Unendlich kleine Größen und fehlende Strenge

1 Ein Bischof

1734 veröffentlichte ein Bischof ein schmales Buch. Darin griff er das erfolgreichste mathematische Werkzeug seiner Zeit an.

Er hieß George Berkeley, war Ire und wurde noch im selben Jahr zum Bischof von Cloyne ernannt. In der Geschichte der Philosophie ist er aus einem anderen Grund bekannt: Von sogenannten Dingen, meinte er, lasse sich außerhalb ihres Wahrgenommenwerdens gar nicht sprechen. Gut hundert Jahre später wurde in Nordamerika eine Stadt nach ihm benannt.

Dieses kleine Buch aber richtete sich an Mathematiker.

Es hieß Der Analyst. Der lange Untertitel kündigte sinngemäß eine Prüfung an: Waren die Gegenstände, Grundsätze und Schlüsse der modernen Analysis wirklich klarer und deutlicher hergeleitet als die Geheimnisse der Religion und die Sätze des Glaubens? Adressiert war die Schrift an einen ungläubigen Mathematiker.

Damit stand die Stoßrichtung fast schon vollständig auf dem Umschlag. Das war kein Buch darüber, wie Mathematik funktioniert, sondern darüber, was ihre Verlässlichkeit begründet. Und der Grund, weshalb den Autor das interessierte, lag außerhalb der Mathematik. Ein Bischof greift die Mathematik an: Das klingt nach dem alten Stück Kirche gegen Wissenschaft. Nur wurde hier ein anderes Stück gespielt.

Zumindest lief es anders als in der üblichen Inszenierung. Er sagte weder, die Mathematik sei falsch, noch, man solle sie bleiben lassen. Er sagte: In eurem eigenen Fach gibt es eine Stelle, die ihr nicht erklären könnt. Anderen gegenüber besteht ihr aber ständig darauf, dass sich alles erklären lassen müsse.

Wer der ungläubige Mathematiker war, ist nicht sicher. Meist wird Halley genannt. Das ist eine Zuschreibung, kein durch eine Namensnennung gesicherter Befund. Newton ist ein ausgesprochen schlechter Kandidat: Er war schon 1727 gestorben. Vor allem fragt Berkeley an einer Stelle seines Buches, warum manche Leute die Mathematik des großen Autors bewunderten und zugleich dessen Religion verspotteten. Mit dem großen Autor unterscheidet er offenbar den frommen Newton von jenem Ungläubigen. Weshalb er das Buch überhaupt schrieb, darauf kommen wir im sechsten Abschnitt zurück.

Die Schrift brachte ihm zahlreiche Gegenangriffe ein. Meist gingen diese allerdings an der entscheidenden Stelle vorbei.

Zunächst etwas Wichtigeres: Er hatte recht.

Nicht mit allem. Er hatte auch nicht bewiesen, dass die Infinitesimalrechnung widersprüchlich sei. Aber der logische Handgriff, auf den er zeigte, wurde tatsächlich ausgeführt. Er begegnete in den Lehrbüchern und Vorführungen der Zeit immer wieder, und die Mathematiker waren sich keineswegs einig, wie er zu erklären sei.

Wie merkwürdig das ist, wird erst deutlich, wenn man weiß, welche Stellung das angegriffene Verfahren damals schon innehatte.

Es war gerade ein halbes Jahrhundert alt und hatte bereits die Planeten am Himmel, die Wurfparabeln auf der Erde, die Perioden von Pendeln und das Strömen von Wasser durchgerechnet. Es war das treffsicherste Werkzeug seiner Epoche. So treffsicher, dass die meisten gar nicht mehr fragen wollten, weshalb es traf.

Dann trat ein Philosoph auf, der die betreffenden Argumente kannte, die mathematische Forschung aber nicht zu seinem Hauptberuf gemacht hatte, und sagte: Dieser Schritt da in der Mitte geht nicht auf. Im folgenden Jahrhundert versuchten mindestens fünf Gruppen, ihm zu antworten. Zu ihnen gehörten der beste britische Mathematiker seiner Zeit, der Herausgeber der französischen Enzyklopädie und ein Professor, der dafür über siebenhundert Seiten schrieb.

Noch bemerkenswerter ist, wer die Frage stellte. Kein hauptberuflicher mathematischer Forscher, sondern ein Philosoph und Bischof, dessen Angriff auf die Mathematik der Verteidigung der Religion diente. Keine der damaligen Antworten gilt aus heutiger Sicht als endgültig.

Eine Art von Antwort, die später die Grundlage der gängigen Lehrbücher werden sollte, reifte erst im neunzehnten Jahrhundert allmählich heran. Dabei wurde weit mehr als ein einzelner Beweisgang ersetzt: Man erneuerte die gesamte Sprache dafür, was Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz heißen. Die Antwort bestand also nicht darin, endlich herauszufinden, was diese verschwindende Größe eigentlich war. Man legte die Bedeutung der Begriffe neu fest, sodass diese Frage nicht mehr gestellt werden musste.

2 Erzeugung und Differenzen

Sehen wir zunächst, was er angriff. Jemand geht ein Stück Weg. Wie schnell er in dieser Minute gegangen ist, lässt sich problemlos beantworten: Man teilt die Strecke, die er während der Minute zurückgelegt hat, durch eine Minute.

Aber wie schnell geht er in einem bestimmten Augenblick?

Ein Augenblick hat keine Dauer. Die Strecke, die er in diesem Augenblick zurücklegt, ist null. Die dafür benötigte Zeit ebenfalls.

Null geteilt durch null.

Damit hatten sich die beiden Männer des siebzehnten Jahrhunderts auseinanderzusetzen, jeder für sich. Ihre Vorgehensweisen waren verschieden.

Newton setzte bei der Bewegung an. Eine Linie, eine Fläche, ein Volumen: Für ihn wurde all das durch eine kontinuierliche Bewegung erzeugt. Wie schnell es in einem bestimmten Moment anwuchs, war die gesuchte Größe. Er nannte sie Fluxion, wörtlich etwa eine Zahl des Fließens. Die Größe fließt, und diese Zahl gibt an, wie rasch sie fließt.

Dahinter steht ein Bild: Die Welt bewegt sich, Größen wachsen. Ein Bild kann sich als falsch erweisen, aber es ist immerhin ein Bild; man kann auf etwas zeigen. Später betonte Newton zudem wiederholt, dass er eine endliche Geschwindigkeit suchte. Er behauptete nicht, die Welt setze sich aus lauter Bruchstücken zusammen, die kleiner nicht sein könnten.

Leibniz setzte bei Differenzen an. Zwei Größen hängen miteinander zusammen: Ändert sich die eine ein wenig, ändert sich auch die andere ein wenig. Ihn interessierte das Verhältnis dieser beiden Änderungen. Wie klein dieses Wenige sein musste, wollte er nicht abschließend festlegen. Es sei eine Differenz so klein, dass sich ihre Größe nicht angeben lasse.

Ob solche kleinen Differenzen überhaupt existierten, beantwortete er nicht immer gleich. Einer seiner Zugänge war, sie als nützliche ideale Größen aufzufassen, als Fiktionen. Entscheidend war, nach den richtigen Regeln zu rechnen; die Ergebnisse ließen sich anschließend wieder in Beziehungen zwischen gewöhnlichen endlichen Größen übersetzen. Da ist das Wort aus dem vorigen Essay wieder. Eine Fiktion verbannt etwas nicht, sondern verschafft ihm einen Status, unter dem es bleiben darf. Zwischen den beiden Geschichten liegt ein Jahrhundert. Der Gegenstand ist ein anderer, die Art, ihm einen Platz zuzuweisen, dieselbe.

Die beiden Verfahren lassen sich am Ende ineinander übersetzen. Das macht sie jedoch noch nicht zu ein und demselben Begriffssystem des siebzehnten Jahrhunderts.

