Erdachte Größen

1 Dreißig Aufgaben

Anfang 1535, in Venedig: Zwei Männer stellen einander je dreißig Aufgaben.

Die Aufgaben werden versiegelt, einem Notar übergeben und mit einer Frist versehen. Bis dahin müssen die Lösungen vorliegen.

Der eine heißt Fiore. Er hat etwas in der Hand: ein Lösungsverfahren für eine bestimmte Klasse kubischer Gleichungen. Die Regeln stammen von seinem Lehrer Scipione del Ferro, der an der Universität Bologna Arithmetik und Geometrie lehrte. Del Ferro beherrschte das Verfahren wohl schon um 1515. Veröffentlicht hat er es nie.

Bei dieser Jahreszahl muss man aufpassen. Die heutige Mathematikgeschichtsschreibung ist sich darüber weitgehend einig, doch es gibt kein datiertes eigenhändiges Manuskript, das sie zweifelsfrei festschriebe. Das Ergebnis ist überliefert, der Tag seiner Entdeckung nicht. Fast alle dreißig Aufgaben Fiores setzen auf ein und dieselbe Sache. Sein Gegner heißt Tartaglia. Dessen dreißig Aufgaben sind bunt gemischt, aus ganz verschiedenen Bereichen.

Nach seiner späteren Darstellung findet Tartaglia kurz vor der offiziellen Übergabe der Aufgaben endlich selbst das allgemeine Verfahren für jene Gleichungsklasse, auf die Fiore baut. Anschließend löst er sämtliche dreißig Aufgaben des Gegners in ungefähr zwei Stunden. Fiore löst keine einzige. Diese Geschichte ist seither unzählige Male erzählt worden, meist als Auftritt zweier Genies, die an Ort und Stelle im Kopf rechnen. Was tatsächlich geschah, hatte eher damit zu tun, dass einer auf das falsche Pferd gesetzt hatte.

Der Aufbau dieses Wettstreits ist denkbar klar. Einer setzt alles auf ein Geheimnis, der andere sorgt für eine möglichst verschiedenartige Auswahl. Sobald das Geheimnis fällt, wendet sich das Blatt noch am selben Tag. Drei Dinge sollten wir gleich festhalten. Im weiteren Verlauf werden wir sie immer wieder brauchen.

Erstens: In den ursprünglichen Quellen steht eine Jahreszahl, die um eins niedriger ist als die hier genannte. Das venezianische Jahr begann damals am 1. März. Der Februar gehörte also noch zum Vorjahr. Nach unserer heutigen Jahreszählung fand der Wettstreit im Februar 1535 statt. Wer die Jahreszahl der Quelle einfach abschreibt, liegt leicht um ein Jahr daneben.

Zweitens: In modernen Erzählungen besteht der Wetteinsatz gern aus dreißig Festessen. Die quellennahen Berichte sind nicht so schön aufgeräumt. Dort ist von Ehre die Rede und von Vergütungen, die sich nach der Zahl gelöster Aufgaben richten. Dreißig Aufgaben, versiegelte Aufgabenblätter, ein Notar, eine Frist: Dafür gibt es Belege. Für dreißig Festessen nicht.

Drittens, und das ist das Wichtigste: Die wertvollste Quelle zu diesem Wettstreit von 1535 ist ein Buch, das Tartaglia elf Jahre später selbst zusammenstellt und herausgibt. Er ist Beteiligter und Herausgeber in einer Person. Warum aber bleibt ein um 1515 entdecktes Verfahren bis 1535 im Besitz einiger weniger?

Von del Ferro ist keine eigene Äußerung dazu bekannt. Eine plausible Rekonstruktion sieht so aus: Für die Lehrer der angewandten Mathematik in Norditalien waren berufliches Ansehen und öffentliche Rechenwettstreite eng miteinander verbunden. Eine Methode, die nur man selbst beherrschte, konnte bei der Stellensuche, beim Sichern des eigenen Postens oder beim Herausfordern eines Konkurrenten als berufliches Kapital dienen. Unter solchen Bedingungen ist es wirtschaftlich durchaus verständlich, ein elegantes Verfahren als Geheimwaffe zurückzuhalten.

Das erklärt jedoch die Verhältnisse. Es ist keine Aussage, die er selbst hinterlassen hätte. Moderne Darstellungen gehen mit dieser Vermutung oft noch einen Schritt weiter: Wer einen Wettstreit verlor, habe automatisch seine Professur eingebüßt. Für dieses „automatisch“ fehlt der Beleg. Auch lohnt es sich, genauer hinzusehen, was diese Männer eigentlich beruflich waren.

Noch etwas vorweg. In diesem Essay werden vier Männer auftreten, die einander beschuldigen; was sie hinterlassen haben, ist höchst ungleich verteilt. Von einem gibt es umfangreiche, von ihm selbst arrangierte Rückblicke, von einem anderen nur ein gedrucktes Mathematikbuch, von einem weiteren überhaupt nichts. Wessen Stimme am lautesten zu hören ist und wer recht hat, sind zwei verschiedene Fragen.

Deshalb werden wir in den folgenden beiden Abschnitten sorgfältig auseinanderhalten, was von beiden Seiten gedruckt vorliegt und was nur eine Seite behauptet. Der Mann, der dieses Verfahren als Erster beherrschte, hatte eine Universitätsstelle. Tartaglia erwarb sich seinen Ruf durch Unterricht, technische Bücher und öffentliche Herausforderungen. Sein Name ist ein Spitzname: „der Stotterer“. Als französische Truppen 1512 Brescia stürmten, flüchtete er mit seiner Mutter und seiner Schwester in den Dom. Die Klinge eines französischen Soldaten verletzte ihn am Unterkiefer und am Gaumen; seitdem fiel ihm das Sprechen schwer. Sein erstes Buch erschien 1537 und behandelte den Flug von Geschossen. Es enthielt die frühesten Schusstafeln. In der Widmung erklärte er, es sei ihm zunächst schändlich und grausam erschienen, eine Kunst zu vervollkommnen, die den Mitmenschen Schaden zufügte und sogar die Menschheit vernichten konnte. Deshalb habe er nicht nur seine Forschungen eingestellt, sondern auch die aufgezeichneten Berechnungen und Texte zerrissen und verbrannt. Erst als er sah, dass der Wolf in die Herde einbrechen wollte und alle Hirten sich darin einig waren, Schutzvorkehrungen treffen zu müssen, habe er geglaubt, sein Wissen nicht länger verbergen zu dürfen, und es drucken lassen. Der Wolf stand für die osmanischen Türken. Cardano, dem wir gleich begegnen werden, bewegte sich zwischen Mathematikunterricht, Medizin, Universitäten und den Netzwerken mächtiger Gönner. Ferraris öffentliche Wettstreite wurden rasch zu seinem beruflichen Kapital.

Im Italien des sechzehnten Jahrhunderts gab es für Mathematiker keinen so einheitlichen Berufsweg wie heute. Öffentliche Wettstreite waren kein Rahmenprogramm. Sie gehörten zu den Möglichkeiten, Arbeit zu finden.

Man kann also nicht mit heutigen akademischen Normen im Kopf fragen, warum jemand seine Entdeckung nicht sofort veröffentlichte. Für einen selbstständig arbeitenden Lehrer der 1530er Jahre bedeutete Veröffentlichung: Alle Konkurrenten würden die Methode ebenfalls besitzen. Sie zurückzuhalten bedeutete dagegen, über eine Aufgabe zu verfügen, die nur er stellen, und über ein Können, mit dem nur er sie lösen konnte.

2 Der Text einer Seite

1539 will Cardano diese Regeln haben.

Aus den erhaltenen Quellen geht hervor, dass die beiden zu Jahresbeginn zunächst über Mittelsmänner korrespondieren. Im Januar lässt Cardanos Seite zwei Möglichkeiten vorschlagen: Er könne die Regeln unter Tartaglias Namen in sein Buch aufnehmen; oder er könne Geheimhaltung zusagen. Tartaglia lehnt zunächst ab. Er will später selbst veröffentlichen. Im Februar geht der Briefwechsel weiter, einmal mit freundlichen, dann wieder mit scharfen Tönen. Cardano erwähnt auch, ein mächtiger Mann in Mailand sei vielleicht bereit, Tartaglia zu empfangen. Schließlich reist Tartaglia nach Mailand.

