数学 · 10 / 25
追跡の終わり
一般の五次方程式を根号で解く公式を求める営みは、どう終わったのか。そして、ガロアの記録は、なぜいまなお天才神話を食い止められないのか。
一 二十一歳
1832年5月31日の午前、パリのコシャン病院で、一人の青年が息を引き取った。前日の決闘で受けた銃創が命を奪った。病院の入院簿も、死亡の記録も、解剖の資料も、いまに残っている。
死亡に関する書類には、二十一歳とある。
実際には、まだ二十一歳になっていなかった。
名はエヴァリスト・ガロア。いまでは、どの代数学の教科書を開いても、彼の名を冠したものに出会う。ところが生きているあいだ、仕事のいちばん核心にある部分は、一ページたりとも正式には刊行されなかった。
その年齢を記したのは、当時の担当者が、出来事から一日もたたないうちに作成した公的な一次史料である。それが、間違っていた。
重大な間違いではない。誰かに害を与えたわけでもない。ただ、この一篇で何度も立ち返ることを教えてくれる。ある記述を信頼できるかどうかは、それが出来事にどれほど近いかにかかわる。だが、近ければ一字一句すべて正しい、とは限らない。
今回の史料事情は、この連載のこれまでのどの回とも違う。
これまでに登場した人々の年代は、何百年も後の伝聞からさかのぼって推定することが多かった。第二篇のヒッパソスについて最初の記録が現れるのは、五百年後。第三篇のエウクレイデスの名を初めて挙げる資料は、百年後。第四篇のアルキメデスの生年にいたっては、十二世紀の人物が、没年と享年を使って算出したものだった。
今回は違う。
出生届、学校の成績表と教師の所見、科学アカデミーの議事録、新聞の裁判記事、警察と裁判所の一件書類、監獄の記録、病院の入院簿、解剖資料、そして自筆の原稿と手紙。ガロアの二十年の生涯は、十九世紀フランスで文書を膨大に生産していた機関の、ほとんどすべてを通り抜けている。
学校へ通い、試験を受け、退学させられた。二度逮捕され、二度法廷に立ち、獄につながれた。コレラの流行時には転院させられ、最後は病院で死んだ。その一つ一つに、紙が残った。
しかも、一か所だけではない。学校には学校の記録があり、裁判所には裁判所の記録があり、新聞にはまた別の記事がある。同じ出来事を、二つ三つの場所から照合できることも珍しくない。
彼自身も書いた。生前に発表した五篇の論文、科学アカデミーに提出したいくつかの原稿、新聞への公開書簡、獄中からの手紙、最後に友人へ宛てた長い手紙。それに、何度も何度も手を入れた原稿の束。その自筆原稿が、いまもある。
それが残ったこと自体、当たり前ではなかった。死後、机上の資料はまずシュヴァリエの手に渡った。彼はその一部を書き写し、1843年にリウヴィルへ渡した。後年、リウヴィルはこれらの原稿を含む蔵書と文書を娘婿に遺し、その娘婿の未亡人が、1905年か1906年ごろに科学アカデミーへ引き渡した。四人の手を経て、ようやく公共の所蔵になったのである。
途中の誰か一人が少し不用意だったら、この一篇は書けなかった。ここで行ういくつかの重要な訂正は、まさにその紙の束に支えられている。最初は二十五の書類群に整理され、後に二つが加わった。現行の目録では二十七の書類群を一冊に綴じたものとされ、約二百八十五葉、そのうち百六十葉余りが本人の筆跡である。高精細のデジタル画像によって、ほぼ全体を初めてオンラインで閲覧できるようになったのは、2011年以降だった。それ以前、原本がすでにかなり傷みやすくなっていたため、研究者はしばしばマイクロフィルムに頼っていた。
それほどの史料があってなお、彼を包む伝説の層は、数学史全体でも、最も厚い層をなしている。
試験場で投げつけられた黒板消し。大数学者に紛失された論文。「理解不能」とだけ書いて突き返した審査員。決闘の前夜に理論のすべてを書き上げ、余白に何度も「時間がない」と記した青年。その手稿を読み解く者が現れるまで、死後十四年もかかったという話。
どれ一つとして、そのまま確定した事実にはできない。
それなのに、どれも立派な本に載っている。なかには、いまでも権威ある伝記として引用される本に載っているものさえある。誤っていることそのものより、この点のほうが重要だ。誤った話がまともな本のなかで百年生き延びるには、誰かがでっち上げ続ける必要はない。世代ごとに一度ずつ、照合を省くだけでよい。
この一篇で扱うのは、そのことである。ただ、どの話が間違っているかより、もっと問いたいことがある。ほとんど一日ごとに紙をたどれそうな人物の上に、なぜこんな話が育つのか。足りないのは史料ではない。史料は「いつ」には答えても、「あの瞬間」には答えない。この言葉の意味が明らかになるのは、最後の節になる。まずは三百年前から始めよう。
二 追い求める
1545年にあの本が出てから、問いの性質が変わった。
一つ前の世代は、三次と四次の方程式について、係数から解を書き表す公式を示した。すると、次に問われるのは、ある五次方程式に根があるかどうかではなくなる。二次、三次、四次と同じように、一般の方程式の係数だけを出発点に、有限回の四則演算と根号による操作で、一般の五次方程式の根を一律に書き下せる公式はあるのか。この問いを、人々は三百年近く追い続けた。
ただし、その追い方は、後世の想像とは違う。懸賞金があったわけでも、挑戦者名簿があったわけでもない。世代ごとの数学者が順番に登場して、さあ自分が解くと宣言したわけでもない。
より正確に言えば、1540年代から1840年代にかけて、方程式の一般的な代数解法をめぐる長い研究の流れができ、そのなかで五次の公式が、最もしぶとく片づかない問題の一つだったのである。関わった人々も、一人ずつその難問に挑みに来たのではない。大半は別の仕事をしていて、そこで作ったものが、後からこの問題の道具箱へ入っていった。三百年間、誰もが五次の公式を当てようとしていた。そんな歴史はなかった。
