうだ。有限次元のユークリッド空間にある閉球を、連続な写像でその閉球自身の中へ移すと、動かない点、つまり不動点が少なくとも一つある。より一般には、領域は空でないコンパクトな凸集合でよい。単に閉じているだけでは足りない。
この定理には、ブラウワーという人の名がついている。オランダの数学者で、出発点は位相幾何学だった。この仕事を成し遂げたのは二十代、博士論文を提出してから、まだ数年しかたっていなかった。
コーヒーの話にも、それなりの来歴がある。後世の授業では重宝されるたとえだが、「コーヒーをかき混ぜているときに思いついた」という逸話には、確かな出典をたどれない。一般向けの本にはいくらでも出てくるのに、どの本も話の出どころを示さない。地図を丸める話も同じだ。説明のためのたとえであって、史料ではない。
では、この定理が実際に何を言っているかを見よう。
動かない点が、必ずあると言っている。
それがどの点なのかは、言っていない。
くしゃくしゃの地図を手にしている。定理は、その上にそういう点があると教えてくれる。だが、その点を指さす方法は何も渡してくれない。地図を広げて、隅から隅まで探してみてもいい。定理が保証するのは、その点があることだけで、見つけられることではない。もう一度丸めて、投げ直してもいい。そのたびに点は必ずある。そのたびに、自分がどこにあるかは教えてくれない。
ふだん、この二つの違いを考える人はいない。ふつう、あるものなら取り出してみせられるからだ。
ところが、この定理を書いた本人は、その後四十年以上にわたって、こういう証明のあり方に異を唱えつづけた。
今回は、その話と、その背後にある論争をたどる。争点は、ごくありふれた言葉で問える。何かが「ある」と言うとき、それはいったい何を意味するのか。
第十五回は、こんな言葉で終わった。「自分たちの体系から矛盾が出ないことを証明する」。誰かがそれを課題に据えるより先に、別の誰かが立ち上がり、君たちが守ろうとしているものは、そもそも守るべきものではない、と言った。その人こそ、ブラウワーだった。
二 数学は人間の営みである
1907年、ブラウワーは博士論文を提出した。題名は、日本語にすれば「数学の基礎について」。後に直観主義と呼ばれる思想の哲学的な骨組みは、この論文ですでにできていた。
彼が退けようとしたのは、三つの考え方だった。数学は、まず紙の上の記号の集まりではない。いくつかの論理公理から導かれる言語でもない。まして、人間とは無関係にできあがった世界がどこかにあり、人が発見しに来るのを待っているわけでもない。
では、数学とは何なのか。まず人の心の中で行われる活動なのだ、と彼は言う。
その活動の根を、彼はごく素朴なものに求めた。内的な時間である。一つの瞬間が過ぎ去り、同時に記憶の中に残る。そこに、「一つ」と「もう一つ」という、もっとも原初的な区別が生まれる。数学の対象は、この活動の中で一歩ずつつくられていく。
いかにも哲学的な食い違いに聞こえる。だが、そこからきわめて具体的な帰結が出てくる。それが、この一篇全体の鍵になる。
数学の対象は、誰かがつくる前から、すでにそこにあるのか。ある、数学者はそれを見つけに行くだけだ、という答え方もある。ブラウワーの答えは、ない、だった。それはつくられるものなのだ。そして、つくるのは人間の活動である。
そうなると、彼にとって「存在する」という言葉の意味は変わる。何かが存在するとは、それがどこかで待っているということではない。すでにつくられたか、あるいは、それをつくり出す方法がある、ということだ。
では、言語と論理はどうなるのか。彼にとって、それらはこの活動の後に来る。すでにつくられたものを表し、そこからまとめ出したものなのだ。これで論理の位置は、そっくり逆転する。数学に何ができるかを論理が決めるのではない。この場面ではどんな論理的推論が成り立つかを、数学の活動が決める。
前の回と並べてみると、この逆転がよくわかる。フレーゲは二十年をかけて、論理から算術を導こうとした。下に論理があり、上に算術がある。ブラウワーの言うことは、ちょうどその逆だった。論理は数学の活動が生み出すものであって、数学の土台ではない。
