数学 · 06 / 25
伝わること、名づけること
原本は失われ、人の名はアルゴリズムになった。言葉が続いているからといって、それが指すものや意味まで変わらなかったとは限らない。
一 一人の男が死んだ
一人の男が死んだ。息子は二人。男は遺言で、相続人ではない第三者に遺産の三分の一を譲ると定めていた。手元には現金十ディルハムがあり、息子の一人には十ディルハムを貸していた。さて、それぞれの取り分はいくらになるか。
厄介なのは足し算や割り算ではない。息子が父親に返していない金は、遺産に含まれる一方で、その息子の相続分から差し引かなければならない。第三者に渡す三分の一を、返済の前に計算するのか、後に計算するのかも、遺産総額をいくらとするかで変わる。その総額自体が、貸した金を回収済みとみなすかどうかに左右される。条件が互いに食い込み、どこから手をつけても先へ進めない。
そこで、まだわからない量にひとまず名を与える。「物」と呼ぶことにする。それぞれの条件に従って数量の関係を書き出し、両辺にその「物」を置いて、最後に値を求める。あの本がやっているのは、こういうことだ。抽象的な学問を説こうとしているのではない。一目では決着のつかない財産分けを扱っている。
しかも、当時はこんな財産分けが毎日のようにあった。人は死ぬ。借金を残す。遺言を書く。法で定められた取り分は動かせない。計算がつかなければ訴訟になる。こうした問題は、数学書の巻末につけ足された応用問題ではなかった。九世紀のあの『代数学』では、これが本体をなしていた。
息子たちにお金を分けるだけの、小学生向けの問題でもない。相続人以外への遺贈があり、債務がある。そもそも遺産総額がまだわからない場合もあれば、相続人のほうが死者に金を借りている場合もある。夫、妻、母、娘、息子にはそれぞれ法定の相続分があり、誰か一人の相続分を基準に遺贈額を決めるという条件まで出てくる。
1831年の英訳本でいえば、訳文は174ページまで続き、その後の三十数ページは訳者ローゼン自身の注である。遺産を論じる部分は86ページから始まる。訳文の、ほぼちょうど真ん中だ。つまり、現存するこの本の後半は、その大半が遺産、遺贈、相続の計算に費やされている。
だからといって、九世紀の写本の紙の半分に相続法が書かれていた、と言ってはいけない。このページ配分は十九世紀の翻訳書のものだからだ。それでも内容上の重みを測る目安としては、十分にものを言う。そもそも著者自身が、この本を書いた理由を述べている。
序文ではまず神と統治者を讃え、そのうえで、カリフのマアムーンに勧められ、二つの計算操作を説く簡潔な書物をまとめたと記す。算術のうち、とりわけ平易で役に立つ部分だけを収めたいという。相続、遺贈、財産分割、訴訟、商取引、土地の測量、水路の開削、そのほかの幾何学的な計算に、人々が必要とするからである。自分は新しい学問を創設するのだ、という構えではない。簡明で実用的な計算の知識を整理する。それが著者の掲げた仕事だった。
したがって、マアムーンがフワーリズミーに代数の発明を命じた、というおなじみの説明は成り立たない。序文が裏づけるのは、庇護者との関係と、実用を目指すという方針だ。それ以前にはこの学問がなかったとも、自分が最初に生み出したとも書いていない。
この本はイスラームの相続法と直接つながっている。だが、法学の判例集ではない。数学の著者は、あらかじめ定められた法定相続分、遺贈の条件、債務の条件を出発点として受け取り、そこから生じる数値の関係を解いていく。
ローゼンは、いくつかの問題に添えた注で、代数というより法律に属する問題もある、とさえ指摘している。その一言だけでも、この本の中では数学と法学の境目が、現代の学問分類ほどきれいに引かれていないことがわかる。
第一回で、三人に羊を分けるだけなら、必ずしも数字を書き記す必要はない、と書いた。記号をどうしても必要にするのは、その場にいない人の存在と、時間をまたぐやり取りだ。ここでその場にいない人とは、死者である。
ところが、この本が最後に世界へ残したものは、遺産とは関係がない。代数との関係も、半分だけだ。
二つの言葉は、やがて自分を生んだものより、はるかに長く生きることになる。一方は、今日ではほとんど誰もが毎日のように使っているのに、それがかつて誰だったのかを、大多数の人が知らない。もう一方は学問の名になったが、その学問が今日扱う事柄は、この本の六種類の関係からずいぶん遠くへ来ている。残ったのは、二つの言葉だった。
今回は、言葉はどのように生き延び、その背後にあったものはどのように失われたのかをたどる。
二 名前の中の土地
フワーリズミー本人について伝わる資料は、驚くほど少ない。確かな出生記録はない。同時代の伝記も、知られている墓碑銘も、弟子が書き残した生涯の記録もない。自伝的な記述だと確認できる一節さえない。現代では生没年を780年頃から850年頃とすることが多いが、誕生と死の両端に史料が一本ずつあるわけではない。活動した時期から逆算し、便宜上置いた年である。
この種の逆算は、この連載ですでに何度か出てきた。第四回では、アルキメデスの生年を計算したのが十二世紀の人物だったことに触れた。第五回では、劉徽の生没年が現代の一般向けの文章で必要以上に細かく書かれていると述べた。型は同じだ。確かな手がかりが一つあり、後世の話を足すと、精密そうな数字ができあがる。フワーリズミーについて慎重に言うなら、八世紀後半頃に生まれ、九世紀前半に活動した。没年は840年代以降かもしれないが、850年と絞り込む根拠はない。
彼の名の末尾に置かれる「フワーリズミー」は、土地とのつながりを表す名で、文字どおりには「ホラズムの人」を意味する。ホラズムとの強い関係を示す証拠なのは間違いない。だが、地名に由来する名は出生証明書ではない。