Auch die Ausgangsfragen unterschieden sich. Zu den Schwerpunkten des frühen Newton gehörten die Quadratur von Kurven, unendliche Reihen sowie das Bestimmen von Änderungsraten aus Gleichungen und umgekehrt von Größen aus ihren Änderungsraten. Seine Naturphilosophie verband die Fluxionen darüber hinaus eng mit der Bewegung. Leibniz trat 1684 öffentlich mit Tangenten, Extremwerten und einem allgemeinen Algorithmus hervor, den weder Wurzel- noch Bruchausdrücke aufhalten sollten. Was Zeitgenossen als Unterschied wahrnahmen, wurde später einmal so zusammengefasst: In der Praxis waren diese beiden Verfahren nicht gleichwertig.

Im Rückblick erscheinen sie leicht als zwei Schreibweisen derselben Sache. In heutigen Lehrbüchern kann man ja tatsächlich frei von der einen Notation in die andere wechseln. Dass die Umrechnung gelingt, ist aber etwas anderes als die Frage, ob die damaligen Beteiligten darin dieselbe Sache sahen. Auch die Zeichen selbst haben ihre eigene Chronologie.

In Leibniz’ privaten Notizen lässt sich die Entstehung seiner Notation bis 1675 zurückverfolgen. Im Oktober dieses Jahres begann er, jenen langgezogenen Buchstaben zu verwenden, aus dem das Integralzeichen wurde; er ging auf das lateinische Wort für Summe zurück. Im November bildete sich die Schreibweise heraus, in der Änderungen von Variablen durch winzige Differenzen dargestellt wurden. Wichtiger sind jedoch die Veröffentlichungsdaten. 1684 erschien der Differentialalgorithmus. Das Integralzeichen fand erst 1686 offiziell Eingang in einen veröffentlichten Aufsatz. Der berühmte Beitrag vom Oktober 1684 steht im ursprünglichen Zeitschriftenband ungefähr auf den Seiten 467 bis 473. Etwa sieben Seiten.

Das war keine Abhandlung über die Grundlagen, eher eine äußerst komprimierte Bekanntmachung eines neuen Rechenverfahrens. Leibniz erläuterte die Differentialregeln, wandte sie auf Tangenten und Maxima und Minima an und zeigte durch Beispiele, dass sich mit dieser Art des Rechnens tatsächlich arbeiten ließ. Von einer begrifflichen Grundlegung im Sinne späterer Lehrbücher findet sich darin kaum etwas. Gerade das ist historisch aufschlussreich. Zuerst verbreitete sich eine Sprache, mit der man rechnen konnte. Eine solche Sprache konnte in wenigen Jahren ganz Europa erreichen. Auf eine Erklärung, die sie wirklich verständlich machte, musste man noch über hundert Jahre warten.

Wie schnell etwas weitergegeben wird und wie schnell es sich erklären lässt, bestimmen außerdem nicht dieselben Leute. Alles, was in diesem Essay noch folgt, spielt sich in diesem Abstand zwischen Verbreitung und Erklärung ab.

Am Ende des vorigen Essays hieß es: Die Mathematik stellt zunächst Dinge her, mit denen sich rechnen lässt, obwohl sie sich nicht erklären lassen. Anschließend kehrt sie zu ihren Definitionen zurück und erweitert sie, damit diese Dinge hineinpassen. Dort ging es um eine Klasse von Gegenständen. Hier geht es um ein ganzes Verfahren.

3 Warum die Principia Geometrie verwenden

Die Principia von 1687 beginnen nicht mit einem System von Fluxionsgleichungen.

Newton entwickelte geometrische Grenzargumente mit ersten und letzten Verhältnissen. Geometrische Größen nähern sich in kontinuierlicher Bewegung einem Grenzzustand; bestimmte Verhältnisse streben, bevor die Größen verschwinden, einem letzten Verhältnis zu. Entscheidend ist dabei nicht die Annahme, am Ende bleibe ein unendlich kleines, aber von null verschiedenes Dreieck übrig. Entscheidend ist der Grenzwert, dem die Verhältnisse zustreben. Die hauptsächliche Sprache des Buches besteht aus Strecken, Flächen, Verhältnissen, ähnlichen Figuren, Kegelschnitten und geometrischen Konstruktionen. Eine verbreitete Erzählung lautet: Newton habe in Wahrheit alles mit der Infinitesimalrechnung ausgerechnet und es dann absichtlich in klassische Geometrie übersetzt, damit seine Leser es verstanden.

Das stimmt nur zum Teil.

Im Alter sagte er tatsächlich, die neue Analysis habe ihm geholfen, die meisten Sätze der Principia zu finden. Um sie nach Art der Alten gewiss zu machen, habe er sie dann synthetisch bewiesen. Doch diese Selbstauskunft entstand während des Streits mit Leibniz. Sie war auch eine methodische Selbstinszenierung und kann nicht als Entstehungstagebuch für Satz nach Satz gelesen werden.

Untersuchungen der zugehörigen Entwürfe zeigen: Hinter manchen Sätzen steckten tatsächlich Techniken mit Reihen, Quadraturen und sogar Fluxionen. Das gesamte Buch lässt sich dennoch nicht auf ein modernes Lehrbuch der Infinitesimalrechnung reduzieren, das in Geometrie verschlüsselt worden wäre. Für die Wahl der Geometrie gab es mindestens vier Gründe.

Erstens die Rangordnung der Beweise. Immer stärker verstand Newton die neue Methode als einen Weg zur Entdeckung und die klassische Geometrie als die Form des abgeschlossenen Beweises. Seine rekonstruierte Vorstellung der antiken Tradition lautete: Die Analysis darf in der Werkstatt bleiben. Der öffentliche Text liefert den synthetischen Beweis.

Im dritten Essay ging es um eine verwandte Frage: Was durfte damals als Grundsatz gelten? Hier hat sich die Ebene verschoben. Nun geht es darum, was als öffentlicher Beweis gelten darf.

Zweitens die physikalische Bedeutung. Newton wollte die Grundgrößen der Naturphilosophie nicht auf Unteilbares gründen, dem er weder geometrische noch natürliche Existenz zuschrieb. In einer eigenen Abhandlung betonte er, mathematische Größen könnten durch kontinuierliche Bewegung erzeugt werden. Die von ihm gesuchte Größe sei endlich und wirklich.

Drittens der Gegenstand der Principia selbst. Newton wollte die strukturellen Beziehungen zwischen Kräften, Bahnen, Flächengeschwindigkeiten und Himmelsbewegungen untersuchen, nicht zunächst eine allgemeine Theorie der Differentialgleichungen errichten. Bei manchen Problemen mit Zentralkräften ist eine geometrische Konstruktion keine unbeholfene Übersetzung. Sie legt die Struktur der Bahn und die Proportionen unmittelbar frei.

Die nächste Generation würde allgemeinen Algorithmen, allgemeinen Gleichungen und wiederholbaren Rechnungen einen höheren Rang geben. Doch diese Maßstäbe bildeten sich erst nach und nach heraus. Man sollte sie nicht unvermittelt an eine Entscheidung von 1687 anlegen.

Viertens der Unterschied zwischen öffentlicher und privater Methode. Die Handschriften aus Newtons Umfeld zeigen, dass man zu manchen Ergebnissen durchaus ein ausführbares Rechenverfahren liefern konnte. Er selbst ließ diese Techniken in Manuskripten, Briefen und im Kreis seiner Schüler.

Die Frage sollte daher nicht bloß lauten, ob er heimlich Infinitesimalrechnung benutzte. Man muss fragen: Wann galt in seiner Beweiskultur ein Satz der Naturphilosophie als abgeschlossen?

Sobald man so fragt, verändert sich die Gestalt des Buches. Es ist kein übersetztes Lehrbuch der Infinitesimalrechnung. Es ist das Werk eines Mannes, der eine Reihe von Entdeckungen nach den Beweismaßstäben, an die er glaubte, noch einmal neu ausführte. Entdeckung und Beweis sind zu trennen: Im vierten Essay hatte jemand dasselbe geschrieben, neunzehnhundert Jahre zuvor. Der Unterschied ist, dass jener beide Verfahren aufschrieb und ausdrücklich erklärte, das erste sei kein Beweis. Dieser hier ließ die Hälfte, in der die Entdeckungen gemacht wurden, in seiner Werkstatt.