1907年の段階では、彼はまだこの立場から、ある具体的な結論を引き出すところまでは進んでいなかった。その一歩を踏み出すのは翌年である。1908年、「論理の諸原理は信頼できない」という趣旨の題をつけた短い論文を発表し、排中律が普遍的に成り立つことに、初めて公然と異を唱えた。
彼より前にも、モルクが同じような問題に疑念を表していた。1908年の論文は、ブラウワー自身が体系的な批判を初めて公にしたものだ。人類が排中律を疑った最初の瞬間、というわけではない。
三 彼は何に反対したのか
排中律が言っているのは、証明などいらないように聞こえる一言だ。あることは、成り立つか、成り立たないかのどちらかで、第三の可能性はない。机の上には本があるか、ないか。今日は雨が降るか、降らないか。あまりに当たり前で、わざわざ確かめようとする人もいない。
こんな説明をよく耳にする。ブラウワーは、正しくも間違ってもいないことがありうると考えた、だから排中律は偽だとしたのだ、と。だが、彼が問うていたのは、そもそも真か偽かではない。何を根拠に、その断言を自分のものにできるのか、という別の問いだった。
彼の考えでは、「これは成り立つ」と言うためには、完成した構成を手にしていなければならない。「これは成り立たない」と言う場合も、「まだ証明が見つかっていない」というだけでは足りない。成り立つと仮定すれば不可能な事態に行き着く、そのことを示す構成が要る。
したがって、選言を構成的に解釈するなら、「これが成り立つか、その否定が成り立つかだ」と断言するには、どちらか一方の証明を差し出し、しかも、それがどちら側の証明なのかを知っていなければならない。ただし、古典的な排中律そのものを、あらゆる数学の問題に答えを出す万能のアルゴリズムと同一視してはならない。古典論理は排中律を認めるが、すべての問題が判定できると約束しているわけではない。
無限を相手にするとき、そのような方法があると決めてかかる理由はない。ブラウワーはそう言う。
一つずつの検査には必ず答えが出て、探す範囲も有限であるなら、なぜ困らないのかはすぐにわかる。調べるものは有限個しかない。一つずつ調べれば、手続きはいつか終わる。終わったときには答えはどちらか一方に決まり、しかも、その一方を本当に手にしている。
無限では、そうはいかない。ちょうどよい例がある。
円周率の小数展開は、どこまでも続き、循環しない。そこで一つ聞いてみる。その数字の列に、7が百個続けて現れる場所はあるだろうか。
まだ探索では答えの出ていない問題として考えてみよう。計算を続け、一兆桁まで進んでも見つからなかったとして、その探索だけで、この先も決して現れないとは証明できない。「今まで見つからなかった」は、いつまでたっても、それだけで「これからも絶対に現れない」にはならない。有限回の手順で、あるかないかの答えを出せる方法が手元にないかぎり、どちらの答えも手にしてはいない。
それでも排中律によれば、「ある」か「ない」かの、どちらかではある。しかも証明の中で、この二分をそのまま使ってよい。まず、あると仮定して推論を進める。次に、ないと仮定して進める。両方から同じ結論にたどり着けば、その結論は成り立つ。
ブラウワーが止めようとしたのは、この一手だった。日常の二者択一に反対したのではない。「まだどちらも手にしていない」から、「それでも必ずどちらかなので、この場合分けを証明の中で自由に使ってよい」へと飛ぶ、その飛躍に反対したのである。
本人の言い方は、もっと鋭い。排中律は普遍的に信頼できるのか。この問いは、「永久に解けない数学の問題は存在しないのか」という問いと、実は同じだという。そして、後者はまだ誰にも証明されていない。
排中律はどこでも間違っている、と言ったのでもない。一つずつ判定できる有限の探索や、ほかにも本当に判定できる問題では、使ってかまわない。彼が立ち入りを禁じようとしたのは、答えを手にできない、あの領域だけだった。
四 あるとは証明できても、取り出せない