比較的はっきりした伝記的な記述が現れる最初期の資料は、バグダードの書籍商で書誌学者でもあったイブン・アン＝ナディームが987年頃に編んだ書目である。第三回でユークリッドの著作の伝来を追ったときにも、この書目を頼りにした。フワーリズミーが主に活動した820年代から830年代までの時期からは、およそ150年から170年も隔たっている。
別の方向を指す材料もある。十世紀初めに没した歴史家が伝える長い呼称には、さらに二つの付加名が含まれており、その一つはバグダード近郊の土地を指しうる。これを根拠に、実際にはバグダード周辺で生まれた可能性も排除できないとする研究者がいる。一方、付加名をつなぎ合わせて、現代の出生証明書のように扱うこと自体を戒める見解もある。
つまり、彼はペルシアの数学者で、780年、現在のウズベキスタンにあるヒヴァで生まれた、という広く流布した説明は、史料から言える範囲をはるかに越えて細かすぎる。著作についても三つに分けて考える必要がある。本人のものと確定できる著作。書目には名があるが失われた著作。そして後世になって彼の作とされた著作だ。現存する『代数学』にはアラビア語の伝本があるものの、著者と同時代の写本ではない。
これも、この連載で繰り返し出会う事情である。第三回の最重要のギリシア語写本は九世紀から十世紀の筆写だった。第四回の重ね書き写本は十世紀に書き写されたものだった。第五回の『九章算術』は、清代の人々が類書から拾い集めて復元した本文に頼らざるをえない。十九世紀に英訳したローゼンが底本に使った写本は1342年のもので、著者からおよそ五百年を隔てている。ローゼン自身の説明によれば、文字は明瞭だが点の符号がしばしば欠け、脱落も重複もあり、欄外の書き込みもあった。
天文表は九世紀の原版が失われ、後にアンダルスの天文学者が改訂した版を経て、ラテン語訳に保存された。地理書にはアラビア語の写本が残っている。アストロラーベ、日時計、歴史についての数点は、書目に題名だけがあり、本はない。とりわけ徹底して失われているのが、インドの計算法を論じた一冊だ。アラビア語の原本は、まったく残っていない。
残っているのは、互いに関係を持つ四系統ほどのラテン語本文である。それも、信頼できる逐語訳が四つあるという話ではない。書き換え、要約、翻訳が入り交じってできた、一群のテキストなのだ。
したがって、彼がインドの数字をどう教えたか、その細部を後世の人が読むとき、目の前にあるのは九世紀のアラビア語の本ではない。約三百年後、ラテン語世界で書き直されたものである。この違いは省略してはいけない。
もっとはっきり言おう。今、どの本でフワーリズミーによるインド数字の紹介を読んでも、そこに引かれているのは彼自身が書いた文ではない。三百年後の別の人々が、別の言語で組み立て直した文章だ。しかも、残る複数の本文同士ですら一致していない。
前回は、劉徽の注にあった図が失われ、今見る立体図の一部は清代の人が文章をもとに補ったものだと書いた。ここでは、失われ方がさらに徹底している。図がないのではない。本が丸ごとなく、他人が伝え直したものだけが残っている。
三 知恵の館
彼が働いた場所を考える前に、いったん壊しておくべき絵がある。現代の挿絵に描かれた「知恵の館」には、大広間、実験室、翻訳部門、天文台があり、教授のポストも、海外からの客員研究者も、一本化された予算もある。九世紀の資料には、そんな組織の規程は残っていない。
ここでは少し立ち止まりたい。この絵は、あまりに使い勝手がよいからだ。実際に起きた知の爆発に、目に見える舞台を用意してくれる。しかも、その舞台は現代人が研究機関に思い描く姿にぴたりと合う。これが一つあるだけで、何十人もの庇護者と何十人もの翻訳者にまたがり、百年以上かけて進んだ過程が、一棟の建物の中の出来事に収まってしまう。
現存するのは、「知恵の家」あるいは「知恵の蔵書所」に関わる人々や書籍管理についての断片的な記録だ。ある程度まとまった回顧的な情報が得られるのは、十世紀末のあの書目になってからである。創設を命じた勅令は伝わっていない。
有力な、最小限に絞った解釈によれば、アッバース朝初期のこの組織は、まず王室の蔵書と文書を扱う機関だった。サーサーン朝宮廷の収蔵や、ペルシア語資料の翻訳の伝統を受け継いでいた可能性が高い。八、九世紀のギリシア語からアラビア語への大規模な翻訳運動が、ここを一元的な翻訳所として進められたという証拠はない。この見方を最も力強く支えるのは、九世紀のある翻訳者が書いた長い手紙である。
その翻訳者は、自分と同業者たちがギリシアの医学著述家の作品を訳してきた経緯を振り返り、依頼主、旧訳、ギリシア語写本、訳者について詳しく述べている。複数の写本をどう探し、状態の悪い本文を比較し、訳し直したかにまで話が及ぶ。翻訳の実態を伝える現存の一次資料として、これ以上ないほど優れたものだ。それなのに、初めから終わりまで、知恵の館を翻訳の総本部としては描いていない。この最小限の解釈の強みは、知恵の館など存在しなかった、と言い張ることにはない。
存在しなかった、というのは強すぎる主張であり、そもそもそこまで言う必要もない。根拠を持って言えるのは、もっと範囲の狭い四点だ。王室の蔵書所はあった。それに関わる管理者もいた。ペルシアの資料の翻訳や学術活動もあった。ただし、ギリシア語からアラビア語への翻訳運動を独占した、あるいは一括して管理したと示す証拠はない。
八、九世紀の史料に実際に見えるのは、複数の庇護のつながりが並び立つ姿である。カリフの宮廷、有力な大臣の一族、三兄弟からなる民間の出資者、医師の家系、官僚、天文学者、そして裕福な個人。それぞれが翻訳者を雇い、写本を買い、あるいは写本を探す人を送り出していた。
現代の研究院とはずいぶん違う。むしろ市場に近い。依頼は具体的で、誰かがある本を欲しがり、ある人に翻訳を頼み、報酬を話し合う。翻訳者も翻訳だけで食べていたわけではない。医師であり、天文学者であり、書記であり、教師であり、宮廷に仕える者でもあった。
