Ein anderes Kriterium

1. Als die Schnüre verfaulten

Zwischen Ende 1983 und Anfang 1984 wurden in Zhangjiashan bei Jiangling in der Provinz Hubei mehrere Gräber aus der Han-Zeit ausgegraben. In einem davon, Grab 247, kam eine große Menge beschriebener Bambusstreifen zum Vorschein.

Anhand der datierten Aufzeichnungen aus dem Grab setzen Fachleute die Bestattung gewöhnlich in die Zeit um das zweite Jahr der Kaiserinwitwe Gao, also um 186 v. Chr. Das ist eine archäologische Datierung, kein auf den Tag genau bekanntes Datum der Grabversiegelung. Auch aus dem spätesten im Fund genannten Jahr allein lässt sich nicht schließen, die Abschrift müsse davor entstanden sein. Unter den Streifen befand sich ein Rechenbuch.

Es war einmal ein richtiges Buch gewesen. Ungefähr zweihundert Bambusstreifen, jeder etwa dreißig Zentimeter lang und nur sechs bis sieben Millimeter breit. Man schrieb darauf keine waagerechten Zeilen, sondern führte den Pinsel auf der schmalen Bambusfläche von oben nach unten. Auf einen Streifen passten einige wenige bis mehrere Dutzend Schriftzeichen; die Beschreibung eines Rechenverfahrens konnte sich über mehrere Streifen erstrecken. Nach dem Beschreiben wurden die Streifen mit drei Schnüren aneinandergebunden und aufgerollt. Schnüre bestehen aus organischem Material.

Als man das Grab mehr als zweitausend Jahre später öffnete, waren alle drei Bindeschnüre verfault. Aus dem Buch waren über zweihundert lange, schmale Bambussplitter geworden, durcheinandergeraten und zum Teil zerbrochen.

Damit stellte sich ein Problem, das in den bisherigen Folgen noch nicht aufgetaucht war. Der Text war noch da. Seine Reihenfolge nicht mehr.

In einem gedruckten Buch folgt ein Satz auf den anderen, als könne es gar nicht anders sein. Bei Bambusbüchern ist das anders. Sobald die Schnüre reißen, muss auch die Reihenfolge begründet werden. Den Bearbeitern bleiben die Länge der Streifen, die Lage der Bambusknoten oben und unten, Spuren der Bindung, die Handschriften, die Farbe der Tusche, die Form der Bruchkanten, mögliche Satzanschlüsse und die Frage, ob Fachausdrücke wie fa, shi und shu yue aufeinanderfolgen: Divisor, Dividend, »das Verfahren lautet«. Daraus müssen sie Streifen für Streifen die Abfolge wiederherstellen. Ein einziger falsch eingeordneter Streifen kann aus einem Algorithmus scheinbar einen völlig anderen Ablauf machen.

Daran ist etwas unbequem. Materielle Befunde schränken die möglichen Reihenfolgen ein, entscheiden aber nicht alles. Den Rest muss der Sinn leisten. Das heißt: In der gewählten Reihenfolge muss das Rechenverfahren aufgehen. Um ein Rechenbuch wieder lesen zu können, muss man also erst einmal voraussetzen, dass sich damit richtig rechnen lässt. Auf diesen Satz werden wir am Ende zurückkommen. Zwischen der Ausgrabung und der Veröffentlichung der vollständigen Transkription lagen mehr als zehn Jahre. Sie erschien 2000, die kommentierte Ausgabe 2001.

In dieser Zeit wurde keineswegs immer nur dieselbe Art von Puzzle zusammengesetzt. Die Arbeit umfasste Reinigung, Konservierung, Fotografieren, Entziffern alter Schriftzeichen, Schriftvergleich, immer neue Anordnungsversuche und den Abgleich mit anderen ausgegrabenen Texten. Das lag nicht an der Bedächtigkeit von Paläografen. Das Material selbst verlangte es. Ein Fund half erheblich: Auf der Rückseite des Streifens mit der heutigen Ordnungsnummer sechs standen drei Zeichen, 筭數書, Suan shu shu. Das war der eigene Titel des Buches: Buch der Rechenverfahren.

Dass ein Buch seinen Namen auf der Rückseite seines sechsten Streifens trägt, hatte in der Zeit der Bambusbücher einen praktischen Sinn. Einer geschlossenen Rolle sah man nicht an, was in ihr stand. Irgendwo musste es eine Beschriftung geben.

Für die Bearbeiter zweitausend Jahre später erfüllten die drei Zeichen noch einen zweiten Zweck. Wenigstens eines ließ sich damit festhalten: Diese verstreuten Bambusstücke hatten zu ein und demselben Buch gehört. Und dieses Buch hatte einen Namen.