十六、十七世紀により重要だったのは、道具を作ることだった。第八篇のあの技師は、三次方程式に現れる種類の量を扱った。ヴィエトは、根と係数の関係や方程式の変換を体系的に整理した。デカルトは、方程式の因数分解と記号による演算をさらに押し進めた。1680年代には、変数変換で中間の項を消去し、高次方程式をもっと簡単な標準形にしようとする研究も現れた。
これらは後に、五次問題の技術的な蓄えとなった。だが、彼らをひとまとめにして「五次の公式を探して失敗した人々」と書けば、当人たちの目標を、後世の目で作り直しすぎることになる。五次へ向かう方向が次第にはっきりするのは、十八世紀に入ってからだ。
決定的な転機は、どれか一つの失敗ではなかった。すでにある三次、四次の公式の背後には、共通の仕組みがあるらしい。根を入れ替えても、ある式は変わらずに残る。そのことが、研究者たちに少しずつ見えてきた。1770年から1771年にかけ、ラグランジュはこの仕組みを体系的に研究の中心へ据えた。彼の著作が差し出したのは、新しい五次の公式ではない。既存の公式はなぜ働くのか、その解剖だった。
彼が調べたのは、根を組み合わせて作る補助的な式である。根を自由に入れ替えると、変わらない式もあれば、有限個の異なる値しかとらない式もある。そして、その異なる値が、今度は次数の低い補助方程式の根になる。ここから彼は、二つの大きな収穫を得た。
第一に、それまで互いに別物に見えていた特殊な技巧を、根の置換と、補助関数がとる異なる値の個数という一つの問題として、初めて統一的に説明した。
第二に、三次と四次で次数を下げられるのは、ある補助的な式が、置換のもとでごく少数の異なる値しかとらないからだと見いだした。同じくらい重要なのが、彼の進めなくなった場所である。五次になると、一般には自然に得られる補助方程式が、すでに解ける低い次数へ、都合よく下がってはくれなかった。
つまり、彼の分析は古い方法を説明したが、五次の公式へ至る新しい道は開かなかった。まして、考えられるあらゆる根号による方法が必ず失敗する、と証明したわけではない。彼が与えたのは、不可能性定理ではなかった。ここで少し立ち止まろう。この違いが、歴史全体の曲がり角だからだ。それまでの仕事は、どれも「どうすればできるか」を問うていた。
第三篇で触れた、二千年にわたって疑われ続けたあの公準も、同じ道をたどった。最初は、きっと証明できるはずだと考え、何度も試し、何度も失敗した。最後に、証明できないことを証明する者が現れた。
「証明できない」も、それ自体が一つの成果であって、諦めではない。こうした研究は、古い方法がどのような条件で働くのかへ、視線を移していく。ひとたびその問い方が成り立てば、「できない」もまた、研究できる答えになってくる。数学者がまだ正しい公式を見つけていないのではなく、そもそも公式が存在しないのではないか。その可能性を強く示す、最初の手がかりだった。一つの学問がこうした示唆を持てるようになるには、蓄積がある水準に達しなければならない。それ以前は、見つからないとは、まだ見つかっていないという意味でしかなかった。
しかも、その可能性を示す人は、たいてい当のものを探していない。すでにあるものを分解し、なぜ役に立つのかを見ようとしている。1799年、モデナの数学者パオロ・ルフィニが一冊の本を出した。表題に、もう遠慮はない。四次を超える一般方程式が代数的に解けないことの証明。一般の高次方程式の代数的不可解性を、そのまま書名へ掲げたのである。
それだけでも、自分が何をしているか、彼には分かっていたことが伝わる。失敗の記録を書いていたのではない。定理を宣言していた。これは六ページの論文ではなかった。分冊で刊行された、五百ページほどにもなる大著である。その大きさも、受け入れられにくさの一因となった。五百ページの本を、誰も気軽には開かない。ところが「あなたの探しているものは存在しない」という結論こそ、最後まで読んでもらわなければ信じてもらえない。読み通す気のない人の頭には、書名だけが残る。
考え方はラグランジュを受け継いでいたが、置換の研究をずっと先へ進めた。置換の巡回、位数、共役関係、そして後に推移的、非推移的、原始的、非原始的と呼ばれる置換の集合を調べた。
これをそのまま群論と呼ぶのは、やはり時代を取り違える。現代的な抽象群の定義は、彼にはなかったからだ。それでも彼は、方程式の可解性という問題の内部から、置換の組み合わせの構造を、独立して扱える技術的な対象にまで育てた。ただし、その証明の穴を「少し厳密さを欠いた」とだけ書いて済ませるわけにもいかない。
あり得るすべての根号公式を分析するには、公式のなかへ段階的に導入される、根号を含む量を、方程式の根と結びつける必要がある。彼は事実上、その補助的な量を、方程式の根の有理関数として選べると仮定していた。つまり、すべてを、それらの根が生成する範囲の内側にとどめられると考えたのである。だが、その前提は自動的には成り立たない。前の世代はすでに示していた。方程式の根がすべて実数であっても、途中の計算では、その範囲に属さない補助的な量を導入しなければならないことがある。第八篇で扱ったのは、まさにそれだった。
彼の仕事が、単純に満場一致で拒絶されたわけでもない。実質的な異議を唱えた人はおり、彼は1802年から1813年まで、何度も証明を書き直した。ラグランジュからは、期待した反応がなかった。一方、後年のコーシーは、その仕事をかなり高く評価した。
だから「誰もまったく読まなかった」も違うし、「定理を証明したと広く認められた」も違う。それでは、なぜ長く周辺にとどまったのか。
数学上の理由は、証明が長く、構造が新しく、肝心の前提が十分に証明されていなかったこと。広まり方の問題もあった。彼がいたのはパリではなくモデナで、著作は大きく複雑だった。そして、さらに根深いのが考え方の問題である。先の三つの障害なら、手を打てる。証明は書き直せる。人は引っ越せる。本は短くできる。四つ目は、そうはいかない。