ここまでは、まだ抽象的な一言をめぐる争いである。はっきりさせるには、一度、実物を見てみるといい。この一例を見れば、あとはすべてついていける。これ以上、数学を一行も足す必要はない。
先に二つ、言葉を用意しよう。一つは無理数。第二回で見たように、√2は二つの整数の割り算では表せない。そういう数を無理数という。もう一つは、べき乗、つまり何乗かすることだ。2の3乗とは、2を三つ掛け合わせること。指数は整数とはかぎらず、ほかの数の場合は別に意味を定める必要があるが、定めれば、やはり一つの決まった数になる。あとで使うことが、もう一つある。べき乗したものをさらにべき乗するとき、二つの指数は掛け合わせる。
では、問題。二つの無理数を取り、一方を底、もう一方を指数にしてべき乗したら、答えがちょうど有理数になる。そんな組はあるだろうか。
古典的な証明は、たった二行だ。
まず√2を、√2乗する。こうしてできた数を、ひとまず「あの数」と呼んでおこう。
あの数は、有理数か、有理数でないかのどちらかだ。
あの数が有理数なら、もう終わりである。底は√2、無理数。指数も√2、無理数。結果は有理数。求める一組が、ここにある。
あの数が有理数でなければ、無理数である。今度は使い方を変え、あの数を底にして、もう一度√2乗する。指数どうしを掛けると、√2が二つで2になる。だから結果は√2の2乗、つまり2だ。2は有理数。一方、底はあの数だから無理数で、指数も√2だから無理数。こちらにも一組ある。
この二つの場合で、すべての可能性を尽くしている。したがって、そのような無理数の組は必ず存在する。
では、この証明が何を渡してくれたか、見てみよう。
その組が必ずあることは証明した。だが、それがどの組なのかは教えていない。初めから終わりまで、あの数が有理数なのかどうか、一度も判定していないからだ。言っているのは、どちらであっても一組ある、ということだけである。
ブラウワーが言いたかったのは、これに尽きる。
一方の言い分はこうだ。条件を満たす実例、つまり「証人」は必ずある。なければ矛盾する。もう一方はこうだ。これがその証人だ。つくって見せよう。古典数学では、どちらも存在を証明したことになる。彼にとっては、この二つは同じではなかった。
この例の出どころについては、一言断っておきたい。後の時代の授業でよく使われる例であって、1908年の短い論文に書かれているものではない。ブラウワーがそのとき論じたのは、一般的な原則だった。この例は、その原則を、一分もあれば見届けられる一件に凝縮している。だから使い勝手がいい。
非構成的だからといって、対象が永久に見つからないわけでもない。この場合分けの証明が決めずに残した点は、後に新しい定理によって判定できるようになった。ヒルベルトが1900年に掲げた問題一覧の第七問は、まさにこの種の数を問うていた。1934年、ソ連のゲルフォントとドイツのシュナイダーが、それぞれ独立に答えを出した。それによって、あの数は有理数ではないとわかった。実際の組は、二つ目の場合にある。底はあの数で、指数は√2である。だが、だからといって、元の証明までさかのぼって構成的なものに変わるわけではない。争っていたのは、その対象の行く末ではなかった。この証明が何を渡したか、だったのだ。
ここまでくれば、この論争の全容は、誰にでも示せる。あとは人間の話になる。
五 ヒルベルトは要求を置く場所を変えた
ヒルベルトが数学の基礎を問うようになったのは、ずっと早い。1900年にパリで掲げた問題一覧には、すでに算術の公理系の無矛盾性が入っていた。1904年から1905年には、算術と論理に共通する土台を、直接扱おうとした。1917年には再び本腰を入れる。ふつうヒルベルト・プログラムと呼ばれる構想が形になったのは1920年前後で、1921年に講演され、1922年に公刊された。
プログラムには、二本の柱があった。まず、古典数学の十分に広い範囲を形式化する。次に、厳しく制限された有限的な手段で、それらの形式体系から矛盾が導かれないことを証明する。
いちばん巧みなのは、その構想が、実は相手からの圧力を一部受け入れていることだ。