宗教上の帰属と、知識を扱う言語も重ならない。キリスト教徒がムスリムの官僚に頼まれ、異教徒であるギリシアの医師の本を、ギリシア語からシリア語やアラビア語に訳すことができた。
この見方への異論も、巨大な科学アカデミー像を復活させようとするものではない。より広く機能を認める立場は、史料が実際に何人かの学者、天文学者、蔵書管理者を王室のコレクションと結びつけている点を指摘する。また、建物も文書も行政資料も大量に失われた以上、現存記録がないというだけで、共同の仕事場が絶対になかったとは導けない。
慎重に折り合いをつけるなら、王室の蔵書・文書機関として実在した可能性は高く、学術的な機能も持ちえた、となる。だが、マアムーンが創設し、各国の科学者数百人が毎日集まって、統一的に翻訳と研究を進めたという現代の学院モデルには、それに見合う一次資料がない。さらに便利な話もある。カリフが使節をビザンツへ送り、古代ギリシアの科学書を求め、戦利品のように運び帰らせたという話だ。
宮廷が外国語の書物を積極的に集めたこと自体は、広く認められている。しかし、後世の話に出てくる劇的な細部は、一つずつ確かめなければならない。それらを継ぎ合わせて、中央に工程表のある国家事業に仕立てることはできない。報酬について最も有名なのは、マアムーンが翻訳原稿の重さを量り、同じ重さの金を訳者に与えたという話である。現在知られるそのまとまった記述は、十三世紀の医学史家の書物に由来する。成立は1245年頃。マアムーンが死んだ833年から、約410年も後だ。
翻訳の価値を後世がどう記憶したか、その文化的な記憶としてなら読める。給与台帳としては読めない。九世紀の支払いの領収書があるわけではない。
一流の翻訳が当時きわめて高価だった可能性は、確かに別の資料からも支えられる。だが、厚い報酬が払われたかもしれないという主張と、原稿を正確に量って同じ重さの金と引き換えたという主張は、証明すべき水準が違う。
四 六つの型
そろそろ、本そのものを開こう。フワーリズミーは基本となる対象を三つに分けた。平方、根すなわち「物」、そして数である。そのうえで、解くべき関係を六つの型にまとめている。
平方が根に等しい。平方が数に等しい。根が数に等しい。平方と根の和が数に等しい。平方と数の和が根に等しい。根と数の和が平方に等しい。今なら二次方程式として一つにまとめ、三つの係数に正、負、ゼロを認めれば、一つの式で済む。彼には六つ必要だった。
教えるために、わざとくどく分けたのではない。彼の扱いでは、負の量はまだ、方程式のどちら側にでも自由に置いておける正当な係数ではなかった。ゼロという係数も、現代と同じ地位を持っていなかった。
そこで二つの操作が要る。その二つが、まさに書名になっている。
第一の操作では、差し引かれている量、欠けている量を補って回復させ、両辺に正の量だけが残るようにする。第二の操作では、両辺にある同種の正の量を互いに差し引き、つり合わせる。二つを済ませると、関係はすべて正の量でできた六つの正当な形のどれかに収まる。六分類は分類好きの産物ではない。彼の数と量の捉え方から、直接生じたものだ。この点はもう少し説明しておきたい。この本を読む鍵だからである。
後世の目には、この六つはいかにも回りくどく映る。ただし、ここに表れているのは、この本が何を代数の正当な対象として置いたかであって、時代全体の数の理解を一括して示すものではない。この解法の枠内では、欠けた量を負の係数のまま、好きな側に残しておくことはできない。まず反対側へ移し、「ある」量に変えてから計算しなければならない。そうしたものが、いつ、何をきっかけに、それ自体で立つことをようやく許されるのか。次回で扱うのは、その問題だ。
三つの複合型については、幾何学的な論証も示されている。平方を表す正方形に、根の何倍かを表す長方形を組み合わせ、欠けた小さな正方形を補う。面積が等しいことから、解を求める規則を導くのである。
この図を証明と呼ぶかどうかには、研究者の間で力点の違いがある。一方は、それが数学的な幾何論証であることを重視し、この本をユークリッド幾何学と相互に作用した伝統の中へ置く。もう一方は、彼の代数の中心にあるのは、名称、対象、操作を言葉で組み立てた計算法だと強調する。図は個々の解法がなぜ働くのかを説明するが、それによって本全体が、定義、公理、命題の順に構成された理論になるわけではない、という見方だ。
二つの説明が本当に争っているのは、論理的な理由があるかないかというより、何を証明と呼ぶべきかであることが多い。
定義、公準、命題を順にたどって演繹するものだけを証明と決めてしまえば、こうした図形による論証は外へ追い出される。反対に、どんな説明も証明と呼べば、書き方の違いが消えてしまう。前回も同じ形の論争を扱った。あちらの主役は三世紀の注釈者だった。言語と世紀は変わったが、問題は変わっていない。もう一つ、はっきりさせておこう。この本には、現代のような文字変数、演算記号、指数の体系はない。本文は数量と操作を言葉で述べている。
このことは、思った以上に大きい。記号のない代数では、手順を一つ残らず文章にしなければならない。ある量をどこに置き、何を掛け、何で割り、その後に何が残るかを見る。読んでいるのは式というより作業の手引きだ。前回見た中国の「術」も、このように書かれていた。両者の書き方は、後世の人が想像するより近い。
平方には平方を表す語があり、未知量ないし根にもそれを表す語がある。数も操作も、すべて語として記される。十九世紀に底本を調べたローゼンは、本文中の数は常に文字で表されている、とわざわざ断っている。数字が出てくるのは一部の図と少数の欄外注だけであり、その欄外注も原著者のものとは限らない。
だから、文字と上付きの指数を使った式を現代の組版で刷り、脇に「フワーリズミーの方程式」と添えるとき、そこに作り出される見た目は、原文にはまったくなかったものだ。