4 Priorität

Vor 1676 gab es keinen öffentlichen Krieg.

Die beiden schrieben einander über einen Vermittler. Newton berichtete in seinen Briefen über Reihen und andere Ergebnisse; Teile seiner Methode verbarg er auch in anagrammartigen Buchstabenanordnungen. Leibniz hatte derweil in seinen Pariser Notizen bereits begonnen, seinen Differenzenalgorithmus zu entwickeln. 1684 veröffentlichte er die Differentialrechnung. Und noch in den Principia von 1687 erwähnte Newton dessen Methode in einem ausgesprochen freundlichen Ton.

Anfang der neunziger Jahre begann ein Mann im Stillen Verdacht zu schöpfen. 1699 deutete er erstmals öffentlich an, Leibniz habe seine Methode von Newton erhalten. Hier lässt sich gewöhnlich der Beginn des öffentlichen Streits ansetzen.

Die nächste Eskalation folgte zwischen 1704 und 1705. Nachdem Newtons Abhandlung über die Quadratur der Kurven im Anhang der Opticks erschienen war, veröffentlichte eine wissenschaftliche Zeitschrift eine anonyme Besprechung, die Newtons Fluxionen und Leibniz’ Differentiale nebeneinanderstellte. Newtons Lager las die Formulierung nun umgekehrt als Andeutung, Newton habe sich bei Leibniz bedient. Die Rezension wird meist Leibniz zugeschrieben. Wer ihm einzelne Formulierungen zurechnet, sollte aber weiterhin dazusagen, dass sie anonym veröffentlicht wurde.

Danach schrieb Keill in einer Veröffentlichung der Royal Society ausdrücklich, Newton sei der erste Erfinder der Fluxionsrechnung gewesen; Leibniz habe sie später unter einem anderen Namen und mit anderen Zeichen veröffentlicht. Aus dem verdeckten Stellungskrieg wurde ein direkter Plagiatsvorwurf. Von da an ging es nicht mehr bloß darum, wer was zuerst ausgerechnet hatte. Es ging um den Ruf eines Menschen. Einen Ruf kann man aber nicht einfach in zwei gleich große Stücke teilen. Eine Entdeckung können zwei Menschen unabhängig voneinander machen. Doch immer weniger waren die Beteiligten bereit, die Ehre als etwas Teilbares zu verstehen. Darin lag die eigentliche Unversöhnlichkeit des Streits.

Ihre Lebenslagen waren zudem völlig verschieden, und auch das Umstrittene hatte für sie ein unterschiedliches Gewicht. Der eine war Professor in Cambridge gewesen, später in die staatliche Münzverwaltung eingetreten und verfügte über Rückhalt an der Universität, in der Gesellschaft und durch ein Amt mit tatsächlicher Macht. Der andere war Hofberater, Bibliothekar und Leiter eines Projekts zur Dynastiegeschichte. Er bezog seit Langem ein Gehalt und schleppte zugleich eine Familiengeschichte mit sich, die fast nicht zu vollenden war. Wer daraus zwei Universitätsprofessoren für Mathematik macht, die um das Erfinderrecht streiten, verkennt den gesamten gesellschaftlichen Hintergrund.

1711 legte Leibniz bei der Royal Society förmlich Beschwerde ein. Im März 1712 setzte die Gesellschaft einen Ausschuss ein. Dessen Zusammensetzung ist wichtig.

Die erhaltenen Aufzeichnungen nennen unter den ersten Mitgliedern mehrere mathematisch befähigte Männer. Später kamen weitere hinzu, darunter ein preußischer Gesandter. Es waren also nicht ausschließlich persönliche Vertraute Newtons. Doch ein Umstand überwog all diese Einzelheiten: Newton war zu diesem Zeitpunkt Präsident der Royal Society.

Auch das Verfahren hatte wenig mit einer heutigen Untersuchung zu tun, in der beide Seiten Belege vorlegen, Interessenkonflikte vermieden werden und unabhängige Fachleute urteilen. Der Ausschuss verglich vor allem alte Briefe und Abschriften aus den Beständen der Gesellschaft und jenes mathematischen Vermittlers. Newton lieferte selbst große Teile des Materials und ordnete es an. Leibniz wurde weder eingeladen, vor dem Ausschuss Punkt für Punkt Stellung zu nehmen, noch erhielt er ein gleichwertiges Recht zur Bearbeitung der Dokumentensammlung. Am Ende kam der Ausschuss zu dem Schluss, Newtons Methode sei die frühere gewesen und die Behauptung seiner Priorität habe Leibniz kein Unrecht getan.

Anschließend wurden die Materialien im Namen der Gesellschaft veröffentlicht.

Dass Newton an der Abfassung beteiligt war, haben spätere Historiker nicht einfach aus seiner Präsidentschaft erschlossen. Unter den in Cambridge aufbewahrten Handschriften zum Streit liegen eigenhändige Entwürfe, Unterlagen zur Anordnung des Materials und Texte für den Sammelband. Die zugehörige Archivbeschreibung hält außerdem ausdrücklich fest, dass diese Papiere auch seine Autorschaft an jenem anonymen Artikel belegen, der später in der Zeitschrift der Gesellschaft erschien. Präsident, Streitpartei, Hauptlieferant des Materials und Verfasser des Textes: Zwischen diesen vier Rollen bestand keine der Trennungen, die moderne institutionelle Verfahren verlangen.

Daraus muss man kein Urteil über die Schuld eines Einzelnen machen. Es besagt zunächst nur, dass die Untersuchung keine ausreichenden verfahrensmäßigen Grenzen einzog, um die zentrale Streitpartei aus der Anordnung des Materials und der Bildung des Urteils herauszuhalten. Auch gibt es kein einzelnes Jahr, in dem das plötzlich als Geheimnis enthüllt worden wäre.

De Morgan, der uns im vorigen Essay begegnet ist, veröffentlichte schon 1852 einen Beitrag, in dem er anhand von Text- und bibliografischen Belegen argumentierte, der anonyme Artikel stamme von Newton. Nachdem die Familie Newtons 1872 dessen wissenschaftliche Papiere an Cambridge übergeben hatte, wurden zahlreiche Entwürfe zum Streit systematisch erschlossen. Der 1888 erschienene Katalog machte es möglich, seine weitreichende Beteiligung auch auf der Ebene der Handschriften weiter zu bestätigen. Woher aber kam die Schlussfolgerung einer unabhängigen Entwicklung? Nicht aus dem Wunsch, gerecht jedem eine Hälfte zuzuteilen. Sie entstand aus zwei voneinander unabhängigen Archivbeständen.

„Unabhängige Entdeckung“ klingt wie eine diplomatische Formel. Hier ist es keine. Es ist das Ergebnis eines Vergleichs zwischen zwei Stapeln Papier: zwei Zeichensysteme, zwei Zeitverläufe, zwei Menschen und die Daten, die jeder von ihnen hinterlassen hat.

Newtons Handschriften aus den sechziger Jahren reichen aus, um zu zeigen, dass er seinen Weg schon vor Leibniz eingeschlagen hatte. Leibniz’ private Notizen aus der Zeit um 1675 zeigen wiederum hinreichend genau, bei welchen konkreten Problemen seine Differentialnotation und sein Algorithmus nach und nach entstanden.

Hätte er Newtons Methode lediglich erhalten und mit anderen Zeichen versehen, müsste man eine abrupte Übernahme erwarten. Erhalten ist stattdessen ein anderer Arbeitsweg mit vielen gescheiterten Versuchen, Änderungen der Zeichen und Umbauten der Begriffe. Die Beweislage lässt sich abstufen.