当時の数学者たちは、方程式を解くとは解法を見つけることだ、という理解になじんでいた。探しているものは存在しない。それを告げる証明を受け入れてもらうには、大きな概念上の飛躍が要る。まず、自分たちの仕事には、「ない」が答えになる問題もあると認めなければならない。
第七篇と第八篇には、同じ飛躍の小さな形が現れた。あちらで受け入れる必要があったのは、対応する量の存在しない対象。こちらでは、存在しない方法である。前者なら、少なくとも手元で計算に使える。後者は、穴だ。1824年、ノルウェー人ニールス・アーベルが、自費で小冊子を印刷した。二十一歳前後のことだった。本文は、わずか六ページほどしかない。
印刷代を自分で負担しなければならず、証明を極端に短くした。この事情は、現代の研究で繰り返し記されている。数ある彼の逸話よりも確かなのは、実物の分量、自費出版という性格、そして異様に圧縮された文章が、互いに符合するからだ。裏づけられるのは、経済的な事情が極度の圧縮を促した、というところまでである。「貧しくて六ページ分の紙しか買えなかった」と言えば、もう一歩先へ出てしまう。出版史上の経済的事実はある。だが、七ページ目の代金さえなかったと証明する印刷代の請求書は、ない。
この区別は、この一篇で何度も必要になる。事実があることと、事実を並べて、そのまま映画にできる一場面へ仕立てることは別だ。1826年、彼は創刊間もない雑誌に、もっと十分に展開した版を発表し、論証を四次を超える一般の方程式へ広げた。
彼はルフィニの仕事を知っていた。それ以前にこの命題を証明しようとした先駆者だとはっきり認め、その一方で、議論があまりに複雑なため、正しいかどうか判定しがたいともこぼしている。1829年4月6日、アーベルは肺結核で死んだ。二十六歳だった。遅れて届いたという、あの手紙の話では、よく知られた版が一つの事柄を動かしている。
権威ある伝記資料が記しているのは、こういうことだ。死の二日後、あの雑誌の創刊者は、まだ訃報を知らず、ベルリンでの職が得られるよう手配がついたと知らせる手紙を書いた。「二日」とは、まず死亡日と手紙の日付との差である。死のちょうど二日後に手紙が玄関へ届いたことを、郵便の受領証が証明しているのではない。
したがって、確かめられる順序はこうなる。死の二日後、その人はまだ死を知らず、奔走してきた職の話がまとまったと伝える手紙を書いた。もちろん、手紙は遅すぎた。
だが、「葬儀の翌日、正式な教授任命書が玄関に届いた」となれば、別の話だ。私的な通知、職の手配、郵便が届いた時刻。その三つを、一つの場面へ練り合わせている。
三 存在しないのは、答えではない
ここで、その結論をはっきりさせておきたい。別の意味に読まれやすいからだ。いや、ほとんどいつも別の意味に読まれる。だから最初に、動かせないところまで言い切っておく。
誰でも見たことのあるものから始めよう。一元二次方程式には解の公式がある。三つの係数を決まった手順で足し、引き、掛け、割り、平方根を一つとれば、答えが出る。係数が何であろうと、どんな二次方程式にも使える公式だ。
三次と四次の方程式にも、それぞれ同じ性質の公式がある。ずっと長く、根号も何段か重なるが、仕組みは同じである。係数を入れる。有限回の操作をする。答えが出る。
三百年にわたって人々が欲しかったのは、その五次版だった。
そして、結論はこうだった。それは存在しない。
根号で解けないというのは、五次方程式に答えがない、という意味では断じてない。
一般の五次方程式にも、もちろん根はある。複素数の範囲では、定数でない多項式には必ず根があり、計算によって、その根を必要なだけの精度まで数値的に近似することもできる。存在しないとされたのは、きわめて限定された形の答えである。
二次、三次、四次の公式のように、一般のどんな五次方程式にも使え、係数だけを材料として、有限回の加減乗除と各種の累乗根をとる操作を行えば、最後にすべての根が得られる。そうした統一的な公式は、存在しない。終わったのは、その公式を追い求める営みだった。ここで「追い求める」という言い方は正確である。三百年間、人々が欲しがっていたのは、書き下せる何かだった。結論は、その何かが存在しないというものだった。見つからなかったのではない。ないのである。
この二つの言い方では、重みがまったく違う。見つからないなら、まだ探せる。存在しないなら、探すものがない。
しかも、一般の五次方程式にこの種の万能公式がないからといって、個々の五次方程式がすべて根号で解けないわけでもない。特別な形の五次方程式には、根号で解けるものが数多くある。アーベルが決着をつけたのは、一般公式は存在しない、という問題だ。
ガロアは、問いをさらに別の場所へ進めた。具体的な方程式を一つ渡されたとき、それは、いったいどのような条件のもとで根号によって解けるのか。二人の歴史上の位置の違いは、ここに最も簡潔に表れる。一人は一つの扉を閉じた。もう一人は、どの扉がどんな条件で開いているのかを、一つ一つ問うた。
後の問いは、前の問いよりはるかに大きい。扉が開くかどうかは何によって決まるのか。それを、まず明らかにしなければならないからだ。
後の問いは、前の問いよりはるかに大きく、新しい見方を必要とする。ガロアの方法は、一度、向きを変えることだった。三百年間、人々は方程式を見つめてきた。彼は方程式を直接見るのをやめ、解と解のあいだにある対称性を見ることにした。
ある関係を保ったまま、どの根とどの根を入れ替えられるのか。その入れ替え自体が、一つの構造をなす。方程式が根号で解けるかどうかは、その構造の形にかかっている。問いの対象が、方程式から、その根どうしの交換可能性へと移った。この転回の代償は、審査する人に分かってもらえないことだった。
後で見るように、当時の審査意見が指摘した技術的な難しさは、ちょうどここにあった。彼の示す条件は根どうしの関係を持ち出す。審査する側が期待したのは、既知の係数から出発して使える判定基準だった。彼は、当時まだ誰も立っていなかった場所へ、問題を移してしまった。新しい位置に立つ人には、より遠くが見える。古い位置にいる人には、問いに答えていないように見える。どちらも間違ってはいない。分からないのは、いつも目が利かないせいとは限らない。立っている場所が違うこともある。