揚げ足を取っているのではない。記号があれば構造を一目でつかめる。だが、構造が一目で見えるようになったのは、後のことだ。古い本を現代の記号で組み直すと、数百年後に少しずつ整った道具一式を、九世紀の著者の手へ、そっと差し入れてしまいかねない。
五 たどれない系譜
では、この仕組みはどこから来たのか。
ディオファントスの書物は、確定方程式と不定方程式の問題を扱い、独自の省略記号と問題の伝統を持っている。二十世紀には、失われたと考えられていた巻の一部が、アラビア語訳で保存されていることがわかった。訳者は九世紀のある学者とするのが一般的だ。その翻訳はおおむね『代数学』より後と考えられ、少なくとも、それに先立つと立証できる本文ではない。
したがって、フワーリズミーがディオファントスを読んだと示す直接の証拠はない。形が似ているからといって、写本の伝来をたどる鎖の代わりにはならない。
七世紀のインド数学には、ゼロも負の量もあり、二次方程式や不定方程式を扱う規則もある。アッバース朝期にインドの天文学と数学の資料がアラビア語へ入った証拠は、確かに存在する。フワーリズミー自身の天文表と、あのインドの計算法を論じた本は、とりわけこの環境の中に置かれる。
しかし、六種類の方程式をインドのある章から必ず写したはずだという話にも、それを証明する本文の連なりはない。インドの伝統との結びつきが最も明瞭なのは、算術、数字、天文学である。代数の個々の項目が、どのインドの本のどの部分に由来するかとなると、証拠はずっと弱くなる。
さらにさかのぼれば、第一回で扱った粘土板には、今日なら二次の関係に書き換えられる問題を、面積の関係を使って解く例が確かにある。測量と幾何学的な計算のこの伝統が、後の実用代数と構造上の親縁性を持つことを、とりわけ重視する研究者もいる。
だが、紀元前二千年紀の粘土板と九世紀のバグダードの間には、二千年以上が横たわる。この粘土板の方法が誰に伝わったのかを教えてくれる、切れ目のない写本の鎖は、今のところない。これは歴史を比較し、伝統を復元する問題であって、直接借用したと立証済みの話ではない。三本の手がかりには共通点がある。どれも構造は対応する。どれも途中の写本が欠けている。
構造が似ていることは、見ればわかる。誰が誰を読んだかは、文献で示す必要がある。数学史では、この二つがしばしば混ざる。数学的な構造の類似が、あまりに目を引くからだ。
学界では長く、説明の重点が二つに分かれてきた。一方は、ギリシア数学、とりわけユークリッド幾何学の概念がアラビア代数に入り、その理論化を促したことを強調する。もう一方は、代数を無理にギリシア理論の子孫へ仕立てることを警戒し、実用的な計算の伝統、インド算術、そしてアラビア語世界自身による概念の組み替えを重視する。
今、最も確かに言えるのは、代数の起源はギリシア、インド、バビロニアのどれか一つだ、ということではない。この本は複数の伝統が合流する環境で生まれたが、そこにある六型の代数に、一本だけの家系図は描けない、ということだ。後の時代を見るときにも同じ注意が要る。九世紀から十三世紀まで、この先には少なくともさらに四百年ある。
彼に近い時代のある学者は、この方程式の伝統をはっきり受け継ぎつつ、無理量やいっそう複雑な問題へ踏み込み、その著作は後にラテン語の数学世界へ入った。十世紀末から十一世紀初めのある学者は、冪、単項式、多項式の演算そのものへ、次第に重点を移した。代数の操作が、問題のたびに幾何学的な説明を必要としなくなっていく。十二世紀のある学者は、多項式の加減乗除と係数の計算を体系的に進め、正負の係数を表に並べた。同じ頃のウマル・ハイヤーム、第三回で平行線を研究していたあの人は、三次方程式を体系的に分類し、円錐曲線の交点を使って正の解を構成した。ただし、一般的な根号による解の公式が得られたとは主張していない。さらに後の学者は、三次方程式の解の存在条件、極値との関係、数値的な近似を、もっと細かく分析した。
この四百年を、フワーリズミーが代数を発明し、その後ヨーロッパが受け継いだ、と縮めてしまうと、ちょうど代数の対象そのものが最も大きく変わった時期を消すことになる。なお、今挙げた人々の生没年も、その多くはおよその年にすぎない。今回の話では、ほとんどどこにでも当てはまる注意である。
六 二度の翻訳
ギリシア語とシリア語からアラビア語へ向かった第一の大きな流れは、おおむね八世紀半ばに始まり、十世紀後半には収束へ向かった。
元になった言語はギリシア語だけではない。ギリシアの科学、哲学、医学の多くには、すでにシリア語の伝統があり、そこからアラビア語へ入った。ギリシア語から直接訳されたものもある。同時に、中期ペルシア語の資料やインドの資料も流入していた。「翻訳所」というと、決まった大広間を想像しやすい。実際には、家族での協働も、個人からの依頼も、宮廷の企画も、旧訳の校訂もあった。
何を訳すかを決める基準は、ギリシア文献を全部保存しよう、というものでは断じてなかった。医学、論理学、哲学、数学、天文学、占星術、自然科学、実用技術に大きく偏っていた。ギリシアの演劇、抒情詩、歴史書の大半は、同じ規模では訳されなかった。この選択にも、一つの判断基準がある。どの本には金を払って訳す価値があり、どの本にはないのか。それが、後の人々に読めるギリシアの範囲を決めた。決めたのは、何かの委員会ではない。何十人もの庇護者が、それぞれの理由で、一冊ずつ選んだのだ。
翻訳書全体の何パーセントを数学と天文学が占めたかについては、統一された信頼できる数字はない。分母が定まらないからである。作品の数で数えるのか、巻数か、別個の翻訳の数か、写本の数か。一冊の本が三度訳し直されることもあれば、一巻の写本に十編の短い著作が収まることもある。どの書目を使い、どう数えるかを先に決めないかぎり、翻訳運動の何パーセントが数学だったという言い方は、一つとして成り立たない。
