数学 · 14 / 25
ゲッティンゲン
閲覧室、ゼミナール、教授のポスト、編集机、そして資格の壁。それらはどうつながり、数学の研究を次へと引き継いでいける道にしたのか。
この篇の目次
一 授業の合間の十五分
1931年、マックレーンというアメリカ人学生がゲッティンゲンに留学した。後年の回想には、ごくささやかな場面が出てくる。
授業はふつう二時間で、途中に十五分の休憩が入る。学生たちは教室を出て、廊下を行ったり来たりした。両側にはガラスケースが並び、石膏でかたどった曲面や、金属と張り渡した糸でできた形、ハンドルのついた機械装置がいくつか収まっている。歩きながら眺め、隣の人と話す。十五分たつと教室へ戻り、後半の授業を受ける。授業が終われば、同じ顔ぶれが、今度はその建物の中にある蔵書の豊かな一室でまた出会う。
書かれたのは、ずっとあとのことである。その証言は、あくまで回想として扱わなくてはならない。建物や模型から、記憶の舞台となった環境を別の証拠で確かめることはできる。ただし、それで教室の細部にいたるまで記憶に頼らず裏づけられたことにはならない。あの廊下は実在し、ケースの中身は今も残っている。そして時間割の十五分は、誰かがそこに組み込んだものだった。
見たいのは、まさにそこだ。この十五分は、誰かのひらめきひとつで生まれたものではない。二時間の授業の途中に休憩を設けた人がいる。模型を倉庫にしまい込まず、廊下のケースに置いた人がいる。同じ建物の中に、腰を下ろして本を読める部屋を確保した人がいる。休み時間に学生同士が出会い、数学の話を始める。それは、この三つが重なった結果だった。
時計を四十年ほど戻すと、この大学からは学生がいなくなりかけていた。今日、ゲッティンゲンという地名にはガウスとリーマンの名が結びついている。ガウスはここで何十年も仕事をし、リーマンはここで学び、教え、幾何学の基礎についてあの講演を行った。ところが1882年、この大学で数学と自然科学を学んでいた学生は約240人。それが十年後には90人前後まで落ち込んだ。この数字は数学と自然科学を合わせたもので、数学だけの人数ではない。数学科の在籍者数として使えば間違いになる。それでも、学生が減ったことは確かだ。しかも、ガウスとリーマンを生んだ大学で減ったのである。
名声は、それだけで生き延びてはくれない。
1886年から1930年代の初めまでの四十数年間、この小さな町では、ある仕組みが組み上げられていった。いわば一台の機械である。この回で取り上げるのは、その機械のほうだ。そこで生まれた定理ではない。
一枚の設計図どおりに作られたわけではない。1886年の時点で、その先四十年の予定を書き込んだ紙などなかった。ひとつずつ付け足していくうちに、いつしか互いにつながり、一台の機械として見えてきた。
なぜそれだけで一回を割くのか、先に言っておこう。これまでの十三回では、数学はおおむね、一人の人間が紙に向かってする仕事だった。アルキメデスは結果を手紙にしてアレクサンドリアへ送り、返事を長いあいだ待った。カルダーノとタルタリアは、別々の町から互いに挑戦状を送りつけた。ニュートンの仕事は何十年も引き出しの中に眠っていた。ガロアが死んだとき、その方程式論の核心をなす原稿は、正式に刊行されてもいなければ、十分に理解されてもいなかった。主要な論文が世に出たのは、十四年後のことだ。
彼らはみな孤独だった。だが、その孤独は性格だけの問題ではない。考えかけのものを誰かに渡せば、翌日には別の誰かがその先を考えてくれる。当時は、そんなことが起きるかどうかは、よい相手に巡り合えるかに、もっと大きくかかっていた。毎日のように期待できることではなかった。一人が死ぬと、その手元にあった未完の仕事も、たいていは一緒に失われた。
この回から、物語の主語が変わる。
二 空洞になった大学を、一人が引き受ける
クラインがゲッティンゲンに来たのは、1886年である。
彼の仕事を語るとき、よく登場するのは、優れた数学者を一人ずつ呼び寄せたという話だ。間違いではない。ただ、いちばん骨の折れる部分が抜け落ちている。人を呼ぶにはポストがいる。ポストには金がいる。その金は、プロイセンの教育行政を通さなくてはならない。クラインが本当に変えようとしていたのは、この大学が数学のために何を用意できるか、ということだった。
着任するとすぐ、いかにも地味な仕事に取りかかった。上級の授業を開き、ゼミナールを組織し、学生のために本を置く部屋をつくる。この三つについては、あとで改めて見ていこう。
さらに重要なのは、数学を大学の外へつなぎ始めたことだ。1893年にアメリカへ渡り、帰国後、現地の高等教育のあり方をプロイセンの教育当局に報告した。そこに挙げた提案は、いま見ると、数学者が持ち出すような話には見えない。中等学校教員の養成を改めること。女性が大学で学べるようにすること。数学の応用に向かう側を強くすること。そして、技術者や実業家たちから資金を引き出すこと。