Seiner späteren Darstellung zufolge treffen sich die beiden am 25. März 1539 in Cardanos Haus. Tartaglia hatte gehofft, auf diesem Weg den Gönner kennenzulernen. Dazu kommt es nicht. Er teilt Cardano anschließend die Regeln für kubische Gleichungen in Versform mit. Dieser Merkspruch ist tatsächlich überliefert. Er liefert keinen vollständigen Beweis, sondern Anweisungen zum Lösen mehrerer Klassen kubischer Gleichungen. Und dann ist da der Eid. Hier müssen wir die Herkunft des Berichts offenlegen.

Der früheste erhaltene vollständige Wortlaut des Eides steht in Tartaglias Buch von 1546. Der Erzähler ist Tartaglia. Das geschilderte Ereignis soll am 25. März 1539 stattgefunden haben. Dazwischen liegen etwa sieben Jahre. Weder besitzen wir eine von beiden unterzeichnete Vereinbarung aus dem Jahr 1539 noch ein Protokoll eines unbeteiligten Zeugen.

In dem dramatisch gestalteten Dialog lässt Tartaglia Cardano bei den heiligen Evangelien und bei seiner Ehre als Ehrenmann schwören: Er werde die ihm mitgeteilten Entdeckungen niemals veröffentlichen und sie zudem in Geheimschrift festhalten, damit auch nach seinem Tod niemand sie verstehen könne. Tartaglia erwidert darauf, wenn er so vielen Eiden noch immer nicht vertraue, müsse man wohl ihn selbst für einen Mann ohne Treu und Glauben halten. Was wir haben, ist Tartaglias Niederschrift dieser Eide sieben Jahre später. Was wir nicht haben, ist eine unmittelbare Aufzeichnung dessen, was Cardano damals sagte.

Cardanos öffentliche Darstellung folgt einem anderen Muster.

In der Ars magna von 1545 räumt er ein, dass Tartaglia ihm die Regeln mitgeteilt hat. Er gibt die Entdeckung auch nicht als seine eigene aus. Den Vorrang bei dieser Klasse kubischer Gleichungen schreibt er jedoch zunächst dem älteren Professor aus Bologna zu. Tartaglia habe das Verfahren im Zusammenhang mit seinem Wettstreit gegen Fiore unabhängig wiederentdeckt. Cardano betont außerdem, dass er nach Erhalt der Regeln weiter nach Beweisen gesucht und sie auf zusätzliche Fälle ausgedehnt habe, während Ferrari die Gleichungen vierten Grades bewältigte.

Die Abfolge lautet bei ihm also: del Ferro als Erster, Tartaglia als unabhängiger Wiederentdecker, Cardano für Beweis und Systematisierung, Ferrari für die Erweiterung.

Eine zeitliche Beziehung darf man dabei nicht umkehren. Die Ars magna erschien 1545, ein Jahr bevor Tartaglia den vollständigen Eid drucken ließ. Man kann das Buch daher nicht als Cardanos Verteidigung gegen den Vorwurf des Eidbruchs lesen. Die eigentliche öffentliche Gegenoffensive führte Ferrari, und zwar ab 1547.

Warum glaubte Cardano, zur Veröffentlichung berechtigt zu sein? Die herkömmliche Erzählung besagt, dass er und Ferrari um 1543 nach Bologna reisten. Dort trafen sie den Schwiegersohn des inzwischen verstorbenen del Ferro, sahen dessen hinterlassene Unterlagen ein und vergewisserten sich so, dass Tartaglia nicht der erste Entdecker gewesen war.

Den groben Rahmen dieser Überprüfung akzeptiert die heutige Mathematikgeschichtsschreibung gewöhnlich. An welchem Tag die beiden Bologna erreichten, welches Notizbuch sie aufschlugen und wer dabei im Zimmer stand: Solche Einzelheiten sind vor allem durch spätere Äußerungen im Streit überliefert. Man darf sie nicht sämtlich rückwirkend in den Text von 1545 hineinlesen. Das ursprüngliche Notizbuch, das der Schwiegersohn verwahrt haben soll, ist heute nicht als vollständiges eigenhändiges Dokument erhalten. Eine Überprüfung entschied darüber, ob jemand eine Formel veröffentlichen durfte, doch das überprüfte Buch selbst ist nicht überliefert. Die moralische Argumentation beider Seiten ist in sich schlüssig.

Cardanos Seite argumentiert so: Versprochen habe er, Tartaglias Geheimnis zu wahren. Wenn aber ein anderer dieselbe Entdeckung früher und unabhängig gemacht hatte, konnte Tartaglia ein Ergebnis, für das ihm kein ausschließlicher Entdeckervorrang zustand, nicht auf Dauer monopolisieren. Hinzu kam, dass Ferraris Verfahren für Gleichungen vierten Grades auf die Lösung kubischer Gleichungen angewiesen war. Weiteres Schweigen hätte auch Ferraris eigenständige Leistung unter Verschluss gehalten.

Tartaglias Seite argumentiert so: Der Eid zur Geheimhaltung band Cardano persönlich. Ob ein anderer das Verfahren schon früher unabhängig entdeckt hatte, änderte nichts an dieser privaten Verpflichtung. Auch spätere Leser haben Cardanos Begründung oft eher als moralisches Schlupfloch verstanden denn als unstrittige Klausel, die ihn von seinem Versprechen entband.

Von 1547 bis 1548 veröffentlicht Ferrari sechs Herausforderungsschriften, auf die Tartaglia mit sechs gedruckten Antworten reagiert. Die zwölf Drucke und die zweiundsechzig Aufgaben, die beide Seiten austauschten, sind heute in einer vollständigen Faksimile-Ausgabe zugänglich.

Diese öffentliche Schlammschlacht ist also keine spätere Erfindung. Die zwölf Schriften wurden damals gedruckt, und jedes Wort ist noch da. Das abschließende Zusammentreffen wird gewöhnlich auf den 10. August 1548 in Mailand datiert. Die mathematikhistorische Forschung geht überwiegend davon aus, dass Ferrari klar die Oberhand gewann und Tartaglia anschließend abreiste.

Gerade die filmreifen Einzelheiten der Begegnung halten der Quellenlage jedoch nicht stand: eine Kirche voller Bürger, der Statthalter persönlich als Vorsitzender oder Schiedsrichter, Ferrari mit einer großen Schar von Anhängern, Tartaglia nur von seinem Bruder begleitet, die Abreise gleich in der Nacht nach dem ersten Tag. Kein neutrales Protokoll bestätigt diese Punkte einzeln. Verlässliche moderne Darstellungen weisen sogar ausdrücklich darauf hin, wie wenig über den Ablauf des eigentlichen Wettstreits bekannt ist und wie sehr wir dabei von Tartaglias eigenem kurzen, fragwürdigen Rückblick abhängen.

Im Grunde geht es in diesem ganzen Abschnitt um eines: Der Buchdruck veränderte die Gestalt der Belege, auf denen ein Streit beruhte.

Was mir jemand einmal gesagt hatte, konnte früher mit der mündlichen Überlieferung verschwinden. Nun ließen sich Anschuldigungen, Beleidigungen, mathematische Aufgaben und Datumsangaben vervielfältigen, verschicken, aufbewahren und vierhundert Jahre später Wort für Wort vergleichen. Nachdem Cardano 1546 Tartaglias Buch gesehen hatte, konnte er nicht ins Jahr 1545 zurückkehren und heimlich die Erstausgabe ändern. Ebenso wenig konnte Tartaglia eine Anschuldigung von 1546 nachträglich zu einem vor Ort entstandenen Dokument von 1539 machen. Der Druck schafft einen zeitlichen Anker, den jeder überprüfen kann.

