数学 · 17 / 25
算術に算術自身を語らせる
ゲーデルは論理式と証明を自然数に符号化し、形式化された算術が自分自身について証明できることの限界を、正確に示した。その限界は理性の破産ではない。「体系」と呼ばれるあらゆるものが逃れられない運命でもない。
一 一日違い
1930年9月7日、ケーニヒスベルク。ある会議の最終日、全体討論の席で、24歳の青年が短く発言した。
彼のために開かれた会議ではない。その発見を発表する講演でもなかった。会議の名は、第2回精密科学の認識論会議。地元の数学者ライデマイスターらの働きかけで、9月5日から7日まで開かれた。主題は二つ。数学の基礎と、量子論が投げかける認識論上の問題だった。数学の基礎を扱う部会では、当時の主要な立場が、意識して並べられていた。カルナップは論理主義を、ハイティングは直観主義を、フォン・ノイマンはヒルベルトの構想を、ワイスマンはウィトゲンシュタインの影響を受けた立場を語った。ハーンも、この部会の討論に加わっていた。
ゲーデルの名で正式な議題に載っていたのは、別の成果だった。一階述語論理の完全性である。前年に得たばかりの、可能性を開く側の成果だった。ここでいう完全性とは、一階述語論理で意味の上から帰結することは、すべて形式的な推論でも導けるという意味である。ある一組の算術の公理から、その言語で書けるどんな文についても肯定か否定かを決められる、という意味ではない。この二つの完全性は、混ぜてはいけない。
不完全性の話が出たのは、最終日の全体討論だった。発表題目も、独立した発表枠もない。会議録では、日曜日の討論と補記の中に収められている。発言の趣旨はこうだった。形式体系が無矛盾であっても、その内部では証明も反証もできない算術の命題が生じうる。
翌9月8日、同じ町の別の会場。ドイツ自然科学者・医師協会の大会で、ヒルベルトが「自然認識と論理」と題して講演した。68歳だった。結びの二つの言葉は、その後、数え切れないほど引用されることになる。私たちは知らねばならない。そして、必ず知る。その直前には、よく省かれる一文もあった。認識において、原理的に「知ることはない」とされるものは存在しない、という趣旨である。講演原稿は正式に刊行され、当時のラジオ放送の録音も残っている。
二つの出来事の間は、一日。順番はゲーデルが先、ヒルベルトが後だった。
いちばんよく語られる筋書きは、こうだ。ヒルベルトが「必ず知る」と宣言したとき、その前日にはもう、一人の青年が彼の誤りを証明していた。
この筋書きでは、一つ一つの材料は合っている。証拠がないのは、ただ一つ。それらを結ぶ因果関係だ。
ヒルベルトが9月8日の講演より前に、前日の発言を知っていたと確かめられる資料はない。あの二つの言葉が誰かへの応答だったと示す資料は、なおさらない。講演にはそれ自体の来歴があり、題目も論旨も、この一件に合わせて急ごしらえされたものではなかった。同じ町にいて、隣り合う会議に出ていたことは、その発言の場に居合わせたことを意味しない。
さらに大事な違いがある。ヒルベルトの言葉は、数学と科学の認識全般に対する信念だった。ゲーデルの定理は、ある与えられた形式体系の内部で何が証明できるかを述べている。日付が本当に一日しか離れていなくても、この二つが論理的に互いを否定しているわけではない。
日付が近いのは事実である。二人の間に描かれたあのドラマには、証拠がない。
この定理は後に、数学史上でもとりわけ頻繁に借り出される定理となった。借りてきた人が語るのは、たいてい、定理自身が語っていないことだった。
二 何を直撃したのか
この定理が何を直撃したのかを知るには、まずヒルベルトが何をしようとしていたかに戻る必要がある。前回見たように、彼は数学を二層に分けた。下の層は、内容をもつ有限的な数学。具体的な記号、有限の長さの列、有限の手順である。直接見て、数えて、確かめられる。上の層には、古典解析や集合論で扱う無限の対象がある。彼はそれを「理想的な要素」と呼んだ。
上の層は、あってもなくてもよい飾りではなかった。第13回で見た数え尽くせない集合も、第15回で公理によって囲い直された対象も、微積分と現代解析の全体も、そこに属する。それを捨てるとなれば、200年かけて築いた数学の大半を返上するに等しい。構成的な意味をもたない部分は削るべきだ、と求めたのがブラウワーだった。だが、多くの数学者は承知しなかった。