1897年6月2日、クラインはアルトホフに手紙を書いた。プロイセンの教育行政で、きわめて大きな権限を握っていた人物である。大学に講座を設けるか、どこに置くか、誰に任せるか。その多くは彼の手を経た。手紙で論じられていたのは新しい試験規定と、応用数学を、正式に取得できる教員資格の一分野にするという構想だった。
最も大きな一歩は、その翌年に踏み出された。1898年2月、ゲッティンゲンにひとつの協会が生まれる。創立十周年の記念刊行物には、設立日は26日とある。当初、その名称と活動目的に掲げられていたのは応用物理だった。数学が正式に加わるのは1900年から1901年ごろで、改称が有効になった年は史料によって多少記し方が違う。この順序を逆にしてはいけない。数学は、物理と産業界が走らせていた車に乗り込んだのであって、初めから自分の車を持っていたわけではない。
協会には大学の数学、物理、化学の教授たちと、資金力のある実業家や技術者が集まった。会長は化学工業の実業家ベッティンガー、副会長はクライン。教育官僚のアルトホフも、同じ人脈の網に加わっていた。一時は、財力のある産業界の代表者およそ五十人とつながっていたという。
こうして資金は三層になった。正規の講座や定員、大学の建物を支えるのは国の予算である。協会を通じた産業界の資金は、応用物理、工業物理、応用数学といった新しい取り組みを、まず動き出させた。そして1920年代には、アメリカの慈善財団が建物を建てる資金を持って入ってくる。
ここは、話がゆがみやすい。実業家が数学に金を出したと聞くと、資本がひとつの学科を買い取ったようにも響く。協会の創設者の一人、リーペルは後年、当時の目的を振り返っている。将来の中等学校教員の養成をよくする。応用科学の研究を強める。大学が現実の必要にもっと応えられるようにする。このうち、彼らがいちばん重く見ていたのは、最初の項目だった。
中等学校の教師、である。鉄鋼や化学の業界人が集まり、大学の数学に金を出す。その第一の理由が、中等学校の教え方ではまだ足りない、ということだった。
このつながりは、実際に働いた。1910年までに、プロイセンの学生178人が、新設された応用数学の教員資格を取得している。
全体をつなぐと、ひとつの循環になる。中等学校の教育がよくなれば、大学には力のある学生が入ってくる。ゼミナールはその一部を研究者に育てる。新設の講座が、その人たちを大学につなぎ留める。応用分野の研究が、政府や産業界にさらなる資源を求める。出版と国際交流が評判を広げ、その評判が学生の募集や教員の任用を助ける。一巡するたびに、どの部分もひとつ前の巡りより厚みを増す。
数字でいちばん見えやすいのは教授職だ。1898年から1908年までの十年間で、ゲッティンゲンの数学と物理の正教授ポストは、およそ五つからおよそ十へ増えた。
ヒルベルトが1895年にゲッティンゲンへ来たときも、一度誘って決まったわけではなかった。1892年、シュヴァルツがベルリンへ移り、ポストが空いた。クラインは初めからそこにヒルベルトを迎えたかったのだが、選ばれたのはヴェーバーだった。1895年にヴェーバーがストラスブールへ去り、クラインはもう一度動く。今度は実現した。三年がかりだった。
二人の役割分担は、どこかの規則に書いてあったわけではない。それでも、数十年にわたる仕事を見れば、力点の違いは確かにある。クラインは、学術組織、教育、人事、国家との関係、そして応用の方向。ヒルベルトは研究そのものと、取り組むべき問題をまとめ上げることだった。
だからといって、一人は行政、一人は学問、と分けてしまってはいけない。ヒルベルトも人事に加わり、雑誌を編集し、ゼミナールを主宰し、のちには研究所の政治にも自ら深く関わった。クラインも研究をやめてはいない。違うのは重心だ。一人は、この仕組みが動かせる資源を増やした。もう一人は、そこから問題と若い研究者が生まれる力を増やした。
三 本を持ち出せない部屋
クラインがつくった部屋は、当時「閲覧室」と呼ばれていた。いまなら図書館の分室を思い浮かべるかもしれないが、それとは違う。本も雑誌も持ち出せず、そこで読むしかない。その一方で、数学に関わる人たち自身の仕事場でもあり、学生は一日中いてよかった。クラインはライプツィヒでも似たことをしており、ゲッティンゲンでもそれを続けたのだ。
部屋には本や雑誌のほかに、よそにはない種類の資料があった。ゲッティンゲンでは、授業をもとにした講義録がしばしば作られた。助手や学生が講義の内容を書き起こし、整理し、校訂して、仲間のあいだで回す。ひとつの授業は、学期の終わりとともに消えてしまうのではない。あとから手に取って読める、紙の束になる。
だから学生は、同じ一室でいくつもの用事を済ませられた。調べものをする。何代か前の学生たちが残した講義録を読む。来週自分が発表する部分の準備をする。そのついでに、教授の助手や同級生に出会う。
この中間の層に、正式な名前はなかった。それでも働きははっきりしている。新しい考えが口にされてから、次の世代が使えるようになるまでの時間が、短くなったのだ。
