Quand le cinquième postulat vole en éclats

1. Il l'a démontrée, puis déclarée fausse

En 1733, un jésuite italien du nom de Saccheri publie un livre dont le titre annonce le programme : Euclide lavé de toute tache.

Tout est déjà dit dans le titre. L'épisode 3 rappelait que le grand traité de géométrie s'ouvre sur cinq énoncés admis sans démonstration, et que le cinquième a plutôt l'allure d'une conclusion qu'il faudrait démontrer. Pendant deux mille ans, la plupart des mathématiciens ont cru qu'il devait découler des quatre premiers. Personne n'y était encore parvenu, voilà tout. Saccheri entend y parvenir.

Il choisit la démonstration par l'absurde. Supposer le cinquième postulat faux, en tirer les conséquences, poursuivre jusqu'à la contradiction. Une fois celle-ci obtenue, l'hypothèse tombe et le cinquième postulat ne peut plus être que vrai.

Il construit une figure. Sur une base, il élève, à chacune des extrémités, un côté perpendiculaire de même longueur que l'autre, puis relie leurs sommets. Les propositions précédentes permettent de démontrer que les deux angles du haut sont égaux. Il ne reste donc que trois cas : tous deux droits, tous deux obtus ou tous deux aigus. Le premier ramène à Euclide. Saccheri écarte assez facilement le deuxième. C'est avec le troisième que les choses se gâtent.

Il avance dans ses déductions : pas de contradiction. Il continue : toujours rien. Il obtient, au contraire, une série de propositions nouvelles qui s'articulent avec une remarquable rigueur. La somme des angles d'un triangle est strictement inférieure à deux angles droits. La distance entre deux droites qui ne se coupent pas se comporte tout autrement qu'en géométrie euclidienne. Le rapport entre similitude et congruence est entièrement transformé. Et dès que ces propriétés valent en un endroit, elles régissent toute la géométrie : il ne s'agit pas d'une exception cachée dans un recoin.

Des dizaines de pages, des dizaines de propositions. Nous dirions aujourd'hui qu'il avait déjà construit une bonne partie de la géométrie élémentaire du plan hyperbolique.

Combien de propositions exactement ? Impossible de donner un chiffre. Tout dépend de la façon dont on découpe son enchaînement de résultats et dont on compte les propositions intermédiaires qui appartiendront à cette géométrie. Un nombre précis ne serait qu'une fausse précision. Ce qu'on peut affirmer, c'est qu'il y a là de quoi faire un cours, mais ni un système complet de trigonométrie hyperbolique ni, à plus forte raison, un modèle. Et, à la fin, Saccheri déclare l'hypothèse de l'angle aigu absolument fausse. Pourquoi ? Parce qu'un certain comportement des droites qui en découle serait contraire à la nature de la droite. Cette phrase est la clef du livre. Ce n'est pas une contradiction.

Aucune des dizaines de propositions précédentes n'entre en conflit avec une autre. Pour produire ce qu'il appelle une contradiction, Saccheri réintroduit comme critère l'idée de ce qu'une droite euclidienne est censée être.

La conclusion de l'épisode 3 trouve ici une application directe : la prémisse écrite attire les attaques ; celles qui ne le sont pas se cachent facilement dans ce qui va de soi. Tout le livre de Saccheri s'en prend à la première. Et, à la dernière page, il s'appuie lui-même sur une prémisse qui n'a jamais été énoncée.

Une version courante de l'histoire veut qu'il ait été à un pas de découvrir la géométrie non euclidienne, mais qu'il ait reculé au dernier moment. Elle fait de lui un homme sans courage. Elle se trompe surtout sur la situation dans laquelle il se trouvait.

La peur n'est pas le problème. Du titre du livre à l'architecture de la démonstration, sa mission consiste à prouver qu'Euclide est sans défaut. Il ne dispose pas de l'idée qu'une autre géométrie puisse constituer un objet mathématique légitime. L'ensemble de propositions sans contradiction qui s'étale devant lui ne peut donc signifier qu'une chose : il manque encore la dernière étape du raisonnement par l'absurde. Il ne peut pas signifier qu'un nouveau monde est déjà construit.

2. Une sphère de rayon imaginaire

Un peu plus de trente ans après, Lambert va plus loin et s'arrête à un tout autre endroit. Son manuscrit sur les parallèles est rédigé vers 1766. Il ne le publie pas de son vivant ; d'autres l'éditeront en 1786. Il faut donc distinguer, dans sa chronologie, la rédaction de la publication.

Sa figure diffère légèrement de celle de Saccheri : un quadrilatère possède trois angles droits, et Lambert examine ce qui se passe selon que le quatrième est droit, obtus ou aigu. La démarche appartient à la même tradition.

Une fois les trois angles droits en place, il ne reste que ces trois possibilités pour le quatrième. Le dispositif remplit la même fonction que celui de Saccheri : rendre un problème insaisissable accessible à un examen cas par cas.