Damit entstand allerdings nicht automatisch das moderne System, in dem wissenschaftliche Veröffentlichungen Prioritätsansprüche begründen. Ein Manuskript konnte weiterhin älter sein als ein Druck; eine geheime mündliche Mitteilung konnte weiterhin als Beleg in der Entdeckungsgeschichte zählen. Und die Jahreszahl des Verlegers musste noch immer im Zusammenhang mit dem örtlichen Kalender gelesen werden. Der Druck lieferte öffentlich vergleichbare Textfassungen und Zeugnisse ihrer Datierung. Nachdrucke, Auflagen, Druckfehler und Kalender zu unterscheiden blieb Aufgabe der Bibliografie.

Hier zeigt sich nun das Merkwürdigste an diesem Streit.

Die Ungleichheit hat noch eine weitere Schicht. Die Schlammschlacht ist gerade deshalb so gut erhalten, weil sie eine Schlammschlacht war. Diese zwölf Schriften wurden ja eigens gedruckt, damit andere sie lasen. Vom Eid dagegen ist gerade deshalb nur die Fassung einer Seite überliefert, weil er im Privaten geleistet wurde. Öffentlicher Streit hinterlässt Beweise. Private Versprechen tun es nicht.

Was die Nachwelt über den Fall weiß, hat deshalb eine schiefe Form. Am klarsten sehen wir den lautesten Teil. Am undeutlichsten den entscheidenden.

Über den öffentlichen Streit der beiden Seiten wissen wir sehr viel: Die zwölf Drucke sind Wort für Wort erhalten. Für den entscheidenden privaten Eid dagegen besitzen wir nur den Text einer Seite, sieben Jahre nach dem Ereignis.

3 Dreizehn Formen

Die Ars magna umfasst vierzig Kapitel und wird 1545 in Nürnberg gedruckt.

Sie zerlegt die kubischen Gleichungen in zahlreiche Klassen. Die Kapitel elf bis dreiundzwanzig behandeln nacheinander dreizehn Formen. Auch die Gleichungen vierten Grades sind auf mehrere Formen verteilt. Das liegt nicht daran, dass der Autor nicht gewusst hätte, was wir heute zu einem einzigen Ausdruck zusammenfassen können.

Im vorigen Essay war davon die Rede: Die damalige Algebra behandelte positive und negative Koeffizienten noch nicht einheitlich als Zahlen derselben Art. Verschieben wir heute eine Größe von links nach rechts über das Gleichheitszeichen, ändert sich nur ihr Vorzeichen. Damals konnte damit der Wechsel in eine andere Gleichungsklasse verbunden sein. Die sechs Klassen des vorigen Essays und die dreizehn dieses Essays zeigen dieselbe Mauer von zwei Seiten. Dort hieß es: Die sechs Klassen sind nicht sechs Regeln, sondern sechs Seiten einer Mauer. Hier steht dieselbe Mauer, nur hat sie mehr Seiten, weil der Grad höher ist.

Einige Jahrzehnte später wird etwas anderes ein Loch in diese Mauer schlagen. Allerdings an einer anderen Stelle, nicht hier.

In diesem Abschnitt stellen wir erst einmal die Mauer auf. Im nächsten geht es um das Loch.

Wer die heutigen Polynome mit ihren positiven und negativen Koeffizienten unbesehen ins Jahr 1545 zurückprojiziert, gewinnt leicht den Eindruck, der Autor wiederhole sich absichtlich. Tatsächlich verhält es sich genau umgekehrt: Negative Zahlen waren noch keine ganz gewöhnlichen Mitglieder des Koeffizientensystems. Deshalb musste man die Formen danach auseinanderhalten, was auf welcher Seite addiert wurde. Eine besonders berühmte Stelle des Buches steht in Kapitel siebenunddreißig. Die Aufgabe klingt denkbar einfach: Zehn ist in zwei Teile zu zerlegen, deren Produkt vierzig beträgt. Mit reellen Zahlen geht das nicht. Ist die Summe der Teile zehn, kann ihr Produkt höchstens fünfundzwanzig sein.

Cardano rechnet dennoch nach dem Verfahren für quadratische Gleichungen weiter und erhält zwei zueinander passende Objekte. In beiden steckt eine Fünf; hinzu kommt einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen ein Anteil aus der Quadratwurzel von minus fünfzehn. In heutiger Sprache: fünf plus die Quadratwurzel aus minus fünfzehn und fünf minus diese Quadratwurzel. Entscheidend ist seine Haltung. Er wirft das Ergebnis nicht weg.

Hier lohnt es sich, einen Moment stehen zu bleiben. Wo er schlicht hätte sagen können, die Aufgabe habe keine Lösung, entscheidet er sich weiterzurechnen. Obwohl es sich um etwas Sophistisches handle, erklärt er, müsse man die Rechnung doch ausführen. Dann multipliziert er die beiden Objekte, und die formale Rechnung führt tatsächlich wieder zu vierzig.

Die Summe der beiden Teile ist zehn: Diese Bedingung erfüllt er. Ihr Produkt ist vierzig: Auch diese erfüllt er. Der Preis dafür ist, dass die beiden Teile keine Zahlen sind.

Er hat also ein Paar von Dingen gefunden, das sämtliche Bedingungen erfüllt. Nur weiß er nicht, was diese Dinge sind. Der Status des „Fingierten“, dem wir im vorigen Essay begegnet sind, wird in solchen Augenblicken erfunden. Er löst das Problem nicht. Er erlaubt lediglich, es vorerst auf dem Tisch liegen zu lassen. Doch gerade dieses Liegenlassen wird sich später als entscheidender Schritt erweisen. Was man weggeworfen hat, kommt nicht von selbst zurück.

Eine Wendung in der englischen Übersetzung wird häufig sinngemäß mit „die Qualen des Geistes beiseitelassen“ wiedergegeben: Man soll sich über die geistige Pein hinwegsetzen, die das verursacht, und einfach weitermultiplizieren. Berühmt ist auch das abschließende Urteil: Diese arithmetische Spitzfindigkeit sei am Ende bis zum Äußersten spitzfindig und bis zum Äußersten nutzlos. Sein Tun ist viel kühner als sein Urteil. Sein Mund nennt die Sache nutzlos; seine Hand hat sie nach den Regeln der Algebra bereits vollständig durchgerechnet.

Dieselbe Bewegung hatten wir im vorigen Essay schon einmal gesehen. Jemand nennt negative Zahlen fingiert und nimmt sie zugleich in die Technik des Gleichungslösens auf. „Fingiert“ soll das Ding nicht vertreiben, sondern ihm einen Status verschaffen, mit dem es bleiben darf. „Sophistisch“ erfüllt hier denselben Zweck.

Dabei unterläuft der Geschichtserzählung häufig eine Verwechslung. Die Aufgabe, zehn in zwei Teile zu zerlegen, ist ein quadratisches Problem. Sie zeigt nicht, dass Cardano bereits eine kubische Gleichung mithilfe von Quadratwurzeln negativer Zahlen gelöst hätte. Die Mauer stand anderswo, und auf sie war er schon sehr früh gestoßen. Als es geschah, hatte er die Regeln gerade erst erhalten. Da bekommt jemand eine Geheimwaffe in die Hand, entdeckt sofort, dass sie an manchen Stellen klemmt, und derjenige, der sie ihm gegeben hat, erklärt ihm, er bediene sie bloß falsch.

In dem Briefwechsel von 1539, den Tartaglia später veröffentlichte, prüft Cardano die Regeln bald nach Erhalt des Merkspruchs an einigen Beispielen. Eines davon gehört, aus heutiger Sicht, genau zur schwierigsten Klasse. Er fragt bei Tartaglia nach. Der hält in seiner Antwort Cardanos Vorgehen für fehlerhaft und zeigt zunehmend Reue und Misstrauen. Schon 1539 war Cardano also dort angelangt, wo das Verfahren nicht mehr weiterführte.

