数学 · 09 / 25
無限小と厳密さの欠如
一人の主教が消え去る増分を問い詰める。物理学を変えた道具は、自分自身の根拠を書き直し始める。
一 ある主教
1734年、一人の主教が小さな本を出し、当時もっとも成功していた数学の道具に攻撃を仕掛けた。
名はジョージ・バークリー。アイルランド出身で、その年にクロインの主教に任命された。哲学史では別の主張で知られる。いわゆる物について、知覚されることを離れて語ることはできないというのだ。それから百年以上たって、北米のある都市に彼の名がつけられた。
だが、この小さな本の読者として想定されていたのは数学者だった。
題名は『解析学者』。長い副題の趣旨はこうだ。近代解析の対象、原理、推論は、宗教の秘義や信仰の命題よりも本当に明瞭で、そこからの導出も本当にわかりやすいのか、それを吟味する。本は、ある不信仰な数学者に宛てられていた。
この副題だけで、本全体の向きがほぼ表紙に書かれている。数学を説く本ではなく、数学はいったい何を根拠に信頼できるのかを問う本だ。しかも著者がそれを気にする理由は、数学の内側にはない。主教が数学を攻撃すると聞けば、教会対科学というおなじみの芝居を思い浮かべるだろう。だが、今回の芝居はそれとは違う。
少なくとも、あの芝居のいつもの筋立てではない。数学は間違っているとも、数学などやめろとも言っていない。言っているのは、あなたがたの仕事にも説明のつかない箇所があるではないか、ふだんはその「説明がつくかどうか」という物差しで他人を裁いているのに、ということだ。
その不信仰な数学者は誰なのか。もっともよく挙げられるのはハレーだ。ただし、これは人物の推定であって、名が明記された事実ではない。ニュートンではまず筋が通らない。彼は1727年に亡くなっている。さらに重要なのは、バークリーが本の中で、あの偉大な著者の数学を称賛しながら、その人の宗教を嘲笑するのはなぜか、とも問うていることだ。この「偉大な著者」という言い方は、信仰深いニュートンを、宛先の不信仰な人物から明らかに区別している。なぜこの本を書いたのかについては、第六節で改めて話そう。
この本のために、彼は後からかなりの反撃を浴びた。だが、反撃する側の多くは、肝心のところを避けて通った。
先に、もっと肝心なことを一つ言っておく。彼の言い分は正しかった。
すべてが正しかったわけではないし、微積分が自己矛盾に陥ることを証明したわけでもない。それでも彼が指摘した論理上の操作は、実際に存在した。当時の教科書や計算の実演で繰り返し使われていたし、その操作を数学者たちがどう説明するかも、統一されてはいなかった。
この話の奇妙さを知るには、攻撃された道具が当時どんな位置にあったかを、まず知っておく必要がある。
誕生からまだ半世紀。それなのに、空の惑星も、地上の放物線も、振り子の周期も、水の流れも、すでに片端から計算していた。その時代でもっともよく効く道具だった。あまりによく効くので、なぜ効くのかなど、ほとんどの人は問おうともしなかった。
そこへ、問題の論証をよく知ってはいるが、数学研究を本業とはしない哲学者が現れる。あなたがたの手順は、途中のその一歩が通らない、と。それから百年のあいだに、少なくとも五組の人々が答えを試みた。そこには、当時の英国で最良の数学者も、フランスの『百科全書』の編者も、このために七百ページを超える本を書いた教授もいた。
改めて注目したいのは、問いを出した人物の本業が数学研究ではなかったことだ。彼は哲学者であり、主教であり、数学を攻撃した目的は宗教を弁護することだった。答えた人たちの解答は、今日から見れば、どれも最終解答にはなっていない。
後に標準的な教科書の土台となる一種の答えは、十九世紀に入って徐々に成熟していく。入れ替わったのは一つの論証だけではない。極限とは何か、連続とは何か、収束とは何かを語る言葉の体系全体が変わった。つまり彼に答える方法は、消え去るあの量の正体を突き止めることではなかった。言葉の意味を定め直し、あの問いをそもそも問わずに済むようにすることだった。
二 生成と差分
では、何を攻撃したのかを見よう。ある人が道を歩く。この一分間にどのくらいの速さで歩いたかと聞くなら、問題はない。その一分間に進んだ距離を、一分で割ればよい。
だが、ある一瞬にどのくらいの速さで歩いていたか、と聞いたらどうなるか。
一瞬には長さがない。その瞬間に進んだ距離はゼロ。費やした時間もゼロ。
ゼロをゼロで割る。
これが、十七世紀のあの二人が、それぞれ向き合わなければならなかったものだ。向き合い方は、同じではなかった。
ニュートンは運動から始めた。線も、面積も、体積も、ある連続的な運動によって描き出される。その量が、ある時点でどのくらいの速さで大きくなるか。それが彼の求める量だった。彼はそれを「流数」と名づけた。文字どおりなら、流れ出る数ということになる。量は流れていて、その数は流れの速さを記録する。
その言い方の背後には、一つの光景がある。世界が動き、量が育っていく。この光景は間違っているかもしれない。それでも、指し示せるものを伴った光景ではある。しかも彼は後に繰り返し、自分が求めるのは有限の速度だと強調した。世界が、それ以上小さくできないかけらの寄せ集めでできている、と言いたいのではない。
ライプニッツは差から始めた。互いに結びついた二つの量があり、一方が少し変わると、もう一方も少し変わる。彼が知りたいのは、この二つの変化の比だった。その「少し」がどこまで小さいのかは、決め切るつもりがない。ただ、小さすぎて大きさを指定できない差だと言う。