前の回までにも、この種の紙はずっとあった。ただ、そこからいつも何かが漏れ落ちていた。第4回の、文字を削り落として別の文章を上書きされたアルキメデスの羊皮紙写本。第9回の、引き出しに眠る私的な研究の紙。第12回の、本人はほとんど公表せず、学生の講義ノートを通じて広まったワイエルシュトラスの成果。どれも同じことを示している。肝心な中身が、出版するつもりのない紙にある。散逸した紙もあれば、ずっと後に見つかった紙もある。ワイエルシュトラスの講義ノートのように、当時から一部ずつ人の手に渡り、使われていた紙もあった。
ゲッティンゲンがしたのは、愚直なことだった。その紙をひとつの部屋へ運び、棚に置き、次に来る学生が見つけられるようにした。
廊下のガラスケースに並ぶものは、同じやり方を別の形にしたものだった。ゲッティンゲンには今も、歴史的な数学模型が五百点以上残っている。年代は1780年から1930年にわたり、中心となるのは1870年から1920年までのものだ。石膏を流し込んで作った曲面、金属の枠に糸を張った形、手回しの機械装置、それに授業用の図板がある。
飾りではない。十九世紀後半のヨーロッパでは、数学を教えるときに、実物を作って見ることが盛んになった。ブリルとクラインは、その流れを広げた人たちである。のちにシリングは模型を商売にし、1911年には、そのカタログから数百点を買えるようになっていた。
黒板に描いた曲面は、ひとつの角度からしか見られない。実物なら手に持って回せる。隣の模型と並べて比べられる。だから模型には、授業で使う、研究の途中で形を確かめる、学生が自分の手で試す、という三つの役目があった。
いまガラスケースに入った姿を見ると、博物館の収蔵品と思ってしまいやすい。当時は教具だった。マックレーンが休み時間に見ていたのは、まだ現役の教具である。
部屋とケースの次は、隣に誰がいたかも見ておこう。
クラインが押し進めた応用の方向は、紙に書いた試験規定だけではなかった。実際に場所を占めるものだった。ルンゲは1904年ごろ、ゲッティンゲンの応用数学の講座に就き、同じころプラントルも招かれて、応用力学と流体を研究した。産業界の資金と関心が、数学者、物理学者、工学や技術に携わる人たちの往来を、ふつうのドイツの大学より密にした。
だからといって、理論物理が応用数学に呑み込まれたわけではない。ゲッティンゲンには独自の数理物理の伝統と講座があった。のちにボルンたちの理論物理学研究所ができると、数学の側とは、場所も人もすぐ近くにあった。1931年のマックレーンが覚えているのも、物理の人たちが隣にいたということだ。
この関係は四つに分ければわかる。組織は隣り合う。人は行き来する。問題は通じ合う。だが、正式な組織は統合されていない。
四 立って話すのは学生
まず、三つの場を分けておきたい。中国語ではしばしば同じ言葉でくくられてしまうからだ。教授が初めから終わりまで話し、学生がノートを取る場がある。学生が自分で準備したものを立って発表し、その場で質問を受ける場がある。そして、定期的に外部の人を招き、地元の人たちがその話を聞く集まりがある。
ゲッティンゲンには三つともあった。この節で見るのは、二番目のゼミナールである。
こちらには、確かなものが残っている。クラインのゼミナールは手書きの記録簿を残した。数十年にわたる全29巻、およそ8600ページが現存する。この中には、ゲッティンゲンに来る前、ほかの土地で教えていた年月も収まっている。誰の課題だったか、誰がいつ発表したか、何を話したか、討論でどんな問題が出たか。すべて記録されている。のちに全冊がスキャンされた。だから、1911年の冬、あの教室で何が起きていたのかを知るために、誰かの回想録だけを頼りにする必要はない。
記録簿が論文より役に立つのは、そこだ。正式に公表された文章に残るのは、ふつう最後の結果である。記録簿には途中の過程が残る。課題をどう選んだのか、発表ではどんな順番で展開したのか、論証はまだどんな形をしていたのか。ときには、ひとつの考えがゼミナールから正式な刊行物へ移っていく様子まで見えてくる。
この記録があれば、ゼミナールが実際にどう進んだかを想像で埋める必要はない。1911年から1912年の冬学期、クラインは微積分がどのように生まれ育ったかをたどるゼミナールを開いた。その時代の原典に当たって調べるよう求め、初回にこの目的を説明したうえで、具体的な課題を割り振った。
一学期で残された発表は23回。発表者には学生も若い研究者も、女性もいた。23というのは発表の回数で、人数ではない。一人で何度か発表した人もいる。
途中でクラインが病気になり、主宰を続けられなくなった。
授業は止まらなかった。シマックが引き継ぎ、学期の終わりまで続いた。
ここは、この回でいちばん立ち止まってほしい一文である。主宰者がいなくなっても、授業は続く。課題はすでに配られ、役割は決まり、記録を残す手順もできていたからだ。授業はもう、一人の人間だけにぶら下がってはいなかった。
では、それまでの数世紀に比べて、何が新しかったのか。昔は教師が話して学生が聞くだけ、今度はみんなで討論する、という話ではない。討論は以前からあったし、学生は以前から質問していた。新しさは四つの層にある。そして四つは、揃って初めて働く。