ヒルベルトの答えは、捨てずに保証することだった。下の層から出発して、上の層からは矛盾が導かれないと証明する。
矛盾というと、計算を間違えた程度のことに聞こえるかもしれない。そうではない。体系から矛盾が導けるとは、ある文と、その否定の両方を証明できるということだ。通常の論理では、ひとたびそれが起きると、一か所の間違いでは済まない。体系全体が用をなさなくなる。矛盾し合う二つの文からは、どんな文でも導けるからだ。何でも証明できるのなら、何も証明していないのと変わらない。
だから彼が求めたのは、計算に間違いがないかもう一度見直すことではなかった。この体系からは決して矛盾が出ない、と約束する保証書である。しかも、その保証書は、最も確かな手段だけで書かれなければならない。いま保証しようとしているものを、保証のために借りてくるわけにはいかなかった。
これは、ひどく控えめで、ひどく明瞭な要求だった。数学的対象は本当に存在するのか、無限を認めてよいのか、とは問わない。問うのは一つだけだ。このやり方で計算を続けていったら、いつかゼロが一に等しいという答えが出てしまわないか。
1928年のボローニャでも、ヒルベルトはまだかなり楽観的で、算術の無矛盾性の問題は解決が近いと考えていた。アッカーマンは1920年代に重要な試みを重ねていたが、それらの証明に穴があると分かったのは、後のことだった。
1930年9月のあの短い発言が突き当たったのは、この構想だった。
三 構文を数に変える
ここから先が、この回で唯一、少し腰を据えて読んでほしいところだ。とはいえ、することは一つしかない。まず二つの層を分けよう。形式化された算術は、もともと何について語っているのか。自然数、足し算、掛け算、そして数についての言明である。一足す一は二に等しい、というのはこちら側の話だ。
もう一つの層は、人が体系の外に立って、その体系について語る言葉である。この記号列は正しく作られた論理式だ。この行は公理だ。この数十行を合わせると一つの証明になる。この論理式は証明できる。こちらは普通、メタ数学と呼ばれる。話題は数ではなく、記号と証明である。
ゲーデルがしたのは、この第二の層を第一の層の中へ訳し込むことだった。どうやるのか。
まず、その形式言語を構成する基本の記号に、一つずつ番号を振る。
次に、記号の列、つまり一つの論理式を、丸ごと一つの数に符号化する。
さらに、論理式の列、つまり証明の候補も、一つの数に符号化する。
符号化の方法そのものは、神秘でも何でもない。後の研究者はさまざまな方法に置き換えたが、結果は変わらなかった。大事なのは二点だけだ。符号化したものから元の形を一意に復元できること。そして、復元に使う操作がすべて初等的な計算で済むこと。これ以上平たく言い換えるのは難しいが、一つだけつかめばよい。数の中に詰め込めて、元どおり取り出せるなら、一文字も失われてはいない。
符号化すると、何が変わるのか。「これは正しく作られた論理式だ」は、「この数はある性質をもつ」に変わる。「これは公理だ」は、また別の数の性質になる。「この数はある証明を表し、その最後の行は、別の数が表しているあの文である」は、二つの数の間の関係になる。
そして、こうした数の性質や関係は、十分に強い算術の中で表現できる。理由は素朴だ。形式的な証明が正しいかどうかを調べるのは、もともと一段ずつ進める、有限の機械的な作業だからである。
算術が語るのは、相変わらず自然数だけだ。言葉を話すようになったわけではない。変わったのは、ある自然数が、論理式や証明の名前をも兼ねるようになったことだ。そこで、自然数についての算術の文が、間接的に「ある文には証明がある」とか、「あの文の証明を符号化した数は一つもない」といったことを言えるようになる。
最後にもう一歩、しかも最も精巧な一歩が残っている。「ある文を表す番号を、その文自身に代入する」という操作まで、算術に符号化するのだ。これを済ませると、ある文を作ることができる。その文が述べる算術上の事実は、ちょうど「この文の証明を符号化した自然数は、一つもない」に対応している。
教科書では、これをよく短い決まり文句で説明する。「この文は、自分が証明できないと言っている」。覚え方としてはそれでよい。ただし、1931年の論文に登場する文が、字面どおりそう言っているのではない。その文は最初から最後まで自然数を扱い、符号化と証明の間にある算術的な関係を述べている。日常の言葉で「この文は偽である」と言うのとは、別のことなのだ。別だからこそ、無矛盾な体系の中で、いきなり矛盾を爆発させずに済む。