そんな小さな差が本当に存在するのかについて、彼の答えはいつも同じではなかった。一つの説明では、それを有用な理想的な量、あるいは虚構として扱う。肝心なのは正しい法則に従って計算することで、得られた結果は、普通の有限量どうしの関係に翻訳し直せる。前の篇で出会った言葉が、ここにも戻ってきた。虚構と呼ぶのは追放するためではない。そこにいてよい身分を与えるためだ。二つの篇のあいだには百年があり、対象は変わった。この身分の与え方は変わらなかった。
二つの方法は、最終的には互いに翻訳できる。だが、それは十七世紀の時点で、同じ概念体系だったという意味ではない。
何を問題として見ていたかも違った。初期のニュートンの中心的な課題の一つは、曲線の求積、無限級数、そして方程式から変化率を求め、変化率から逆に量を求めることだった。自然哲学の仕事もまた、流数を運動に強く結びつけた。一方、ライプニッツが1684年に公に示した入口は、接線、極値、そして根式や分数式にも妨げられない普遍的な算法だった。当時の人が感じていた違いを、後の研究者はこう言い表している。実践の場では、この二つは等価ではなかった。
後世の私たちは、同じものを二通りに書いただけだと考えがちだ。今日の教科書では、実際に二つの記法を自由に換算できるからだ。けれども換算できることと、当時の人が同じものだと考えていたことは別の話になる。記法にも、それ自身の年表がある。
ライプニッツの私的なノートから、記法の成立は1675年までたどれる。その年の十月に、後の積分記号になる、縦に長く伸ばした文字を使い始めた。ラテン語で「和」を意味する言葉から来ている。十一月には、微小な差分で変数の変化を表す書き方が形になった。ただし、公表された日付のほうがさらに重要だ。1684年に公表したのは微分の算法で、積分記号が正式に公刊論文へ入るのは1686年である。1684年十月のあの有名な論文は、元の雑誌でおよそ467ページから473ページまで。七ページほどだ。
基礎を論じる大著ではなく、新算法の極端に圧縮されたお知らせに近い。微分の規則を示し、接線や極大・極小の問題に使い、例を通じて、これは実際に動かせる計算の種類なのだと読者に伝える。後の教科書でいう概念の基礎づけは、ほとんどない。むしろ、そこに大きな歴史的意味がある。最初に広まったのは、計算のできる言語だった。計算のできる言語は数年でヨーロッパじゅうに広がれる。筋の通った説明のためには、さらに百年以上を待たなければならなかった。
しかも、広まる速さと、説明がつく速さは、同じ人々が決めるのではない。この篇でここから先に起こることは、すべて、この二つの速さが生んだ隔たりの中で起こる。
前の篇の終わりで、数学はまず、計算は通るが説明のつかないものを作り、そのあと定義を広げ直して迎え入れる、と書いた。あの篇で扱ったのは、ある種類の対象だった。この篇で扱うのは、方法の体系丸ごとである。
三 なぜ『プリンキピア』は幾何で書かれたのか
1687年の『プリンキピア』は、流数の方程式の体系から始まってはいない。
ニュートンが組み立てたのは、最初の比と最後の比を用いる幾何学的な極限の論証だ。幾何学的な量を連続運動の中で近づけ、それらの量が消える前に、ある比率が最後の比へと近づくようにする。要点は、最後にゼロでない無限小の三角形が残ると仮定することではない。比がどの極限へ近づくのかを論じることにある。全巻を支える言語は、線分、面積、比、相似図形、円錐曲線、幾何学的な作図だ。よく聞く説明はこうなる。実はすべて微積分で計算してあったが、読者にわかってもらうため、わざわざ古典幾何へ翻訳したのだ、と。
この説明が正しいのは、一部だけだ。
晩年の彼が、新しい解析によって『プリンキピア』の命題の大部分を発見し、古人のように確かなものにするため、改めて総合的に証明したと述べたのは事実だ。ただし、この回想が書かれたのはライプニッツとの論争の時代である。自分の方法をどう見せるかという意図を帯びており、一つ一つの命題が生まれた日の作業日誌としては読めない。
関連する草稿の研究によれば、ある命題の背後で、級数、求積、さらには流数の技法まで使われたのは確かだ。それでも全巻を、幾何という暗号で書かれた現代の微積分教科書へ還元することはできない。幾何を選んだ理由は、少なくとも四層ある。
第一は、証明の格付けだ。彼はしだいに、新しい方法を発見への道と考え、古典幾何を証明の完成形と見るようになった。彼の頭の中で再構成された古代の伝統では、解析は仕事場に置いておいてよい。公に出す文章には、総合による証明を示す。
第三篇でも、これに関わる問題を扱った。あのとき争われたのは、何が原理を名乗る資格を持つかだった。ここでは一段変わって、何が公に示す証明を名乗る資格を持つかが問われている。
第二は、物理的な意味である。自然哲学の基本量を、幾何学的にも自然界にも存在しないと彼が考える不可分量の上に置きたくなかった。一つの専門論考では、数学的な量は連続運動から生成できると強調し、自分が求める量は有限で、実在的なものだと述べている。
第三は、『プリンキピア』そのものの研究対象だ。彼が調べたいのは、力、軌道、面積速度、天体運動の構造的な関係であって、まず一般的な微分方程式論を建てることではなかった。ある種の中心力の問題では、幾何学的な作図は不器用な翻訳ではない。軌道の構造や比例関係を、直接見えるようにする方法なのだ。
その後の世代は、普遍的な算法、一般方程式、繰り返し使える計算を、もっと高い位置に置くようになる。だが、それは次の世代が徐々に作り上げた基準だ。そのまま持ってきて、1687年の選択を測ってはならない。