彼は数学を二つの層に分けた。下の層は、内容を持つ有限数学である。具体的な数字の記号、有限の長さの列、有限回で終わる手順。直接見られ、数えられ、確かめられるものだ。上の層には、古典解析や集合論に出てくる無限の対象がある。こちらを彼は、「理想的」な要素と呼んだ。
構成的な意味のない部分は削り落とせ、というのがブラウワーの要求だった。ヒルベルトは答える。削る必要はない。下の層から確かな方法で、それが矛盾を招かないと証明できればいい。
だから彼は、構成を求める要求そのものを拒んだのではない。その要求を置く場所を変えたのである。
ブラウワーは、数学のすべてを構成から始めるよう求めた。ヒルベルトは、数学を研究する側の層を構成から始め、その層から古典数学に保証を与えようとした。もっと短く言えば、構成的な方法で、非構成的な数学を守ろうとしたのだ。
二人を「形式主義対構成主義」と並べるだけでは、だから共通点が見えなくなる。どちらも、最後の確かさを、人が把握できる何らかの構成の活動に求めていた。違いは、その要求をどの層に置くかにあった。
すべては無意味な記号にすぎない、とヒルベルトが言ったこともない。論理的推論を信頼するためには、まず直接つかめて、隅々まで見通せる離散的な対象が必要だと、はっきり述べている。彼の証明論では、それは数字、式、証明といった、有限の記号の配置だった。「形式主義」は陣営の略称としては便利だが、彼の哲学そのものの定義にすると間違う。
1921年、向こう側から一人の声が上がった。その声がこれほど響いたのは、声の主が身内だったからだ。
ワイルは、ヒルベルトのかつての教え子の中でも、とりわけ優秀な一人だった。この年、「数学の新たな基礎の危機について」を発表し、公然とブラウワーの側へ傾いた。もっとも有名な一節は、おおよそこういう意味である。ブラウワー。これこそ革命だ。
ここで「革命」は飾りではない。ブラウワーは、使い慣れた無限についての推論を、数学にいくつも手放させようとしている。ワイルはそう考えた。それは穴をふさぐ修繕ではなく、何を意味のある証明と認めるか、決め直すことだった。
誰かが反対した。それだけなら、ここまで刺さりはしなかった。言ったのは、クロネッカーのような旧世代の保守派ではない。自分が育てた弟子であり、しかも当代でも指折りの創造的な数学者だった。
ヒルベルトはほどなくハンブルクでの講演で応じ、翌年「数学の新たな基礎づけ」を公刊した。そこでの言葉を言い換えれば、こうなる。ワイルとブラウワーはクロネッカーの足跡を踏んでいる。数学を救おうとして、厄介なものをすべて船から捨てるのは、この学問を切り刻むことだ。ブラウワーは、ワイルの言うような革命ではない。古い手口による、失敗したクーデターの再演にすぎない。かつての一撃はもっと激しく、それでも完全に敗れた。今やこの国はフレーゲ、デデキント、カントールに武装され、堅く守られている。今度の企てには、初めから成功の見込みがない。成熟したあのプログラムは、この対峙のさなかに、自分が何をするのかを言い切ったのである。
だから1921年、かなり専門的な問題を陣営どうしの争いに変えたのは、ブラウワー本人というより、相当の部分でワイルだった。ヒルベルトの学問を継ぐ者自身が立ち上がり、あちら側こそ革命を担っている、と宣言したのだ。
六 一九二八年
ここまで見てきたのは、紙の上での二人の相違だった。だが、次の出来事は紙の上から生まれたのではない。話は第一次世界大戦後の国際的な学術秩序から始めなければならない。排中律から始めてはいけない。
戦後かなりの間、ドイツと戦時中の同盟国の科学者たちは、新設されたいくつかの正式な国際協力の枠組みから排除されていた。1928年のボローニャ国際数学者会議は、その時期がほぼ終わったことを示した。最終的に七十人余りのドイツ人数学者が参加した。開催国イタリアに次ぐ、二番目に大きな代表団であり、ヒルベルトが事実上その先頭に立っていた。
ブラウワーの立場は逆だった。彼の目には、復帰の条件はまだ対等ではなかった。ドイツ人はそのような条件での復帰を受け入れるべきではないと考え、ドイツの数学者たちに、積極的にボイコットを呼びかけた。