Für das Buch von 1545 muss man jedoch einen Sachverhalt festhalten, den populäre Mathematikgeschichten häufig falsch darstellen: In den Kapiteln über kubische Gleichungen hat Cardano diesen Fall nicht mithilfe solcher Objekte erfolgreich durchgerechnet. Das Buch enthält zwar kubische Gleichungen, bei denen wir heute drei reelle Wurzeln erhalten. Doch wo seine Radikalregel eine negative Zahl unter der Quadratwurzel erzwang, folgte er der Formel nicht weiter.

Drei Dinge sind also auseinanderzuhalten.

Er wusste, dass eine Mauer existierte. Bei anderen Aufgaben hatte er sich auch schon an die Rechnungen hinter ihr herangetastet. Derjenige, der diese Rechnungen systematisch zu jenem Fall der kubischen Gleichung zurückbrachte, war ein anderer.

4 Der irreduzible Fall

Nun lässt sich genauer sagen, worin diese Mauer bestand. Dafür brauchen wir kein einziges Symbol. Zunächst beseitigt man durch eine Variablensubstitution das quadratische Glied der allgemeinen kubischen Gleichung. Der entscheidende Schritt des Verfahrens besteht dann nicht darin, die endgültige Lösung unmittelbar zu erraten. Man nimmt vielmehr an, dass sich die gesuchte Wurzel in die Summe zweier Hilfsgrößen zerlegen lässt.

Nach einigen Umformungen müssen diese beiden Hilfsgrößen gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen: Ihr Produkt ist durch die ursprüngliche Gleichung festgelegt, und ebenso die Summe ihrer dritten Potenzen.

Damit sinkt der Grad des Problems. Die beiden dritten Potenzen sind genau die zwei Lösungen einer gewöhnlichen quadratischen Aufgabe.

Jetzt gabelt sich der Weg.

Besitzt die ursprüngliche kubische Gleichung nur eine reelle Wurzel, liefert die quadratische Hilfsaufgabe in der Regel zwei reelle Zahlen. Man zieht aus beiden die Kubikwurzel und addiert. Die ganze Rechnung bleibt im Bereich der reellen Zahlen.

Besitzt die ursprüngliche Gleichung dagegen drei verschiedene reelle Wurzeln, verhält es sich mit der Diskriminante der quadratischen Hilfsaufgabe genau umgekehrt. Deren zwei Lösungen sind nun nicht mehr reell. Um sie zu berechnen, muss man zunächst die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Alle drei gesuchten Endergebnisse liegen auf der reellen Zahlengeraden, und doch muss der Weg über die Radikale diese Gerade mittendrin verlassen. Das ist weder ein Rechenunfall noch ein falsch gewähltes Vorzeichen. Es hilft auch nicht, sich in die andere Richtung zu wenden. Auf diesem Weg gibt es nur diesen einen Durchgang.

Die beiden Zwischengrößen bilden das, was wir heute ein konjugiertes Paar nennen. Zieht man jeweils eine passende Kubikwurzel, erhält man erneut zwei aufeinander abgestimmte Größen. Addiert man sie, heben sich die nichtreellen Anteile auf, und es bleibt wieder eine reelle Zahl. Mit den beiden anderen aufeinander abgestimmten Kombinationen von Kubikwurzeln erhält man die zwei übrigen reellen Wurzeln. Die nichtreellen Zwischenwerte haben das Ergebnis nicht verunreinigt. Sie bilden gerade die Struktur, in der die drei reellen Lösungen zugleich codiert sind.

Die eigentliche Dramatik dieses Falls lässt sich deshalb in drei Sätzen sagen.

Die Aufgabe hat keine unwirklichen Lösungen. Alle drei Lösungen sind reell. Doch wer sie mit dem damals neuesten allgemeinen Verfahren der Algebra erreichen will, muss unterwegs durch einen Bereich, dessen Objekte noch keinen rechtmäßigen Platz besitzen. Die negativen Zahlen des vorigen Essays waren aus Schulden und Richtungen hervorgegangen; wenigstens konnten sie auf eine bereits vorhandene Gegenseite verweisen. Dieses Ding konnte auf gar nichts zeigen. Und ohne es kam man nicht an die Lösung. Genauer gesagt: Ohne es kam man auf diesem Weg nicht an die Lösung. Diese Einschränkung ist wichtig. Gleich werden wir sie brauchen.

Auch dieser Satz hat nämlich seine Grenze.

Es ist richtig, dass jene Formel bei drei verschiedenen reellen Wurzeln auf Quadratwurzeln negativer Zahlen führt. Zu stark wäre die Behauptung, jede denkbare Methode müsse solche Objekte verwenden. Später ließen sich diese Wurzeln mit trigonometrischen Funktionen ausdrücken, ohne den reellen Bereich zu verlassen.

Die strengere Aussage kam erst im neunzehnten Jahrhundert. Ist ein kubisches Polynom mit rationalen Koeffizienten über den rationalen Zahlen irreduzibel und besitzt es zugleich drei reelle Wurzeln, dann kann man diese nicht allein mithilfe gewöhnlicher Quadrat- und Kubikwurzeln im reellen Bereich ausdrücken. Der Beweis erschien 1843. Auf die Voraussetzung der Irreduzibilität darf man nicht verzichten. Hat das kubische Polynom bereits eine rationale Wurzel, kann man es zunächst faktorisieren. Dann lässt sich jener Weg unter Umständen ohne Weiteres umgehen.

So sah die Lage tatsächlich aus: In dieser Klasse von Fällen musste man, wenn man dem damaligen Weg folgte, durch diese Objekte hindurch. Dieser Weg war eine neu gewonnene, wichtige und allgemein einsetzbare algebraische Route, keineswegs aber die einzig mögliche Methode zur Bestimmung von Wurzeln. Erst dreihundert Jahre später bewies jemand, dass auch ein anderer Weg derselben Art nicht daran vorbeiführen würde.

5 Ein Ingenieur

Der Mann, dem der entscheidende Schritt gelang, hieß Raffaele Bombelli. Er wurde 1526 in Bologna getauft und starb 1572.

Bombelli schlug nicht den Weg eines Mathematikprofessors an der Universität ein. Er kam aus der Welt der Ingenieure, der Vermessung und des Wasserbaus. Sein Lehrer war Architekt und Ingenieur und hatte für die päpstliche Finanzverwaltung an Arbeiten zur Entwässerung und Landerschließung mitgewirkt.

Am besten dokumentiert ist Bombellis Arbeit an der Trockenlegung und Erschließung eines Sumpfgebiets in der Toskana. Um 1549 erhielt sein Förderer die Erschließungsrechte. Aus dem Jahr 1551 liegen bereits Urkunden vor, die Bombellis Mitwirkung an Grenzaufzeichnungen und technischen Angelegenheiten belegen. Um 1555 wurden die Arbeiten unterbrochen, später wieder aufgenommen; vor 1560 war ein wichtiger Bauabschnitt abgeschlossen. Diese Tätigkeiten begründeten seinen Ruf als Wasserbauingenieur. 1561 wirkte er in Rom auch an dem Versuch mit, eine Brücke über den Tiber instand zu setzen. Später beriet er noch ein weiteres Projekt zur Entwässerung eines Sumpfgebiets.

Ihn einfach einen Amateurmathematiker zu nennen, verdeckt ausgerechnet das Wesentliche. Da verdiente jemand seinen Lebensunterhalt mit Land, Wasserläufen, Grenzen und Bauvorhaben und schrieb zugleich eines der kühnsten Werke abstrakter Algebra des sechzehnten Jahrhunderts.

Ein offenkundiger ursächlicher Zusammenhang besteht zwischen diesen beiden Dingen nicht. Man muss keinen erzwingen. Eines lässt sich immerhin sagen: Wer sich täglich damit befassen muss, einem Sumpfgebiet Grenzen zu geben, dürfte seine eigenen Maßstäbe dafür haben, was es heißt, dass etwas tatsächlich da ist.