Et dans la branche de l'angle aigu, les résultats qu'il rencontre nous sont aujourd'hui immédiatement reconnaissables.

Lambert ne se hâte pas de l'éliminer comme son prédécesseur. La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits. Deux droites ayant une perpendiculaire commune s'écartent de plus en plus à mesure qu'on s'en éloigne. Certaines propriétés euclidiennes des cercles et des polygones cessent de valoir. Une échelle de longueur propre à la géométrie apparaît d'elle-même. Surtout, l'aire d'un triangle est proportionnelle à son défaut angulaire, c'est-à-dire à la différence entre deux angles droits et la somme de ses trois angles. Ce n'est pas seulement un joli résultat isolé. C'est l'une des signatures les plus frappantes de ce qu'on appellera la géométrie à courbure négative constante.

C'est alors qu'il écrit la phrase devenue célèbre.

Sur une sphère, remarque-t-il, la somme des angles d'un triangle dépasse deux angles droits, et l'aire est liée à cet excès angulaire. Sous l'hypothèse de l'angle aigu, la situation s'inverse exactement. On serait presque forcé d'en conclure, écrit-il en substance, que cette troisième hypothèse se réalise sur une sphère de rayon imaginaire.

Cela ne signifie pas qu'il possède déjà un modèle. Il s'agit d'abord d'une analogie d'une extraordinaire finesse : si l'on remplace formellement le rayon par un nombre imaginaire dans les formules sphériques, nombre de signes s'inversent exactement comme il le faut.

L’épisode 8 montrait qu’au XVIe siècle la racine carrée d’un nombre négatif était devenue une étape de transit dont le statut restait en suspens. Or la route des radicaux passait justement par là. Environ deux siècles plus tard, elle reparaît ici, au beau milieu d'une phrase de géométrie : une sphère dont le rayon est imaginaire.

Quand Lambert écrit ces mots, le calcul sur les nombres complexes a déjà progressé. Mais leurs fondements et leur interprétation géométrique ne sont pas encore établis comme ils le seront plus tard. Il décrit quelque chose dont le statut reste en suspens à l'aide d'autre chose dont le statut reste lui aussi en suspens.

La fin de son manuscrit importe davantage encore. Lambert ne conclut pas, à la manière de Saccheri, que l'hypothèse est absolument fausse. Dans les dernières pages conservées, il cherche toujours une contradiction. Cette partie est restée inachevée.

N'allons donc pas rendre à sa place un verdict qu'il n'a pas prononcé. La seule chose que l'on puisse dire est qu'il n'a pas publiquement proclamé la légitimité d'une géométrie nouvelle.

Autre récit répandu : le livre de Saccheri aurait disparu pendant un siècle et demi. Ce n'est pas le cas. Il n'a certes suscité ni tradition de lecture continue ni école. Mais Klügel le cite en 1763 dans son étude des parallèles, et Lambert a lu Klügel. L'influence d'un livre peut tenir à un fil aussi mince : quelqu'un le cite ; quelqu'un d'autre lit cette citation.

Sa véritable réévaluation historique intervient vers 1889 : le livre retient l'attention et est signalé à Beltrami. C'est ensuite que Saccheri entre dans le récit classique de la géométrie non euclidienne. Laisser une trace bibliographique et être lu comme le commencement d'une histoire sont deux choses différentes.

Nous retrouverons cette différence dans cet épisode. Ses conséquences seront alors bien plus lourdes.

3. Alors, qu'y avait-il de nouveau ?

Voici le passage le plus important de cet épisode.

Si découvrir la géométrie non euclidienne consistait simplement à démontrer des propositions correctes en niant le cinquième postulat, le travail était déjà largement accompli en 1733 et avait encore avancé en 1766. Le XIXe siècle y ajoute autre chose, à quatre niveaux.

Le premier concerne le statut de ces propositions. Pour Saccheri, l'hypothèse de l'angle aigu est une hypothèse ennemie : il faut la détruire. Lambert travaille encore dans la perspective d'une contradiction à trouver. Leurs successeurs commencent à poser une autre question : et si nous cessions de présumer qu'elle doit mourir ? Voyons comment elle fonctionne en tant que géométrie, prise dans son ensemble.

Les mêmes propositions sont, d'un côté, des pièces à conviction en attente d'une condamnation ; de l'autre, la matière d'une discipline. La différence ne tient pas à ce qui figure sur le papier, mais à ce qu'on compte en faire. On pourrait n'y voir qu'une affaire d'attitude. Elle détermine pourtant la suite du travail. Si ces propositions sont des pièces à conviction, il faut continuer à chercher une contradiction jusqu'à ce qu'on la trouve. Chaque proposition nouvelle n'est qu'un nouvel échec à la trouver.

Si elles constituent la matière d'une discipline, tout change : on les ordonne, on les complète, on distingue les propositions fondamentales de celles qui en découlent, puis on se demande si l'ensemble permet de calculer autre chose. Les mêmes feuilles de papier, deux suites possibles.

Et ces feuilles, Saccheri et Lambert les ont déjà remplies.