この立ち位置は興味深い。ブラウワーはオランダ人なのに、ドイツ数学界の名誉を守る側に自分を置いた。もともとドイツ語圏の数学界との結びつきは深かった。主要な論文を長年ドイツの雑誌に発表し、自らも、ドイツでもっとも重要な数学誌の編集陣に連なっていた。「ドイツはボイコットすべきか」に口を出したのは、無関係の外国人が突然発言したのとは違う。しかしドイツ人ではないからこそ、ドイツの同業者には、その介入が越権と映りやすくもあった。一方、ドイツ数学界でも最高の名声を持つ一人だったヒルベルトは、会議に参加し、交流を回復しようと唱えた。大半のドイツ人数学者は、結局そちらの道を選んだ。
これをなお排中律の争いと呼ぶのは、もう無理がある。
ゲッティンゲンの文書館には、政治的な内容の講演原稿が三ページ残っている。ヒルベルトの妻が清書した可能性が高い。結びの趣旨は、数学は人種を知らず、数学にとって文化世界全体が一つの国である、というものだ。ところが会議の記録、当時の報道、関係者の往復書簡を一つずつ調べても、ヒルベルトがボローニャで実際にこの原稿を読み上げたと示す証拠は、一つもない。
ここは、それだけで立ち止まる価値がある。残ったのは国際主義を記した原稿用紙であって、それが公の場で声になったという証拠ではない。
ブラウワーは1914年から『マテマティッシェ・アナーレン』の編集に携わっていた。この年の秋で、すでに十四年になる。
同じ年の10月27日、ラーレンの自宅に、突然一通の電報が届いた。それで彼は、『マテマティッシェ・アナーレン』の編集部を再編する動きが、もう始まっていると知った。
争いが噴き出したきっかけは、公表された哲学の論文ではなかった。編集部からの事務的な通知という姿で、それは一人の人間の家へ踏み込んできた。
手続き上、ヒルベルトに、雇い主のように別の編集者を一方的に解任する権限はなかった。最後に採られたのは、もっと徹底していて、もっと物議を醸す方法だった。出版社が前面に出て、旧編集委員会を丸ごと解散し、すぐに新しい委員会をつくる。その新しい名簿に、ブラウワーはいなかった。
ほかの編集者が一致して支持したわけではない。カラテオドリはヒルベルトのやり方に強く反対し、アインシュタインも、強引な排除に反対する側に立った。電報の数日後、11月2日、ブラウワーはブルーメンタールとカラテオドリにそれぞれ手紙を書き、自分の立場を弁明するとともに、この措置に反撃した。記録は完備していないが、少なくとも一通は写しが残る。黙って受け入れたのではなかった。
動機については、判定できない。
一つの説明はこうだ。ヒルベルトは高齢になり、健康に不安を抱えていた。自分が死ねば、ブラウワーがあの雑誌で強すぎる決定権を手にするのではないかと恐れた。この話には根拠がある。カラテオドリ、ブルーメンタール、ボルンといった身近な人々が、当時の手紙でそう書いている。11月16日にブルーメンタールが出版社と編集者たちへ送った手紙、11月20日にボルンがアインシュタインへ送った手紙にも、この説明が記されている。だが、それらが伝えるのは、周囲の人がそのときどう説明したかであって、本人が何を認めたかではない。
ブラウワー自身の説明は違っていた。ヒルベルトの敵意の一部は、1919年に自分がゲッティンゲン側の用意したポストを受けなかったことにさかのぼる、と彼は見ていた。これは、雑誌の主導権をめぐるヒルベルト周辺の説明とは別の話だ。現存する史料からできるのは、両方の言い分を並べることまでである。どちらかの心理的説明を唯一の真相と決めることは、できない。
出来事の骨格そのものは、かなり堅い。ヒルベルトが仕掛け、カラテオドリとアインシュタインが反対した。出版社は解散と再編の手続きを使い、ブラウワーは排除され、抗議した。わからないのは、ヒルベルトの胸中で、いくつもの思いがそれぞれどれだけ重かったかだけだ。
ここは一つ、覚えておきたい。文書の日付は、たいてい人物の動機より確かだ。本人の言葉は、たいてい後世の因果の筋書きより確かだ。