第一に、学生に求められたのは、内容を消化することではなく、自分で生み出すことだった。第二に、作ったものは、その場で仲間から吟味され、欠点を指摘された。第三に、指摘を受けたあと、記録にして残された。第四に、この営みは一本の道の中に組み込まれていた。授業、ゼミナール、博士号、大学教授資格、そして講座。一つひとつが、次の段階につながっていた。
教室は、知識が教壇から下へ流れる場所ではなくなった。研究者を育てる、一つの工程になったのだ。
このようなゼミナールを発明したのはゲッティンゲンではない。ドイツの大学には以前からあったし、ベルリンにもあった。ゲッティンゲンの特色は、それを閲覧室や一連の教授ポスト、博士課程の教育、訪問研究者、学術雑誌と結びつけたところにある。どれか一つを取り出せば、よそにもある。ここでは、そのあいだの結びつきが、とりわけ密だった。
五 編集机
数学の論文を書き上げたら、どこへ持っていくのか。1900年前後には、答えはもう決まっていた。雑誌へ投稿する。雑誌には編集者がいる。その編集者に何が決められたのか、よく見ておく必要がある。
『数学年報（Mathematische Annalen）』は、1868年にクレプシュとノイマンが創刊した。もともとゲッティンゲンに属する雑誌ではない。だが編集者の名簿を見ると、そこへ人脈の網がどう入り込んでいったかわかる。クラインは1876年ごろから編集に関わり、1924年までとどまった。ヒルベルトは1903年から、ブルーメンタールは1906年から加わった。
『数学年報』はゲッティンゲン大学の紀要ではない。クラインの着任より十八年早く創刊され、さまざまな国の著者が書いていた。ここに載れば、国外からも読まれる。国際誌だったからこそ、その編集机につくことには重みがあった。自分の大学の紀要に何を載せるかを決めるだけなら、学内の話で済む。国際誌に何を載せるかを決めることは、外国の数学者が何を見るかを決めることだった。
1900年の編集の仕組みは、今とは違っていた。今日、多くの雑誌では投稿や査読の手順がかなり標準化されている。ただし、匿名にするか、査読者を何人にするか、編集者がどのように関わるかは一律ではない。当時の仕組みはそうしたものではなかった。編集者が原稿を依頼することもあれば、著者が編集者個人へ直接送ることもある。編集者は自分でも読み、その分野に詳しい同僚や外部の人にも回した。クラインが扱ったある原稿については、自分も外部の評者も独創性が足りないと判断した、という記述が残る。外部の人に評価を求めることは、すでに行われていた。ただ、事務手続きではなく、個人的なつながりを通じていたのである。
その席にいる人には、具体的にできることがいくつもあった。誰かに投稿を勧めるかどうかを決める。誰に読んでもらうかを選ぶ。返ってきた評価を、どのように著者へ伝えるかを決める。多くの場合、採用する方向へも、返却する方向へも、実際に原稿を動かせた。そしていちばん重要なのは、原稿を依頼し、特定の主題の論文を集めることで、各国の数学者の目にどの問題が入るかを決められることだった。
編集者の席そのものが、一種の身分でもあった。当時、ある雑誌の編集陣に加わることは、学術的に認められた証しと受け取られていた。
ただし、一人の編集者が何でも勝手に決められた、とするのも違う。雑誌には複数の編集者がいて、出版社もあり、相談が必要だった。だからこそ、1928年の事件はあれほど大きな騒ぎになった。ヒルベルトはブラウワーを『数学年報』の編集陣から外そうと動き、最終的には実現させた。発言力のある編集者は、出版側と一部の同僚の支持を得れば、編集委員会そのものにも手をつけられたのである。同時に、ほかの編集者たちが抗議した事実は、それが普段から気軽にできることではなかったとも示している。あの衝突で何が争われたのかは、後で一回を割いて取り上げる。
この節を前の節と重ねると、あまり書かれないことが見えてくる。ゲッティンゲンの一部の人々は、同時に三つの机についていた。一つの机で、誰を育てるかが決まる。もう一つで、誰を採用するかが決まる。そして三つ目で、誰の論文が世界中から読まれるかが決まる。
六 二十三の番号
1900年8月8日、パリ。第2回国際数学者会議で、ヒルベルトが壇上に立った。講演の題は「数学の問題」だった。
この講演について最も広く伝わっているのは、二十三の問題を一つずつ読み上げ、二十世紀の数学に課題を授けた、という光景だ。しかし会場で、そんなことは起きていない。時間が足りず、実際に取り上げたのは十問だった。
二十三問の全体を残したのは、印刷物である。1900年、ドイツ語の全文がゲッティンゲン科学アカデミーの紀要に載り、1901年にも再び印刷された。1902年のフランス語訳はパリ大会の論文集に入り、同年の英訳はアメリカ数学会の刊行物に掲載された。訳者はウィンストンというアメリカ人女性数学者だった。1893年、シカゴの数学会議でクラインに出会い、彼の勧めを受けてゲッティンゲンへ渡り、そこで博士号を取った人である。