第四は、公にする方法と、私的に使う方法の違いである。ニュートン周辺に残る手稿を見ると、ある結論に対して、計算可能な手順を用意できていたことがわかる。彼はそうした技法を、手稿、通信、弟子たちの輪の中にとどめた。
だから、ひそかに微積分を使ったのかどうかだけを問うべきではない。彼の証明文化において、何をすれば自然哲学の命題を完成させたことになるのか。それを問うべきだ。
こう問うと、あの本の姿が変わって見える。翻訳された微積分教科書ではない。一人の人間が、自分の信じる証明基準に従って、一連の発見をもう一度やり直した本なのだ。発見と証明は分ける。第四篇に登場した人物も同じことを書いていた。隔たりは千九百年。違うのは、あちらの人物は両方の方法を書き、前者は証明ではないとはっきり断っていたことだ。こちらの人物は、発見の側の半分を仕事場に残した。
四 優先権
1676年より前には、公然たる戦争はなかった。
二人は、ある仲介者を通じて手紙をやりとりした。ニュートンは手紙の中で級数などの成果を語り、一部の方法は文字を並べ替える謎の形で隠してもいた。一方、ライプニッツはすでに、パリで書いた自分のノートの中で差分の算法を発展させていた。1684年にライプニッツが微分法を公表すると、1687年の『プリンキピア』で、ニュートンはその方法に、かなり友好的な口調で言及さえしている。
1690年代の初め、ある人物が内々に疑いを抱き始めた。1699年には初めて公の場で、ライプニッツはニュートンから方法を得たのではないかとほのめかす。ふつう、これが公然たる争いの始まりとされる。
二度目の激化は、1704年から1705年にかけてだった。『光学』の付録として『曲線の求積について』が公刊されたあと、ある学術雑誌に匿名の評が載り、ニュートンの流数とライプニッツの微分を並べて論じた。ニュートン陣営は、その言い回しを、今度は逆にニュートンのほうがライプニッツから借りたとほのめかしている、と受け取った。この評は通常ライプニッツのものとされる。ただし、個々の言葉の責任を彼に帰すなら、匿名で公刊されたという点は明記すべきだ。
その後、キールが王立協会の論文で明言した。流数算術の最初の発明者はニュートンであり、ライプニッツは後から別の名称と別の記号で公表したのだ、と。含みを持たせた水面下の争いは、こうして直接の盗用告発になった。ここから先は、誰が何を先に計算したかという争いではない。一人の人間の名誉が争われる。名誉を半分ずつ持ち帰るわけにはいかない。発見なら二人が別々に成し遂げられるが、当事者たちはしだいに、栄誉を分かち合えるものとは考えなくなった。この争いが本当に調停不能になったのは、そこだった。
しかも、二人の境遇はまったく違い、争われているものの重みも違った。一方はケンブリッジの教授で、のちには国の造幣局に入り、大学、学会、そして実権のある役職を同時に手にした。もう一方は宮廷顧問であり、図書館員であり、王朝史事業の責任者だった。長く俸給を受けながら、ほとんど終わりそうにない一族の歴史に足を取られてもいた。二人の大学数学教授が発明の権利を争った、と書いてしまえば、社会的な背景全体を読み違える。
1711年、ライプニッツは王立協会に正式に訴え出た。協会は1712年三月、委員会を設置する。この委員会が誰で構成されていたかは重要だ。
現存する記録では、最初の委員に数学的な力量を備えた人物が何人か含まれ、その後さらに数人が加わっている。プロイセンの使節も一人いた。全員がニュートンの私的な腹心だったわけではない。それでも、細部のすべてに勝る事実が一つある。このとき、王立協会の会長はニュートンだった。
調査の手続きも、今日いうところの双方による立証、利益相反の回避、独立した同業者による審査とは、ほど遠い。委員会は主に、協会とあの数学の仲介者が残した古い手紙や写しを照合した。そして、多くの資料を提供し、配列したのはニュートン本人だった。ライプニッツは委員会の前で一項ずつ説明するよう招かれておらず、ニュートンと対等に文書を編集する権限も与えられなかった。委員会は結局、ニュートンの方法が先行したと認定し、その優先権の主張はライプニッツを害するものではなかったと判断した。
資料はその後、協会の名で出版された。
ニュートンが執筆に関わったという話は、会長だったのだからそうだろう、と後世の人が推測したものではない。ケンブリッジに保存された論争の手稿には、彼の自筆の草稿、資料の配列、その文集のために書いた文章がある。関連する文書の解説は、この一群の資料によって、後に協会の刊行物に載った匿名論文も彼の筆によることが証明されると明記している。会長、当事者、主要な資料提供者、文章の起草者。この四つの役割のあいだに、現代の制度なら求めるはずの隔ては、何もなかったということだ。
この点を、誰かの有罪判決に使う必要はない。示されているのは一つだけだ。この調査には、主要な当事者を資料の配列と結論の形成から外すための、十分な手続き上の隔離がなかった。いつそれが判明したのかについても、ある年に突然秘密が暴かれた、という話ではない。
前の篇で出てきたド・モルガンは、すでに1852年に論文を出し、文章と書誌の証拠によって、あの匿名論文がニュートンの作であると論じていた。1872年、ニュートン家が科学関係の論文・手稿をケンブリッジへ渡すと、大量の論争草稿が体系的な整理の対象になり、1888年に目録が刊行された。その深い関与が、手稿の側からもさらに確認できるようになった。では、二人が独立に発展させたという結論は、どこから来たのか。公平のために半分ずつ分けたのではない。別々の二群の文書資料から生まれた結論だ。