四 記録のなかのガロア
1811年10月25日、ガロアはパリ南郊のブール＝ラ＝レーヌに生まれた。この日付には民事上の出生登録がある。父は地元の自由主義者で、長く市長を務めた。母は十分な教育を受けており、幼い子どもたちを自ら家庭で教えた。1829年7月2日、父はパリで自ら命を絶った。死そのものは確定した事実である。自殺に至る地元政治のなかでの屈辱的な事件については、家族からの強い証言がある。しかし、同じくらい完備した一次の事件記録があるわけではない。
ここには三つの層がある。父が市長だったこと、地元に激しい政治対立があったこと、父が自殺したこと。この三つには当時の文書がある。偽作の風刺詩をめぐる事件が自殺の直接の原因だった、という説明は主として家族の話により、事件の一件書類はない。そして、父の死によって彼はあらゆる権威を憎むようになり、その数週間後に試験場で激発した、という層には、何の裏づけもない。
最後の一文はとりわけよく見かけるが、その日の本人の日記や手紙に支えられてはいない。時間が近いことから言えるのは、影響した可能性までである。心理診断の代わりにはならない。
こうした因果づけは、今回ことさら多い。生涯の出来事が、あまりに密集しているからだ。父の自殺、受験の失敗、革命、退学、二度の逮捕、決闘。全部で三年にも満たない。事件のすぐ隣に事件があると、物語は「続いて」を、たやすく「そのために」へ変える。中等学校の成績、進級や留年、教師の所見は残されている。独創的だが風変わりだとする評も、数学への熱狂に支配されているという評もある。生徒の記録は、実在する。十四歳で、ある幾何学の著作を小説のように一気に読み通した、というのは、学校の記録にある言葉ではない。
二つの記述の違いは、一枚の紙があるかどうかである。
この一篇で最も広く伝わっている細部は、ほとんどどれも、その一枚が足りない。彼があの有名な理工科学校を二度受験し、どちらも落ちたこと自体には、疑いがない。ただ、具体的な試験日や一部の細部は、伝記によって食い違う。いちばん有名なのは、二度目の失敗の際、黒板を拭くものを試験官へ投げつけたという話だ。確実に出どころをたどれる最初の記述は、1896年のデュピュイの伝記である。しかもデュピュイ自身、「言い伝えによれば」という書き方をしている。当日の試験官が誰だったかさえ、はっきりさせられていない。
主人公の相手が誰かも分からない話なのに、投げる動作の細部だけはそっくり残っている。これが伝説の典型的な姿だ。確かめにくい部分ほどぼやけ、語りやすい部分ほど鮮明になる。1849年にはすでに、ある数学雑誌が彼を並外れた才知を持つ不合格者と呼んでいた。しかし、ものを投げたという、記録で照合すべき細部は提供していない。
さらにもう一つある。投げた品物自体が、伝わるうちに固まっていった。初期のフランス語資料が指しているのは、黒板を拭く布である。それが後の英語では消しゴムという物に定まり、中国語へ訳されて黒板消しになった。デュピュイの伝記そのものについても、もう少し触れておこう。
著者は、師範学校、教育省、パリの科学アカデミー、国立文書館、生地の市役所、パリの警察、コシャン病院、そして二つの監獄の資料を調べたと明記している。警察と司法の原本の一部は1871年に失われたため、同時代の新聞で穴を埋める必要があることも指摘した。今日、代わりのない史料への入口である。この本がなければ、この一篇に出てくる日付の半分は手に入らない。
この連載は、同じ種類の依存関係に何度も出会ってきた。第二篇の五世紀の編纂者も、第三篇の五世紀の注釈者も、同じ役割を担っていた。後世の人が知ることのほとんどは彼らを通って届き、その彼ら自身もまた、物語を語っている。今回の違いは、その人の手元に市の公文書があったことだ。
そして、この後で扱う最も大きな伝説の層は、ほかならぬその本のなかに育った。
一人の人が、最も信頼できる史料調査者であり、同時に、最も力のある神話の作り手でもあり得る。矛盾ではない。同じ本の、別々のページで起きていることだからだ。
だが、後の読者はページごとに分けては読まない。手にしているのは、一冊の権威ある伝記である。そこには市の記録にある出生年月日も、熱に浮かされたように余白へ書き込む青年も載っている。隣り合わせに置かれれば、どちらも同じ種類のものに見える。
五 三度の提出
ガロアの核心となる論文は、三度、審査の場へ差し出された。ただし、同じ紙の束を三回差し出したと思わせないためには、「三度にわたる提出」と呼ぶのがよい。
最初は1829年。科学アカデミーの議事録によると、コーシーは5月25日と6月1日、この青年の関連する研究をアカデミーに紹介している。通常は、互いに関係する二篇の方程式論の原稿だったと考えられ、後年のあの論文の写しではない。最終的な正式の審査報告は残っていない。最も広く流布した説明は、コーシーが原稿をなくした、というものだ。これを確定した結論にはできない。
第一の証拠が、いま挙げた二つの議事録である。受け取るなり紛失して、まったく取り合わなかった人物像は、この事実と両立しない。
第二の証拠は、もっと強い。1830年1月18日、コーシーが科学アカデミーの議長へ送った手紙が現存する。
手紙によれば、その日、二件を報告する予定で、その一件目こそ青年ガロアの仕事に関する審査報告だった。体調が悪く出席できないので、二件を次回の議題に載せてほしい、と頼んでいる。この手紙が、誤りを正すうえでの中心にある。
1月25日、コーシーは出席できるまでに回復し、手紙にあった二件目を実際に報告した。だが、ガロアについての報告は出さなかった。その後も、アカデミーの記録には姿を現さない。なぜか。史料は答えていない。ここには誘惑がある。史料が黙るとき、動機を一つはめ込むのは、とても気持ちのよいことだ。忘れたのだ。気に入らなかったのだ。別のことで忙しくなったのだ。しかし、沈黙は沈黙でしかない。