効いたのは、壇上の数十分ではなかった。一人が選んだ問題が、引用でき、番号で呼べ、翻訳でき、授業に持ち込み、長年にわたって追い続けられる一覧になったことだった。
とりわけ、番号が大きな役割を果たした。「第8問題」「第10問題」という呼び方が各国の印刷物に入ると、世界中の数学者が同じものを指せるようになる。モスクワで誰かが第10問題に取り組んでいると言えば、シカゴの誰かにも何をしているのかすぐわかる。これは強い力である。しかも、行政の命令は一つもいらない。
そもそも命令ではなかった。ヒルベルトが数学界全体に、その先百年の仕事を割り振ったわけではない。彼は、すでに国際的な名声と雑誌の編集権、博士を育てる力と大会の演壇を持っていたつながりの網を、ある種のお墨つきに変えたのである。これらは取り組む価値のある問題だ、と。従うことを強制するお墨つきではない。その仕事をすることに、確かな位置づけを与えるものだった。
ここへ来た人たちにも目を向けよう。1880年代末から1890年代にかけて、ドイツへ数学を学びに来るアメリカ人学生は目立って増えた。1893年のクラインのシカゴ訪問は、そのつながりをさらに強くした。
ここでは、見せかけの正確さに陥りやすい。よくあるのが、何年にはゲッティンゲンにアメリカ人学生が何人いた、と数字を出す書き方だ。そんなふうに一つの数は出せない。残された資料には、少なくとも四通りの数え方がある。正式な在籍者、聴講者、ある教授の授業名簿に載る人、そして最終的に博士号を取った人。それぞれの人数は大きく違う。さらに、大勢のアメリカ人がドイツへ向かったのは確かでも、ドイツ全体とゲッティンゲンは同じではない。
確かに言えることは別にある。そして、人数よりそちらのほうが重要だ。彼らは有名教授の授業を一度聞いて帰ったのではない。ゼミナールに入り、閲覧室を使い、博士論文を書き、雑誌につながる人々と知り合った。帰国後は、この仕組みを手本にして、アメリカで大学をつくっていった。ゲッティンゲンが送り出したのは、いくつかの定理ではない。大学で数学をどう組織するかを示す、設計図だった。
では、同じ時代のほかの場所はどうだったのか。並べて見ておかないと、ゲッティンゲンを、ほかに例のない存在として描いてしまう。
ベルリンにも講座があり、数学のゼミナールがあり、プロイセン科学アカデミーもあった。ワイエルシュトラスとクロネッカーは、それぞれの周りに優秀な学生たちを集めていた。ベルリンが古いままだったのではない。そこに欠けていたのは、数学、応用物理、産業界の資金、そして集約された研究所を、一本の線につなぐことだった。
パリは人も学校も多かった。ソルボンヌ、高等師範学校、エコール・ポリテクニーク、コレージュ・ド・フランス、さらに科学アカデミーがある。多いこと自体が、パリの形だった。力はいくつものエリート校に分かれ、全体を一か所に束ねる場所はない。1928年、ロックフェラー財団の資金で研究所ができて、ようやく国際的な訪問研究と数理物理の中心に近い役割を担う、集約された組織が現れた。
ケンブリッジには、カレッジ制に加えて、有名な数学の大試験があり、その受験を支える個人指導者が昔からいた。1900年前後の学部教育は、ほとんどこの試験に形づくられていた。問題を速く解く者ほど順位が上がる。研究を重んじる空気も育ってはいたが、博士号から大学教授資格を経て講座へ進むというドイツの道筋は、ここの組織のあり方ではなかった。研究博士号のPhDがケンブリッジに導入されるのは、第一次世界大戦のあとである。
どちらも高度に制度化されていた。だが、報われるものは違った。ケンブリッジが長く評価してきたのは、問題を解く速さと試験の成績。ゲッティンゲンは、研究の共同体に参加すること自体を、正式な教育の中に組み込んだ。
ゲッティンゲンだけの秘伝だった、という話にしないために、もう一つ覚えておきたい。1920年代、ロックフェラー財団はゲッティンゲンの新しい建物にも、パリのあの研究所にも資金を出していた。研究の基盤を一か所に集めるという考え方は、二つの大戦のあいだに国際的な科学支援で現れた新しいやり方であって、どこか一国の特産品ではない。
七 入れる人と入れない人
1900年前後、数学者はすでに職業だったのだろうか。
いくつかの基準に照らせば、そう言える。博士号や大学教授資格という、訓練を受けた証しがある。職位の段階がある。国から支払われる給料がある。専門誌があり、それを数学者自身が編集している。次の世代を育てるゼミナールがある。さらに国際会議や全国規模の学会があり、自分の大学の外でも、互いを同じ職業の仲間として認められる。
だが、数学研究がすでに、一般的で独立した、一定の規模を持つ仕事になっていた、とは言えない。数学を学んだ人のかなりの部分は、最終的に中等学校で教えた。クラインがあの教員資格を推進した第一の理由も、そこにある。数学の研究者は、中等学校、大学、国家試験からなる、もっと大きな仕組みの中にいた。