第二の流れは、アラビア語からラテン語へ向かった。1085年にキリスト教勢力がトレドを獲得すると、そこにあった大量のアラビア語書籍と、多言語を使う住民が、十二世紀の翻訳を可能にした。最も多くを訳した人物の一人が、北イタリア出身のクレモナのゲラルドで、1187年に没している。彼は「翻訳機関」という抽象物ではない。読みたい本が見つからず、別の町へ引っ越した、一人の具体的な人間だった。
別のイングランド人も、自著の序文で、パリで学んだ数学に満足できず、トレドへ移って当地の学問を求め、後に書物を携えてイングランドへ帰ったと述べている。
この人々は、日記にヨーロッパ文明を復興するぞ、と書くような言葉で動いていたのではない。読みたくても見つからない、具体的な本を探していた。ゲラルドの没後、仲間たちは短い伝記と七十一点の著作目録を作り、彼が訳した医学書の末尾に添えた。伝記によれば、彼がトレドへ来た最初の目的は、ラテン語世界にはない一冊の天文学書を探すことだった。そこでアラビア語の本の豊かさを知り、アラビア語を学んで、長年翻訳を続けたという。後世の伝説より、はるかに確かな動機の証拠である。書目を仲間が作らなければならなかったのも、伝記によれば、彼が自分の訳書に一度も名を記さなかったからだ。
彼の訳書は八十七点だったとよく書かれるが、その数字を異論のない定数として扱ってはならない。同時代に近い目録と、現代の研究者による整理とでは、複数の著作をまとめた本を分けて数えるか、特定の著作の帰属を認めるかによって、七十数点から八十数点の間で数が変わる。
「トレド学派」という呼び方も、実態と違う像を作りやすい。1145年に『代数学』のラテン語訳を完成させた訳者は、そのときセゴビアにいた。別の訳者は主としてバルセロナの環境と結びつき、さらに別の一人は、もっと広い範囲で活動した。トレドはきわめて重要な拠点だった。しかし、十二世紀の翻訳者全員が、共通の校長、授業、給与、方法を持つ正式な学校に属していたと示す証拠はない。
並行するもう一本の道も省けない。ギリシア語からラテン語への直接の翻訳である。1160年頃のシチリアには、あの天文学書をギリシア語から直接訳したものが、すでにあった。
ギリシア語からアラビア語を経てラテン語へ、という道は非常に重要だったが、ただ一つの通り道だったことはない。翻訳自体も、言葉を一個ずつ運び替える作業ではなかった。
訳者が最初にぶつかるのは、対応する専門用語がラテン語にまだないという問題である。大きく三通りのやり方が並行して使われた。音をそのまま写す。意味の近いラテン語で訳す。昔からある語を借りて、専門的な意味を新たに定める。
十二世紀のヨーロッパに、科学用語を一括して作る委員会はなかった。訳者ごとに違う案を選び、写本が作られ、教えられ、使われるうちに、少しずつ定着していった。とりわけ人名は形を変えやすい。ヨーロッパの読者が著者名を技法の名だと思い込むことも、その逆もあった。
図も、何も変えずに複製できるわけではない。幾何学や天文学の図は、別の写本へ移すときに描き直す必要がある。図中の文字は別の文字体系へ置き換わり、読み書きの方向が変われば配置も変わる。写字生はわかりにくい図を、自分なりに整えてしまうこともある。前回は、一冊の本が筆写の歴史の中で、いくつもの層を重ねることを見た。ここでは同じことが、言語を変えてもう一度起きる。
しかも、言語が変わる際の損失は、同じ言語の中での写し間違いより追いにくい。一文字の誤写なら、後世の人が前後から気づけるかもしれない。だが、一語が誤訳されても、訳文としては自然に読める。原文が手元にないかぎり、どこがおかしいのか見えない。
今回登場するいくつかの言葉は、まさにそうして生き延びた。
最後に、あの物語そのものを見ておこう。アラブ人がギリシアの学問を保存し、ヨーロッパへ返した、という物語だ。
範囲を絞れば、その中心には事実がある。アラビア語の伝統がなければ、現在読めるギリシア数学や科学の文献は、確かにいくつか欠けていただろう。ギリシア語原文が失われ、アラビア語訳によって内容が残ったものがある。ラテン語世界がアラビア語を通して大量の資料を得たのも事実だ。問題は、その事実を引き伸ばして、歴史全体の物語にしてしまうことにある。
それでは、アラビア語で著した人々が書庫の番人へ格下げされてしまう。前の節で挙げた人々は、誰もギリシアの本をただ写していたのではない。翻訳そのものが校訂され、訳し直され、批判され、組み替えられていた。翻訳者は複写機ではない。また「アラブ人」という一語は、シリア語を使うキリスト教徒、ペルシア人、ユダヤ人学者、インドの資料が果たした役割を覆い隠す。「ヨーロッパへ返す」という言い方には、ギリシアの知はもともとヨーロッパの所有物だという前提が潜んでいる。九世紀のバグダードや十二世紀のトレドで実際に動いていた人々自身は、そんな所有権の言葉を使ってはいない。
この物語からは、ビザンツも消えている。ビザンツ世界でギリシアの書物がすべて失われたわけではなかった。また、ラテン語の翻訳者たちが、失われたギリシアの原著だけを探していたかのようにも見えてしまう。実際には、アラビア語の著者が自ら書いた作品も、積極的に訳していた。
より正確に言うなら、八世紀から十三世紀にかけて、アラビア語は複数の地域にまたがる主要な科学言語の一つとなった。ギリシア、シリア、ペルシア、インドの資料を取り込みながら、大量の新しい著作を生み出した。その一部が古典の資料とともに、十一世紀から十三世紀に、イベリア、イタリア、シチリアを通ってラテン語世界へ入ったのである。「保存」は、その働きの一つを説明する語にはなる。歴史全体の表題にはならない。
この節で問題にしたことは、第五回で扱った問題と同類だ。あちらでは二つの伝統を、二つの文明の性格へと書き換えていた。こちらでは数百年にわたる複雑な活動を、一度の受け渡しへ縮めている。形は同じである。互いに絡み合う具体的な事実の束を、語りやすい物語一つに置き換えてしまう。