Dass Leibniz bestimmte mathematische Unterlagen Newtons gesehen hatte, ist tatsächlich belegt: Im neunzehnten Jahrhundert fand man in seinem Nachlass Newton-Material, das er eigenhändig abgeschrieben hatte. Die Behauptung, er habe niemals etwas von den einschlägigen Arbeiten gesehen, ist also nicht zu halten. Dass er wusste, wie leistungsfähig Newtons Verfahren bereits waren, lässt sich ebenfalls vertreten. Dafür, dass er Newtons vollständige Methode beherrschte, bevor er 1675 selbst zu arbeiten begann, gibt es dagegen keinen verlässlichen direkten Beleg. Und kein einziges Dokument stützt die Behauptung, er habe sie aus diesen Unterlagen gewonnen und dann als seine eigene ausgegeben.

Dann ist da noch der oft wiederholte Satz, der Prioritätsstreit habe die britische Mathematik für hundert Jahre zum Stillstand gebracht. Er hat einen tatsächlichen Hintergrund, wird aber gewöhnlich übertrieben.

Der Streit lud die methodischen Unterschiede tatsächlich national auf. Auf dem Kontinent setzte sich zunehmend eine gemeinsame Sprache durch. In Großbritannien standen dagegen Fluxionen, erste und letzte Verhältnisse sowie Newtons Autorität im Mittelpunkt; die kontinentale Literatur wurde dort langsamer aufgenommen.

Ebenso wichtig sind die Gegenbelege. Die britische Mathematik kam keineswegs zum Erliegen. Diese Generation arbeitete rege an Reihen, Differenzen, Fluxionstheorie und Analysis. Auch Newtons Punktnotation verhinderte an sich keine Rechnungen.

Plausibler ist folgendes Urteil: Der Streit verstärkte die institutionelle und sprachliche Trennung zwischen den beiden Traditionen und war ein Faktor des relativen Niedergangs. Dass die britische Mathematik hundert Jahre schlief, weil sie die falschen Zeichen gewählt hatte, ist hingegen eine spätere Dramatisierung. Es gibt dabei auch eine materielle Ebene, die gut in diesen Essay passt.

Ein veröffentlichter Aufsatz hat nur ein paar Seiten. Private Arbeitspapiere können Zehntausende von Seiten umfassen. Newton hinterließ bei seinem Tod eine außergewöhnliche Menge an Handschriften; ihre heutigen Archivbestände bildeten sich erst durch zweihundert Jahre der Aufteilung. Von Leibniz sind rund fünfzigtausend Dokumente mit zweihunderttausend Seiten erhalten. Sein Briefwechsel umfasst etwa fünfzehntausend Briefe von und an ungefähr elfhundert Korrespondenten. Wessen Arbeitspapiere überleben, wann sie katalogisiert werden und welche Teile die Herausgeber zu Gesicht bekommen, verändert unmittelbar die Entdeckungsgeschichte, die spätere Generationen erzählen.

Dass der Prioritätsstreit im neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert neu beurteilt werden konnte, ist davon nicht zu trennen.

5 Das Inkrement

Zurück zu Berkeley.

Um die Schwierigkeit mit null geteilt durch null aus dem zweiten Abschnitt machten die damaligen Lehrbücher folgenden Bogen.

Will man bestimmen, wie schnell sich eine Größe in einem bestimmten Moment ändert, nimmt man zunächst nicht den Augenblick selbst, sondern ein kleines Stück. Man lässt die unabhängige Variable ein wenig zunehmen. Dieses Wenige heißt Zuwachs oder Inkrement.

Es muss von null verschieden sein. Denn im nächsten Schritt wird dadurch geteilt, und null darf kein Divisor sein.

Nach der Division bleiben im Ausdruck noch einige Glieder stehen, die dieses Inkrement enthalten. Nun erklärt der Rechnende: Das Inkrement ist inzwischen verschwunden. Er streicht die entsprechenden Glieder, und das Ergebnis ist da.

Berkeley sagt: Das ist ein heimlicher Wechsel der Voraussetzung mitten in ein und demselben Argument.

Wenn man dividieren muss, existiert es. Wenn man ein schönes Ergebnis braucht, existiert es nicht mehr.

War es von Anfang an null, war die vorausgegangene Division unzulässig. War es nicht null, wieso darf man dann hinterher die Glieder, in denen es vorkommt, wie null behandeln?

Die Stärke des Vorwurfs liegt in seiner außerordentlichen Genauigkeit. Er zielt nicht auf die philosophische Frage, was dieses kleine Ding eigentlich sei. Er zielt auf die paar Zeilen auf dem Papier: In der ersten muss es von null verschieden sein, in der dritten muss es null sein. Dazwischen steht kein Satz darüber, wann sich das geändert hat.

Und dann kommt der berühmteste Satz.

Zunächst fragt er nach: Was soll diese Größe eigentlich sein? Die Geschwindigkeit von Inkrementen, die gerade verschwinden? Diese Inkremente selbst wären dann weder gewöhnliche endliche Größen noch einfach null.

Dann wirft er die Frage hin: Könnte man sie nicht die Geister verstorbener Größen nennen?

Das ist keine vereinzelte geistreiche Beschimpfung. Darin ist der gesamte logische Angriff zusammengezogen: Die Rechnung hat sich auf diese Größen gestützt, um einen zulässigen Schritt auszuführen. Am Ende des Beweises werden sie für verschwunden erklärt. Das Ergebnis der Rechnung bleibt trotzdem stehen.

Die Größe ist tot. Ihre Wirkung ist noch da.

In diesem Bild steckt eine Absicht, die selten erwähnt wird. Ein Bischof benutzt das Wort Geist nicht beiläufig. Er zeigt auf Leute, die sich darüber lustig machen, dass die Religion von unsichtbaren Dingen spricht, und sagt ihnen: In euren eigenen Rechnungen wohnt eine ganze Schar unsichtbarer Dinge. Wer daraus bloß macht, Berkeley habe die unendlich kleinen Größen als absurd verspottet, stumpft die argumentative Schneide des Originals ab. Allerdings reicht dieser Hieb nur bis zu einer bestimmten Stelle.

Er trifft bestimmte lehrbuchartige Darstellungen einer naiven Infinitesimalrechnung äußerst genau. Damit ist aber noch nicht das Argument der letzten Verhältnisse aus den Principia widerlegt. Newton könnte antworten: Ich habe nie behauptet, dass am Ende eine Größe übrig bleibt, die zugleich von null verschieden und gleich null ist. Ich rede davon, wohin ein Verhältnis strebt, während die Größen verschwinden. Genau diesen Weg werden einige seiner späteren Verteidiger einschlagen.

Getroffen wird also nicht Newtons sorgfältigste Fassung, sondern die damals am weitesten verbreitete. Und die am weitesten verbreitete Fassung war genau die, die die Studenten lernten.

Die schwächste Stelle eines Fachs liegt oft nicht in seiner tiefsten Schicht, sondern in dem, was es Anfängern beibringt. Die tiefste Schicht wird bewacht. Die Fassung für Anfänger ist schon vereinfacht worden. Und bei der Vereinfachung sind gerade die Sätze weggefallen, die erklären, weshalb man so vorgehen darf.

6 Was Berkeley erreichen wollte

Jetzt lässt sich sagen, weshalb Berkeley das Buch schrieb.

Er bekämpfte schon lange die Freidenker seiner Zeit. Sie stellten häufig die Klarheit und Gewissheit der Mathematik und Naturphilosophie den Geheimnissen, der Gnade und den Glaubenssätzen des Christentums gegenüber. Berkeley wollte nicht beweisen, dass Mathematik nutzlos sei. Er wollte ihre erkenntnistheoretische Waffe umdrehen.

Ihr sagt, ihr akzeptiert nur, was klar verständlich ist und sich Schritt für Schritt streng herleiten lässt. Gut. Dann erklärt bitte eure täglich gebrauchten Fluxionen, verschwindenden Inkremente und unendlich kleinen Größen nach demselben Maßstab.