この回の題名が意味するのは、正確にはこのことだ。算術に意識が芽生えたのではない。記号と証明を数にしたことで、それまで外から語っていた言葉の一部を、内側へ持ち込めたのである。
四 三つの条件
これで、定理が何を述べたのかを話せる。論文が載ったのは1931年、数学と物理の月刊誌の第38巻だった。原誌のページで数えると26ページ。原稿には、1930年11月17日受付と記されている。題名はおおよそ「『プリンキピア・マテマティカ』および関連する体系における形式的に決定不能な命題について、第I部」という意味だ。ここでいう『プリンキピア・マテマティカ』は、ホワイトヘッドとラッセルによる全3巻の著作であって、数学の原理一般ではない。「関連する体系」とあるのは、証明があの一つの記号体系に限られず、形式化された算術や集合論のかなり広い範囲に移せるからだ。末尾の「第I部」にも事情が残っている。ゲーデルは続編を考えていたが、当初の予定どおりには書かなかった。
現在よく使われる形で言えば、およそ次のようになる。無矛盾で、実効的に公理化でき、しかも初等算術を十分に表現できる形式理論には、その理論自身の言語で書かれた、その内部では証明も反証もできない文が必ずある。
三つの条件は、一つも削れない。順に見よう。
無矛盾であることが必要な理由は、すでに見た。矛盾を導ける体系では何でも導けるのだから、「証明できない文があるか」と問うこと自体が意味を失う。ゲーデルが言ったのは、矛盾があろうとなかろうと独立な命題がある、ということではない。まだ自壊していない体系であっても、完全にはなれない、ということだ。
実効的に公理化できるという条件は、誰も手に入れられない真理の一覧表によって、公理や証明があらかじめ指定されている場合を除くためにある。厳密にいえば、現在の定式化では、与えられた文が公理かどうかをそのつど判定できるアルゴリズムまでは要求しない。公理または定理を、機械的な手順で一つずつ列挙できればよい。公理の集合が実効的に列挙できても、ある文がそこに属するかを判定できるとは限らない場合には、使った公理が列挙の過程に実際に現れたことを示す有限の証拠を、証明に添えればよい。そうすれば、証明全体を調べる作業は、依然として機械的な有限操作で済む。「ある数が一つの証明を符号化している」ということも、算術の中に符号化できる。
この条件が何をせき止めているかは、一つの反例を見るのが早い。標準的な自然数について真である算術の文を、すべて集めて一つの理論にしてしまう。その理論は、ある意味で完全だ。どの文についても正しい答えがそろっている。だが、その一覧表こそが、実効的には公理化できないものなのである。手順に従って手に入れられる一覧ではない。
十分に強いという条件は、先ほどの符号化を支えられるだけの初等数論の力を求めている。有限列や代入、基本的な計算を扱い、「この数は、あの文の証明を表す番号である」といった関係を表現できるだけの力だ。
微積分も、実解析も、高度な数論も要らない。この敷居は、驚くほど低い。
どこまで低くできるかは、別の回で扱おう。ここでは、敷居がどちら側にあるかだけを覚えておけばよい。「高度な数学をたくさん含む」ことではない。「ごく基本的な計算と、有限の記号列の構文を符号化できる」ことである。
いまの整った言い方が、そのまま1931年の論文に書かれていたわけではない。ゲーデルの元の証明は、「その文も、その否定も証明できない」という両方向の結論を得るために、普通の無矛盾性より強い条件を使っていた。1936年、ロッサーが自己言及する文の作り方を変え、必要な条件を通常の無矛盾性まで下げた。だから、今日の教科書に載る形の背後には、実は二人の仕事がある。
三つの条件を見たが、まだ一つ残っている言葉がある。「真」だ。第一不完全性定理の最も基本的な結論は、ある文が、ある理論の中では証明も反証もできないということ。その文が標準的な自然数について真かどうかを言うには、外側でどんな解釈と仮定を用いているかを明らかにしなければならない。通常の構成によるゲーデル文なら、その理論が無矛盾であるだけで、標準的な自然数について真であることを外から導ける。その理論のすべての定理が真であるという、追加の仮定までは要らない。だが、それで人間がその無矛盾性を無条件に知れるようになるわけではない。「この体系の中では決定できない」と書くなら正確だ。「人類は、永遠に証明できない絶対的真理を見抜いた」と書くなら、もう別の話をしている。