この一篇には、こうした沈黙がいくつもある。そして、どの沈黙にも、ちょうどそこに伝説が生えている。
なぜ原稿の報告は再び出されなかったのか。原稿はその後どこへ行ったのか。なぜ決闘になったのか。なぜ手稿の束が他人へ渡るまで十年もかかったのか。四つの沈黙、四つの伝説。
1971年、フランスの数学史家ルネ・タトンは、これらの資料を体系的に利用し、新しい説明を示した。おそらく1月18日から25日のあいだに、コーシーとガロアは、1829年の二篇をそのまま正式に評するのをやめ、最も独創的な部分を一つにまとめて拡充し、3月1日までにアカデミーの大賞へ応募しようと決めたのではないか。タトンは明確に、現存資料から立てた、きわめて可能性の高い仮説と呼んでいる。「書き直すように」とコーシーが伝えた手紙を発見した、と主張したのではない。
この再構成には、時間の上でも力強い符合がある。1830年2月、実際にガロアは、総合的な原稿を大賞へ提出している。大賞に挑むよう勧められた人と、原稿を引き出しへ放り込まれた人では、まったく違う話になる。現存の資料が指すのは前者である。この訂正がなされたのは、ようやく1971年。「コーシーが論文をなくした」という言葉より、一世紀以上も遅かった。そしてその一世紀余りのあいだ、その言葉はずっと本に載っていた。
文書は、ずっと科学アカデミーにあった。誰も隠してはいなかった。ただ、めくりに行く人がいなかった。
だから、この件は、どこまで分かっているかに従って並べ直せる。
コーシーは原稿を読んだ。報告する準備をしていた。1月18日には病気で、延期を頼む手紙を書いた。その後、その報告は現れなくなった。この四文には、それぞれ当時の一枚の紙がある。原稿をまとめて書き直し、大賞へ応募するよう彼が勧めたというのは、後の研究者がそれらの紙から導いた推論だ。もっともらしいが、そう記す手紙はない。そして、彼が論文を紛失したという話を記した当時の紙は、一枚もない。
二度目が、その1830年2月の原稿である。
当時の終身書記の一人はフーリエだった。彼は5月16日に亡くなった。6月28日、大賞はすでに故人となっていたアーベルと、プロイセンのヤコビに授けられた。受賞の対象は、二人の楕円関数の仕事である。ガロアの原稿は最終審査に入らず、後にも、本来あるはずの資料のなかから見つからなかった。初期の記述には、ある学者の発言とされる言葉もある。事情は簡単だ、処理を担当していたフーリエが亡くなった際に原稿が紛失したのだ、という趣旨である。ただし、それを伝えた人自身が、「そう答えたという」といった留保をつけている。
これらの文は、同じ重さではない。フーリエの死後、原稿が行方不明だったことは記録にある。失踪を彼の死と時間的に結びつけるのは、妥当な説明である。本人が引き出しに忘れたとか、自宅へ持ち帰ってなくしたとかいうのは、想像だ。アカデミーが故意に破棄したとなれば、その想像を支える材料さえない。
三度目は、1831年1月。
現存するあの論文原稿には1月16日の日付があり、17日に科学アカデミーへ提出された。審査を担当したのはポアソンとラクロワで、二人が意見を出したのは7月4日だった。よくある話では、ポアソンは「理解不能」とだけ書き、原稿を突き返したことになっている。
実際の意見は、次の意味に近い。審査者は著者の証明を理解しようと努めた。しかし、論証はまだ十分に明確でなく、必要な展開も不足しているため、厳密性を判断できない。
報告はまた、当時きわめて重要だった問題を指摘している。ガロアの可解性の条件は、方程式の根どうしの関係に直接訴える部分が多い。それに対して、従来の方程式論が期待していたのは、既知の係数から出発して扱える判定基準だった。審査者には、これがいったいどのような意味で解法となるのか、判断しにくかったのである。「分からなかった」の一言で括れる話ではない。方程式を解くとは何をすることか。その理解が、二つの世代で違っていた。
もっと重要なのは、結びの一節だ。著者はこれを、さらに一般的な理論の一部だとしている。ならば各部分を一緒にして、互いを照らし合わせたほうが、理解しやすくなるのかもしれない。すべての仕事を発表するよう著者に勧め、その後で最終的な判断を下したい。これは明らかに建設的な意見であって、「この人物はでたらめを言っている」ではない。
この意見を、1831年の科学アカデミーの日常業務へ戻してみよう。当時、そこへ送られた原稿の多くは、正式な審査意見をそもそももらえなかった。このように比較的詳しい書面の返答があったこと自体、彼らがガロアを、相手にする必要のない狂人とは見ていなかったことを示している。
六 あの夜
ここで、この一篇のいちばん核心にある訂正に入る。よく知られた話は、こうだ。彼は決闘の前夜に、理論の全体を書き上げた。だが、理論の大半は、あの夜に書かれたものではない。
現存する第一論文そのものが、すでに1831年1月、科学アカデミーへ提出された完成稿だった。その前にも、1829年の関連する二篇と、1830年の大賞応募用の総合稿がある。もう一つの重要な手稿である第二論文は、1830年の5月から6月ごろのものとされる。5月29日のあの夜、ガロアが実際にしたことは、大きく二つだった。
一つは、友人オーギュスト・シュヴァリエに宛てた、学問上の遺言ともいうべき手紙を書くこと。数ページの長い手紙であって、何十ページもの新論文ではない。すでに得た結果と、まだ完成していない結果を主題ごとにまとめ、なかでも方程式、原始方程式、楕円関数と超越解析、さらに、ある種の曖昧さについての考えを論じ、どうにか公表してほしいと頼んだ。もう一つは、以前の数学原稿を修正し、余白へ書き込みを加えること。現代の研究によるその日の要約は、驚くほど率直である。彼はあの遺書を書き、いくつかの原稿を修正した。
それとは別に、共和派の友人たちへ別れの手紙も書いた。なぜ私的な決闘を避けられなくなったのかを説明し、自分を責めないでほしいと頼む手紙である。