Le deuxième niveau est celui de la systématisation. Saccheri dispose de nombreuses propositions élémentaires ; Lambert, d'une intuition profonde sur le rapport entre aire et défaut angulaire. Aucun n'a cependant constitué une théorie calculatoire qu'on puisse réutiliser à volonté. Leurs successeurs établissent l'ensemble des relations entre angle de parallélisme, distances et fonctions trigonométriques. Ils passent du plan à l'espace et montrent comment la géométrie euclidienne apparaît comme limite ou comme cas particulier.

La nouvelle géométrie cesse alors d'être une série de conclusions étranges surgies au cours d'une démonstration par l'absurde. Elle devient un outil de calcul dont on peut se servir tous les jours, au même titre que de la trigonométrie sphérique.

Ce changement a un autre effet. Un système de calcul permet des vérifications internes : si deux chemins donnent des valeurs différentes pour une même grandeur, quelque chose cloche. Les propositions issues des raisonnements par l'absurde avaient déjà leurs liens logiques, mais ne formaient pas encore un système aussi complet et aussi aisément réutilisable.

Le troisième niveau tient au parti pris. Ces chercheurs ne poursuivent pas tous le même but. L'un veut savoir si la géométrie peut être entièrement fondée a priori : la pensée seule permet-elle de décider quelle forme l'espace doit nécessairement avoir ? Un autre veut isoler tout ce qui ne dépend pas du postulat des parallèles, pour en faire une discipline plus fondamentale dont les géométries euclidienne et non euclidienne seraient deux branches. Un autre encore y voit une géométrie imaginaire dont on peut continuer à tirer des conséquences et dans laquelle on peut calculer : calculons d'abord, nous verrons ensuite. Tous ont pourtant franchi la même ligne. Ils ne font plus cette hypothèse dans le seul but de la réfuter.

Le quatrième niveau vient en dernier. C'est aussi le plus décisif : les modèles.

On peut démontrer des centaines de formules qui s'accordent entre elles ; le sceptique peut toujours répondre que la contradiction se cache peut-être dans la suivante. Accumuler les théorèmes ne réfute pas cette objection : si nombreux soient-ils, leur nombre reste fini. Un modèle change la question elle-même. Mais il faudra attendre 1868.

La grande nouveauté ne sera donc pas d'avoir davantage de théorèmes. Elle sera de pouvoir dire ce que sont ces théorèmes.

4. Trois chemins

On présente souvent Gauss, Bolyai et Lobatchevski comme trois découvreurs indépendants, arrivés au même moment. C'est commode pour les commémorations, moins pour comprendre. Dans le cas de Gauss, il faut distinguer deux sortes de documents.

Vers la fin de sa vie, il répète qu'il réfléchit à la question depuis trente ans, trente-cinq ans, près de quarante ans. En 1846, il affirme même entretenir des convictions de cet ordre depuis cinquante-quatre ans. Si l'on remonte le temps à partir de ces chiffres, on arrive dans les années 1790, alors qu'il était adolescent.

Ces souvenirs sont des documents authentiques : les lettres sont bien de lui et leurs dates sont établies. Mais ce sont des souvenirs, pas des traces contemporaines des recherches évoquées. Dire qu'on avait une idée trente ans auparavant prouve qu'on le croit au moment où on l'écrit. Cela ne prouve pas ce qu'on avait effectivement en main trente ans plus tôt.

Or les manuscrits que l'on peut dater sont beaucoup moins complets que ne le suggèrent ces souvenirs. Le journal mathématique qu'il tient de 1796 à 1814 est un document capital ; on n'y trouve pourtant aucune entrée qui suffise à montrer que le jeune Gauss possédait déjà la géométrie hyperbolique dans son ensemble, au sens qu'elle prendra plus tard. En revanche, plusieurs notes sur les parallèles et les fondements de la géométrie peuvent être datées avec assurance entre 1828 et 1832.

Voici donc une chronologie plus prudente. Dès la fin des années 1790, Gauss discute des fondements de la géométrie avec Bolyai père.

Nous retrouverons cet homme, précisément dans son rôle de père. Dans la correspondance autour de 1816 apparaissent déjà, dans l'entourage de Gauss, les idées d'une géométrie opposée à celle d'Euclide, d'une constante inconnue, d'une trigonométrie transcendante. En 1819, répondant à des travaux de « géométrie astrale » qui lui sont parvenus par un intermédiaire, il déclare sans ambiguïté qu'il sait traiter cette géométrie pourvu qu'on lui donne la constante.

Avec sa lettre à Taurinus du 8 novembre 1824, le dossier devient très net. Supposer la somme des angles d'un triangle inférieure à deux angles droits conduit, écrit-il, à une géométrie particulière. Beaucoup de ses résultats paraissent paradoxaux, mais aucune impossibilité n'y a été découverte jusqu'alors. Elle possède une échelle caractéristique, et l'aire des triangles y est liée au défaut angulaire.