Der Vergleich im Untertitel ist also keineswegs Zierde. Berkeley wollte eine Symmetrie herstellen: Wenn die Praxis der Mathematiker trotz begrifflicher Unklarheiten verlässliche Ergebnisse liefert, dann kann die bloße Existenz von Dingen, die sich nicht vollständig in Begriffe fassen lassen, nicht automatisch ein hinreichender Grund sein, Religion abzulehnen.

Immer wieder verspottete er die Analysis sogar mit theologischen Vokabeln. Den Glauben der Mathematiker, ihre Geheimnisse und ihre unverständlichen Gegenstände stellte er neben jene religiösen Begriffe, die sie selbst angriffen.

Man darf aus ihm deshalb keinen Logiker des achtzehnten Jahrhunderts machen, der die spätere Grenzwertsprache vorweggenommen hätte. Er war zuerst Philosoph und Bischof. Die Grundlagenprobleme der Mathematik wurden hier für einen erkenntnistheoretischen Gegenangriff auf die Freidenker eingesetzt.

Gerade diese Stellung ließ ihn manches klarer sehen als die anderen. Wer zum Fach gehört, benutzt den Algorithmus jeden Tag, und jeden Tag kommen richtige Antworten heraus. Wer von außen kommt, liest nur die Schritte auf dem Papier. Ihm fehlt das Vertrauen, das die Vertrautheit mitbringt. Die mathematische Kritik ist echt. Das religiöse Ziel ist ebenfalls echt. Das sind keine konkurrierenden Erklärungen.

Ob man ihn als religiösen Scharlatan schildert, der über die Mathematik auf die Wissenschaft einschlägt, oder als Logiker, der zufällig auch Bischof war: In beiden Fällen verliert man den Grund aus dem Blick, weshalb dieses Buch überhaupt geschrieben wurde.

Hier liegt der wichtigste Punkt dieses Essays. Ein Mann, der eine Lücke in der Mathematik zur Verteidigung der Theologie benutzt, hat in der Mathematik recht.

Der Satz ist nur interessant, wenn beide Hälften stimmen. Hätte er mathematisch unrecht, wäre das bloß eine Beschwerde, die ihr Ziel verfehlt. Hätte er kein theologisches Ziel, wäre es eine gewöhnliche fachliche Kritik. Erst beides zusammen ergibt dieses Buch. Wie weit aber hatte er recht?

Die traditionelle Mathematikgeschichtsschreibung begegnet ihm mit beträchtlichem Respekt. Gemessen an den Darstellungen, auf die er tatsächlich zielte, traf seine Kritik im Wesentlichen und war im damaligen Zusammenhang ausgesprochen schlagkräftig. Das gilt besonders für Rechnungen, in denen zunächst durch eine von null verschiedene Größe geteilt wird, die man hinterher als null verwirft, sowie für den Gebrauch unendlich kleiner Größen höherer Ordnung ohne Erklärung ihres logischen Status. In den letzten Jahrzehnten wurde dieses Urteil jedoch an wichtigen Stellen korrigiert.

Historiker, die sich mit Leibniz beschäftigen, weisen darauf hin, dass Berkeley unendlich kleine Größen häufig wie kleine gewöhnliche reelle Zahlen behandelte und dann verlangte, sie müssten gleichzeitig unvereinbare Eigenschaften haben. Leibniz selbst verfügte dagegen über ein Kontinuitätsgesetz und Regeln für Glieder höherer Ordnung, mit denen er erklärte, warum nur Glieder derselben führenden Ordnung beibehalten wurden. Andererseits haben Untersuchungen auch gezeigt, dass Berkeleys eigene Erklärung für die weiterhin richtigen Ergebnisse, nämlich die gegenseitige Kompensation zweier Fehler, ebenfalls nicht vollständig schlüssig war.

Die belastbarste Schlussfolgerung lautet deshalb: Er erkannte ein echtes Grundlagenproblem und zahlreiche unzureichende Darstellungen seiner Zeit. Er bewies weder, dass die Infinitesimalrechnung notwendig widersprüchlich sei, noch lieferte er eine moderne Grenzwerttheorie. Weder ein völlig widerlegter Berkeley noch ein auf ganzer Linie siegreicher entspricht dem heutigen Forschungsstand. Sicher ist jedoch, dass sein Buch sofortige und anhaltende Erwiderungen auslöste und die Frage, weshalb diese Rechnungen richtig sind, stärker ins Zentrum der öffentlichen Diskussion rückte. Man darf nicht die gesamte spätere Grundlagenforschung zu einer Folge dieses einen Buches erklären.

Im folgenden Jahrhundert wurden mindestens vier voneinander verschiedene Antworten ernsthaft vorgeschlagen.

7 Anderswo

Bevor wir davon erzählen, müssen wir dreihundert Jahre zurückgehen und den Schauplatz wechseln: an die Südspitze Indiens.

Dort gab es eine Tradition, die moderne Historiker die Kerala-Schule nennen. Der Name bezeichnet ein Netzwerk aus Lehrern und Schülern, Familien, einer Kommentartradition und gemeinsamen astronomischen Fragen. Man sollte sich darunter keine Akademie mit Schulgebäude und Mitgliedschaft vorstellen.

Diese Linie kommt hier nicht vor, um auszumachen, wer früher dran war. Sie stellt dieselbe Frage nach dem Maßstab, früher als die europäische Linie und in einer Form, die sich noch schwerer beantworten lässt. Warum schwerer? Die dortigen Texte geben Gründe an, aber diese Gründe haben eine andere Gestalt als in Europa. Weil sie Gründe geben, kann man nicht sagen, die Autoren hätten bloß Formeln erraten. Weil die Gründe anders aussehen, kann man ebenso wenig behaupten, sie hätten bereits das spätere System besessen. Die früheste zentrale Figur wurde nach der üblichen Datierung um 1340 geboren und starb in den zwanziger Jahren des fünfzehnten Jahrhunderts. Danach folgten mehrere weitere Generationen.

In dieser Tradition finden sich unendliche Potenzreihen, die wir heute als Reihen für Sinus, Kosinus und Arkustangens erkennen. Durch einen besonderen Wert des Arkustangens gewann man eine alternierende Reihe für die Kreiszahl. Hinzu kamen Korrekturglieder, die die Berechnung der Kreiszahl effizienter machten. Schreibt man die Ergebnisse in moderner Notation, sind sie mit den entsprechenden späteren europäischen Reihen identisch oder ihnen gleichwertig.

Für die Datierung ist es am sichersten, nicht jeder Formel ein erfundenes Entdeckungsdatum anzuhängen. Spätere Texte schreiben mehrere zentrale Ergebnisse ausdrücklich jener frühesten Figur zu. Daher lässt sich der Ursprung ans Ende des vierzehnten oder den Beginn des fünfzehnten Jahrhunderts legen. Die frühesten erhaltenen vollständigen Textbelege sind jedoch oft eine oder zwei Generationen jünger.

Hier muss man genau unterscheiden. Dass ein späterer Text ein Verfahren ausdrücklich auf einen bestimmten Menschen zurückführt, ist durch diesen Text belegt. Dass heute eine eigenhändige Handschrift dieses Menschen aus dem vierzehnten Jahrhundert vorliegt, ist hingegen nicht der Fall.

Die Ergebnisse bestanden auch nicht einfach in der Entdeckung einer schönen Reihe. Sie dienten trigonometrischen Tafeln, der Kreiszahl und astronomischen Zahlenrechnungen. Wichtiger noch: Man untersuchte, wie eine sehr langsam konvergierende alternierende Reihe abgebrochen und korrigiert werden konnte, damit eine endliche Rechnung größere Genauigkeit lieferte. Enthielten die Texte also nur Formeln oder auch ein Warum? Sie enthielten ein Warum. Gerade das war ein wesentlicher Grund, diese Tradition im zwanzigsten Jahrhundert neu zu bewerten.