1900年前後に本当に変わったのは、数学者が初めて数学で食べていけるようになったことではない。数学研究に、自分を再生産する仕組みが育ったことだ。その仕組みで博士が養成され、今度は助手や私講師として次の世代を育て、やがて講座のポストを争う。ゲッティンゲンは、この連なりを密にするのがとりわけ巧みだった。ただし、その連なり自体は、ドイツの大学制度が生んだものである。
では、その道のどの段階にも給料があったのか。なかった。
当時、ドイツの大学で数学によって暮らすには、いくつかの身分があった。そのあいだを分ける最も硬い線は、肩書の上下ではない。給料が出るか、出ないかだった。
講座を持つ正教授には、国から固定の俸給が出る。プロイセンの公務員で、退職後の保障があり、実権も握っていた。誰を採用し、何を試験し、研究所の金をどう使うかを決める。その一つ下の段階は一様ではなく、国の俸給を受ける人もいれば、定員外の肩書だけを持つ人もいた。さらに下の私講師という身分は、資格を与える。独立して授業を開き、学生を試験してよい、という資格だ。給料は出ない。学生が払う聴講料、家族の援助、奨学金や助成金、学外の副業などで暮らす。最も下の助手には、研究所や個々の講座から給料が出た。ただし任用は一時的で、更新するか、何をさせるかは、上の人間が決めた。
この四段階をつなぐと、動かしがたい条件が一つ見えてくる。講座にたどり着くまでには、固定収入のない日々を、場合によっては何年も通り抜けなくてはならない。
だから、才能で競争する、という言葉は、ここでは額面どおりに受け取れない。その数年間を持ちこたえられるかは、才能の問題ではない。実家に金があるか。誰かが奨学金を出してくれるか。助手の口を用意してくれる教授がいるか。それがものを言う。ふるいにかけているのは確かだ。だが、そこで選別されているのは、数学の力ではない。
もう一つのふるいは、性別だった。こちらはもっとはっきりしている。規則に書かれていたからだ。
1874年、ゲッティンゲンは一人のロシア人女性に博士号を授けた。コワレフスカヤである。ベルリン大学が受け入れなかったため、彼女はベルリンで何年か、ワイエルシュトラスの個人指導を受けていた。学位は提出した研究業績に対して与えられた。口頭試問は免除され、本人も来ていない。評価は最高の等級だった。
門が開いたように聞こえるが、実際には、門を迂回したのである。彼女はその間、一日もゲッティンゲンで授業を受けず、一度も試験を受けていない。大学は彼女を中に入れたのではなかった。外で完成させた仕事を認めただけだった。
1895年の例は違う。イギリス人女性のチザムは、1893年にゲッティンゲンへ来て、クラインのもとで学んだ。同じ年にはアメリカ人女性も二人来ており、その一人が、のちに問題一覧を英訳するウィンストンだった。チザムが入学すること自体に、女性のための特別な許可が必要だった。彼女は授業に出て、論文を書き、二年後には実際に、ドイツ語で行われる口頭試問の席についた。試問は数学だけでなく、物理と天文学にも及んだ。
したがって、ドイツの大学で初期の女性数学博士を順番に並べるなら、分野と大学と、学位に至った経路を限定しなくてはならない。ゲッティンゲンが授けた学位を数えるなら、1874年が先に来る。実際に在学し、実際に試験を受けた学位を数えるなら、1895年が最初になる。曖昧に「最初の女性」とだけ言えば、この大きく違う二つを、一つに混ぜてしまう。
ここまでで開いたのは、まだ学生として入る門だけだった。
その先には、教える側に入る門がある。こちらは、はるかに固かった。
1908年以降、プロイセンの女性は、以前より普通に大学へ進学できるようになった。しかし同じ年に定められた別の規則が、大学教授資格への道をふさいだ。
1915年、ネーターはクラインとヒルベルトに招かれ、ゲッティンゲンに来た。同年7月、大学教授資格を申請した。
ネーターを阻んだのは、数学ではなかった。数学・自然科学部門は反対するどころか、その年の11月、プロイセンの教育大臣へ正式な申請を出した。1908年の禁止規定について、ネーター一人に限って例外を認めてほしいという願いだった。禁止規定全体の撤廃を求めるのではない。この一人だけである。申請書は、その点を慎重に書き分けていた。
却下された。
反対理由には二つの層があり、分けて見るとよくわかる。第一は制度上の理由だ。大学教授資格は、教える能力があると認めるだけのものではない。独立して授業を開き、試験問題を出し、学生を合格させるかどうかを決められる身分を与える。当時の規則は、女性がその身分を持つことを認めていなかった。
第二の理由は、規則とは別のところにあった。反対者たちは、前線から帰った兵士が女性の足元に座って教えを受けることを恐れた。また、一度例外を認めれば、その隙間から女性が教授団の中へ入ってくることも恐れていた。