Dans la lettre à Bessel du 27 janvier 1829, Gauss déplace la question. Il se dit de plus en plus convaincu que la géométrie ne peut pas être fondée entièrement a priori. Il a beaucoup travaillé sur ces questions, mais ne publiera peut-être pas ses recherches de son vivant sous une forme organisée. Suit la formule célèbre : il craint les clameurs des Béotiens.

La Béotie est une région de la Grèce antique. Dans la caricature qu'en faisaient les Athéniens, le Béotien était un être lourd, grossier, fermé aux choses de l'esprit. La formule de Gauss est authentique, et sa source parfaitement solide : elle se trouve bien dans cette lettre.

Elle n'explique pas tout pour autant. L'historien des mathématiques Jeremy Gray a apporté une rectification importante : les premiers documents de Gauss datables avec précision sont bien plus minces que la théorie complète que la postérité a reconstruite pour lui. En 1828 et en 1831, il écrit encore de nouvelles notes sur les fondements. Cela ressemble davantage à une recherche en cours qu'à un livre achevé dans les années 1790 et enfermé depuis dans un tiroir.

La formulation la plus sûre est donc celle-ci : la peur des clameurs n'est pas une légende, mais l'une des explications données par Gauss lui-même. En faire la seule, puis s'en servir pour reconstituer tout le contenu mathématique qu'il n'a pas laissé, relève de l'héroïsation ultérieure. Sur une autre route se trouvent un père et son fils.

Le 4 avril 1820, Bolyai père écrit à son fils, qui est à Vienne. Dans sa jeunesse, il a lui-même consacré des efforts considérables aux parallèles et en a discuté avec Gauss. Ce n'est pas une vague mise en garde paternelle, mais l'avertissement très précis d'un homme qui porte une blessure : ne t'engage pas sur cette route à la poursuite des parallèles ; c'est une nuit sans fond, elle dévorera ton temps, ta santé et ta vie.

L'auteur de la lettre sait de quoi il parle. Il a perdu des années sur ce même chemin et, pour en avoir discuté avec Gauss, sait que même lui n'a pas résolu le problème. Trois ans plus tard, la situation se renverse. Le 3 novembre 1823, le fils écrit à son père qu'il a créé, à partir de rien, un monde nouveau et étrange.

Le texte paraîtra en appendice à un ouvrage en deux volumes de son père. Son titre complet signifie, approximativement : Appendice présentant la science absolument vraie de l'espace. Un peu plus de vingt pages d'une densité extrême, où tiennent l'angle de parallélisme, la trigonométrie hyperbolique et des résultats dans l'espace.

L'une de ses véritables innovations consiste à remplacer la question « Le cinquième postulat est-il vrai ? » par une autre : quels faits géométriques se passent entièrement de lui, et où se situe la bifurcation pour les autres ?

Le 20 juin 1831, le père en envoie un exemplaire à Gauss. Il n'arrive pas. Un second lui parvient en janvier 1832. Gauss répond le 6 mars 1832.

Le passage le plus célèbre de sa réponse dit, en substance : tu seras peut-être surpris de m'entendre dire que je ne peux louer le travail de ton fils. Mais le louer reviendrait presque à me louer moi-même, car son contenu, la voie suivie et les résultats obtenus coïncident presque entièrement avec mes propres réflexions depuis trente à trente-cinq ans.

Cette lettre est un document solide. Elle prouve cependant seulement que Gauss revendique cette antériorité en 1832. Elle ne suffit pas, à elle seule, à prouver qu'en 1797 il possédait déjà tout ce que contient l'Appendice.

La réaction ultérieure du fils est documentée, mais les récits courants la dramatisent souvent à l'excès. La lettre aggrave l'éloignement entre le père et le fils et persuade ce dernier qu'il n'y a plus de sens à publier. Il ne cesse pourtant pas de travailler. Après avoir lu un livre de Lobatchevski en 1848, il rédige de nombreuses notes critiques et comparatives ; il en vient même un temps à soupçonner quelque lien entre Gauss et Lobatchevski. Ses manuscrits conservés sont très abondants.

L'affirmation selon laquelle une lettre de Gauss aurait détruit un génie ne résiste donc pas aux faits. Sa carrière de publication s'interrompt presque à l'Appendice ; son travail d'écriture, lui, continue. Quant à ce qu'il aurait fait ou dit sur-le-champ, à la lecture de la lettre, on ne dispose d'aucun témoignage dont on puisse retrouver la source. Les scènes saisissantes que raconte la postérité viennent de la postérité.

Le troisième de nos voyageurs est celui qui publie le plus, et le plus ouvertement.

Pour Lobatchevski, une première étape se déroule à Kazan, en 1829 et 1830. Il fait paraître une étude sur les principes de la géométrie en cinq livraisons dans une revue locale de l'université. C'est le premier exposé systématique de géométrie non euclidienne officiellement imprimé. Dès le 11 février 1826, il avait présenté sa nouvelle géométrie à l'université de Kazan et soumis son texte à l'examen de ses pairs, mais ce manuscrit a été perdu.