従来の語り方は、こんな鎖でつながっている。ブラウワーが排中律に反対し、ヒルベルトが古典数学を守る。二人の争いが激しくなり、ついにヒルベルトがブラウワーを編集部から追い出す。
つながりがよすぎる。だから疑わしい。1928年前後の手紙や記録を並べ直すと、この鎖は緩んでしまう。時系列をたどれば、編集部の危機の直接のきっかけは、ボローニャをめぐるボイコット論争だった。そしてボローニャの争い自体は、戦後の国際政治の問題であって、論理学の問題ではない。近年の史料研究は、ワイマール期のドイツ数学界内部の緊張と、あの雑誌の主導権争いに重点を移し、最後の衝突における純粋な思想上の対立の比重を下げている。思想の相違が重要でなかった、という意味ではない。思想が違うからといって、それだけで編集部の再編が起こるわけではない、ということだ。
より確かな整理なら、三つに分けられる。哲学上の対立は、長年の敵対を語る言葉を与えた。国際政治は、1928年の導火線を用意した。編集権と後継をめぐる不安は、なぜ衝突が「編集部から人を外す」という形で噴き出したかを理解する助けになる。ただし、実際にどの動機がどれほど働いたのかは、なお判定できない。
七 あの定理に戻る
この出来事は、ブラウワーに大きな打撃を与えた。その後、国際数学界の公の舞台で活動することは、ずっと少なくなる。伝記にはよく「孤立」や「撤退」という言葉が使われる。それ以上に強い心理的な描写を、史料は支えない。確かなのは、ヒルベルトを中心とする人々との従来の協力関係が、完全に切れたことだ。
しかし、1928年以後の彼が立ち止まったわけではない。弟子のハイティングがその考えを押し進め、1930年前後には、直観主義論理が形式化された形を得た。本人も、選択列などの考えを発展させつづけていた。1934年には新しい雑誌の創刊に加わり、1935年からはブラリクムの地方政治にも関わった。あの年に失ったのは、国際的な権力のつながりの中での地位であって、彼の思想ではない。
これで、コーヒーカップに戻れる。
まず、定理に至る経緯をはっきりさせよう。一人の人が、ある一日に完成させたものではないからだ。1904年にはすでに、ボールが三次元について関連する結果を得ていた。ブラウワーは1909年前後から対応する結果を得はじめ、1910年にはアダマールが一般の次元での議論を示した。その後、ブラウワーは独自の位相幾何学的な方法で、彼の名と固く結びついた形を打ち立てた。文献に出てくる年は一つではない。1909年も、1910年も、1911年もある。論文が違い、定式化も違うからだ。ここに発明の日はない。あるのは、一つの過程である。
大事なのは、別のことだ。これら初期の証明は古典的な証明であり、後に成熟する彼自身の基準を満たしていなかった。
若いころはまだ直観主義者ではなかった、という話ではない。1907年から1908年には、中心となる立場はすでにできていた。実際の順序はこうだ。まず基礎についての哲学を示し、続く数年間は古典的な位相幾何学に力を注ぐ。当時ふつうに用いられた古典的な方法で大きな成果を上げ、その後、直観主義の数学を体系的につくり直す仕事へと戻った。
だから彼を有名にした定理は、ある具体的な事実を、そのまま示すものになった。古典的な証明は、「どこかに必ず動かない点がある」と認めさせることができる。だが、与えられた動かし方から、その点の位置を計算する方法まで渡すとはかぎらない。後に彼が「ある」に課す要求は、まさにここでぶつかる。
1952年、彼は自ら、わずか二ページの短い論文を英国王立協会の刊行物に発表した。題名を日本語にすれば、「球面上の不動点定理の直観主義的修正」である。
そこで向かった先は、近似による言い方だった。まったく一般的な条件のもとで、厳密な不動点を構成できると断言するかわりに、別のことを証明する。どんなに小さな距離でも、先に指定してもらえば、動く距離がそれより小さい点を構成できる、というのである。
この二つの言い分がどうつながるか、見ておく価値がある。これまでの数節が、ここで一本につながるからだ。