五 三日
第二不完全性定理の趣旨はこうだ。無矛盾で、実効的に公理化され、十分に強い算術の理論は、通常の証明の符号化、所要の導出可能性条件を満たす証明可能性述語、標準的な無矛盾性の文を用いるかぎり、「この体系から矛盾は出ない」ということを、自分自身の内部では証明できない。
いちばん強く読まなければならないのは、「自分自身の内部では」の部分だ。どんな理論についても、無矛盾性の証明は不可能だと言っているのではない。強い理論から、より弱い理論の無矛盾性を証明することはできる。後の証明論では、ごく日常的な仕事となった。定理が閉ざすのは、特定の循環である。自分の証明を符号化できるほど強い理論が、実際に無矛盾だとしよう。その理論は、自分が認める通常の手段だけでは、自分の全体を保証する書面を完成させられない。
1936年のゲンツェンの仕事が、まさにこの点を照らしている。彼は、ある序数に至るまでの超限帰納法を用いて、ペアノ算術の無矛盾性を証明した。そのためには、ペアノ算術自身の内部では、その正当性を完全には証明できない、より強い原理が必要だった。定理を覆したのではない。第二不完全性定理が許していることをしたのである。より強い場所から、より弱い場所の安全を保証したのだ。
この定理は、ヒルベルトの構想の最も野心的な部分に当たった。ただし、そこには一つの「もし」がある。当時、その「もし」は、すでに片づいた問題とは見なされていなかった。
第二不完全性定理によって、あの計画にそのまま不可能の判定を下すには、まず一つ認めなければならない。最も確かだと考えられていた有限的な推論の方法を、研究対象となる算術の体系の中へ、忠実に形式化して収められるということだ。
1931年1月、ベルナイスはゲーデルへの手紙で、慎重にこの点を述べている。フォン・ノイマンは、有限的な思考はすべて形式化できると考える方に傾いていた。だが、ベルナイス自身もゲーデルも、その時点では決着済みだと見ていなかった。1930年代半ばになると、従来の有限的方法は、少なくともかなり弱い算術の中で形式化できるという見方が広く受け入れられていく。それにつれて、この定理がもたらした打撃についても、論理学界で標準となる理解が固まった。
だから、「1931年、ゲーデルが一挙にヒルベルト・プログラムを終わらせた」という評価を、当事者全員がその場で一致して受け入れた判断として扱うことはできない。フォン・ノイマンは非常に早い段階で、強い否定的結論に達した。一方、ベルナイスとゲーデルは当初、有限的方法をすべて形式化できるかについて、余地を残していた。
省かれがちなことを、もう一つここで言っておこう。達成できなかったのは、あの構想のうち、最も野心的な目標である。そこから残ったものまで消えたわけではない。形式的証明そのものを調べること、理想的な要素を除去すること、理論どうしの強さを比べること。その技術的な路線は、丸ごと生き続けた。現代の証明論は、かなりの部分まで、衝撃を受けたその伝統が伸びてできた学問である。その墓標ではない。
この出来事の中で、とりわけ証拠がしっかりしているのは、フォン・ノイマンのくだりだ。日付のある手紙が残っている。ケーニヒスベルクの討論後、彼は帰ってから考え続け、いっそう鋭い帰結に気づいた。十分に強い算術体系が無矛盾なら、自然な内部符号化のもとでは、自分の無矛盾性を証明できない。1930年11月20日、彼はゲーデルに手紙を書き、この注目すべき系を見つけたと知らせた。
だが、ゲーデルの論文原稿は、11月17日にすでに雑誌へ届いていた。そこには、この結果も入っていた。
三日差だった。
この三日で、動かせなくなることがある。投稿されたゲーデルの原稿が、時間的には先だった。フォン・ノイマンは、その部分の詳しい内容を手にしないまま、同じ帰結を驚くほど早く、独立に見いだした。投稿の先後は、彼の独立発見を取り消すものではない。かといって、二人の共同研究の成果でもない。フォン・ノイマンが先に発見し、ゲーデルが後から書き足した、という筋書きは、この三日によって成り立たなくなる。