Le véritable goulet d'étranglement est le canal de publication. Une revue universitaire locale, en russe, à diffusion très limitée, y compris en Russie. Si l'Europe occidentale l'ignore, ce n'est pas que le courrier mette dix ans à arriver. C'est une question de langue, de réseaux d'échange, de prestige des revues et de voies d'accès à la communauté savante.

Deuxième étape, en 1837 : il publie en français dans une importante revue de recherche de Berlin. Elle a accueilli les travaux d'Abel, et le français est alors une langue internationale de la science.

L'épisode 10 racontait l'histoire de la petite brochure qu'Abel avait fait imprimer à ses frais. Cette même revue a ensuite publié sa version plus complète ; elle publie aussi le travail de Lobatchevski. Après 1837, on ne peut donc plus soutenir que celui-ci n'avait matériellement aucun moyen d'atteindre l'Europe occidentale.

Troisième étape : la brochure allemande publiée à Berlin en 1840, une soixantaine de pages. C'est son exposé le plus clair et le plus facile à faire circuler. C'est celui-là que Gauss lit effectivement et examine avec sérieux.

Gauss l'admire. Dans sa correspondance privée, il y salue un véritable esprit géométrique ; il propose même Lobatchevski comme membre d'une société savante de Göttingen. Mais l'admiration privée et le soutien public sont deux choses différentes : il ne publie aucun article pour le défendre.

En 1855, devenu complètement aveugle, Lobatchevski dicte sa dernière synthèse. Ce fait est mieux attesté que bien des récits sur ses malheureuses dernières années. En revanche, rien ne documente l'image d'un homme abandonné de tous, vivant dans le dénuement absolu.

Les recherches récentes dans les archives ont corrigé plusieurs exagérations sur ses biens, ses finances et l'attitude de l'université à son égard. La cécité, la maladie, la mort de son fils aîné sont des faits. L'abandon par tous n'en est pas un.

5. Publiée, mais pas acceptée

Dire que personne n'y a prêté attention est faux. Dire que la géométrie nouvelle n'a pas été largement acceptée est juste.

Les premiers travaux de Lobatchevski sont passés par la procédure d'examen de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Le rapporteur, Ostrogradski, le mathématicien le plus célèbre de l'institution, rend un avis négatif ; l'Académie ne les imprime pas. En 1834, une revue de Saint-Pétersbourg publie un article qui les tourne en ridicule. Le rejet prouve au moins que quelqu'un les a lus. En 1837 vient la publication berlinoise. La brochure allemande de 1840 retient rapidement l'attention de Gauss, qui propose la candidature de son auteur à une société savante. Quant à l'Appendice de Bolyai, Gauss, au moins, le lit et lui répond en détail.

Dans le même temps, les réseaux de citations, de manuels et d'enseignement sont presque vides. Pour les années 1830 et 1840, rien n'indique qu'un étudiant européen ordinaire en mathématiques ait rencontré cette géométrie dans un cursus habituel.

Une coïncidence est particulièrement révélatrice. Dans les années 1830, Minding étudie les surfaces de révolution à courbure négative constante et obtient même des formules correspondant à la trigonométrie hyperbolique. Il ne les relie pas aux travaux de Lobatchevski. Les mêmes formules ont été trouvées par deux hommes, mais les deux réseaux de savoir ne se sont pas rejoints.

Arrêtons-nous un instant sur ce cas. Minding n'est pas un marginal, et la théorie des surfaces qu'il étudie n'est pas un sujet confidentiel. Il possède ces formules alors que Lobatchevski a imprimé les mêmes relations plusieurs années auparavant. Les récits dont nous disposons ne permettent pas de déterminer quels travaux pertinents chacun avait lus. Ce qui est établi, c'est que les deux voies de recherche n'ont pas été efficacement reliées à cette époque. Pour être acceptée, une théorie ne doit pas seulement être correcte. Il ne suffit même pas qu'elle soit publiée. Il faut encore que quelqu'un fasse le trajet entre deux lieux qui, jusque-là, ne communiquaient pas.

Gray résume cette période en une formule : publiée, mais pas acceptée. Les textes existent, quelques personnes les rencontrent, mais aucun réseau efficace ne se forme qui puisse transformer le jugement de la discipline.

Le tournant s'amorce après la mort de Gauss, en 1855. Ses lettres et ses manuscrits révèlent progressivement le soutien privé qu'il avait apporté à cette géométrie. Dans les années 1860, le Français Jules Hoüel se fait traducteur, commentateur et intermédiaire. En 1866, il publie la traduction française du livre allemand de Lobatchevski et fait circuler les lettres de Gauss qui concernent le sujet. Son abondante correspondance est aujourd'hui une source essentielle pour reconstituer cette histoire de la réception.

Le travail de Hoüel, ainsi énuméré, n'a rien d'éclatant : traduire, rédiger des comptes rendus, écrire des lettres, envoyer à l'un le travail d'un autre, transmettre la réponse à un troisième.