「いくらでも近づける」から「まったく動かない点がある」への移行は、古典数学ではできる。支えているのは、コンパクト性についての原理だ。コンパクトな領域に点の列があれば、古典数学では収束する部分列を取り出し、連続性を使って不動点を得られる。だが、こうした無条件の点列コンパクト性を、直観主義の数学へ一般にそのまま持ち込むことはできない。必要な部分列と極限点を構成できるとは、保証されないのだ。
したがって、古典理論の厳密な不動点の結論が反駁されたわけではない。変わったのは、直観主義で認められる論証と結論である。任意の精度で近似できることを、厳密な不動点を構成したことへと、無条件で格上げするわけにはいかない。
ブラウワーは後に自分の不動点定理を否定した、とよく言われる。実際にしたことは、それより限られている。直観主義的な修正を発表し、古典的なあの議論にはつくり直しが必要だ、としたのである。古典的な定理を偽だとすることと、直観主義の基準に合わせて命題の言い方と証明を改めることは、同じではない。
あの定理は間違っている、と彼は言ったのではない。あの証明は、自分が求める意味での「ある」を渡してくれない、と言ったのだ。
1952年のあの題名と、1907年の博士論文を並べてみる。一人の人間が、四十年以上をかけて、二十代の自分を有名にした仕事に立ち返り、修正する。その理由は、二十代のときに、すでに自分の口で述べていた一言だった。
八 何が残ったのか
まず、起こらなかったことから言おう。
排中律は、数学から追放されなかった。今日の解析、代数、集合論でも、非構成的な存在証明は盛んに使われている。その意味では、ブラウワーは数学界を説得して、古典的なやり方を捨てさせることはできなかった。日々の実践も、大幅には変わらなかった。ふつうの解析学者、代数学者、幾何学者が、1908年のあの短い論文を読んで排中律を使わなくなった、ということはない。直観主義は重要な伝統へと育ったが、主流に取って代わりはしなかった。
ここには、前の回で見たのと同じ問題がある。
当事者たちの言葉が、すでに戦争の言葉になっていた。ワイルは危機や革命と書き、ヒルベルトはクーデターと書く。後には、あの編集部騒動まで「蛙と鼠の戦い」と題される。こうなると1920年代を、二つの陣営が正面から突撃し合った時代として描くのはたやすい。蛙と鼠という表現には、実際に書簡の裏づけがある。ファン・ダーレンの史料研究が引用している、1928年11月27日付のアインシュタインからボルンへの手紙だ。アインシュタインはこの争いをそう呼び、同時に、どちらの側にも加わるつもりはないと記している。
では、本当に変わったのは何なのか。
深く変わったのは、証明そのものを数学の対象として研究する力だった。ある原理は、どれほど強い論理を使うのか。どの定理には構成的な内容があるのか。一つの体系が、自分自身の安全を証明できるのか。以前なら哲学寄りだった問いが、技術的な研究分野になった。言い換えれば、数学者がふだん考えずに済ませていたことから、新しい数学が生まれたのである。
ブラウワーが勝ち取ったのは、別のものだった。それ以後、「存在を証明する」と「そのものをつくる」の間に違いがないふりは、もうできなくなった。直観主義論理は、精密に研究できる独立した論理体系になった。そして「存在証明から証人を取り出せるか」「この証明には、やり方も含まれているか」は、後の論理学や計算機科学で、ごく普通に問われることになった。
ヒルベルトも、歴史上の敗者ではない。もともとの壮大な目標は、後に越えられない限界に突き当たる。だが、証明論、形式化、相対的無矛盾性といった研究分野は、彼のプログラムから育ったものだった。
革命だと声を上げたワイル自身も、ずっとそちら側にいたわけではない。ブラウワーの要求に従うと、彼が何より大切にしていた理論物理を支えられる数学が見つからなかった。1920年代半ばには、すでに少しずつ引き返していた。1946年にこの論争を振り返った言葉は、おおよそこういうものだ。この危機は、もう半世紀近く続いている。表面上は毎日の仕事に支障はない。それでも、自分の数学者としての歩みに現実の影響を及ぼしたことは認めなければならない。自分がより安全だと思う分野へと関心を向けさせ、研究への情熱と決意を、ずっと削りつづけてきたのだ、と。さらに彼は言う。人間が関心を寄せ、知り、苦しみ、創造する、その営み全体の中で、自分の研究が何を意味するのか。それに無関心でさえなければ、ほかの数学者もおそらく、同じ経験をしているはずだ。