七 言葉
では、その二つの言葉と、いくつかの言葉の来歴を見ていこう。
一つ目は、代数を指す algebra。書名から来た言葉だ。
元のアラビア語の語根には、修復、回復、補充といった意味の広がりがあり、折れた骨を継ぐような、元の完全な状態へ戻す行為にも使える。ただし、書名の中では、まず専門的な操作の名である。差し引かれている量や欠けた量を、正の量へと回復させる操作だ。
1145年のラテン語訳は、その音を写して題名に入れた。この音訳形は、やがて一つの操作の名から計算法全体の名へ広がり、中世ラテン語からヨーロッパの諸言語へ入っていく。英語でこの数学用語が明確に使われるのは近世であり、九世紀に同時に生まれたのではない。ここで取り除いておきたい語源の俗説が二つある。
この言葉の道筋には、注意したい点が一つある。ヨーロッパへ入ったときには、専門的な操作一つの名だったものが、後には学問全体の名になった。つまりヨーロッパの人々は、一つの手順の名前で、その手順が属する分野全体を名づけたのである。
言語では珍しくない出来事だが、ここではその後の見え方を左右した。後世の学問名ばかりが目に入り、この本が方程式の解法を体系立てる一方で、遺産分けなどの問題に大量のページを割いていたことを、見落としやすくなる。また、この語は何某というアラブの数学者の名ではない。もともとの意味が「接骨術」だったわけでもなく、代数は「骨継ぎの数学」ではない。同じ語根が回復を意味し、医療で骨を継ぐことも、方程式の中で量を回復させることも、同じ意味の領域に属する。しかし、書名が直接指しているのは計算上の操作だ。
二つ目、アルゴリズムの道筋は、もっとはっきりしている。そして、この一編全体の主役はこちらである。
すでに述べたとおり、インドの計算法を論じた本にはアラビア語の原本がなく、残るのは数系統のラテン語本文だけだ。最も原作に近いと考えられている系統は、こう始まる。Dixit Algorizmi。「フワーリズミーは言う」。
ヨーロッパの読者の目に、もともとは著者名として映っていたものが、しだいにある計算法の名前として読み替えられていった。
中世ラテン語でこの言葉が主に指したのは、インド・アラビア式の位取り数字を使って筆算する方法だった。十三世紀には、すでにこの語を題名に掲げる韻文の教材がある。算術で教える一つの課程の名になっていたことがわかる。
十五世紀以降には、「数」を意味するギリシア語の影響を受け、綴りも変わった。近世英語には、すでに現在に近い語形がある。ただ、意味はその後も長い間、算術の計算法に近い範囲にとどまった。正確な初出年を言うには、版ごとの確認が必要だ。明確な手順に従って問題を解く一般的な手続きへと、意味がしだいに広がるのは十九世紀後半になってからである。二十世紀の計算理論が、この広い意味を普通のものにした。
道筋はこうだ。一人の名前がラテン語化され、インドの数字による算術の名になり、綴りを作り替えられ、最後にはあらゆる有限の手続きを指す名になる。
こちらにも、捨てておきたい語源の俗説がある。ギリシア語の「苦痛」と「数」を足した語ではないし、algebra と logarithm を混ぜた語でもない。人名からたどる道筋には、連続する中世文献がある。言葉を分解して作った道筋には、それがない。二つの俗説の共通点は、本当の話より耳に心地よく、何一つ調べなくても語れることだ。
三つ目は、英語でゼロを表す zero である。もとになったアラビア語の語は、普通には「空」「何もないこと」を意味する。インドの位取り計算が入ってから、空いた桁やゼロを表すようになった。
ここでは二つを分けなければならない。その語がもともとアラビア語にあった、というのは本当だ。アラブ人がゼロの概念を作った、というのは違う。インド数学では、「空」を意味する語がすでにゼロの役割を担っていた。アラビア語の著者たちは、自分たちの言語にある、意味の近い語を用いたのである。
ラテン語世界へ入ると、その道は二つに分かれた。一方は何度か形を変え、縮まって今日の zero になった。もう一方はフランス語や英語へ入り、英語の cipher のように、暗号を指す語になった。暗号という意味は後から生じたものだ。ゼロや数字を表すところから数字の記号一般へ広がり、さらに暗号で書くことへと広がったのである。
四つ目は、正弦を指す sine。この話は、二つに分けて読む必要がある。
確かな骨組みを持つほうは、こうだ。インド天文学では、弓の弦を意味する語を半弦の関数に用いた。それがアラビア天文学へ入って、借用語の形を取る。アラビア文字では通常、短母音を記さない。そのため、その子音の並びが後に、衣服の胸元や襟元、袋状のくぼみを意味する、既存のアラビア語として読めるようになった。十二世紀のラテン語訳者は、それに意味の対応するラテン語を使った。そのラテン語がもともと意味したのは、胸元、ひだ、湾などである。
このインドからアラビア語、そしてラテン語へ至る音と意味の連なりは、言語史の研究に支えられている。もう半分の、根拠の弱い話はこうなる。ある日、一人の訳者が母音を読み間違え、それで正弦が発明された。
まず、誰がそのラテン語を最初に使ったかという帰属自体に争いがあり、研究では三人それぞれが候補に挙がっている。さらに、その読み替えが初めてあるラテン語訳者の頭の中で起きたのか、それともアラビア語の専門的な伝統の内部で、すでに外来語がアラビア語固有の語として意味づけ直されていたのかもわからない。現存する本文が証明できるのは、語形の変化である。最初に読み間違えた人の心の一瞬を、そこから読むことはできない。