Sans ce travail, pourtant, la situation des décennies précédentes se serait prolongée : les textes étaient imprimés, ils étaient là, et ceux qui auraient dû les lire ignoraient leur existence.

En 1870, Weierstrass anime à Berlin un séminaire sur la géométrie de Lobatchevski. Le jeune Klein y participe. Désormais, cette géométrie s'enseigne et se prête à la recherche. L'année suivante, ce jeune homme va pousser les choses plus loin encore.

En 1871, Klein place ces différentes géométries dans un même cadre projectif. On choisit une conique de référence et l'on définit la distance à l'aide du birapport. La géométrie euclidienne, la géométrie hyperbolique et une troisième géométrie deviennent ainsi différentes versions métriques d'une même structure, selon la référence choisie.

La même idée s'en trouve renforcée. Ce ne sont plus des univers ennemis, mais plusieurs lectures d'une même chose, entre lesquelles existent des traductions exactes.

Plus tard, dans les années 1880, Poincaré relie une autre famille de modèles à la théorie des fonctions complexes et à celle des groupes. Les manuels les portent souvent à son crédit, mais il n'est pas le premier à les avoir construits : les travaux de Beltrami de 1868 en contiennent déjà des formes analytiques équivalentes. Poincaré en change l'usage et la place. À ce stade, la géométrie non euclidienne n'est plus une curieuse théorie des parallèles. Elle sert à la fois à la géométrie projective, à la géométrie différentielle et à l'analyse complexe.

Quand une chose devient utile dans trois domaines différents, elle n'a plus à justifier son existence.

6. Le modèle

Le 10 juin 1854, Riemann prononce à Göttingen sa leçon d'habilitation, Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie. Il a soumis plusieurs sujets, comme le veut la procédure ; Gauss a choisi celui-ci.

Sa question ne porte pas sur les parallèles. Elle se situe un étage plus haut : comment définir une grandeur étendue selon plusieurs dimensions ? Comment y définir les longueurs ? Comment la métrique varie-t-elle d'un point à l'autre ? Que faut-il entendre par courbure ? Quant à savoir de quelle structure métrique relève l'espace physique, la seule analyse des concepts ne permet pas de le décider.

C'est un cadre nouveau, pas une autre manière de nommer la même chose. Ses prédécesseurs avaient donné une géométrie de remplacement bien déterminée ; Riemann, lui, inscrit les différentes géométries dans une famille générale de structures métriques. Sa conférence de 1854 ne paraît pas sous la forme d'un article de son vivant. Après sa mort en 1866, Dedekind et d'autres éditent ses manuscrits, qui entrent dans les publications scientifiques vers 1868. Cette même année, Beltrami accomplit le geste décisif.

On peut le décrire en une phrase, à condition de peser chaque mot : Beltrami interprète les objets et les relations de la géométrie non euclidienne comme des objets et des relations de la géométrie euclidienne déjà admise.

La partie la plus facile à se représenter fait intervenir une surface appelée pseudosphère. Sa courbure est partout négative et constante. Si l'on mesure les distances sur la surface elle-même, en suivant les chemins les plus courts qui y sont tracés, une partie de la géométrie du plan non euclidien prend effectivement corps. Les géodésiques de la surface jouent le rôle des droites ; les rapports entre angles, distances et triangles prennent la forme hyperbolique.

Les formules qui passaient pour de pures monstruosités symboliques trouvent ainsi une interprétation concrète dans l'espace ordinaire à trois dimensions.

Mais la pseudosphère n'est pas le plan hyperbolique tout entier. Elle a un bord, des singularités ; elle ne permet pas de déployer sans dommage la totalité du plan hyperbolique infini dans l'espace à trois dimensions. Réduire le travail de Beltrami à cette surface en forme de pavillon, c'est passer à côté de sa portée réelle.

Un résultat ultérieur rendra la limite plus nette encore. Au début du XXe siècle, on démontre qu'une surface complète à courbure négative constante ne peut tout simplement pas être plongée régulièrement et isométriquement dans l'espace ordinaire à trois dimensions. Autrement dit, vouloir voir le plan hyperbolique entier dans un objet matériel est une voie sans issue.

L'essentiel du travail de Beltrami n'est donc pas dans cette surface.

Sa contribution la plus profonde est celle des modèles analytiques. Sur un disque ordinaire, il suffit de redéfinir quelles courbes jouent le rôle de droites et comment on mesure les distances pour que toutes les relations de la géométrie non euclidienne soient satisfaites.

À première lecture, on pourrait crier à la tricherie : serait donc une droite tout ce qu'il décide d'appeler une droite ?

Mais une fois ces définitions posées, la suite ne dépend plus de son bon vouloir. Les courbes désignées comme droites se croisent, les figures qu'elles délimitent ont des angles et des aires déterminés. Ces relations se calculent ; elles ne se décrètent pas. Or le calcul restitue précisément celles de la géométrie non euclidienne.