「あの場で理解したのは、フォン・ノイマンだけだった」という話は、よくできている。だが、それを裏づける名簿はない。資料で明確に確かめられるのは一つだけだ。フォン・ノイマンが、深い帰結をすぐにつかんだことには、きわめて明瞭な書簡の証拠がある。ほかの数十人がそれぞれどこまで理解していたかについては、資料がない。
六 知らせはどう広がったか
1931年の論文は、青年が誰もいない空間へ投げ込んだ原稿ではない。当時ゲーデルがいたウィーンには、密なつながりがあった。大学のハンス・ハーンは彼の指導教員であり、数理論理学、数学基礎論、ウィーン学団を結ぶ人物でもあった。ゲーデルはカルナップからも論理学を学んでいる。学生時代から、シュリックの周囲に集まる人々の討論にも通っていた。ただし、討論を聞きに行ったからといって、その学派の一員だったとは限らない。後の彼の哲学は、カルナップとは大きく隔たっていた。
もう一つ、よく抜け落ちる場がある。メンガーの数学討論会だ。こちらは数学に重心があり、シュリックの哲学の集まりとは人の重なりがあっても、同じものではなかった。討論会は独自の論文集を出し、後にはゲーデルの短い論文も掲載した。小論文、討論会、会議、学術雑誌。それらがウィーンでは互いにつながり、速く回っていた。
だから、この知らせが最初に外へ出たのは、ケーニヒスベルクではなくウィーンだった。初期の経緯は、短い期間に詰まっている。1930年8月26日、ゲーデルはカルナップらに核心となる結果を伝えた。9月7日、ケーニヒスベルクの全体討論で公に触れた。11月に投稿し、1931年に正式に刊行された。この四つは、内々の報告、会議での発言、投稿、出版である。互いに取り替えられるものではないし、すべてを「初めての発表」と呼ぶわけにもいかない。
ヒルベルト本人が知った日付は、特定できない。
フォン・ノイマン、ベルナイス、ゲーデルの往復書簡から、ヒルベルトの側の研究者たちには、早くから知らせが届いていたと分かる。だが、それだけでは、ヒルベルト自身がいつ読み、いつ聞き、いつ本当に理解したかまでは分からない。この件についてのゲーデルとヒルベルトの書簡は見つかっておらず、二人が正式に会ったことすら、確実に裏づけられる例はない。
最もよく引用される反応は、ベルナイスの伝えたものだ。第二不完全性定理を知ったヒルベルトは、ひどく怒ったという。ただし、それはずっと後になってからの回想である。ヒルベルトがその日に書いた日記でも、手紙でも、会議録でもない。
本人が公に残した、比較的はっきりした痕跡は、ずっと後のものだ。しかも、少しも劇的ではない。1934年の『数学の基礎』第1巻の序文に、短い言及がある。彼がこの件に直接触れた公刊の文章は、ごくわずかしかなく、これが唯一かもしれない。そこに見えるのは敗北を認める態度ではなく、構想をなお擁護し、修正の道を探る姿勢だ。これらの成果を本格的、体系的に取り込んだのは、ベルナイスが主に執筆した第2巻だった。刊行は1939年である。
人が歴史の中に書き込まれるとき、後からいちばん簡単に描き足されるのが、その人の表情だ。ここにある資料で書けるのは、彼が後に何を書いたかまでである。そのときどんな顔をしていたかまでは、書けない。
ほかの人々の受け止め方も、一様ではなかった。すぐ理解した人もいれば、誤解や抵抗もあった。難航した例として知られるのが、ツェルメロである。ゲーデルとの書簡を見ると、結論そのものや、その及ぶ範囲に異議を唱え、ゲーデルは手紙で説明し直さなければならなかった。ここでも、異議の種類を分ける必要がある。証明のある段階が理解できないこと。ゲーデルによる意義の説明を認めないこと。メタ数学上の前提に疑問を呈すること。この三つは、実際に数学上の誤りを見つけることとは違う。そして、その誤りは見つかっていない。
1930年代半ばには、ゲーデルが1933年から1934年にかけてプリンストンで行った講義、さらにチャーチ、クリーネ、ロッサーらによる計算可能性の研究の進展を経て、定理の数学的な中核は、形成されつつあった数理論理学の共同体にとって、標準的な知識になっていた。
受容の速さをまとめるなら、こうなる。第一線の論理学者たちは、数か月から数年で、ほぼ内容を消化した。しかし数学文化全体の中で、その意味をどう解釈するかには、はるかに長い時間がかかった。その次元の論争は、いまも一つには収まっていない。