したがって、あの夜に本当に胸を打たれるのは、二十歳の青年が、数時間で突然一つの理論を丸ごと発明したからではない。
すでに何年も仕事を続けてきた青年が、明日は死ぬかもしれないと思い、古い原稿に継ぎを当て、まだ公になっていない研究全体の見取り図を友人へ残そうとしたからだ。こちらの話は伝説よりも書きにくい。そして、いっそうつらい。
伝説のあの夜は、一度の爆発である。始まりがあり、終わりがあり、夜が明けると仕事は出来上がっている。現実のあの夜には、三年にわたって取り組みながら、誰も出版しようとしなかったものを、一人で整理している人がいる。直しながら、直しきれないことを知っている。
伝説は、遺産を整理する夜を、遺産を創造する夜へ書き換えた。違いは劇的かどうかではない。前者には、その人がすでに長く仕事をしてきた歳月が要る。後者には、一晩あれば足りる。「時間がない」というあの言葉も、置かれた場所を動かされた。
最も有名な一か所は、第一論文の第二命題、その証明の脇にある書き込みだ。原文の趣旨は、「この証明には、まだ補うべき点がある。時間がない」。原稿を調べた現代の研究は、位置をはっきり特定している。論文の最初のページではなく、最期の手紙の表紙でもない。
もう一か所は、あの手紙の末尾にある。「曖昧さ」という考えを超越解析へ応用することに触れ、この広大な領域で自分の考えはまだ十分に展開されていない、しかし時間がない、と述べている。一つは論文の余白。一つは手紙の本文。余白のほうの位置も定められる。第一論文、第二命題の証明の脇である。自分には時間がないという一文の場所を、ある命題のすぐ横、とまで正確に言える。
二か所とも残っている。二か所とも確かめられる。それなのに、繰り返される叫び声へと合成されたのは、その言葉があまりに使いやすかったからだ。書き終えていない証明の傍らへ、一人の人が「時間がない」と記す。翌朝、決闘に赴き、その次の朝に死ぬ。何も加工しなくても、すでに十分重い。加工されたのは、それを一晩じゅうのことにした部分である。
自分の原稿へ一度そう書いたなら、急いでいたことが分かる。一晩じゅう書き続けたとなれば、創造していたことになる。二つの語りが求めているものは違う。「夜通し、余白に何度も『時間がない』と書いた」というのは、二つの箇所を溶かし合わせ、反復する劇的なモチーフにしたものだ。手紙自体も、よく見ておきたい。「定理一、定理二」と並ぶ文章ではない。研究の地図である。
冒頭で彼は、託しておきたい数学の仕事がいくつかあると述べる。最初の大きな部分は方程式論の振り返り。次の大きな部分では、楕円関数、周期、さらに広い超越解析へ向かう。最後に、最近の思索の中心は、あの曖昧さの考えを、超越量どうしの関係へ広げることだったと語る。一つの関係が与えられたとき、どの量なら互いに入れ替えても、その関係が保たれるのか。そこを調べるのである。これだけでも、本人の見ていた研究の地平が、五次方程式をはるかに越えていたことが分かる。
この点は、見落とされがちだ。後世が彼の全存在を、五次方程式へ釘づけにしたからである。ところが本人は、最後の手紙のかなりの部分を、別のことに費やしていた。そして、依頼はきわめて具体的だった。
この手紙を公表してほしい。当時最も大きな影響力を持っていた二人の数学者に、公に意見を述べてほしい。しかも彼は念を押している。判断してほしいのは、定理が正しいかどうかではなく、重要かどうかだ。そのうえで、誰かが仕事を整理し、引き継ぎ、穴を埋めてくれることを望んだ。この三つの願いのうち、最初の一つはかなった。
二つ目は、かなわなかった。三つ目には十四年を待たねばならず、それを果たす人物は、その時点ではこの手稿の存在さえ知らなかった。1832年9月、学問上の遺書はある雑誌に載った。11月には、受取人が、最初の比較的まとまった追悼・伝記記事を発表した。後に彼が二人の大家へ原稿を送り、どちらからも一顧だにされなかったという話には、同じくらい確かな送付の記録はない。
七 決闘
この節は、「分からない」から始めなければならない。現時点の専門研究に照らして、決闘の原因について、決着をつけられる一次史料を得た説は一つもない。最も早い出発点は、ガロア自身が5月29日に書いた言葉である。
共和派の友人へ宛てた手紙で、彼は、忌まわしく軽薄な女のために犠牲となり、つまらぬ噂話のなかで命を終えることになる、と書いた。別の箇所では、自分を決闘へ追い込んだ人々を「二人の愛国者」と呼び、和解のためにはできる限りを尽くした、と述べる。そして友人たちに、自分を殺す者たちを許してほしいと頼み、彼らは誠実なのだと考えていた。
どの版の物語にとっても、いちばん収まりの悪いのが、この最後の言葉である。語りやすい筋書きには合わない。単純な政治的暗殺にも、恋敵との決闘にも、容易にははめ込めない。ただし、この一言についての心理的な解釈だけで、何らかの可能性を排除することもできない。
ここが、すべての恋愛沙汰説の最初の出どころである。証明できるのは、彼自身がこの出来事を、一人の女性と共和派の仲間の関わる、私的な名誉のもつれとして理解していたことだ。女性が誰なのか、何が具体的に起きたのかは、後世の私たちに伝えていない。恋人を奪い合う恋敵から挑戦を受けた、とも書いていない。彼が記したのは、自分が出来事をどう理解していたかであって、出来事がどう起きたかではない。当事者自身の述懐には、どれにもこの隔たりがある。
そして「彼らは誠実だ」という言葉は、逆に、政治的暗殺説には明らかな重荷となる。後の説明を、順に並べてみよう。
家族の言い伝えは、六十年以上たってから、一人の親族が提供したものだ。最後の面会の後、女性の身近にいた「叔父」と呼ばれる人物と、「婚約者」と呼ばれる人物が次々に介入し、やがて決闘に至ったという。出来事から六十年余り離れている。当事者がその時に書き残した資料ではない。