Der wichtigste Text über diese Begründungen aus der ersten Hälfte des sechzehnten Jahrhunderts hebt schon in seinem Namen die Gründe hervor. Er listet nicht einfach Formeln auf. Mit der Geometrie von Kreisbögen zerlegt er Figuren in viele kleine Teile, vergleicht diese, benutzt Regeln zur Summation von Potenzen und verfeinert die Unterteilung immer weiter, um zu erklären, wie die betreffenden Entwicklungen entstehen. Eine Kette von Schlussfolgerungen zu besitzen und bereits einen modernen Konvergenzbeweis zu besitzen, muss man jedoch auseinanderhalten.

Diese Argumente arbeiten mit geometrischen und numerischen Anschauungen: Kleine Bögen nähern sich immer stärker einer einfachen Größe an; bei hinreichend feiner Zerlegung kann der Fehler vernachlässigt werden. Dabei nutzen sie Näherungsbeziehungen für endliche Summen von Potenzen. Sie besitzen weder die Vollständigkeit der reellen Zahlen im Sinne des neunzehnten Jahrhunderts noch eine einheitliche Grenzwertdefinition oder eine allgemeine Theorie der Reihenkonvergenz.

Das gilt auch für Europa in der entsprechenden Zeit. Was Berkeley im fünften Abschnitt angreift, ist genau eine solche Lücke. Bei manchen Korrekturgliedern kommen heutige genaue Lektüren sogar ausdrücklich zu dem Urteil, die überlieferten Begründungen reichten nicht aus, um nach modernen Maßstäben zu überzeugen.

Im fünften Essay begegnete uns ein Streit derselben Gestalt. Dort lautete die Frage, ob das Argument eines Kommentators als Beweis zählt. Hier lautet sie, ob dieses Verfahren als Infinitesimalrechnung zählt. Wieder hängt die Antwort vom Maßstab ab.

Das Fazit des fünften Essays war: Die Terminologie entscheidet, ob man ihn in die Schublade mit der Aufschrift Beweis steckt. Die Untersuchung des Materials entscheidet, was tatsächlich in der Schublade liegt. Das lässt sich hier unverändert wiederholen.

Die eine Seite bejaht die Zuordnung. Wenn der Maßstab lautet, trigonometrische Funktionen durch unendliche Prozesse zu behandeln, aus lokalen Änderungen, Summationen und flächenbezogenen Schlussfolgerungen unendliche Reihen herzuleiten und deren endlichen Abbruch zu untersuchen, dann hat diese Tradition hinreichend viele der entscheidenden Strukturen.

Die andere Seite ist zurückhaltender und spricht lieber von Ideen der Infinitesimalrechnung als von einer Infinitesimalrechnung als System. Sie legt systematischere Maßstäbe an: Eine ausgereifte Infinitesimalrechnung braucht mehr als Potenzreihen für einige Funktionen. Sie braucht einen allgemeinen Begriff der Differentiation, einen allgemeinen Begriff der Integration, eine systematische Verbindung zwischen beiden und einen Rahmen, der eine Vielzahl neuer Probleme in einheitliche Algorithmen überführt. Dazu kommt eine dritte Auffassung, die für die Geschichtsschreibung besonders wichtig ist: Vielleicht ist schon die Frage selbst zu europäisch.

Wer jede örtliche mathematische Tradition danach befragt, was ihr zur späteren europäischen Theorie noch fehlt, macht leicht ihre eigenen astronomischen Zwecke, ihre Begründungsweisen, ihre Tradition des trigonometrischen Rechnens und ihre sprachlichen Strukturen zu einem Fortschrittsplan auf dem Weg ganz woandershin.

Hier ist also kein guter Ort, um die wahren Erfinder in eine Rangfolge zu bringen. Die verschiedenen Zuordnungen entstehen vor allem aus verschiedenen Klassifikationsmaßstäben. Sie entstehen nicht, weil eine Seite von den Reihen nichts wüsste. Die Gelehrten beider Seiten wissen, dass diese Reihen vorhanden sind. Uneinig sind sie darüber, wie ein System heißen soll, das solche Reihen besitzt.

Diese Frage nach dem Namen stellt sich in der Reihe nun zum dritten Mal. Im dritten Essay: War jenes Buch die Geburt der axiomatischen Methode? Im fünften: Sind jene Kommentare Beweise? Hier: Sind diese Reihen Infinitesimalrechnung? In allen drei Fällen geht der Streit nicht allein darum, ob genug Material vorhanden ist. Es werden unterschiedliche Maßstäbe angelegt. Und den Maßstab halten stets die Späteren in der Hand. Das ist in dieser Reihe schon wiederholt sichtbar geworden und wird künftig noch schwerer wiegen. Bleibt die Frage der Übertragung.

Es gibt eine Hypothese dazu. Im sechzehnten und siebzehnten Jahrhundert schufen die Portugiesen ein Seewegenetz im Indischen Ozean. Missionare waren in der Region tätig. Sie hatten einen praktischen Bedarf an Kalender-, Astronomie- und Navigationsdaten und damit Gelegenheit und Anlass, mit örtlichen Fachleuten für astronomische Berechnungen und ihren Texten in Kontakt zu kommen. Dafür werden vor allem drei Arten von Argumenten angeführt: Die Wege waren vorhanden, der Bedarf war vorhanden, und zeitlich wäre es möglich gewesen. Doch zwischen Schiffen, Missionaren und ähnlicher Mathematik auf der einen Seite und der tatsächlichen Übertragung einer bestimmten Formel auf der anderen fehlt genau das Glied, das die Geschichtsforschung am dringendsten braucht.

Bislang wurde keine europäische Übersetzung, kein Brief, keine Abschrift, keine Lernnotiz, kein Eintrag in einem Bibliothekskatalog und kein eindeutiger Verweis eines europäischen Mathematikers aus dem sechzehnten oder siebzehnten Jahrhundert gefunden, mit dem sich eine bestimmte Reihe lückenlos von einem konkreten indischen Text nach Europa verfolgen ließe. Das vorhandene Material stellt daher noch keine durchgehende Belegkette dafür her, dass diese konkreten Reihen damals Europa erreichten und die betreffenden Entdeckungen beeinflussten.

Damit ist nicht bewiesen, dass eine Übertragung schlechthin unmöglich war. Übertragungen, von denen nichts erhalten ist, können selbstverständlich stattgefunden haben. Der Befund besagt: Mit den derzeitigen Belegen lässt sich die Möglichkeit nicht zu einer geschehenen Tatsache erheben.

Die europäische Gelehrtenwelt wurde bei einem Vortrag im Dezember 1832 wieder auf dieses Material aufmerksam. Der Aufsatz erschien 1834 in der Zeitschrift einer orientalistischen Gesellschaft. Sein Autor war ein Beamter der Ostindien-Kompanie. Er urteilte ziemlich kühn: Diese Texte hätten bereits die Grundlagen für ein vollständiges Fluxionssystem gelegt. Schon diese Benennung des neunzehnten Jahrhunderts nimmt den späteren Streit vorweg, ob man darin eigentlich Infinitesimalrechnung sehen dürfe.

Sein Aufsatz schrieb die europäische Mathematikgeschichte allerdings nicht sofort um. In den maßgeblichen Darstellungen wurde er lange kaum aufgenommen. Erst seit dem Ende der vierziger Jahre des zwanzigsten Jahrhunderts begann man wieder mit Veröffentlichungen, Übersetzungen und Untersuchungen.

Auch die Erzählung, er habe den Westen als Erster darauf aufmerksam gemacht und sei danach absichtlich unterdrückt worden, ist deshalb zu dramatisch. Treffender wäre: Er erkannte die Bedeutung des Materials ungewöhnlich früh. Doch sein Beitrag lag am Rand der fachlichen Netzwerke, die ursprünglichen Texte waren schwer zu lesen, kritische Editionen fehlten, und die Mathematikgeschichte des neunzehnten Jahrhunderts hatte bereits ihren eigenen Erzählrahmen. So bildete sich hier lange keine fortlaufende Forschungstradition. Für keine einzelne psychologische Erklärung des Übersehens reicht das Material aus. Damit eine Spur hundert Jahre unbeachtet bleibt, muss sie gewöhnlich niemand unterdrücken.