「独立発見」という四文字は、外交上の言い回しに聞こえるかもしれない。そうではない。二つの紙の山を突き合わせて得られた結論だ。二つの記法、二本の時間軸、二人がそれぞれ残した日付。
ニュートンの1660年代の手稿だけで、ライプニッツより前に、その道筋がすでに始まっていたことを十分に証明できる。一方、ライプニッツの1675年前後の私的なノートは、微分の記法と算法が、どんな具体的な問題の中から、一歩ずつ現れたのかを十分に示している。
もしニュートンの方法を受け取って、記号だけを取り替えたのなら、突然の借用が見えるはずだ。実際に残っているのは、失敗した試み、記号の変更、概念の組み直しを大量に含む、別の作業の軌跡である。証拠の強さを並べるなら、こうなる。
ニュートンの数学資料の一部を見たことは、確かな証拠がある。十九世紀に、ライプニッツの文書資料の中から、彼が自分の手で写したニュートンの資料が見つかった。したがって、関連する仕事は一切見ていない、とは言えない。ニュートンが強力な方法を持っていると知っていたことも、認められる。だが、1675年に自分で取りかかる前に、ニュートンの体系全体を把握していたことには、信頼できる直接の証拠がない。その資料から方法を導き出し、自分のものに見せかけたという話を支持する文書は、一つもない。
広く流布する別の話もある。優先権争いのせいで、英国の数学は百年止まった、というものだ。事実の土台はあるが、たいていは言いすぎている。
争いによって、方法の違いが国の違いにされたのは確かだ。大陸では一つの言語を採用する流れが強まる。英国では流数、最初の比と最後の比、そしてニュートンの権威が中心になり、大陸の文献が入ってくる速度は遅かった。
反対側の証拠も、同じように重要だ。英国の数学は止まっていない。その世代は、級数、差分、流数論、解析で、かなり活発に仕事をしていた。ニュートンの点記法そのものが、計算を妨げていたわけでもない。
より妥当なのは、争いが二つの伝統の制度的・言語的な隔たりを深め、相対的な衰退の一因となった、という判断だ。記号を選び間違えたから英国の数学は百年眠った、というのは後世の劇的な物語である。ここには、もう一つ物質的な理由もある。この篇には、よく似合う話だ。
公刊された論文は数ページでも、私的な作業の紙は数万ページあるかもしれない。ニュートンが死後に残した手稿は途方もなく多く、現代的な意味での文書資料のまとまりは、二百年にわたる分割を経て形成された。ライプニッツの側では、残った文書が約五万件、二十万ページ。手紙が約一万五千通で、文通相手は約千百人にのぼる。誰の作業の紙が残るのか、いつ目録が作られるのか、編集者がどの部分を見るのか。それによって、後世に書かれる発見の歴史は直接変わる。
十九世紀と二十世紀に、優先権争いの判定が改められたことは、この事情と切り離せない。
五 増分
ここで、バークリーに戻ろう。
第二節で出会ったゼロ割るゼロの難所を、当時の教科書はこうやって迂回していた。
ある量が、ある時点でどのくらいの速さで変わるかを求めたい。そこで初めからその一瞬を取らず、短い区間を取る。独立変数をほんの少し増やす。その少しを、増分と呼ぶ。
増分はゼロであってはならない。このあと、それを割る数にするからだ。ゼロでは割れない。
割り算が済んでも、式にはまだ、その増分を含む項がいくつか残る。そこで計算する人は、この増分はもう消え去った、と言う。それらの項を捨てると、答えが出る。
バークリーは、それは同じ論証の中で、仮定をひそかに取り替えることだと言った。
割り算が必要なときには、ある。きれいな答えが欲しくなると、なくなる。
初めからゼロなら、先の割り算は許されない。ゼロでないのなら、後からそれを含む項をゼロ扱いしてよい根拠は何なのか。
この告発が強いのは、きわめて具体的だからだ。あの小さなものはいったい何者なのか、という哲学的な問いを狙っているのではない。紙の上の数行を狙っている。一行目では、ゼロであってはならない。三行目では、ゼロでなければならない。いつ変わったのかを説明する一文は、その間にない。
そして、あのもっとも有名な言葉が出る。
彼はまず、その量とは何なのかと問い詰める。消えていく増分の速度なのか。では、その増分自体は、普通の有限量でもなければ、単にゼロだとも言えない。
そこで一言投げる。それらを「死んだ量の幽霊」と呼んでもよいのではないか。
それだけで成り立つ、気の利いた悪口ではない。論理への攻撃全体を圧縮した言葉だ。計算は、許された操作をするために、その量に頼っていた。証明の終わりには、その量は消えたと宣告される。それでも計算の結果は残っている。
実体はすでに死んだ。働きはまだ、ここにいる。
この比喩には、あまり語られない狙いもある。主教の筆から出る「幽霊」は、無造作に選ばれた言葉ではない。宗教に見えないものがあると嘲笑する人たちを指して、あなたがたの計算の中にも、見えないものが一群で住みついているではないか、と言っているのだ。無限小のばかばかしさを笑った、とだけ訳せば、原文の論証の切っ先を失う。ただし、この一撃には届く範囲がある。
素朴な無限小の計算の、ある種の教科書的な書き方には、きわめて正確に当たっている。だからといって、『プリンキピア』の最後の比による論証まで倒したことにはならない。ニュートンならこう答えられる。最後に、ゼロではなく、同時にゼロでもある量が残るなどと、私は一度も言っていない。量が消えるところへ近づくとき、比率が何に近づくかを論じているのだ。後で彼を弁護する何人かは、まさにこの道を取った。
つまり、この一撃が当たったのは、ニュートンがもっとも慎重に述べた層ではなく、当時もっとも広く出回っていた層だった。そしてもっとも広く出回った層こそ、学生が学ぶ層である。