具体的な対戦相手の名前を挙げる、最も重要な初期の出典は、アレクサンドル・デュマの回想録である。デュマ自身、共和派のこの仲間たちを知っており、5月9日のあの宴会にも出席していた。だが、それは決闘の調書ではないし、本人も決闘を目撃してはいない。
女性の身元を突き止める試みは、1968年の研究による。根拠は民事の記録、療養施設という環境、そしてガロアの原稿用紙に残された一つの名前だった。その女性が実在し、あの場所と具体的なつながりを持っていたことは、文書が確かに裏づける。したがって身元の比定は、丸ごとの作り話ではない。しかし、その女性こそ決闘の原因となった人物だというのは、なお、いくつかのピースを合わせて得た推論である。
政治的な罠や警察による暗殺という説には、足場がまったくない。警察の命令、密告者の報告、支払い、決闘の手配、その他、政府の計画を示す同時代の文書は発見されていない。決闘を利用して故意に自殺したという説も同じだ。決闘を利用して自殺するつもりだと書いた遺書は、一通もない。決闘そのものについて、確実に押さえられる事柄はごく少ない。日付は1832年5月30日の早朝。場所はパリの南側の一帯である。
ガロアは腹部を撃たれ、その後コシャン病院へ運ばれた。入院簿と解剖資料から再構成される負傷の経路は、弾丸が腹部の片側から入り、腹腔を貫いて致命傷を与えた、というものだ。入院は午前9時半ごろ、死亡は翌日の午前10時ごろ。相手が誰だったかは、直接の医療・行政記録には名前がない。立会人や双方の介添人が誰だったかについても、名前を残す信頼できる決闘調書は存在しない。
決闘の規則、どちらが先に撃ったか、交互に撃ったのか、二十五歩の距離を取ったのか、ガロアが故意に発砲しなかったのか。再構成に十分な正式の資料は、いずれにもない。誰が彼を見つけ、運んだのかも、初期の説明どうしが食い違う。家族の話では農民か御者、1848年の伝記には退役軍人といった別の説明がある。この食い違い自体が、いちばん生き生きした版を選んで書いてはいけないと教えている。最も鮮やかな話を選ぶのは、書き手にとっていちばん楽な手つきだ。しかも、ほとんど読者に気づかれない。読者の手元には、残りの版がないからである。
裏づけに耐える結論は、とても素朴だ。早朝に決闘し、腹部を撃たれた。同行者たちは、確かめられる身元を残さずに去った。彼は後に病院へ運ばれ、翌日死んだ。そこへもう一層足すと、証拠の強さは急に落ちる。
ところが通俗的な叙述のほとんどは、その余分な一層の上にできている。二十五歩、交互の射撃、彼は空へ一発撃った、野原で翌日まで倒れていて農民に発見された。どれ一つ、裏づける資料はない。
八 十四年後の出版は、十四年かけて読んだという意味ではない
ガロアは生前、まったく認められなかったのか。そう言うのは正確ではない。出版史を照合した現代の研究は、生前に五篇の数学論文を発表していたことを明らかにしている。
そのなかには、1829年にある雑誌へ発表した連分数の論文や、1830年に別の刊行物へ載せた数篇がある。そこには、形を取りつつあった彼の方程式論に、すでに触れるものもあった。
学校では、数学の教師が、彼の際立った能力を明らかに見抜いていた。退学についての学校側の報告書も、扱いにくい性格や規律に従わない行動を批判する一方で、数学における疑う余地のない才能を認めている。
学界では、コーシーが二度、科学アカデミーへ研究を紹介し、審査報告を用意した。ポアソンは自ら再提出を促し、その後ラクロワとともに、実際に審査意見を出した。「誰も一字も読もうとしなかった」とは、どれも相容れない。
「無視された」という説明が広まる一因は、必要な証拠が少なくて済むことにある。認められなかったと示すには、一度の失敗を挙げればよい。部分的には認められたと示すには、五篇の論文、学校の報告書一通、科学アカデミーでの二度の紹介、一件の審査意見を、まとめて並べなければならない。後者は手間がかかるし、語りにくい。
しかも、語ったところで胸に迫らない。才能ある青年が、ある程度の承認を得た。けれど十分ではなく、間に合いもしなかった。この一文には、物語がない。
実情はこうである。彼は生前から、少数の教師や編集者、一流の数学者に注目され、いくつかの論文を世に出すこともできた。だが、最も核心にある方程式の可解性の理論は、生きているあいだに正式に出版されず、数学界の承認も得られなかった。では、あの十四年はどうか。ガロアの死から正式な出版まで十四年かかったことは、リウヴィルが理解するのに十四年かけたことを意味しない。
1832年に死んだ後、手稿はまずシュヴァリエの手元にあった。9月に遺書が発表され、11月には追悼文も出た。そこからおよそ十年、具体的にどう受け渡されていったかは、完全には分からない。重要な事実は、リウヴィルが原稿一式を受け取ったのは、1832年ではないということだ。資料から判断すると、シュヴァリエが彼へ原稿を渡したのは、ようやく1843年の夏である。
1843年7月には、リウヴィルはすでに科学アカデミーで、これらの論文に代数方程式に関するきわめて重要な結果を見いだしたと公に告げることができた。主要な著作を自分の雑誌で刊行したのは、1846年だった。
したがって、十四年は二つに分けなければならない。1832年から1843年ごろまで、手稿は主としてリウヴィルの手にはなかった。この約十年に、なぜ数学上の影響が生じなかったのかは、資料が足りない。1843年から1846年まで、リウヴィルは読み、確かめ、整理し、出版の準備をした。こちらは、およそ三年である。
なぜシュヴァリエは1843年まで資料を渡さなかったのか。この点も、現在の研究は確定した答えを得ていない。政府が共和派の殉教者を意図的に抑え込んだのだ、と説明するための文書は、いまのところない。
これで、伝説の層がどう育ったかを見に行ける。それは1937年、突然姿を現したわけではない。何層にも堆積した。1832年、シュヴァリエはすでに、彼の死を、公的な学問世界からの承認不足と結びつけていた。「制度に報われなかった青年」という物語の芯である。