むしろ見ておきたいのは、反対者の言い分より、支持する側が何をしたかである。彼らは、ネーターがどれほど賢いかを証明しようとはしなかった。それは証拠に事欠かず、争点でもなかった。まず個人に限った免除を求めた。規則全体を動かさずに済むので、最も認められやすい道だったからだ。正式な資格への道がなお阻まれているなかで、ヒルベルトは方法を変えた。授業を自分の名で届け出て、実際にはネーターが教える。1916年から1917年の冬学期の時間割には、こういう授業が載っている。数理物理ゼミナール、ヒルベルト教授、ネーター博士の補助、月曜午後4時から6時、聴講料なし。
正式な資格と、実際に教えることが切り離された。これができたことは、制度のほかの部分がどれほど堅固だったかを、かえって示している。迂回するにも、正式な名義を借りなくてはならなかったのだ。
この論争をめぐって最もよく知られているのは、「大学は風呂屋ではない」という趣旨の一言だ。伝わっている言い回しはいくつもある。当時、激しい議論があったこと、そしてヒルベルトが、学術上の資格より性別を優先する同僚を鋭く批判したことは確かである。確かでないのは、その警句そのものだ。1915年の会議記録に、それを記したものはない。いま流布している文言は、のちになって伝えられた。
胸のすく一言は、百年にわたって記憶された。だが、当時ほんとうに起きたことを示すのは、却下されたあの公文書である。二つの残した重さは、同じではない。
その後の年を続けて見ておくと、肩書と給料の違いがはっきりする。1919年、制度が変わって初めて、ネーターは大学教授資格を取得できた。私講師になっても、固定給はない。1922年には教授の称号を得るが、公務員の定員外で、依然として有給の正教授ではなかった。1923年になってようやく、有給の授業担当を委嘱された。額はごく少なく、定期的な更新も必要だった。
1915年の申請から、1923年に初めて給料と呼べるものを受け取るまで、八年が過ぎていた。
この仕組みが締め出したのは、女性だけではない。経済的な余裕のない人が一部ふるい落とされたことは、すでに見た。さらに、推薦の網に入れない人たちがいた。ゼミナールや閲覧室が、内側の人同士でものをやり取りする手間を大きく減らしたのは確かだ。だが、博士号から大学教授資格へ、そこから講座への任用へと進むたびに、教授団と国家の手続きを通らなくてはならない。よく働く網ほど、その内側の人によく働く。
ユダヤ人の学者については、とりわけ慎重でなくてはならない。1933年の出来事を、過去へそのまま投影してはいけない。帝政期に偏見があり、任用にも抵抗があったのは確かだ。それでもゲッティンゲンの数学と物理には、ユダヤ人、あるいはユダヤ系の出自を持つ重要な人物が何人もいた。これは、1933年以降に法律を根拠として行われた大規模な排除とは別のことである。二つを混ぜて書けば、それ以前の三十年間を不当に描くと同時に、その後に起きたことの重さも減らしてしまう。後者については、別の回で扱わなくてはならない。
八 建物ができたのは最後だった
今日ゲッティンゲンを訪ねれば、数学研究所のあの建物を指して教えてくれる人がいるだろう。
その建物が使われ始めたのは、ようやく1929年のことだった。
ここまでに出てきたものは、すべて建物より先にあった。ゼミナール、閲覧室、整理された講義録、記録簿、模型、教授ポスト、産業界の協会の資金、雑誌の編集机、アメリカから来た学生。最も早いものは、建物より四十年も前に始まっている。
建物の話そのものにも二つの年代があり、どちらも正しい。1926年は、クーラントが研究所を組織として設立する動きを進めた年。1927年から1929年は、それまで町のあちこちに散らばっていた数学の施設を、一か所へまとめた時期である。前者は組織、後者は建物の話だ。資金の大半はアメリカのロックフェラー財団から出た。のちに35万ドルという数字も挙げられているが、これは財団がこの事業に出した資金のおおよその規模と読むのがよい。総工費として扱ってはいけない。
1929年の末、新しい建物が使われ始める。その二年後、マックレーンがあの廊下を歩いている。
この順序は覚えておきたい。「ゲッティンゲンの黄金時代」と聞いて浮かぶ光景とは、向きがちょうど逆だからだ。その光景では、たまたま一つの小さな町に天才が集まり、一緒に散歩をし、お茶を飲んでいる。すると、そこから近代数学が生まれてくる。
その絵から消えたものは、一つずつ挙げられる。助手が講義録を整理している。学生が記録簿を書いている。女性や外国から来た学生がゼミナールに座っている。出版社が印刷している。プロイセンの官僚が講座を認可している。実業家が金を集めている。全部消してしまえば、残るのは散歩中の天才たちだけだ。
内側が一枚岩だったこともない。クラインが大学を産業や技術へつなごうとしたとき、すでに反対する人がいた。純粋数学が、工業学校の基準や産業界の要求に引きずられるのではないかと恐れたのである。この対立は、最後まで制度の上では解決されなかった。たいていは、複数のつながりの中に同時に立つ何人かが、そのつど橋を架けてしのいでいた。
あとから黄金時代のイメージを強めた出来事もある。1933年だ。突然断ち切られたものは、その後の回想の中で、とりわけ「失われた完全な世界」になりやすい。