七 三つのすり替え
この定理は、数学史上でもとりわけ頻繁に借用されてきた。よくある行き過ぎた解釈は、三種類のすり替えに分けられる。
第一は、「ある理論に対して」を「絶対に」へとすり替えること。
よく聞くのは、「ゲーデルは、人類が永遠に知りえない数学的真理があると証明した」という言い方だ。定理が示すのは、ある特定の形式理論に対して、証明できないということなのである。より強い理論に移れば、もとの理論から独立だった文が、定理になることもある。それをそのまま公理として加えることさえできる。
「ゲーデルは、永遠に証明できない特定の命題を発見した」とも言われる。違う。条件を満たす理論ごとに、その理論自身に対応する文が現れるのだ。すべての理論に対して、同じ一つの文が永遠に証明不可能なのではない。
第二は、「形式的に証明できること」を「人間の知識」へとすり替えること。
すると、「ゲーデルは、真理は証明できないと証明した」という言葉が出てくる。この一言では、二つのことが同時に消えている。どの体系の中での話なのか。そして、「真である」と「証明できる」は、もともと別の言葉だということだ。
「ゲーデルは、機械は人間のようには考えられないと証明した」という言い方もある。定理が扱うのは、固定された一つの形式理論である。人間の数学的能力を、無矛盾で固定された形式体系と同一視することは、それ自体が、別途持ち込まれた哲学的な前提だ。定理が与えてくれる前提ではない。
最も便利に使われるのは、この言い方だ。「人間は体系の外に立てば、いつでもその文が真だと見抜ける。だから、人間は必ず体系を超える」。外からその文を認めるときには、普通、その体系が無矛盾であることや、その体系が正しいことを述べているという何らかの認識を、すでに使っている。何の負担もなく、どの場合にも外へ飛び出せる共通の方法はない。しかも、外側に置いたその強い理論にも、その理論自身について、同じ問題が待っている。
第三は、「ある種類の、十分に強い体系」を、「あらゆる体系」、さらには「あらゆる理性的な営み」へとすり替えること。
「すべての形式体系は不完全である」。これは端的に間違っている。命題論理では、ある式が恒真式かどうかを判定でき、通常の演繹体系は意味論的に完全である。ただし、任意に選んだ命題の前提集合から、すべての命題変数について、それ自体かその否定のどちらかを導けるという意味ではない。掛け算がなく、足し算だけを備えた算術は、完全であり、決定可能でもある。加法、乗法、順序の言語による実閉体の一階理論も、完全かつ決定可能だ。任意の関数や集合を含む実解析の全体を指しているのではない。一階の初等ユークリッド幾何にも、完全かつ決定可能な標準的公理化がある。
「有限個の公理からなる体系は、必ず不完全である」。これも間違いだ。問題は公理の数ではない。その体系が、計算を表現するだけの力をもつかどうかである。
「数学は不完全である」。この言い方の誤りは、「数学」が一つの実効的な公理体系ではないところにある。完全な数学の理論は、いくつもある。それに数学という営みには、公理を変えることも、モデルを調べることも、もっと強い理論を作ることも含まれている。
さらに外へ出ると、法律、憲法、会社の定款、言語、社会制度を「システム」と呼び、そこへ定理を直接当てはめる話になる。ここですり替わっているのは、「システム」、つまり「体系」という言葉そのものだ。憲法をシステムと呼んだからといって、それが実効的に公理化でき、初等算術を解釈できる形式理論になるわけではない。
三つのすり替えは、別々のものを対象にしているようでいて、手口は一つしかない。限定を外すことだ。どの理論に対してか。どの言語でか。どの種類の体系か。どれか一つを言わなくなるだけで、言葉の及ぶ範囲は一気に広がる。
次に「ゲーデルは何々を証明した」という話を見かけたら、四つ尋ねてみればよい。どんな形式言語なのか。公理は実効的に与えられているのか。無矛盾なのか。自然数の算術を十分に、どこで、どう解釈しているのか。この四つに答えられないうちは、まだこの定理を持ち出す資格はない。意地悪をしているのではない。現代の不完全性定理を適用する際に、確認しなければならない条件をまとめると、この四つになるのだ。そのうえで、1931年の元の形と、後にロッサーが強めた形とは、やはり区別しなければならない。
八 本人は何を語ったか