さらに早い層を、ガロア自身が書いていた。1831年12月、サント＝ペラジー監獄で、自分の論文への序文を書いた。生前には印刷されなかった文章だ。そこには、1830年2月に科学アカデミーへ提出した原稿には何の返事もなく、自分も二度と見ることができなかった、とある。1831年の原稿はポアソンの審査に回ったが、ポアソンはある会合で理解できなかったと言っただけだった、とも書く。さらに、原稿が最もよく行方不明になるのはアカデミー会員の書類のなかだと言い、良心にアーベルの死を背負っている者たちが、どうしてなお、これほど無頓着でいられるのか分からない、と述べている。第五節で見た、理由を記し、仕事の全体を発表するよう勧めたあの書面の意見は、この序文では「理解できなかった」だけになった。
アーベルの件には、確かめられる記録がある。1826年10月30日、彼は科学アカデミーへ長い論文を提出した。審査者はコーシーとルジャンドル。二年以上、返答はなかった。1829年3月、ヤコビがルジャンドルへ手紙を書き、この世紀の数学で最も重要な発見かもしれないものが、アカデミーへ提出されて二年にもなるのに、なぜ注目されないのかと尋ねた。この論文が印刷されたのは、1841年。アーベルはすでに、十二年前に死んでいた。
1848年、ある絵入りの新聞に、弟が記憶を頼りに描いたあの有名な肖像が載り、ガロアは一般読者の前へ現れた。1849年には、数学雑誌が初期の数学者伝を残した。デュマの回想録は、宴会の場面と、対戦相手の具体的な名前を、きわめて劇的な物語の流れへ持ち込んだ。そして、1896年のデュピュイの伝記が来る。大量の本物の史料調査を行った、今日なお代わりのない入口である。
同時に、この本は最後の夜を、非常に文学的な場面として描いた。熱に浮かされたように結果を書きつけ、余白に何度も「時間がない」と記す青年。まさにこのような、文書に裏づけられた権威ある伝記のなかで、後に最も有名になる神話が、信頼の衣をまとった。1937年、ベルによる英語の一般向け数学者列伝が出る。その一章は、ずばり「天才と愚かさ」と題されていた。ベルの最大の役割は、逸話の一つ一つを発明したことではない。もとの資料にあった疑問符を消したことである。
言い伝えの黒板拭きの布は、試験官へ消しゴムを投げつけたという確定した出来事になった。アカデミーをめぐる複雑な原稿の歴史は、愚か、あるいは不注意な権威たちが、相次いで天才を台無しにする話になった。5月29日に古い原稿を直し、手紙を書いたことは、夜通し狂おしい勢いで数学の遺産を書き尽くしたことになり、「時間がない」は、繰り返される余白の叫びになった。そして人生全体が、あの表題の形へと組み立てられた。天才が、繰り返し愚かさにぶつかる。
1982年、ロスマンはこの問題を正面から扱う論文を発表した。題は「天才と伝記作者たち」。応答している相手は、まさにベルの「天才と愚かさ」という伝統だった。
その方法は、英雄伝をもう一度書くことではない。後世の伝記を一層ずつ初期の資料と突き合わせ、一つの細部が、どのように「そう言われる」から「そうだった」へ変わるかを観察することだった。この論文が伝記の歴史にもたらしたものは、単なる誤りの摘発ではない。一般向け数学史の一つの事例そのものを、伝記が数学の天才神話をいかに作るか、という研究の対象に初めてしたのである。
つまり、研究の対象が、その人から、その人についての語りへ移った。この転換がここに現れるのは、いかにもふさわしい。この一篇が初めから終わりまで行ってきたのも、同じことだからだ。
冒頭の、年齢を間違えた死亡書類へ戻ろう。
第二篇で海へ投げ込まれたあの人物については、構造の側でなお残るものは、確かなものだった。一方、その人自身に起きたことは、確かではなかった。そこで後世の語りは、犠牲者を一人補った。
今回は、どちらも確かだ。出生登録、受験記録、議事録、裁判記事、監獄の記録、入院簿、手稿そのもの、あの手紙。それでも伝説は育った。それも、さらに厚く。原因は、材料の量ではない。史料が答えられるのは、いつ、どこで、誰が署名したかである。その人が、どの瞬間にあの構造を見たのか。それには答えられない。
これは、すべての記録に共通する境界であって、彼だけの事情ではない。第四篇で、自分がどうやって答えにたどり着いたかを書き残したあの人物は、この連載では例外に最も近い。けれど、彼が書いたのも方法であって、あの瞬間ではなかった。理解が起きた、その一秒を記録した文書はない。
だから、語りはその瞬間を、どこかへ置かなければならない。置かずには済まない。あの瞬間のない物語は、語り続けられない。第二篇で、犠牲者のいない物語が続けられなかったのと同じだ。けれど後世の語りの中では、日付のわかる数多くの日々が、まるで最後の一夜だけになってしまった。あの夜には日付があり、場所があり、残された紙がある。その翌朝には、命を奪う決闘が起きる。あの瞬間を置くのに、これ以上ふさわしい場所はなかった。
こうして、その瞬間は、そこへ置かれた。一度置かれると、二度と出ていかなかった。
これはガロアだけに起きたことではない。誰かが何かを悟った話をするとき、ほとんどいつも、一つの瞬間が指さされる。リンゴが落ちた、そのとき。浴槽から水があふれた、そのとき。灯りがついた、そのとき。
そうした瞬間には、たいてい証拠がない。そして、証拠は必要とされないことが多い。誰も尋ねないからだ。読者が欲しいのは、まさにその一瞬なのである。
だから、次に誰かがある夜、突然何かを悟ったという話を読んだら、一つ尋ねてみるとよい。この日付は、誰がつけたのか。
数の計算は、まだ先へと続いていく。だが、何を数学に数え入れるのかは、一度も決着していない。
史料と参考文献
以下の資料は、本文の歴史的な細部と、解釈の分かれる点に対応している。所蔵記録、古代の文学、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。