では、その力はどれほどだったのか。数字にできるだろうか。測れるのは、こういうものだ。教授ポストが五つから十へ。応用数学の教員資格が178人分。今日、一つに集められている手書きの記録簿が29巻。一つの授業で、一学期に23回の発表。模型が五百点以上。ヒルベルトがゲッティンゲンで育てた博士は、現在、ふつう76人ほどとされている。
これらの数字が測るのは、活動の密度と、人を育てる力である。研究の質までは測れない。まとめて客観的な順位にすることは、いまだに誰もできていないし、そもそもできるとは限らない。論文の長さ、著書、講義録、博士論文、組織をまたぐ共同研究者、編集権、後世の引用。これらには共通の単位がない。『数学年報』に載った優れた論文を、そのままゲッティンゲンの手柄にすることもできない。国際誌なのだ。編集する人はゲッティンゲンにいても、書く人は世界中にいた。
順位を脇に置けば、答えられる問いが一つある。これまでの十三回で見てきた数学の営みと比べ、ここには何が加わったのか。四つの形を並べてみよう。
第1回の書記の学校。一つの小さな場所で、学生たちが師につき、書き写し、顔を合わせて学ぶ。学校があるあいだは続く。学校が散れば、そこで切れる。金は、税を計算し、暦を定めるという、国家や神殿の実際の必要から出ていた。
第4回の、手紙でつながる人々。シチリアにいるアルキメデスが、自分の成果を手紙にしてアレクサンドリアへ送る。このつながりには、致命的な弱点がある。特定の個人にかかっていることだ。受取人が死んだり、移ったりすれば、その線は切れてしまう。
第9回と第12回に出てきた形。雑誌があり、印刷されたものは遠くまで届き、長く残る。それでも研究そのものは、まだ私的な仕事だった。一人が自分の紙で計算し、終えたら投稿する。途中の、まだ解けないもの、間違えたもの、思いつきにすぎないものは、主に手紙や教室を頼りに、その先へと渡されていた。
ゲッティンゲンは、この三つの働きを、速く回る一つの循環に詰め込んだ。人が同じ建物に長くいる。未発表のものを話す場があり、話したことは記録される。資料は一つの部屋にあり、次の世代が見つけられる。資格を得る道筋が明確にある。資金の出どころは三つある。そして同じ人々が、雑誌の編集机にもついている。
いちばん目立たず、いちばん重要なのは、未完のものに行き先ができたことだ。これまでの十三回でも、手紙や学派や講義ノートが、中間の受け渡しを担っていた。ただ、その伝わり方は、個人に頼るところが大きかった。ゲッティンゲンは、その一部を、もっと安定した制度にした。ここでは、まずゼミナールに持ち込める。記録簿になり、閲覧室の棚に置かれる。次の世代が読み、誰かの博士論文の課題になる。そのあとで、雑誌へ出ていく。
あの四十年間に作られたのは、天才の一団ではない。毎回、初めからやり直さずに済む道だった。
その道でいちばん目につく部分、あの建物は、最後にできた。
このことをわざわざ取り上げたいのは、ほとんどいつも順序が逆に理解されるからだ。ある場所で学問が栄えると、人々は見に行く。見えるのは建物であり、有名な名前であり、賞を取った人である。どれも最後になって現れたものだ。本当に全体を動かしていたものには、誰もカメラを向けない。本を持ち出せない一室。手書きの一冊。時間割にある十五分。中等学校教員の養成に出された資金。授業から講座へ続く道。目に見えるところだけをまねて建てても、同じものはできない。
もう一つ、実は同じことの裏側がある。同じ仕組みが、人を迎え入れると同時に、人を締め出していた。しかも、使っている仕掛けは同じだった。内側のつながりを密にすることは、入口を握る人の力を強めることにもなりうる。それが排除を強めたかどうかは、一つひとつ確かめなくてはならない。ゼミナールで内側の人の声が互いによく届くことは、外側の人には、そのやり取りがいっそう聞こえなくなることでもある。明確な資格取得の道は、進む人に方向を示す。同時に、途中のどの門も、人を合法的に外へ押しとどめられる場所になる。1915年のあの申請を却下した根拠も、まさにこの道に置かれた規則だった。
これは、一言の感想として覚えておけばよい話ではない。確かめることができる。どの門を、誰が握り、どの規則を根拠にしたのか。それに答えられれば、この機械が誰を受け入れ、誰を阻んだのかがわかる。
この機械は、多くのことを決められる。誰を数学者と認めるか。誰の問題に取り組む価値があるか。誰を育て、誰の論文を人々の目に届けるか。だが、一つだけ決められないことがある。人を組織することはできた。けれど、その人々が争うことになる肝心の問題には、答えを出していなかった。
まさにこの廊下と閲覧室で、続く二十年間、これまでのどんな論争よりも深い土台に届く争いが起こる。何をもって「証明された」とするのか。
数の計算は続いていく。だが、何を数学に数え入れるのかという問いには、まだ一度も決着がついていない。
史料と、さらに読むために
以下の資料は、本文の歴史的な細部や解釈の分かれる点に対応する。収蔵記録、古代の文学作品、現代の復元は、それぞれ異なる種類の証拠である。