Auch das Buch entstand nicht plötzlich im Jahr 1572. Als die Bauarbeiten Mitte der 1550er Jahre ruhten, begann Bombelli zu schreiben; um 1557 war er bereits dabei. Geplant waren fünf Bücher. 1572 erschienen zunächst die ersten drei. Die beiden geometrischen Teile wurden zu seinen Lebzeiten nicht veröffentlicht. Das unveröffentlichte Manuskript wurde erst 1923 wiederentdeckt und 1929 herausgegeben. Bombelli wusste selbst, dass seine Leser sein Vorhaben für Wahnsinn halten könnten.

Bei der Behandlung jener kubischen Gleichungen schreibt er, viele würden seine Idee sonderbar, verwegen und regelwidrig finden. Er gesteht, auch ihm sei das zunächst weniger wahr als vielmehr sophistisch vorgekommen. Dieses Wort, „sophistisch“, hatte siebenundzwanzig Jahre zuvor schon Cardano gebraucht.

Zugleich warnt er die Leser, sie müssten hier alle Kräfte ihres Geistes aufbieten, sonst ließen sie sich sehr leicht täuschen. Der andere hatte siebenundzwanzig Jahre zuvor davon gesprochen, die Qualen des Geistes beiseitezulassen. Zwei Männer, siebenundzwanzig Jahre voneinander entfernt, greifen zu derselben Art von Wörtern.

Das ist wichtiger, als es zunächst aussieht. Die beiden vertreten gegensätzliche Positionen: Einer nennt die Sache nutzlos, der andere gibt ihr Regeln. Aber wenn sie beschreiben, wie ihnen selbst dabei zumute ist, verwenden sie dieselben Wörter. Das Gefühl, das diese Objekte auslösen, hat sich in siebenundzwanzig Jahren nicht verändert. Der Unterschied ist, dass der Zweite nicht aufhört. Nach wiederholter Untersuchung erkennt er, dass sich schlüssige Rechnungen und Beweise angeben lassen, und beschließt weiterzugehen. Was er tut, hat drei Schritte.

Erstens behandelt er die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht länger wie ein gewöhnliches, bloß beschädigtes Wurzelzeichen. Er gibt den beiden grundlegenden Objekten eigene Namen, wörtlich ungefähr „Plus des Minus“ und „Minus des Minus“. Sie entsprechen in etwa der späteren positiven und negativen imaginären Einheit. Unsere heutige Buchstabenschreibweise besitzt er selbstverständlich noch nicht.

Zweitens stellt er ein ganzes System von Rechenregeln auf. Was ergibt sich, wenn gewöhnliche positive Größen, negative Größen und diese beiden Objekte miteinander multipliziert werden? Zwei gleichgerichtete Exemplare ergeben eine gewöhnliche negative Größe; ein Exemplar und sein Gegenstück ergeben eine gewöhnliche positive Größe. Beim Addieren und Subtrahieren werden die gewöhnlichen Teile mit den gewöhnlichen, die Teile der neuen Art mit ihresgleichen zusammengefasst. Anders gesagt: Zum ersten Mal werden diese Objekte nicht bloß geduldet. Sie bekommen eine Multiplikationstafel.

Eine Multiplikationstafel zu geben und eine Definition zu geben sind zwei verschiedene Dinge. Eine Definition soll sagen, was etwas ist. Eine Multiplikationstafel sagt nur, wie man damit rechnet. Bombelli liefert das Zweite. In den folgenden gut zweihundert Jahren rechnet man damit weiter und versucht zugleich, die erste Frage zu beantworten.

Dieser Trennlinie sind wir in der Reihe schon einmal begegnet. Der Kommentator im fünften Essay kam beim Kugelvolumen nicht weiter, weil ihm sogar das Rechenverfahren fehlte. Hier ist es umgekehrt: Das Verfahren ist da und funktioniert zuverlässig. Was fehlt, ist das Objekt.

Der dritte Schritt ist das historische Kernstück. Bombelli wählt ein Beispiel, von dem bekannt ist, dass vier eine reelle Wurzel ist. Rechnet man nach dem Verfahren weiter, erhält man unterwegs ein Paar nichtreeller Größen, aus denen jeweils noch die Kubikwurzel zu ziehen ist. Genau hier hatte das Problem festgesteckt: Schon die Quadratwurzel einer negativen Zahl war seltsam genug. Wie sollte man nun aus einer Zahl, die so eine Wurzel enthielt, die dritte Wurzel ziehen? Bombelli wagt eine Annahme. Vielleicht lässt sich auch diese komplizierte Kubikwurzel wieder als gewöhnliche Zahl plus ein einfaches Objekt derselben neuen Art schreiben.

Dann verlässt er sich nicht auf bloßes Erraten. Er erhebt den gesamten angenommenen Ausdruck in die dritte Potenz, multipliziert nach seiner eigenen Rechentafel aus und vergleicht anschließend Glied für Glied die gewöhnlichen und die nichtreellen Anteile. Das Ergebnis: Die eine Kubikwurzel lässt sich als zwei plus eine Einheit des neuen Objekts schreiben. Die andere ist genau ihr Gegenstück, zwei minus dieselbe Einheit. Addiert man beide, verschwinden die nichtreellen Anteile vollständig. Übrig bleibt genau vier.

Die Überzeugungskraft dieses Schritts liegt nicht darin, dass die Antwort stimmt. Dass sie vier lautet, wusste man von Anfang an. Überzeugend ist vielmehr: Vom ersten bis zum letzten Schritt hält sich die Rechnung an die von ihm aufgestellten Regeln. Nirgends braucht sie eine zusätzliche Sondererlaubnis. Und am Ende schließt sie sich von selbst.

Damit wird zum ersten Mal etwas klar sichtbar.

Eine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist kein Fehlerzeichen. Ein Zwischenergebnis darf nichtreell sein. Zwei solcher Zwischenergebnisse folgen den algebraischen Regeln vollständig. Und am Ende erzeugen sie gemeinsam eine reelle Wurzel, von der längst bekannt war, dass sie existiert. Bombelli liefert keine moderne Theorie der komplexen Zahlen, keine komplexe Ebene und erst recht keine moderne Definition eines Zahlenkörpers. Er zeigt etwas anderes, das für die Geschichte der Begriffe unmittelbarer ist: Diese Objekte können eine Rechensprache bilden, die nicht bei jeder Gelegenheit zusammenbricht.

Auf „nicht bei jeder Gelegenheit zusammenbricht“ kommt es an. Woran stirbt ein neues Objekt am leichtesten? Nicht daran, dass niemand an es glaubt. Sondern daran, dass es sich irgendwann mitten in der Rechnung widerspricht. Bombellis Regeln und erfolgreiche Beispiele schwächten diese Befürchtung erheblich. Einen Beweis der Widerspruchsfreiheit des gesamten Systems im späteren Sinne lieferte er jedoch nicht. Eine systematische Erklärung der Objekte stand noch aus. Wie viele Menschen das Buch damals gelesen haben, lässt sich übrigens nicht beziffern. Weder ist eine verlässliche Auflagenhöhe der Erstausgabe bekannt noch ein Verkaufsbuch erhalten.

Auch seine Wirkungsgeschichte ist umstritten. Eine Forschungstradition betont die außerordentliche Bedeutung des Werks: Die Rechenregeln seien bereits sehr vollständig gewesen, und wichtige spätere Mathematiker hätten es gelesen und hoch geschätzt. Eine andere weist darauf hin, dass seine tatsächliche Verbreitung und sein unmittelbarer Einfluss im sechzehnten und siebzehnten Jahrhundert deutlich geringer waren, als sein späterer Rang als Klassiker vermuten lässt.

Was 1572 geschah, bedeutete also nicht, dass Europas Mathematiker am nächsten Morgen geschlossen die Existenz dieser Objekte anerkannten. Wir können belegen, dass das Buch existierte. Wir können belegen, dass bedeutende Mathematiker es später lasen. Aus seiner späteren Stellung dürfen wir aber keine große Leserschaft in den 1570er Jahren zurückrechnen. Erfindung und Anerkennung müssen auseinandergehalten werden. Ein Buch kann schon recht haben, bevor es Leser hat.