一つの学問のいちばん弱い場所は、しばしば、そのいちばん深い層にはない。初心者に教える層にある。深い層には守る人がいるが、初心者に教える層は、すでに簡略化されている。簡略化の際に落ちるのは、まさに、なぜこうしてよいのかを説明する文なのだ。
六 バークリーがしたかったこと
ここでようやく、なぜ彼がこの本を書いたのかを話せる。
彼は長く、当時の自由思想家たちを攻撃していた。彼らはしばしば、数学と自然哲学の明晰さ、確かさを引き合いに出し、キリスト教の秘義、恩寵、信仰に関わる命題を対照させた。バークリーの戦略は、数学が役に立たないと証明することではない。彼らの認識論上の武器を、反転させることだった。
あなたは、明瞭で理解でき、一歩ずつ厳密に導かれるものしか受け入れないと言う。それは結構。では、毎日使っている流数、消え去る増分、無限小を、同じ基準に従って、はっきり説明してもらおう。
だから、副題の中の比較は、決して飾りではない。彼が本当に作りたかったのは、一つの対称性だ。数学者の実践が、概念の曖昧なままでも信頼できる結果を生むのなら、完全には概念化できないものが存在するという事実それ自体を、宗教を拒む十分な理由と自動的に見なすことはできない。
彼は神学めいた語彙で、解析学を繰り返しからかいさえした。数学者たちの信仰、秘義、理解不能な対象を、彼ら自身が攻撃している宗教の概念と、隣り合わせに置いてみせる。
だから、後世の極限の言語を先取りした十八世紀の論理学者、として書いてはならない。彼はまず哲学者であり、主教だった。ここでは数学の基礎問題が、自由思想家に対する認識論的な反撃のために使われている。
その位置にいたからこそ、かえって他の人よりよく見えた。内側にいる人は、その算法を毎日使い、毎日正しい答えを得ている。外から来た人は、紙に書かれた手順だけを読む。慣れが生む信頼を持っていない。数学への批判は本物で、宗教上の目的も本物だった。二つは、どちらか一方を選ぶべき説明ではない。
数学を口実に科学を攻撃する宗教屋として書いても、たまたま主教だった論理学者として書いても、この本がなぜ書かれたかを取り落とす。
そして、ここに、この篇のいちばん大事な層がある。数学の穴を使って神学を弁護した人物が、数学については正しかった。
この文は、どちらの半分も成り立ってこそ面白い。数学について間違っていたなら、的を外した苦情で終わる。神学上の目的がなかったなら、普通の学術批判で終わる。両方あるから、あの本になる。では、どの程度まで正しかったのだろう。
伝統的な数学史は、彼をかなり高く評価してきた。実際に狙った書き方に限れば、批判はおおむね的を射ており、当時の文脈でも相当に強かった。この評価が特に当てはまるのは、まずゼロでない量で割り、その後でゼロとして捨てる書き方や、高次の無限小を、その論理的な身分を説明せずに使う書き方である。ただし、ここ数十年で重要な見直しも進んだ。
ライプニッツを研究する歴史家たちは、バークリーがしばしば、無限小を普通の実数のような小さい量と同一視し、相反する性質を同時に満たすよう求めていたと指摘する。一方のライプニッツ自身には、連続性の法則と高次の項に関する一連の規則があり、主要な次数が同じ項だけを残す理由を説明していた。逆に、結果がなお正しい理由を、二つの誤りが互いに打ち消し合うことによって説明したバークリー自身の論証も、不十分だとする研究がある。
したがって、もっとも堅実な結論はこうだ。彼は本当の基礎問題を見つけ、同時代に多数あった不十分な説明も見つけた。微積分それ自体が必然的に矛盾することを証明したのではなく、現代の極限理論を与えたのでもない。完全に間違っていたと書いても、完全に勝利したと書いても、現代の研究とは合わない。ただし、彼の本が、すぐに始まり長く続く応答を促し、なぜこう計算してよいのかという問いを、公の場でより集中的に論じさせたことは確認できる。その後の基礎研究のすべてを、この本の結果にしてはいけない。
それから百年のあいだに、少なくとも四つの、互いに異なる答えが、本気で提案された。
七 別の場所で
この話の先へ行く前に、時間を三百年戻し、場所をインド南端へ移そう。
そこには、現代の歴史家がケーララ学派と呼ぶ伝統がある。この名は、師弟、家族、注釈の伝統、共通する天文学の問題意識を持つネットワークを指すためのものだ。校舎や会員制度のある学院を思い浮かべてはいけない。
この系譜をここで取り上げるのは、誰が先だったかを競うためではない。同じ判定基準の問題を、ヨーロッパより早く、しかも答えにくい形で突きつけるからだ。答えにくいのは、その文献が理由を示しており、その理由の形がヨーロッパのものとは違うためである。理由がある以上、ただ公式を当てずっぽうで見つけたとは言えない。理由の形が違う以上、後世の体系をすでに持っていたとも言えない。最初の中心人物は通常、1340年ごろに生まれ、1420年代に亡くなったとされる。そこからさらに何世代も続いた。
この伝統には、今日なら正弦、余弦、逆正接の無限べき級数とわかるものが現れる。逆正接の特別な値から、円周率の交代級数も得られた。円周率の計算効率を上げる補正項もあった。現代の記号で書けば、後のヨーロッパ数学の対応する級数と、同じか等価である。
年代について、もっとも堅実なのは、すべての公式に架空の発見日をつけることではない。後の文献は、いくつかの核心的な結果を、最初のあの人物に明確に帰している。だから起源は十四世紀末から十五世紀初めに置ける。ただし、完全な形で現存するもっとも早い文献上の証拠は、多くの場合、一、二世代後のものだ。