最後に確かめたいのは、本人の言葉である。最も広く流布しているゲーデル像は、この定理によって人間の理性の破産を宣告した人物、というものだからだ。
資料の中のゲーデルは、その像からずいぶん遠い。彼は確かに、この定理に哲学的な意味があると考え、そこから哲学的な帰結を引き出そうとした。数学の定理は数学だけを語るべきだ、と考える人ではなかった。むしろ、数学的実在論と合理主義への、強い傾きをもっていた。
最も重要な資料は、1951年の講演である。そこで提示されたのは、二つの可能性だった。人間の精神は、ある意味で、どんな有限の機械をも上回る。あるいは、人間の数学的認識によっても、絶対に解けない数論の問題が存在する。
彼の結論は、前者ではなかった。二つのうち、少なくとも一つは成り立つ、というのが結論だった。
ゲーデル本人は後者に強い不満を抱き、明らかに前者に心を寄せていた。けれども、自分の好みを、定理によって証明済みのことに見せかけはしなかった。しかも、この講演原稿は生前には刊行されず、後に全集が編まれたときに収録された。未刊の講演原稿にある哲学的な探究を、1931年の論文が正式に述べたことの一部として扱ってはならない。
いっそう興味深いのは、晩年の哲学ノートに、悲観とはほど遠い標語のような言葉が残っていることだ。問題を解くための体系的な方法は存在する、という趣旨である。
1931年を境に、彼が自分のあの定理だけを研究する人になったわけでもない。1932年に大学教授資格を取得し、1933年にはウィーン大学の私講師となった。続いて、直観主義論理、様相論理、決定問題、証明の長さについての仕事を発表している。1930年代後半には集合論へ進み、構成可能宇宙の方法を築いた。そして、選択公理と一般連続体仮説を加えても、ツェルメロ＝フレンケル集合論に対して相対的に無矛盾であることを証明した。
私生活の側では、事態は悪くなる一方だった。師のハーンが亡くなった。1936年には、ウィーン学団の中心人物シュリックが、一人の学生に殺害された。ゲーデル自身も、この間、深刻な健康上の危機に繰り返し見舞われた。1938年のオーストリア併合後、大学制度が再編され、従来の私講師の身分は効力を失った。新しい教員資格を得るには、ナチ体制下の政治的、人種的な審査を通らなければならなくなった。1940年、彼は妻とともにオーストリアを離れ、アメリカへ渡った。
ある人が限界を示す結果を証明し、それでも数学的な認識能力への合理主義的な信頼を、長く保ち続けた。この二つは矛盾しない。定理が制限した範囲は、後世に思われているより、ずっと狭いからである。
では、この回から何を持ち帰ればよいだろう。この定理がここまで乱用されたのは、まさに、これが揺るがない定理だからだ。そして、揺るがないのは、前提が厳密に固定されているからである。三つの条件は、一つも欠かせない。
借用のたびに行われるのは、同じことだ。三つの条件のどれかを取り去る。すると、言葉はずっと耳に心地よくなり、使える場所も一気に増える。代わりに失うものがある。もはや、それは定理ではない。
一つの主張がどこまで届くかは、その前提が決める。前提を減らすほど、言葉は広く届くように聞こえる。そのぶん、実際に語っていることは少なくなる。
ゲーデル自身、あの講演では、明らかに気に入っていた答えが手元にあった。それでも書き記したのは、二つの可能性にとどまった。少なくとも、あの重要な分岐においては、個人の好みをそのまま定理に書き換えなかったのである。
三つの条件のうち、今回は提示するだけで、掘り下げなかったものがある。「十分に強い」だ。その敷居は、驚くほど低い。ごく基本的な整数の計算と、構文の符号化ができるだけで、もう届いてしまう。
では、逆に考えたらどうなるか。体系の方から、少し弱くなることを選んだら。あの符号化を支えられないところまで力を落としたら、何が起きるのか。
次回は、その話をする。答えを先に言えば、閉じた体系は買える。しかも、その代価は計算できる。
数をめぐる計算は、まだ続く。だが、何を数学のうちに数えるかには、いまだに決着がついたことがない。
史料とさらに読むための文献
以下の資料は、本文の歴史的な細部や、解釈の分かれる点に対応している。所蔵記録、古代文学、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。