6 Zweihundertfünfzig Jahre

Für die Zeit von 1572 bis ins frühe neunzehnte Jahrhundert lautet die treffendste Zusammenfassung nicht: Diese Objekte wurden zweihundertfünfzig Jahre lang abgelehnt. Treffender ist: Man benutzte sie, lange bevor man über ihre Existenz beruhigt war.

Immer häufiger verwendeten Mathematiker Quadratwurzeln negativer Zahlen als formale Werkzeuge. Im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert zogen Gleichungslehre, Logarithmen, trigonometrische Funktionen und unendliche Reihen sie nach und nach in immer mehr Rechnungen hinein. Irgendwann wurden bestimmte Rechnungen der Analysis sogar umständlicher, wenn man auf sie verzichtete. Ein berühmter Meilenstein ist Eulers Verbindung von Exponential- und trigonometrischen Funktionen über komplexe Argumente im Jahr 1748. Zugleich blieb die Frage beunruhigend, was diese Dinge eigentlich seien.

Derselbe Mathematiker konnte sie deshalb auf einer Seite „unmöglich“ nennen und auf der nächsten souverän mit ihnen rechnen. Das war keine logische Persönlichkeitsspaltung. Es zeigt, dass in der frühneuzeitlichen Mathematik die Zulässigkeit einer Rechnung und die Existenzberechtigung ihrer Objekte noch nicht fest miteinander verknüpft waren. Im siebten Abschnitt des vorigen Essays ging es um dasselbe, nur handelte es sich dort um negative Zahlen. Hier dauert die Grauzone länger, und sie ist dunkler. Der Name tritt 1637 auf.

Im dritten Buch seiner Géométrie erörtert Descartes die Wurzeln von Gleichungen. Die sogenannten wahren und falschen Wurzeln, schreibt er, seien nicht immer reell; manchmal seien sie nur vorgestellt: Zwar könne man sich entsprechend dem Grad der Gleichung so viele Wurzeln vorstellen, doch zuweilen gebe es keine Größe, die dem Vorgestellten entspreche.

In seinem ursprünglichen Zusammenhang ist das Wort also tatsächlich herabsetzend. „Imaginär“, vorgestellt, steht dem Reellen gegenüber: Man kann es sich denken, aber es muss keine entsprechende Größe geben.

Dieser Gegensatz verdient einen genauen Blick. Descartes sagt weder, dass das falsch sei, noch, dass sich damit keine Ergebnisse berechnen ließen. Er sagt: Dem entspricht keine Größe. In einem System, in dem eine Zahl noch immer eine Art Größe sein muss, läuft das darauf hinaus, ihr den Status einer Zahl abzusprechen.

Doch auch die Behauptung, er habe das Wort ausschließlich als Beschimpfung verwendet, ist etwas zu modern gedacht. Genauer wäre: In seinem Zusammenhang bezeichnet es einen unzureichenden ontologischen Status. Ein Lob ist es nicht. Seine abwertende Kraft rührt aus dem Gegensatz zwischen bloßer Vorstellung und fehlender entsprechender Größe, nicht aus einem emotionalen Schimpfwort.

Damit erklärt sich auch, weshalb der Titel dieses Essays historisch zutrifft. Ursprünglich ging es nicht um die spätere romantische Vorstellung, die Fantasie von Mathematikern erschaffe neue Welten. Gemeint war eher: Du kannst dir eine solche Wurzel vorstellen, aber eine wirkliche Größe dazu gibt es nicht.

Schon 1685 sucht Wallis nach einer geometrischen Deutung dieser Größen. Ausgehend von gerichteten Strecken und geometrischen Verhältnissen versucht er, Quadratwurzeln negativer Zahlen durch eine senkrechte Richtung in der Ebene verständlich zu machen. Gleich zu Beginn sagt er selbst, man nenne diese Größen gewöhnlich imaginär. Der Ausdruck gehört also inzwischen zum mathematischen Englisch. Wallis ist jener Mann aus dem vorigen Essay, der eine in beide Richtungen verlaufende Gerade zeichnet und zugleich glaubt, negative Zahlen lägen in einem Gebiet jenseits des Unendlichen.

Warum gilt er gewöhnlich nicht als Begründer der komplexen Ebene? Weil er keine vollständige Eins-zu-eins-Zuordnung im späteren Sinne herstellt. Es genügt nicht, irgendeine Quadratwurzel einer negativen Zahl als senkrechte Strecke darzustellen. Jede Zahl aus reellem und nichtreellem Anteil muss einem Punkt oder einer gerichteten Strecke in der Ebene entsprechen, und Addition, Multiplikation, Länge und Drehwinkel müssen mit den algebraischen Operationen zusammenpassen. Wallis hat die entscheidende geometrische Anschauung. Das in sich geschlossene System vollendet er nicht.

Diese Unterscheidung begegnet uns in der Mathematikgeschichte immer wieder: Zu sehen, wie etwas aussieht, und es in ein vollständiges System von Entsprechungen einzuordnen sind zwei weit voneinander entfernte Dinge.

Leibniz macht ausgiebig von diesen Größen Gebrauch. Von ihm sind auch eigentümliche Wendungen überliefert, in denen sie zwischen Sein und Nichtsein stehen. Darin liegt keine Weigerung, mit ihnen zu rechnen. Es ist die Weigerung, vorschnell zu entscheiden, was sie sind.

Beim Buchstaben für die imaginäre Einheit müssen wir Entstehungs- und Veröffentlichungsdatum unterscheiden. Die systematische Einführung des Zeichens wird gewöhnlich einer Arbeit Eulers zugeschrieben, die er 1777 abschloss. Gedruckt wurde sie jedoch erst 1794.

Auch Euler rechnete fortan nicht etwa fehlerlos. Im achtzehnten Jahrhundert gab es die heutigen Regeln zur Wahl von Zweigen noch nicht. Gelegentlich übertrug er eine Wurzelregel, die für nichtnegative reelle Zahlen gefahrlos gilt, auf zwei negative Zahlen und erhielt dadurch Vorzeichenfehler.

Wir sollten die Geschichte also nicht so erzählen, als hätten die Vorgänger nicht rechnen können und sei mit Euler plötzlich alles richtig geworden. Bei manchen Vorzeichenregeln war Bombelli sogar ausgesprochen vorsichtig.

Je vertrauter einem etwas ist, desto leichter wendet man darauf eine Regel an, die man anderswo gelernt hat und die hier nicht passt. Je fremder es einem ist, desto eher hält man bei jedem Schritt inne und denkt nach. Der Erste, der diese Objekte wirklich aufzeichnete, war ein Vermesser und Kartograf.

1797 reicht er seine Abhandlung bei der Königlich Dänischen Akademie der Wissenschaften ein. 1799 erscheint sie auf Dänisch. Darin verbindet er diese Größen systematisch mit gerichteten Strecken, die eine Länge und eine Richtung besitzen: Die Addition entspricht dem Aneinanderlegen der Strecken, jeweils mit dem Anfang der einen am Ende der anderen; bei der Multiplikation werden die Längen multipliziert und die Richtungswinkel addiert. Das kommt der heutigen komplexen Ebene bereits außerordentlich nahe. Zugleich liefert er ein vorzügliches Gegenbeispiel zu der Annahme, eine richtige Entdeckung sei damit auch schon anerkannt.

Die Arbeit steht in einer Akademiezeitschrift aus Dänemark, die international nur wenige Leser beachten, und sie ist zudem auf Dänisch verfasst. Fast ein Jahrhundert lang bleibt sie unbeachtet. Erst gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts wird sie durch die dänische Mathematikgeschichtsforschung wiederentdeckt. 1897 erscheint eine französische Übersetzung. Nun wird auch sein Vorrang international anerkannt.