ここでは一つ、はっきり分けなければならない。後世の文献が、この方法は誰それに由来すると明記している。それには文献の裏づけがある。本人の十四世紀の手稿が今日残っている。それは事実ではない。
成果は、きれいな級数を見つけただけではなかった。三角関数表、円周率、天文学の数値計算に役立てるためのものだった。さらに大切なのは、収束の遅い交代級数をどこで打ち切り、どう補正を加えれば、有限の計算でより高い精度が得られるかを研究したことだ。では、その文献には公式しかないのか、それとも理由があるのか。理由はある。まさにそのことが、二十世紀にこの伝統を評価し直す大きな理由になった。
十六世紀前半の、理由を示すもっとも重要な文献は、題名そのものが「理由」を強調している。公式を並べるだけの本ではない。円弧の幾何を用い、図形を多数の小さな部分に分け、それらを比較し、べきの和を求める規則を使い、分割をますます細かくすることで、なぜその展開が得られるのかを説明する。ただし、推論の鎖があることと、現代の収束証明をすでに持っていたことは、分けなければならない。
それらの論証は、小さな弧がある単純な量にますます近づく、分割を十分細かくすれば誤差は無視できる、といった幾何と数値の直観を用い、有限個のべきの和を求める近似的な関係にも頼っている。十九世紀の実数の完備性も、統一された極限の定義も、一般的な級数の収束理論も、そこにはない。
この言葉は、同時期のヨーロッパにも当てはまる。第五節でバークリーが攻撃したのは、まさに同じ種類の隙間だった。ある種の補正項については、現代の精読でも、伝統的な理由づけは現代の基準で納得できるほどには十分でないと明言されている。
第五篇でも、同じ形の争いを扱った。あちらで問われたのは、ある注釈者の論証が証明に数えられるかどうか。ここで問われるのは、この体系が微積分に数えられるかどうかだ。そして答えは、やはり判定基準に左右される。
第五篇の結論は、こうだった。用語が決めるのは、その人を「証明」という箱に入れるかどうかであり、資料の分析が決めるのは、箱の中に何が入っているかである。ここでも、そのまま使える。
一方には、微積分に数えるべきだという立場がある。無限過程で三角関数を扱い、局所的な変化、総和、面積に関わる推論から無限級数を導き、有限の打ち切りを論じることが基準なら、この伝統には核心的な構造が十分そろっている。
もう一方はより慎重で、「一つの微積分体系」ではなく「微積分の思想」と呼ぶ。こちらの基準は、もっと体系的だ。成熟した微積分に必要なのは、いくつかの関数のべき級数だけではない。一般的な微分の概念、一般的な積分の概念、両者の体系的な結びつき、そして大量の新しい問題を一つの算法にまとめられる枠組みも必要になる。さらに第三の意見があり、歴史をどう書くかという点では、とりわけ重要だ。この問い自体が、ヨーロッパに寄りすぎているのかもしれない。
各地の数学を何でも、後世のあの体系に届くまであと何が足りないのか、という問いにしてしまうと、その土地自身の天文学上の目的、論証の仕方、三角計算の伝統、言語の構造が、別の場所へ向かう進度表にされやすい。
だから、ここで「本当の発明者」の順位をつけるべきではない。何に分類するかの違いは、主に分類基準の違いから来る。どちらかが、あの級数の存在を知らなかったからではない。両側の研究者とも、そこに級数があるのは知っている。争っているのは、それらの級数を持つ体系を、何と呼ぶべきかだ。
何と呼ぶべきかという問題に、このシリーズはもう三度出会っている。第三篇では、あの本は公理的方法の誕生に当たるのか。第五篇では、あの注釈は証明に当たるのか。この篇では、あの級数は微積分に当たるのか。三度とも、争いは資料が足りるかどうかだけではない。使う物差しが違う。そして、その物差しを握っているのは、いつも後世の人だ。この点は、このシリーズで繰り返し現れ、これからさらに重くなる。では、伝播はどうか。
一つの仮説が提案されている。十六、十七世紀、ポルトガル人はインド洋に海のネットワークを築いた。その地域で宣教師たちが活動し、暦、天文学、航海のデータを実際に必要としていた。だから、現地の天文計算者や文献に接する機会も動機もあったというものだ。支持する論拠は主に三種類になる。経路がある、需要がある、時期的に可能だ。問題は、船があり、宣教師がいて、似た数学がある、というところから、その公式が伝わったというところまでのあいだに、歴史学がいちばん必要とする一環が抜けていることだ。
現在までに見つかっていないのは、十六、十七世紀のヨーロッパの翻訳、手紙、写本、学習ノート、蔵書目録の記録、あるいはヨーロッパの数学者の明確な引用で、ある級数を、特定のインド文献からヨーロッパまで連続してたどれるものだ。したがって現存する資料からは、これらの具体的な級数が十六、十七世紀にヨーロッパへ伝わり、関連する発見に影響したという、連続した証拠の鎖を確立できない。
この結論は、伝播が絶対にありえなかったことを証明するものではない。記録の残らなかった伝播が起きた可能性は、もちろんある。示すのは、今ある証拠の範囲では、可能性を、起こった事実へ格上げすることはできないということだ。
ヨーロッパの学界がこの資料に改めて目を向けたのは、1832年十二月に行われた論文の口頭発表だった。論文は1834年、東洋学の学会誌に収録された。著者は東インド会社の役人である。その判断はかなり大胆で、これらの文献はすでに、完全な流数体系の基礎を築いていたと考えた。この十九世紀の呼び方自体が、後に続く、それは結局微積分なのかという論争の前触れになっている。