Hier wirkt derselbe Mechanismus wie bei den Überlieferungsproblemen der früheren Essays. Palmblatthandschriften müssen regelmäßig neu abgeschrieben und gepflegt werden. Feuchte Hitze, Insekten und Abnutzung machen sie besonders verletzlich. Wenn ein Text mehrere Jahrhunderte überdauert, bedeutet das meist, dass er immer wieder kopiert wurde. Es bedeutet nicht, dass ein Blatt aus dem vierzehnten Jahrhundert unverändert bis heute überlebt hat.

Eine erhaltene Abschrift aus dem sechzehnten Jahrhundert und die Entstehung eines Textes im vierzehnten Jahrhundert sind daher nicht dieselbe Art von Datierungsbeleg. Und um übersehen zu werden, genügt es, am falschen Ort zu erscheinen, sprachlich unzugänglich und im Original schwer lesbar zu sein, während das Fach bereits seine eigene Art des Erzählens gefunden hat.

8 Hat Strenge ihre Bedeutung gewechselt?

Zurück zum Jahrhundert nach Berkeley. Die Mathematiker rechneten nach seinem Angriff keineswegs hundert Jahre unbekümmert weiter.

Noch im selben Jahr gab es Gegenangriffe. Bereits 1734 verteidigte eine Schrift unter dem Titel Die Geometrie ist keine Freundin des Unglaubens Newton und die britischen Mathematiker. Danach veröffentlichten beide Seiten weitere Texte gegeneinander. Dieser Pamphletkrieg brachte es am Ende auf einen beträchtlichen Umfang. Er lieferte jedoch vor allem streitbare Klarstellungen und keine vollständige Erneuerung der Grundlagen.

Im folgenden Jahr schlug ein anderer Autor einen stärker mathematischen Weg ein. Sein entscheidender Zug war ein Eingeständnis: Wenn Newtons Methode auf geheimnisvollen, tatsächlich existierenden unendlich kleinen Größen beruhte, wären diese Einwände wirklich ernst. Newtons ausgereifteste Methode müsse aber gar nicht so gelesen werden. Sie sei über erste und letzte Verhältnisse veränderlicher Größen oder über Grenzprozesse zu verstehen. Aus einer Verteidigung der unendlich kleinen Größen machte er also die Behauptung: Newtons eigentliche Methode ist nicht die, die hier angegriffen wird.

Das Buch von 1742 war die umfangreichste und fachlich ernsthafteste britische Antwort. Zwei Bände, über siebenhundert Seiten Haupttext. Der Autor arbeitete ausgiebig mit klassischer Geometrie, dem Gedanken der Exhaustion, Proportionen und grenzwertartigen Argumenten. Er wollte zeigen, dass sich Fluxionen auf die Veränderungen endlicher Größen und kontrollierbare Grenzprozesse gründen lassen, ohne eine unendlich kleine Größe vorauszusetzen, die zugleich existiert und nicht existiert. Er antwortete nicht nur Berkeley. Er versuchte, der gesamten Analysis ein Fundament zu geben, das sich öffentlich verteidigen ließ.

Siebenhundert Seiten, viel klassische Geometrie. Um einen Algorithmus zu verteidigen, der rund siebzig Jahre zuvor entwickelt worden war, griff er auf eine zweitausend Jahre alte Sprache zurück.

Der dritte Essay erzählte, weshalb diese Sprache als Form des verlässlichen Beweises galt. Hier wurde sie zur letzten Verteidigungslinie.

Mitte des achtzehnten Jahrhunderts rückte d’Alembert den Grenzwert ausdrücklich an die Stelle des Fundaments. Er wandte sich dagegen, unendlich kleine Größen als geheimnisvolle Entitäten zu behandeln. Die Differentialrechnung, so sein Ansatz, suche in Wirklichkeit den Wert, dem das Verhältnis endlicher Differenzen zustrebe, wenn die Inkremente gegen null gehen. Oft wird seine Feststellung angeführt, die Theorie der Grenzwerte sei die wahre Metaphysik der Differentialrechnung. Das heißt: Fragt nicht länger, was dieses kleine Ding ist. Fragt, wohin es strebt. Das liegt bereits sehr nahe an der Richtung des neunzehnten Jahrhunderts. Noch fehlt aber dessen präzise ausgearbeitete Sprache.

Lagrange fand sogar dieses Zustreben noch zu geometrisch, zu metaphysisch.

1797 versuchte er, die Infinitesimalrechnung vollständig in Algebra endlicher Größen zu verwandeln. Dazu entwickelte er eine Funktion nach einer Änderung ihrer Variablen in eine Potenzreihe. Den Koeffizienten des Glieds ersten Grades definierte er als erste Ableitungsfunktion, und so ging es weiter. Dem Anschein nach brauchte man damit weder Fluxionen noch unendlich kleine Größen, nicht einmal Grenzwerte. Schon der Untertitel seines Buches versprach, die Prinzipien der Differentialrechnung von unendlich kleinen und verschwindenden Größen, von Grenzwerten oder Fluxionen zu befreien.

Wo das scheiterte, wurde später klar: Nicht jede differenzierbare, ja nicht einmal jede beliebig oft differenzierbare Funktion lässt sich in einer Umgebung durch ihre eigene Reihe darstellen. Selbst wenn eine Potenzreihe formal vorhanden ist, muss man noch ihre Konvergenz nachweisen und das Verhalten des Restes nach einem Abbruch mathematisch begründen. Genau das kann bloße formale Algebra nicht gewährleisten.

Lagrange machte im Grunde die benötigte Entwickelbarkeit der Funktionen zur grundlegenden Voraussetzung. So ersetzte er das ursprüngliche Grenzwertproblem durch ein Reihenproblem, dessen Lösung ebenso eine Theorie der Analysis verlangte.

Ein sehr sauberer Fehlschlag, den man sich merken sollte. Er hatte sich nicht verrechnet und war auch nicht bequem gewesen. Er hatte eine Schwierigkeit an einen anderen Ort verschoben, an dem es genauso schwierig war. Im siebten Essay kam eine verwandte Bewegung vor: Man schiebt das Problem der Semantik zu, um die noch schwierigere Frage nicht beantworten zu müssen. Diesmal wurde es der Form zugeschoben. Aber es ließ sich nicht wegschieben.

Jetzt können wir die Frage stellen: Hat das Wort streng im neunzehnten Jahrhundert seine Bedeutung gewechselt, sodass die Späteren ihre Vorgänger erst rückwirkend für unstreng erklärten?

Im dritten Essay hatten wir diese Gestalt schon einmal vor uns. Damals lautete das Fazit: Die Alten hatten nicht an der falschen Stelle hingesehen. Vielmehr hatte das Wort streng seine Bedeutung geändert, und diese Änderung verschob das Problem vom Ausgesprochenen ins Unausgesprochene. Hier wird die Antwort komplizierter, denn zwei Aussagen gelten zugleich.

Für diesen Vergleich gibt es starke Belege. Newton sah in der klassischen synthetischen Geometrie den verlässlichen Beweis. Leibniz legte Wert auf allgemeine Regeln des symbolischen Rechnens. Die Generation Eulers rechnete zunehmend auch die Allgemeinheit der Formen und die produktive Kraft des Rechnens zur mathematischen Evidenz. Die Richtung des neunzehnten Jahrhunderts verlangte dann immer stärker, Grenzwert, Stetigkeit, Konvergenz und Funktion jeweils durch ausdrückliche Bedingungen zu bestimmen. Die Maßstäbe dafür, was einem Beweis fehlt, unterschieden sich tatsächlich von Epoche zu Epoche. Zu weit darf man diesen Vergleich aber nicht treiben.