1806 lässt ein anderer, unabhängig davon, ein kleines Buch drucken, das diese Größen geometrisch in der Ebene darstellt. Auch er ist kein berühmter Hochschulprofessor. Die erste Ausgabe erscheint privat und in kleinem Umfang; auch sie löst zunächst keinen unmittelbaren Wirbel aus. Um 1813 gelangen die betreffenden Arbeiten durch mathematische Annalen erneut in die öffentliche Diskussion. Auf diesem Weg findet seine Methode direkter als die seines Vorgängers Eingang in die mathematischen Netzwerke Frankreichs.

Bei Gauß liegt der Fall am kompliziertesten. Schon seine Dissertation von 1799 nähert sich bei der Behandlung des Fundamentalsatzes der Algebra dieser Welt, und die zugehörige geometrische Anschauung besitzt er offenkundig schon früh. Seine ausdrückliche öffentliche Erklärung folgt jedoch erst 1831. Darin macht er Objekte, die sich als Summe einer reellen ganzen Zahl und des Produkts einer weiteren reellen ganzen Zahl mit der imaginären Einheit schreiben lassen, zu Gegenständen der Arithmetik selbst.

Hamilton schlägt in den 1830er Jahren einen Weg ein, der die geometrische Deutung ergänzt. Statt zu fragen, wo die Quadratwurzel aus minus eins eigentlich existiert, könnte man solche Zahlen von Anfang an als Paare aus zwei reellen Zahlen definieren.

Um 1833 stellt er diese Idee vor; 1837 veröffentlicht er ihre ausgearbeitete Fassung. Zwei solcher Zahlenpaare addiert man, indem man jeweils die ersten und die zweiten Bestandteile addiert. Die Multiplikation wird als eine besondere Verknüpfung von Paaren definiert, bei der die Einheit der zweiten Richtung, mit sich selbst multipliziert, genau minus eins ergibt. Die sogenannte imaginäre Einheit muss damit nicht zuvor als rätselhafte Quadratwurzel existieren. Sie ist einfach ein bestimmtes Element im System der Zahlenpaare.

Das reicht eine Schicht tiefer, als eine senkrechte Achse zu zeichnen. Die Geometrie zeigt, wie man das Objekt ansehen kann. Diese Konstruktion zeigt, dass man es allein aus den bereits anerkannten reellen Zahlen und ausdrücklich festgelegten Rechenregeln aufbauen kann. War die geometrische Erklärung nun Ursache der Anerkennung oder deren Folge? Die Frage lohnt sich, denn populäre Erzählungen verlaufen fast ausnahmslos so: Niemand glaubte daran, dann zeichnete jemand die komplexe Ebene, und von da an glaubten alle daran.

Schon der zeitliche Ablauf widerlegt diese geradlinige Kausalgeschichte. Bombelli rechnete 1572 bereits damit. Wallis versuchte 1685 eine Erklärung. Im achtzehnten Jahrhundert gehörten die Objekte längst zu den zentralen Operationen der Trigonometrie und Analysis. All das geschah, bevor die vollständige Darstellung in der Ebene vorlag. Umgekehrt zeigt der Vermesser, dass das Zeichnen allein nicht automatisch Anerkennung erzeugt: Seine vollständige geometrische Erklärung wurde fast ein Jahrhundert lang übersehen.

Näher an der heutigen mathematikhistorischen Forschung liegt daher folgende Aussage: Die Geometrisierung war sowohl Ergebnis des langen Gebrauchs als auch einer der Gründe für die weitere Anerkennung. Zuerst standen mehr als zweihundert Jahre, in denen sich damit rechnen ließ. Erst nach und nach kamen mehrere Antworten hinzu: Man kann es zeichnen; man kann es definieren; man kann es als Mitglied eines vollständigen Zahlensystems begreifen. Die Reihenfolge ähnelt fast genau jener bei den negativen Zahlen im vorigen Essay. Nur dauert alles länger, und die zweihundert Jahre dazwischen sind dunkler.

Für negative Zahlen standen Erklärungen durch Schulden und Richtungen bereits zur Verfügung. Auch für nichtreelle Größen gab es in diesen gut zweihundert Jahren geometrische Deutungsversuche. Eine breit anerkannte und systematisch stimmige Erklärung war daraus jedoch noch nicht geworden.

7 Direkt, invers, lateral

1831 beklagt Gauß in jener Arbeit einen Missstand.

Hätte man, so schreibt er sinngemäß, anstelle der unbeholfenen Wörter positiv, negativ, imaginär und sogar unmöglich die drei Grundrichtungen etwa als direkte, inverse und laterale Einheiten aufgefasst, wäre die geheimnisvolle Dunkelheit um diese Objekte kaum entstanden.

Mit anderen Worten: 1831 weist einer der angesehensten Mathematiker Europas bereits darauf hin, dass ein Teil des Problems in den Namen liegt. Die Größen sind nicht einfach zu absurd. Ihre von Mathematikern vergebenen Namen haben ihnen die ganze Zeit Absurdität nachgesagt.

Im letzten Abschnitt des vorigen Essays war davon die Rede, dass viele Sprachen negative Zahlen zunächst nicht mit einem neutralen Kategorienamen bezeichneten. Ihre Namen kamen von Verlust, Mangel, Schuld, Verneinung, Abzug oder Gegenrichtung. Später erhielten die Objekte denselben formalen Rang wie andere Zahlen. Die alten Namen blieben.

Der Name, um den es in diesem Essay geht, fällt noch schärfer aus als jener im vorigen, denn er sagt unverblümt, das Ding sei bloß ausgedacht. Dabei müssen die einzelnen Bezeichnungen auseinandergehalten werden; sie gehören nicht wahllos auf eine gemeinsame Liste. „Sophistisch“ steht bei Cardano 1545. Bombelli verwendet später dasselbe Wort, wenn er erklärt, ihm sei die Sache zunächst eher wie Sophisterei vorgekommen. „Imaginär“ steht bei Descartes 1637. Dies ist der Name, der sich tatsächlich festsetzt.

„Unmöglich“ wird im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert nach und nach geläufig. Wenn Gauß 1831 auf die ältere Terminologie zurückblickt, nennt er „imaginär“ und „sogar unmöglich“ nebeneinander als alte Namen, die Dunkelheit erzeugt haben. Bei „absurd“ ist Vorsicht geboten. In jener Tradition, die der vorige Essay behandelt hat, meinte „absurde Zahlen“ vor allem negative Zahlen oder negative Lösungen, nicht rein imaginäre Zahlen im ausgereiften Sinn des Begriffs. Wer behauptet, Mathematiker des fünfzehnten Jahrhunderts hätten imaginäre Zahlen „absurde Zahlen“ genannt, schiebt der Anerkennungsgeschichte dieses Essays unbemerkt diejenige der negativen Zahlen unter.

Aus eben dieser Unterscheidung lässt sich jedoch eine treffende historische Aussage gewinnen: Solange selbst negative Zahlen noch oft als absurd galten, gab es für ihre Quadratwurzeln erst recht keinen vorgefertigten Platz. Warum wurde der Name später nicht geändert?

Kein Mathematikerkongress hat darüber abgestimmt, diesen schlechten Namen beizubehalten. Plausibler ist die Trägheit der Terminologie: Als man die philosophische Irreführung des Namens vollständig erkannte, war er längst in Lehrbüchern vieler Länder, in den Paaren Realteil und Imaginärteil, reelle und imaginäre Achse sowie in einer Fülle von Fachliteratur verankert. Sobald sich ein Fachwort etabliert hat, gehorcht es gewöhnlich nicht mehr uneingeschränkt der Bedeutung seiner Wörter im Alltag.

Zudem war eine Umbenennung nie eine mathematische Aufgabe. Dafür hätte man Lehrbücher, Zeichen und bereits aufeinander abgestimmte Begriffspaare in Dutzenden Sprachen ändern müssen. Der Gewinn wäre die Beseitigung einer Irreführung gewesen, der Preis der Umbau eines längst funktionierenden Systems. Niemand machte dieses Geschäft. Auf der chinesischen Seite muss dieser Essay allerdings eine Lücke offenlassen.