ただし、その論文がすぐにヨーロッパの数学史を書き換えたわけではない。長いあいだ、主要な著作にはほとんど取り入れられなかった。再び出版、翻訳、分析が行われるのは、1940年代末以降である。
だから、彼が初めて西洋に知らせ、その後わざと封じ込められた、というのも劇的すぎる。もっと正確には、彼は非常に早く資料の重要さを見抜いたが、論文の属する学問のネットワークは周縁にあり、原典は読みにくく、校訂版も足りなかった。しかも十九世紀の数学史は、すでに自前の物語の枠組みを持っていた。そのため、この系譜は長く、継続的な研究の伝統を生まなかった。なぜ無視されたかについて、単一の心理的な説明を支える資料は、どれにもない。一つの手がかりが百年見落とされるのに、ふつう、誰かが抑圧する必要はない。
前のいくつかの篇で出会った保存の問題と、仕組みは同じだ。ヤシの葉の写本は、定期的に書き写し、手入れしなければならない。湿気と暑さ、虫害、摩耗のある環境では、とりわけ脆い。一つの文献が数百年続いたということは、多くの場合、絶えず書き写されたということだ。十四世紀の一枚の葉が、そのまま今日まで生き延びたということではない。
だから、現存する写本が十六世紀のものであることと、文献が十四世紀に作られたことは、同じ年代の証拠ではない。発表された場所が合わず、言葉が通じず、原文が読みにくく、その時代の学問がすでに自分の物語の語り方を持っている。それだけで十分なのだ。
八 厳密さの意味は変わったのか
バークリーの後の百年に戻ろう。彼の後、数学者が何事もなかった顔で、百年計算し続けたわけではない。
その年に反撃した人がいる。1734年にはすでに、『幾何学は不信仰の友ではない』という題で、ニュートンと英国の数学者を弁護する本が出た。その後、両側が文章を出し合う。この小冊子戦争は、最終的にかなりのページ数を積み上げた。ただし、基礎を徹底的に建て直したというより、論争の中で説明を詰める性格が強かった。
翌年、別の人は、より数学的な道を取った。戦略の要は、こう認めることにある。ニュートンの方法を、神秘的な、実際に存在する無限小の上に置くなら、確かにあの問題は深刻だ。だが、ニュートンのもっとも成熟した方法をそう読む必要はまったくない。変数の最初の比、最後の比、あるいは極限の過程として理解すべきだ。つまり、無限小を弁護する話を、ニュートンの本当の方法は攻撃されている種類のものではない、という話へ切り替えた。
1742年のあの本が、英国からの答えとしては規模が最大で、技術的にももっとも本格的だった。二巻、本文だけで七百ページを超える。著者は古典幾何、取り尽くし法の考え、比、極限の形を取る論証を大量に使った。存在しながら存在しない無限小に頼らず、有限量の変化と制御できる極限の過程から流数を基礎づけられる、と示すためだ。バークリーに答えるだけの本ではない。解析全体に、公の場で守り抜ける基礎を与えようとした。
七百ページ、大量の古典幾何。およそ七十年前に発展した算法を守るために、二千年前の言語へ引き返した。
第三篇では、その言語がなぜ信頼できる証明の形とされたかを語った。ここでは、それが最後の防衛線になっている。
十八世紀半ば、ダランベールは極限を、はっきり基礎の位置へ押し出した。無限小を神秘的な実体と見ることに反対し、微分計算が本当に扱うのは、増分がゼロに近づくとき、有限の差分の比が近づく値なのだと主張した。よく引用される彼の判断がある。極限の理論こそ、微分計算の真の形而上学である。この言葉の意味は、あの小さなものは何かと、もう問うな、どこへ近づくのかを問え、ということだ。十九世紀の方向に、かなり近い。ただし、後のあの精密な言語は、まだ足りなかった。
ラグランジュには、「近づく」ことさえ、幾何的すぎ、形而上的すぎた。
1797年、彼は微積分を、完全に有限量の代数へ変えようとした。変数を変化させた後の関数をべき級数に展開し、一次の項の係数を一階導関数と定義する。それを先へ続ける。これなら、見かけの上では流数も無限小も、さらには極限さえもいらない。あの本の副題は、微分の原理を、無限小、消え去る量、極限、流数から解き放つと宣言していた。
どこで失敗したかは、後には明らかになる。微分可能な関数どころか、無限回微分可能な関数でさえ、すべてが近傍で自身の級数によって表せるわけではない。あるべき級数の形が存在したとしても、収束と、打ち切った後に残る部分の振る舞いを証明しなければならない。それこそ、形式的な代数だけでは保証できないものだ。
実際には、関数が必要な展開を持つことを基礎の前提にしていた。こうして元の極限の難問を、やはり解析の理論で証明しなければならない、級数の難問へ取り替えたのだ。
これは筋の通った失敗であり、覚えておく価値がある。計算を間違えたのでも、手を抜いたのでもない。難問を別の場所へ移したが、その場所も同じくらい難しかった。第七篇でも、同じ動作が現れた。厄介事を意味論へ押しつければ、より難しい問いに答えずに済む。今回は形式へ押しつけたが、押し切れなかった。
ようやく、あの問いを出せる。「厳密」という言葉の意味が十九世紀に変わったからこそ、後世の人は過去を振り返って、先人は厳密でなかったと言うのだろうか。
第三篇でも、一度この形を扱った。そのときの結論は、古人が見る場所を間違えたのではなく、「厳密」の意味が変わり、その変え方によって、問題が明言された場所から、明言されていない場所へ移った、というものだった。今回は、答えがもう少し複雑になる。二つの文が、同時に成り立つからだ。