Denn die Menschen des neunzehnten Jahrhunderts erfanden nicht erst aus dem Nichts eine Reihe von Forderungen, um anschließend den Vorfahren ihre Mängel vorzuhalten.

Schon am Ende des siebzehnten Jahrhunderts wurde die neue Analysis angegriffen. Berkeley wies 1734 auf die Unstimmigkeit im Inkrementargument hin. Zwei Autoren hielten eine sofortige Antwort für nötig. d’Alembert suchte ausdrücklich nach dem wahren Fundament. Lagrange wollte 1797 noch immer unendlich kleine Größen, Grenzwerte und Fluxionen ganz loswerden. Die Beteiligten des achtzehnten Jahrhunderts wussten selbst, dass es ein Grundlagenproblem gab. Dass sie unterschiedliche Antworten darauf gaben, ist bereits ein Beleg. Wenn alle geglaubt hätten, es sei alles in Ordnung, hätte niemand siebenhundert Seiten geschrieben.

Newton selbst ist ein Beispiel. In seinen reifen Arbeiten betonte er, Fluxionen seien endlich und wirklich. Am besten seien sie durch endliche, mit den Augen sichtbare Strecken darzustellen, nicht durch unendlich kleine Gegenstände. Schon seine wiederholten Klarstellungen zeigen, dass er den Status der unendlich kleinen Gegenstände als eine Frage erkannte, die beantwortet werden musste.

Wir müssen also beide Sätze zugleich festhalten. Spätere Generationen haben die technischen Maßstäbe der Strenge tatsächlich verändert. Die Anforderungen der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts dürfen nicht als ewiges Gericht gelten. Zugleich hatten die Mathematiker des siebzehnten und achtzehnten Jahrhunderts selbst schon bemerkt, dass manche Schlussfolgerungen einer Erklärung bedurften. Fehlende Strenge ist also auch kein Vorwurf, den die Nachwelt vollständig erfunden hätte. Zwischen diesen beiden Sätzen liegt der eigentliche Inhalt dieses Essays.

Die Alten waren nicht verwirrt, die Späteren nicht übermäßig streng. Ein Werkzeug war seiner eigenen Erklärung vorausgelaufen. Diesen Vorsprung sahen sowohl die Zeitgenossen als auch die Späteren. Nur sahen sie ihn auf unterschiedliche Weise.

Und was leistete in der Zwischenzeit dieses Werkzeug, dessen Fundament immer wieder ins Wanken geriet?

Newtons Mechanik wurde zur analytischen Mechanik umgeschrieben, mit der sich systematisch rechnen ließ. 1736 ordnete ein Autor die Bewegung von Massenpunkten mit analytischen Methoden. Später machten andere Autoren Systeme mit Zwangsbedingungen, virtuelle Verschiebungen, Differentialgleichungen und Variationsmethoden zu allgemeinen Werkzeugen. Ein Buch von 1788 markierte einen symbolischen Endpunkt: Die klassische Mechanik ließ sich zunehmend aus allgemeinen Gleichungen berechnen. Man musste nicht mehr für jedes Problem eine geometrische Konstruktion nach Art der Principia neu erfinden.

Besonders deutlich wird das Gewicht in der Himmelsmechanik. Die Principia hatten die Grundstruktur des idealisierten Zweikörpermodells geklärt. Das wirkliche Sonnensystem ist jedoch ein Mehrkörperproblem mit Störungen. Mitte des achtzehnten Jahrhunderts wurden Näherungen höherer Ordnung für die Präzession des Mondperigäums zeitweise zu einem entscheidenden Prüfstein des Gravitationsgesetzes. In dem fünfbändigen Werk, dessen Veröffentlichung am Ende des Jahrhunderts begann, waren Planetenstörungen, Mond, Gezeiten, Erdgestalt und langfristige Stabilität bereits in ein großes analytisches System aufgenommen.

Hier wurden Newtons Gedanken also nicht mehr bloß in neue Zeichen übersetzt. Man hatte etwas geschaffen, das er 1687 noch überhaupt nicht besessen hatte.

Strömungslehre, Elastizität und Schwingungen entwickelten sich jeweils weiter. 1822 veröffentlichte Fourier ein Buch über Wärme. Darin beschrieb er den Wärmefluss durch partielle Differentialgleichungen und stellte eine sehr weitreichende Klasse von Temperaturverteilungen durch trigonometrische Reihen dar. Die Hauptarbeit für das Buch hatte er in den Jahren geleistet, in denen er Präfekt des Départements Isère war. Schon Ende 1807 hatte er sie der Akademie vorgelegt. 1812 erhielt die Arbeit deren Preis. Das Gutachten hielt jedoch fest, sein Weg zu diesen Gleichungen sei nicht frei von Schwierigkeiten, und die Analysis ihrer Lösung lasse an Allgemeinheit, sogar an Strenge zu wünschen übrig. Dieses Buch gestaltete nicht nur die Physik um. Es zwang umgekehrt die Mathematiker des neunzehnten Jahrhunderts, über Funktionen, Reihenkonvergenz, gliedweise Operationen und die Definition des Integrals neu nachzudenken. Von hier an waren Grundlagenprobleme keine Provokation von außen durch Philosophen mehr. Sie wurden zu mathematischen Problemen, die der Erfolg der Physik selbst erzwang.

Die Wirklichkeit hinter jener Behauptung ist also nicht einfach die, dass ein unstrenges Werkzeug zweihundert Jahre Physik getragen hätte. Vielmehr reifte ein analytisches Werkzeug, dessen Grundlagen noch nicht vereinheitlicht waren und dessen Maßstäbe für einzelne Beweise sich ständig änderten, weit schneller als seine eigene Grundlagentheorie. Berkeley fragte 1734: Worauf gründet ihr die Behauptung, ihr seid klarer als ich? Hundert Jahre später antwortete ihm keine Philosophie. Es antworteten die Dinge, die mit dem von ihm angegriffenen Werkzeug ausgerechnet worden waren, und zwar richtig. Es waren so viele, dass niemand mehr darauf verzichten konnte, sie zu erklären.

Die Präzession des Mondes, die Störungen der Planeten, die Bewegung von Flüssigkeiten, die Biegung von Balken, die Gestalt einer schwingenden Saite, die Ausbreitung von Wärme in einem Stück Metall. Eines kam zum anderen. Irgendwann ließ sich die Frage, weshalb die Rechnung richtig war, nicht mehr an die nächste Generation abschieben. Denn diese Generation wollte mit ihr noch mehr berechnen. Und je mehr man berechnet, desto weniger verträgt man jemanden daneben, der fragt: Womit begründet ihr das?

Was am Ende eine Antwort erzwang, war nicht diese eine Frage. Es war das Jahrhundert voller Rechnungen, das nach dieser Frage noch folgte. Ein Fach repariert sein Fundament am Ende gewöhnlich nicht, weil jemand darauf hinweist, dass es eingestürzt sei. Es repariert es, weil das, was darauf gebaut wurde, zu schwer geworden ist.

Die Rechnungen gehen weiter. Was als Mathematik zählt, hat sich noch nie abschließend ausrechnen lassen.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Materialien betreffen historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen im Text. Katalogeinträge, alte Texte und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Berkeley: Der Analyst, Originaltext als elektronische Ausgabe
• Originaltexte zum Streit um den Analyst
• Katalog der Handschrift von Newtons Bericht über das Commercium epistolicum
• Vollständige Transkription von Newtons Streithandschrift
• Newton Project: Einführung in die erhaltenen Texte
• Deutsche UNESCO-Kommission: Leibniz’ Briefwechsel
• Whish: Originalaufsatz über die indische Quadratur des Kreises
• Singh: Untersuchung zu Indien und der Infinitesimalrechnung trigonometrischer Funktionen
• Maclaurin: Einführung in die Abhandlung über Fluxionen