In den überprüfbaren Quellen findet sich kein hinreichender Beleg dafür, welcher chinesische Übersetzer in welchem Jahr und in welchem Buch erstmals die Bezeichnung 虚数 festlegte.

Sicher sagen lässt sich nur: Im modernen Chinesisch steht 虚数, imaginäre Zahl, dem Ausdruck 实数, reelle Zahl, gegenüber. Die japanische Bezeichnung wird mit denselben Zeichen geschrieben. In der Zeit der späten Qing und der Meiji-Ära wanderten zahlreiche Begriffe westlichen Wissens in beide Richtungen zwischen China und Japan.

Aus der gleichen Schreibweise allein folgt jedoch nicht, dass das Wort zwingend zuerst in Japan geprägt und dann nach China übernommen wurde. Schon Mitte des neunzehnten Jahrhunderts wurden in China Werke der westlichen Algebra übersetzt. Die mathematischen Übersetzungen jener Männer, von denen im vorigen Essay die Rede war, entstanden vor der massenhaften Einfuhr neuer japanischer Fachwörter in der späten Qing-Zeit. Gerade bei diesem Begriff müsste man deshalb Buch für Buch die Erstausgaben prüfen. Seine Herkunft lässt sich nicht rückwärts daraus erschließen, dass er wie ein japanisches Wort aus chinesischen Zeichen aussieht. Im vorigen Essay blieben zwei ähnliche Lücken offen: ob es konkurrierende Übersetzungen für negative Zahlen gab und woher die Bezeichnung für die Gegenzahl stammt.

Bei den vier Leerstellen in diesen beiden Essays ist es besser, „nicht nachweisbar“ zu schreiben, als eine Herkunftsgeschichte einzusetzen, die nur vollständig aussieht.

Eines lässt sich immerhin sagen. Das Zeichen 虚, xū, geht über das bloß Vorgestellte hinaus. In ihm schwingen die klassisch-chinesischen Bedeutungen leer, nicht wirklich und nicht tatsächlich vorhanden mit. Die abwertende Geschichte des europäischen Ausgangsworts ist in diesem Zeichen erstaunlich genau angekommen. Eine ungenaue Übersetzung nutzt sich im Gebrauch gewöhnlich ab und verschwindet. Diese war so genau, dass sie den Fehler des Originals gleich mitübersetzte.

8 Hindurchgehen

Legt man diesen Essay neben den vorigen, fällt auf, wie grundverschieden die beiden Objekte in die Mathematik gelangten.

Die negative Zahl wurde hineingeschoben. Sie tauchte in Zwischenschritten von Rechenverfahren ganz von selbst auf, hatte in den Geschäftsbüchern eine entsprechende Wirklichkeit und konnte bei Richtungen auf eine vorhandene Gegenseite verweisen. Umstritten war, ob sie als Zahl gelten durfte, nicht, ob sie nützlich war. Dieses andere Objekt dagegen wurde der Mathematik aufgezwungen.

Niemand wollte es. Nirgends entsprach ihm eine Größe. Als Descartes ihm seinen Namen gab, sagte er ausdrücklich genau das: Es gebe keine Größe, die ihm entspreche.

Doch bei den zuvor betrachteten irreduziblen kubischen Gleichungen waren alle drei Lösungen reell. Suchte man sie über Wurzelausdrücke, musste der Weg hier hindurchführen. Die imaginäre Zahl half den Mathematikern nicht etwa dabei, eine unwirkliche Wurzel zu finden. Im Gegenteil: Sie trat zunächst als Durchgang auf dem Weg zu drei reellen Wurzeln in Erscheinung. Diese Gestalt sollten wir uns merken. Sie unterscheidet sich von allen bisherigen.

Die Lücke im dritten Essay steckte in einer Zeichnung, die auf den ersten Blick alles zeigte. Die Selbstauskunft im vierten hatte der Beteiligte von sich aus niedergeschrieben. Gegen das Objekt im siebten gab es Widerstand und Verteidigung, und der Widerstand hatte Argumente.

Das Ding in diesem Essay gleicht einer Zwischenstation, deren Status noch offen ist. Ausgerechnet der Weg über Wurzelausdrücke führt hier hindurch. Das Objekt des vorigen Essays konnte wenigstens auf eine Schuld zeigen und sagen: Das bin ich. Dieses kann auf nichts zeigen. Und die Zwischenstation liegt weder am Anfang noch am Ziel. Sie liegt mitten auf dem Weg. Man geht hinein und muss wieder hinaus; sobald man draußen ist, ist sie verschwunden.

Das macht ihre Verteidigung schwieriger als die der negativen Zahlen. Eine negative Zahl darf wenigstens in der Antwort stehen bleiben, sodass jemand auf sie zeigen und fragen kann: Was ist das? Dieses Ding bleibt nicht einmal. Wie soll man die Existenz von etwas begründen, das nur unterwegs auftaucht und am Ende von selbst verschwindet? Gut zweihundert Jahre lang gab es immer neue Teilerklärungen, und immer mehr Mathematiker arbeiteten damit. Doch systematische Erklärung und allgemeine Anerkennung kamen nicht zur selben Zeit. In den drei Lösungen am Ende findet sich keine Spur mehr davon. Mehr als zweihundert Jahre wurde es benutzt. Auch die Erklärungen wuchsen nach und nach. Nur weil der eine unbesorgt damit rechnete, musste der andere es noch lange nicht ebenso tun.

Man kann damit rechnen. Es kommt das Richtige heraus. Auch beim wiederholten Rechnen kommt das Richtige heraus. Doch nach der Rechnung bleibt die Frage: Was ist es eigentlich? Mehr als zweihundert Jahre lang eilten die Rechnungen voraus. Erklärung und Anerkennung hielten nicht im selben Schritt mit.

Am Ende des vorigen Essays stand ein Gedanke: Die Mathematik schafft zunächst Dinge, mit denen sich rechnen lässt, die sich aber nicht erklären lassen; erst danach erweitert sie rückblickend ihre Definitionen, um diese Dinge einzulassen. Der Mann, der das sagte, lebte im neunzehnten Jahrhundert. Sein bestes Beispiel liegt genau hier. Zuerst gab Bombelli dem Ding eine Multiplikationstafel und zeigte, dass es wenigstens nicht bei jeder Gelegenheit zusammenbrach. Derselbe Mann hielt tagsüber in Sumpfgebieten Grundstücksgrenzen fest. Dann versuchte jemand, es zu zeichnen. Aber den Mann, der es zeichnete, übersah man hundert Jahre lang.

Danach definierte es jemand als ein Paar aus zwei reellen Zahlen. Nun musste es nicht zuerst als rätselhafte Quadratwurzel existieren.

Auch darauf wurde hingewiesen: Ein Teil der Schwierigkeit lag im Namen. Und dieser Name ist bis heute nicht geändert worden. Jeder Schüler, der zum ersten Mal von reellen und imaginären Zahlen hört, bekommt durch die Wörter zunächst einen Hinweis mitgeliefert: Die einen sind wirklich, die anderen nicht. Dieser Hinweis stammt aus dem siebzehnten Jahrhundert, und damals war er tatsächlich so gemeint. Nur meinte derjenige, der das sagte, es gebe keine entsprechende Größe. Der Schüler hört: Es existiert nicht. Zwischen beidem liegen dreihundert Jahre Mathematik.

Mit Zahlen wird weitergerechnet. Was aber als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend ausgerechnet worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und strittigen Deutungen im Text. Sammlungsnachweise, antike literarische Berichte und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Tartaglia und Cardano: Übersetzungen des ursprünglichen Schriftwechsels
• Biografisches Lexikon der Wissenschaftler: Bombelli
• Bombellis Algebra: übersetzte Texte
• Mathematikhistorische Untersuchung zu Wantzels Arbeiten
• Universität St Andrews: Caspar Wessel
• Universität St Andrews: Jean-Robert Argand