この類比を支える資料は強い。ニュートンは、古典的な総合幾何が信頼できる証明を体現すると考えた。ライプニッツは記号演算の一般規則を重視した。オイラーの世代は、形式の一般性と計算の生産力を、しだいに数学的な証拠の一部として見るようになった。十九世紀のあの流れは、極限、連続、収束、関数を、一つずつ明確な条件で述べることをますます求めた。証明に何が欠けているかを判定する基準は、時代ごとに確かに違う。ただし、この類比を遠くまで進めすぎてはいけない。
十九世紀の人が、何もないところから一式の要求を発明し、それから振り返って先祖のあら探しをした、という話ではないからだ。
十七世紀末には、すでに新しい解析への攻撃があった。バークリーは1734年に、増分の論証の不整合を指摘する。その後すぐ、二人が応答の必要を感じた。ダランベールは、明確に真の基礎を探しに行く。ラグランジュは1797年になっても、無限小、極限、流数から徹底的に離れようとしていた。十八世紀の当事者自身が、基礎問題の存在を知っていた。しかも、それぞれ違う答えを出した。そのこと自体が証拠である。誰もが問題はないと思っていたなら、七百ページも書く人はいない。
ニュートン本人が、その一例だ。成熟した著作では、流数は有限で、実在的だと強調し、無限小の対象ではなく、目に見える有限の線分で表すのが最良だと主張している。こうして何度も自分の立場を明らかにしたこと自体が、無限小は対象としてどんな身分を持つのか、それは答えを要する問いだと知っていた証拠になる。
だから、二つの文を同時に書かなければならない。後世が厳密さの技術的な基準を変えたのは事実であり、十九世紀後半の要求を、永遠の法廷にしてはならない。同時に、十七、十八世紀の数学者自身が、ある推論には説明が必要だと気づいていた。したがって、厳密でなかったという罪名も、後世が丸ごと作り上げたものではない。この二つの文のあいだに、この篇の本当の内容がある。
古人が愚かだったのでも、後世が厳しすぎたのでもない。道具の体系が、自分自身の説明より先を走ったのだ。先を走った分の隔たりは、当時の人にも、後世の人にも見えていた。ただ、見え方が違った。
では、そのあいだ、基礎が揺れ続けていたあの道具は、何を成し遂げたのか。
ニュートンの力学は、体系的に計算できる解析力学へ書き直された。1736年には、解析の方法で質点の運動を組織する仕事が現れた。後には、拘束のある系、仮想変位、微分方程式、変分法が、汎用の道具になっていく。1788年の一冊は、象徴的な到達点になった。古典力学はしだいに、一般方程式から出発して計算できるようになり、問題ごとに『プリンキピア』式の幾何学的な作図を発明し直さなくてよくなった。
その重みがとりわけ見えるのは、天体力学だ。『プリンキピア』が解いたのは、理想化した二体系の核心構造だった。現実の太陽系は、多体の摂動問題である。十八世紀半ばには、月の近地点の歳差を高次まで近似することが、一時、引力の法則を試す鍵になった。十八世紀末に刊行が始まった五巻本では、惑星の摂動、月、潮汐、地球の形状、長期的な安定性が、大規模な解析の体系に組み込まれている。
だから、ここまで来ると、ニュートンを新しい記号へ翻訳しただけではない。1687年の彼には、そもそもなかったものを作っている。
流体、弾性、振動にも、それぞれ進展があった。1822年、フーリエは熱についての本を出版し、熱の流れを偏微分方程式で書き、きわめて広い範囲の温度分布を三角級数で表した。その本の主要な仕事は、イゼール県の知事を務めた時期に行われ、1807年末には科学アカデミーへ提出されていた。1812年にこの仕事はアカデミーの賞を得たが、講評には、方程式を得る方法に難点がないわけではなく、解を求める解析には一般性の点で、さらには厳密さの点でも欠けるところがある、と書かれた。しかもこの本は、物理学を作り変えただけではない。逆に十九世紀の数学者へ、関数、級数の収束、項ごとの演算、積分の定義を考え直すよう迫った。ここから基礎問題は、哲学者による外からの挑発ではなくなる。物理学の成功そのものが、数学に突きつけた問題になる。
したがって、実情は、厳密でない道具が二百年の物理学を支えた、という一文では言い表せない。基礎がまだ統一されず、個々の証明の基準も変わり続けていた解析の道具が、自分自身の基礎理論よりはるかに速く成熟した、ということだ。1734年、バークリーが問うたのは、あなたがたは何を根拠に、自分のほうが私より明瞭だと言うのか、だった。百年後に彼に答えたのは、哲学ではない。彼が攻撃した道具で計算され、しかも正しく計算されたものが、誰も説明せずにはいられないほど増えたことだった。
月の歳差、惑星の摂動、流体の運動、梁のたわみ、一本の弦が振動するときの形、一片の金属の中を伝わる熱。それらが一つずつ積み上がると、ある時点で、なぜ正しいのかを説明できないことは、もう次の世代へ押しつけられる問題ではなくなる。次の世代は、それを使ってもっと多くのものを計算しなければならないからだ。計算が増えるほど、横から「根拠は何だ」と聞かれることに、耐えられなくなる。
最後に答えを引き出したのは、あの一言の問いではない。あの問いが出された後にも、さらに百年分のものが計算されたことだ。一つの学問が最後に自分の基礎を直すのは、ふつう、崩れていると誰かに指摘されたからではない。その上に建てたものが、重くなりすぎたからだ。
計算はなお続く。だが、何を数学に数えるのかは、まだ一度も計算し切れていない。
史料と、さらに読むために
以下の資料は、本文の歴史的な細部と解釈上の争点に対応する。所蔵資料の記録、古代の文芸作品、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。