直観主義も、一、二、三と数えることしかできない数学ではない。ブラウワーは1918年から1919年にかけて、集合、連続体、解析の再建を始め、後には選択列などの道具を発展させた。貧しい数学だったわけではない。失われたり変わったりしたのは、一部の古典的な定理の形である。古典的には一つの命題だったものが、そこでは互いに違ういくつかの命題に分かれる。「厳密な対象が存在する」が、「存在しないことはありえない」にまで弱まることがある。「厳密な零点が必ずある」が、「零点にいくらでも近づける」にまで弱まることがある。
今日の構成的数学も、彼の数学の複製ではない。ハイティングは1930年前後に、直観主義で認められる推論規則を形式化した。その営み自体に、少しばかり師に逆らうところがある。ブラウワーは、数学は言語や論理に先立つと考えていた。ところが後の人々は、その見方を研究し、使うために、一つの形式論理へとまとめなければならなかった。さらに後には、証明には計算可能な内容が必要だという要求を守りながら、心についての彼の哲学全体は受け入れない、別の道も生まれた。
ブラウワーの数学は、もっとも控えめな立場だったわけでもない。連続体や選択列について、かなり独特な原理を認めていた。その一部は、後の計算可能なものだけを認める構成主義者には、むしろ強すぎると映る。だから、直観主義、有限主義、計算可能性を、同じ意味の言葉として使ってはいけない。
だから残った問いは、「排中律を信じるべきか」ではない。もっと細かな問いである。何かがあると言うとき、自分はいったい何を手にしたのか。
何かがあると言うことと、それを取り出してみせることは、二つのことだ。
日常では、この二つはいつも重なっている。だから誰も分けようとしない。冷蔵庫に牛乳があると言うのは、取り出してみせられるからだ。ところが、ある一か所で、この二つが離れる。なくてはならないと証明できるのに、そのもののところへは、一歩も近づけない。
1908年にこの区別が持ち出されたとき、それを問題だと思う人は、ほとんどいなかった。今は毎日、その問いに答えが出されている。証明を機械に検査させ、証明からプログラムを取り出すからだ。そこまで来ると、「この証明には、やり方も含まれているか」は、もう哲学的な一言ではない。測ることのできる指標になる。そういう道具は、すでにある。形式的な証明を与えると、中にある手順を、そのまま実行できるコードとして取り出してくれる。ただし、どんなプログラムを抽出できるかは、形式体系、使う公理、命題の形、そして計算的な解釈によって決まる。排中律を使うかどうかは、その一要因であって、唯一のスイッチではない。翻訳を施せば、古典的な証明から計算内容を取り出せる場合もある。また、証明の検査とプログラムの抽出は、そもそも別の仕事である。
ここまでで定めたのは、何をもって「ある」とするかだった。まだ定めていないことが、もう一つある。証明そのものの境界は、どこにあるのか。
ヒルベルトの方法では、まず一つの仕事を仕上げる必要があった。それらの体系から矛盾は導かれないと、しかも、もっとも確実な手段で証明することだ。1928年のボローニャでも、彼はなお楽観的だった。算術の無矛盾性は、もうすぐ解決すると思っていた。
その二年後、ケーニヒスベルクの会議で、二十四歳の、当時まだほとんど知られていなかった若者が、一つのことを告げる。
数の計算は続いている。だが、何を数学と数えるのかは、いまだ決着がついたためしがない。
史料と関連文献
以下は、本文で取り上げた歴史上の細部や解釈の相違に関する資料である。所蔵記録、古代の文学、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。