La liberté de définir ne concerne que la première phrase. Tout ce qui vient ensuite doit obéir aux mathématiques ordinaires de la géométrie euclidienne.

La portée logique de ce travail n'est pas celle qui vient spontanément à l'esprit. Il ne dit pas : puisque nous pouvons voir la pseudosphère, l'espace réel est non euclidien.

Il dit ceci : si la géométrie non euclidienne conduisait à une contradiction, on pourrait traduire le raisonnement, phrase après phrase, dans le langage du disque. On obtiendrait alors une contradiction correspondante au sein de la géométrie euclidienne ordinaire.

Par conséquent, si les mathématiques ordinaires qui portent le modèle sont cohérentes, la géométrie non euclidienne ainsi interprétée l'est également.

C'est ce qu'on appelle la cohérence relative. Ce n'est pas une cohérence absolue : le modèle repose lui-même sur d'autres mathématiques. Ce n'est pas davantage une preuve de la géométrie qu'adopte l'espace réel. Mais, dans cette histoire, l'effet est de renverser entièrement la charge de la preuve.

Avant le modèle, les défenseurs de la géométrie non euclidienne devaient sans cesse montrer patte blanche : encore une proposition, regardez, toujours aucune contradiction. Une tâche sans fin, puisque le sceptique pouvait toujours attendre la suivante. Après le modèle, c'est à lui de répondre : expliquez donc pourquoi une contradiction ici n'en entraînerait pas aussi une dans les mathématiques ordinaires qui portent le modèle. Ce n'est pas un théorème ajouté à la liste. C'est un changement de la personne à qui l'on demande de s'expliquer.

En 1868, Beltrami n'énonce pas lui-même son objectif dans le langage de la logique formelle du XXe siècle. Présenter son article comme une démonstration moderne de cohérence est une reconstruction rétrospective. Ce qu'il a effectivement accompli, c'est de donner une interprétation qui fournit la structure mathématique reconnue plus tard comme une preuve de cohérence relative.

7. Comment les deux mille ans ont pris fin

Avec le modèle, l'indépendance du cinquième postulat reçoit, pour la première fois, un argument véritablement puissant.

Le mot « indépendance » a ici un sens très précis. Si le cinquième postulat pouvait réellement se déduire des autres, il serait nécessairement vrai dans toute interprétation où les autres sont vrais. Or Beltrami en donne une où les autres relations fondamentales sont satisfaites, tandis que les parallèles se comportent selon la géométrie hyperbolique.

Il a donc construit un contre-exemple. Pas un contre-exemple à un résultat géométrique, mais à la possibilité d'une démonstration : voici un cas où toutes les prémisses sont satisfaites et où la conclusion ne l'est pas. Cette conclusion ne peut donc pas se déduire de ces prémisses.

Le cinquième postulat ne peut donc pas être déduit des seuls autres postulats.

Il faut toutefois ajouter une réserve, précisément celle que traitait l'épisode 3. Les cinq postulats d'Euclide ne constituent pas un système formel complètement spécifié et explicite. De nombreuses hypothèses relatives à l'ordre, à la continuité, à la congruence ou à l'existence des points d'intersection n'y sont jamais formulées. Pour énoncer l'indépendance avec la rigueur d'aujourd'hui, il faudra attendre la reconstruction axiomatique de l'ensemble, à la fin du XIXe siècle.

Nous pouvons enfin répondre à la question vieille de deux mille ans : pourquoi tant de gens ont-ils échoué à démontrer ce postulat ? Ce n'est pas leur intelligence qui était en cause. C'est l'objectif lui-même qui était hors d'atteinte.

La différence entre ces deux explications est immense. L'une porte sur les capacités des hommes ; l'autre, sur la nature de la tâche. Pendant deux mille ans, tout le monde avait tacitement retenu la première.

Si une proposition est indépendante des autres prémisses, on ne pourra jamais la déduire de celles-ci. Toute démonstration qui prétend y parvenir contient nécessairement une erreur de raisonnement, une prémisse passée sous silence, ou réintroduit à un moment donné quelque chose qui suffit à entraîner le cinquième postulat.

La dernière phrase de Saccheri, sur ce qui serait contraire à la nature de la droite, devient alors particulièrement éclairante.

On n'y voit plus la faiblesse d'un homme, mais la forme commune aux démonstrations manquées pendant des siècles : au moment décisif, une intuition euclidienne jamais énoncée revient sous un autre nom. Et chaque fois, celui qui la réintroduit a le sentiment de ne rien faire d'autre que constater une évidence.

C'est le piège le plus difficile à déjouer. Si une prémisse n'a pas été écrite, c'est généralement parce qu'elle paraissait ne pas avoir besoin de l'être. Et ce qui paraît ne pas avoir besoin d'être écrit n'éveille aucune méfiance lorsqu'on s'en sert.

Reprenons ici l'exemple de l'épisode 3. La toute première proposition du traité utilise le point d'intersection de deux cercles, sans qu'aucun postulat garantisse leur rencontre. À peine les cercles dessinés, l’intersection est là : on est tenté de croire qu’il n’y a rien à ajouter. Plus tard, certains voudront pourtant mettre cela aussi en mots.