したがって、主流の判断は、最終的にはインドの半弦の用語に由来し、アラビア語とラテン語を経る間の語形の変化によって成立した、というものになる。不注意な翻訳者が弦を湾と読み違えた、という話は、本物の言語的な骨組みに乗せられた通俗的な物語だ。異論は通常、その連なりを否定しているのではない。続いてきた専門用語の意味の読み替えを、特定可能な一人の一回の失敗に縮めることに向けられている。
この型は、前にも二度見た。第二回のヒッパソスと、第三回の「王道はない」の話である。どちらも、一続きの過程を、名指せる一人と指させる一瞬へと縮めていた。物語には主役が要る。過程には、主役がいない。
よい反例になる言葉も二つある。tangent と secant、接線と割線を表す語だ。これらはアラビア語からの借用ではない。ラテン語の「触れる」「切る」に由来し、後にヨーロッパの数学が幾何学的な関係に基づいて作った言葉である。
とりわけ取り除きたい俗説の一つに、未知数を表す文字 x は、アラビア語で「物」を意味する語に由来する、という話がある。スペイン語ではある音を発音できず、その代わりにこの文字で書いた、という筋書きだ。
インターネットでよく流れるこの話を支える、中世アラビア語からスペイン語、ラテン語へつながる写本の鎖は、今のところない。近世にアルファベット末尾のいくつかの文字を未知量に使うようになったことには、ヨーロッパ独自の記号の歴史がある。アラビア語のその語が、実際に代数で未知量を表していたというだけでは、この文字がその音訳だという結論は出てこない。
八 もうない本
中国語については、なおさら、これらの言葉もアラビア語から借りてきたのだと考えてはいけない。
「算法」は中国語にもともとある古い語であり、英語の algorithm が中国へ入るより、はるかに昔から使われていた。宋・元の算書では、すでに書名に、また数学的な方法という意味に用いられている。十三世紀にも、何々の算法を詳しく解説する、という名の著作がある。
ここに、面白い偶然が生まれる。英語の algorithm は、語源を最後までたどればフワーリズミーに行き着く。ところが中国語の「算法」には、中世中国で歩んだ独自の歴史がある。音訳ではないのだ。
二本の道が出会うのは、二十世紀になってからである。一方は九世紀のバグダードを出発し、ラテン語といくつものヨーロッパの言語を通った。もう一方は宋・元の算書を出発し、ずっと中国語の中にいた。現代の人々は後者で前者を訳す。だが、二つがそれぞれに歩んだ道は、一部分も重なっていない。
「零」も、アラビア語から中国語へ訳し入れられたものではない。この漢字には、もともと、こぼれ落ちることや端数といった意味があった。中国の位取り計算では長く、桁を空けることで量がないことを表せた。1247年のある算書は、丸い記号を用いた初期の例として、最もよく知られるものの一つである。
ここでも、三つを分けなければならない。「零」という漢字の意味の歴史、丸という記号の歴史、そして数としてのゼロの概念の歴史だ。この三つを一つに丸めて、何年に誰それがゼロを発明した、としてはいけない。
中国語の「正弦」は、また事情が違う。明末に西洋天文学が入ってきた際にできた専門的な訳語である。崇禎年間の暦法改革で、徐光啓が率いる翻訳・編纂事業と、そこに加わった数人の宣教師が、ヨーロッパの三角計算を中国語へ導入した。その中の一つの本文は、後におなじみになる正弦、余弦などの用語一式を、体系的に使っている。一人だけの功績に帰すには、材料が足りない。暦局の共同翻訳の仕組みの中へ置くほうが確かだ。一方、「代数」は主として清末に成立した用語である。
1859年に李善蘭とワイリー（偉烈亜力）が共訳した本は、長い間、この用語が定着するうえでの重要な節目とされてきた。ただし、用例は1850年代初めまでさかのぼれる。近年の研究は、1852年の李善蘭とエドキンズ（艾約瑟）に関わる訳書の例も挙げている。正確な初出は、なお版ごとに確かめなければならない。さらに、1852年に墨海書館へ入った後、関連する翻訳に携わった李善蘭こそが、その語を「代数」とまとめた重要な中国語の造語者かもしれない、とする研究もある。
それでも「最初の人」と言うなら、三つのことを分ける必要がある。現存する最初の印刷例。実際に口にしてその語を作った人。そして後に定着させた人である。
明から清へ移る頃は、また別の状況だった。十七世紀に入ってきたヨーロッパの代数は、しばしば「借根方」のような名で扱われ、中国に従来あった天元術や方程術と、互いを照らし合わせて説明された。その頃の「代数学」は、分野全体を包む標準的な名前にはまだなっていなかった。
つまり、あのアラビア語が十二世紀にヨーロッパの algebra になり、それがそのまま中国語の「代数」へ訳されたわけではない。その間には、まったく異なる、中国語による数学の命名の歴史がある。
この話を書いておくのは、言葉の旅がいつも一直線に見えやすいからだ。ある語がこちらからあちらへ行き、意味もそのまま一緒についていったように見える。実際には、着くたびに名づけ直しがあり、名づける人には、それぞれの事情がある。数字そのものがヨーロッパへ入った道も、よく語られるよりずっと長い。
662年には、すでにシリアのある学者が、インド人は九つの記号で計算すると讃えていた。アッバース朝より前のことである。976年のスペインの写本には、一から九までのインド・アラビア式の数字が一組、すでに記されている。ただし、十分に成熟したゼロはまだない。十世紀末には、数字を記した計算盤用の駒を使う人もいた。十二世紀には、あのインド算術のラテン語訳ができていた。有名な1202年の『算盤の書』は、そのどれよりも後なのである。