La dernière étape de Saccheri fait appel à la même sorte d'évidence. Cette fois, elle sert à fermer une porte. Pendant deux mille ans, ce pas a été franchi et refranchi, chaque fois comme s'il ne méritait même pas d'être signalé.

8. La charge de la preuve

On peut maintenant ordonner assez clairement les gestes des hommes rencontrés dans cet épisode.

Saccheri démontre une foule de propositions, puis refuse de leur reconnaître une légitimité. Lambert en démontre davantage et entrevoit une analogie saisissante, mais ne prononce pas de verdict. Gauss croit que cette géométrie peut être exempte de contradictions, sans livrer un système susceptible de convaincre les autres. Bolyai et Lobatchevski en font, pour la première fois, une discipline capable de fonctionner par elle-même. Entre eux existe aussi tout un milieu que le récit habituel des trois découvreurs tend à effacer.

Dans les années 1820, Schweikart et Taurinus mènent déjà des recherches voisines. Schweikart, professeur de droit, appelle « géométrie astrale » la géométrie qu'il imagine et la fait parvenir à Gauss par un intermédiaire. Taurinus part des travaux plus anciens sur les parallèles, correspond lui aussi avec Gauss et obtient des formules déjà très proches de la trigonométrie hyperbolique.

Ni l'un ni l'autre ne lance, comme on le fera ensuite, un programme public et durable de nouvelle géométrie. Leur travail établit néanmoins un point : cette géométrie n'est pas sortie du cerveau de trois génies isolés, chacun dans le vide. Quelques figures se sont détachées d'un milieu de recherche continu.

Même réunies, ces quatre étapes ne suffisent pourtant pas à faire accepter la nouvelle géométrie par les mathématiciens.

Cinq hommes, un siècle, des centaines de propositions. Cela ne suffit toujours pas.

Leurs travaux n'avaient pas tous le même objectif. Mais accumuler des propositions qui s'accordent entre elles ne pouvait, à soi seul, garantir qu'aucune contradiction ne surgirait jamais. La tâche était interminable : à chaque proposition démontrée, le sceptique attendait la suivante. Ce qui y a mis fin n'est pas une proposition de plus, après des centaines d'autres. Quelqu'un a cessé de répondre à cette question et en a posé une autre. Au lieu de demander si cette géométrie contient une contradiction, il a demandé s'il existait une traduction entre elle et des mathématiques déjà acceptées. Une fois cette traduction établie, le problème initial est devenu le problème de quelqu'un d'autre.

Cette opération suppose qu'il existe autre chose à quoi se raccorder. Si la géométrie euclidienne et les méthodes analytiques avaient elles-mêmes été en pleine tourmente à cette époque, le raccordement n'aurait servi à rien.

Ce n'est donc pas une méthode disponible en toute circonstance. Logiquement, elle exige une théorie capable de porter le modèle ; dans l'histoire de sa réception, il importait tout particulièrement que cette théorie bénéficie d'une large confiance. Et ce n'était pas un tour de passe-passe.

Le modèle n'a pas esquivé la question. Il l'a transportée ailleurs, intacte. Si la géométrie non euclidienne contient vraiment une contradiction, celle-ci réapparaîtra telle quelle dans la géométrie euclidienne ordinaire. Personne n'a été déchargé de quoi que ce soit. Le seul changement est que le poids repose désormais sur des mathématiques utilisées depuis deux mille ans, que personne n'envisage de mettre en doute.

L'épisode 2 se terminait sur une idée : lorsqu'on ne peut atteindre quelque chose, on peut changer le critère selon lequel on juge qu'on l'a atteint. Cet épisode montre une autre forme du même geste. Cette fois, ce qui change n'est pas le critère, mais la personne à qui incombe la preuve. Ces deux gestes méritent d'être retenus : ils ne se produisent pas seulement en mathématiques.

Lorsqu'une affirmation résiste longtemps aussi bien à la preuve qu'à la réfutation, une pièce de plus au dossier ne suffit généralement pas à clore l'affaire. Souvent, celle-ci se dénoue parce que quelqu'un relie l'affirmation à autre chose qui est déjà accepté. Le problème change alors de mains.

Ce raccordement ne l'a pourtant pas rendue plus vraie. Elle est seulement devenue aussi vraie que le reste. Ou tout aussi peu vraie.

Les calculs continuent. Mais ce qui compte comme mathématiques n'a jamais été tiré au clair.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d'interprétation évoqués dans cet épisode. Notices de collections, textes anciens et reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Beltrami : traduction française de 1869 de son mémoire de 1868, publication originale
• Jeremy Gray : une réinterprétation de la géométrie non euclidienne
• CultureMath, École normale supérieure : géométries euclidienne et non euclidiennes
• Université de Florence : le mémoire de Beltrami de 1868
• Encyclopedia of Mathematics : l'interprétation de Beltrami