その著者は、ピサのレオナルド。後世にフィボナッチと呼ばれる人だ。彼は本の冒頭で、父親がピサ市から派遣され、北アフリカのブージー、現在のアルジェリアのベジャイアで、そこへ商売に来るピサの商人のために税関の公証人を務めていたと述べる。まだ子供だった彼を父親が呼び寄せ、将来役に立ち、後々の便宜にもなるだろうという趣旨で、現地にとどめて計算を教える学校へ通わせた。そこで彼は、インド人の九つの記号を学んだ。彼が重要なのは、数字を初めてヨーロッパへ持ち込んだからではない。成熟した位取りの計算法、ゼロ、地中海の商業数学を、大部のラテン語著作にまとめ上げたからだ。なお、「計算盤派」と「筆算派」の大戦争という話は、後世の要約として受け取るのがよい。何百年も続いた二つの政党があったわけではない。
構成員の名簿や宣言を持つ対立が、絶えず続いていたという証拠はない。同じ商業の世界で、暗算も、指も、計算盤も、ローマ数字による帳簿も、インド数字による計算も、併用できた。
その大戦争のポスターのように使われる絵がある。二人が左右に座り、一人は数字を、もう一人は計算盤を使っている。あれは1503年の本に載った、すでに印刷時代の、知を表す寓意図である。そこから時代をさかのぼり、十三世紀に実在した二派の会合を描いたものとして扱うのは、図像の誤用だ。1299年にフィレンツェがアラビア数字を禁じた、という話も、範囲を狭めなければならない。
その年のある同業組合の規則が、数学史の文献に引用されているのは確かだ。該当する帳簿の金額は、単に数字で書くのではなく、より十分な形で言葉にして記すよう求める条文である。対象は特定の職種の帳簿の書き方であり、共和国が、市民なら誰であれ数字を書けば違法だと宣言したのではない。
よくある、1299年のフィレンツェはゼロを六に書き換えられるのを恐れ、アラビア数字を全面禁止した、という一文には、少なくとも三段階の膨らませ方がある。特定業種の規則を全市の禁止令へ広げる。ある種の数字という表現を、現代の十個の数字に限定して解釈する。そして、きわめて具体的な改ざん防止の動機を、規則に付け加える。
同業組合には、帳簿を書き換えられることを心配する十分な理由があった。だが、ゼロは一筆足せば六にできるから、という説明は、たいてい現代の著者がもっともらしくつけた理由である。あの規則に残されている立法理由ではない。
最後に、紙の話をしよう。
紙が中央アジアへ入ったのは、751年のタラス河畔の戦いより、はるかに早い。捕虜がアラブ人に製紙を教えたという話は、現在知られるところでは、しばしば十一世紀初めのある著者までたどられる。751年から二百五十年以上後だ。八世紀の現場からの記録はない。
主流の判断は、その年が接触の一つの機会だった可能性はあるが、製紙が中央アジアやイスラーム世界へ入った確実な起点にはできない、というものだ。考古学的証拠と文書史料によれば、紙はそれ以前から中央アジアで流通していた。
794年あるいは795年にバグダードで最初の製紙工房が完成した、という話も、暦に正確に書き込める事実としては扱えない。九世紀前後に紙の使用と生産が広がっていたことは、信頼できる。しかし、その精密な「第一工場」の日付を同じ精度で裏づける設立文書はなく、ここだと指せる工房跡もない。
紙がパピルスや羊皮紙に比べて本当に変えたのは、生産上の制約だった。羊皮紙には動物の皮が必要で、一枚の大きさは動物の体格に限られる。大きな本を一冊作るには、たくさんの皮を使わなければならない。紙は繊維質の古布を原料にでき、一枚の大きさも、一度に作る量も広げやすい。両面に書けるので、手紙、下書き、計算、大量の行政記録にも向いている。緩めたのは、複写の材料を追加で用意する際の制約であって、突然、本が誰でも買える値段になったわけではない。
紙によって本の値段が十分の一になり、その結果ある場所には四十万冊の蔵書ができた、といった一式の数字は、まとめて退けるべきだ。八世紀から十世紀について、複数の都市をまたぎ、品質、面積、通貨を揃えて比べられる価格の系列はない。紙を採用したからといって、写字生が一時間に書ける速さまで自動的に何倍にもなるわけでもない。
もうない、あの本へ戻ろう。アラビア語の原本は、今日、世界のどこにもない。残るのは、互いに関係はあるが逐語訳ではない、いくつかのラテン語本文だ。最も原作に近い系統の最初の文は、Dixit Algorizmi。「フワーリズミーは言う」。
このラテン語の文の二番目の語から、一つの名詞が育った。最初は、インドの数字を使って紙の上で算術を行う方法を指した。後には、明確な手順を最後までたどる、有限の手続き全般を指すようになる。今日、世界では数えきれないほどの人が毎日この語を使う。その大多数は、かつてそれが一人の人間の名前だったことを知らない。その人の出生地が、今なお確定していないことは、なおさら知らない。彼の本はなくなった。彼の名は普通名詞になった。
この二つの出来事に因果関係はない。名前が普通名詞になったことは、その本や書き換えられた本文が広まり、教えられ、用語として使われるようになったことに関わる。誰かがたまたま冒頭の一文を読み違えた、という話に縮めることはできない。
しかも、その名詞が今指しているものは、彼が当時書いた本と、もはや同じものではない。
言葉の世界ではよくあることだ。ただ、ふだんは考えない。
毎日、誰かがアルゴリズムと言い、代数と言い、ゼロと言う。それぞれに出どころがあるが、その多くはもう、かつての姿では残っていない。失われた本もあれば、変わってしまった意味もある。読み違いが、そのまま残ったものさえある。言葉は、自分を生んだものが生きていなくても、働き続けられる。
だから、ある言葉を何の不自由もなく使えることと、その背後にあるものが昔のままであることは、同じではない。
そして、一つの言葉を最後まで追うと、誰も覚えていない一人の具体的な人間へ、たどり着くことがよくある。
数は今も先へ先へと計算されていく。だが、何をもって数学とするのかには、まだ一度も決着がついていない。
史料とさらに読むために
以下の資料は、本文で扱った歴史の細部や、解釈の分かれる点に対応している。所蔵記録、古代の文学、現代の復元は、同じ種類の証拠ではない。