Am unteren Ende einiger weiterer Streifen stehen Wang, Yang sowie »von Wang kollationiert« und »von Yang kollationiert«. Das dort verwendete Zeichen chou bezeichnet das prüfende Vergleichen eines Textes. Ob die beiden Abschreiber, Korrektoren oder noch etwas anderes waren, lässt sich bisher nicht sicher sagen.

Immerhin lässt sich erkennen: Um 186 v. Chr. gab es bereits ein greifbares Rechenbuch, das wiederholt ausführbare Rechenverfahren enthielt und Spuren einer überprüfenden Durchsicht trug.

In den ersten vier Folgen hatten wir es mit ganz verschiedenen materiellen Verhältnissen zu tun. Eine Tontafel lässt sich glattstreichen, doch die Tafel bleibt. Wird die Schrift im Wachs gelöscht, ist sie weg. Pergament kann man abschaben; was dabei nicht ganz verschwindet, bleibt in den Fasern und kann siebenhundert Jahre später wieder gelesen werden. Bambus ist der vierte Fall. Er hält zweitausend Jahre durch, aber das Buch fällt auseinander. Vier Materialien, vier Arten des Verlusts: geglättet, verschwunden, nicht restlos abgeschabt, auseinandergefallen.

Das Auseinanderfallen hat seine eigene Tücke. Bei den ersten drei Fällen sieht man dem Überrest an, ob noch die ursprüngliche Gestalt vorliegt. Nach dem Auseinanderfallen sind die Teile alle noch da, nur weiß niemand mehr, wie sie zusammengehören. Jede dieser Arten des Verlusts bestimmt, was den Nachgeborenen bleibt und was sie aufbringen müssen, um es zu lesen.

2. Gekauft und ausgegraben

Dieses Rechenbuch ist nicht das einzige, das aus der Erde zurückgekehrt ist. Doch der Beweiswert der verschiedenen Funde unterscheidet sich beträchtlich. Das müssen wir zuerst auseinanderhalten.

Ende 2007 kaufte die Yuelu-Akademie in Hongkong eine Sammlung von Bambusstreifen aus der Qin-Zeit. Erfasst wurden etwa 2.100 Stück, davon ungefähr 1.300 weitgehend vollständig. 2008 kamen 76 weitere als Schenkung eines Sammlers hinzu. Die Sammlung enthält ein Werk namens Shu, »Zahlen«, auf mehr als zweihundert Streifen. Es wurde 2011 offiziell veröffentlicht.

Anfang 2010 erhielt die Universität Peking eine Schenkung von Qin-zeitlichen Schriftträgern, die im Ausland zurückgekauft worden waren. Nach der Reinigung zählte man 762 Bambusstreifen, etwa dreihundert davon beidseitig beschrieben. Dazu kamen Holzstreifen, Holz- und Bambustäfelchen, ein mehrkantiger hölzerner Schreibkörper, ein Würfel und 61 wirkliche Rechenstäbchen. Aus 21 Streifen der Sammlung aus der Zeit der Streitenden Reiche, die 2008 an die Tsinghua-Universität gelangte, lässt sich eine recht komplexe dezimale Multiplikationstafel zusammensetzen. Keine dieser drei Sammlungen stammt aus einer dokumentierten Ausgrabung. Sie kamen vom Antiquitätenmarkt. Zwei Fragen sind hier zu trennen: Ist ein Gegenstand echt? Und woher stammt er?

Bambusmaterial, Tusche, Schriftzeichen, Schreibstil, innere Hinweise des Textes und nötigenfalls naturwissenschaftliche Untersuchungen erlauben Urteile über Alter und Echtheit solcher Streifen. Auf dieser Ebene kann man durchaus etwas feststellen.

Doch die Kette aus Raubgrabung und Handel kappt zugleich die Verbindung zu Grabnummer, Fundschicht, Beifunden, ursprünglicher räumlicher Anordnung und Lagerungsbedingungen im Boden. Diese Ebene lässt sich nicht wiederherstellen. Textforschung kann Archäologie nicht ersetzen.

Deshalb brauchen diese Sammlungen eine doppelte Bewertung. Die Streifen und ihre Texte verdienen eine ernsthafte Untersuchung. Sozialgeschichtliche Schlüsse, die vom ursprünglichen Fundort, von der Identität des Bestatteten oder von der Zusammenstellung im Grab abhängen, müssen dagegen durchweg eine Stufe vorsichtiger beurteilt werden.

Die Pekinger Sammlung hat eine Besonderheit. Als man das zurückgebrachte Material auseinanderlöste, lag ein beträchtlicher Teil noch in Rollen vor, insgesamt etwa zehn Bambusbücher. Nicht alles war in einzelne Streifen zerfallen. Das lieferte seltene Hinweise darauf, wie Bücher gerollt und verschnürt wurden, wie man Vorder- und Rückseite derselben Rolle fortlaufend beschrieb und wie mehrere Texte sich eine Rolle teilten. Außerdem war etwas erhalten geblieben, das kein Text ist: 61 Rechenstäbchen, zusammen mit dem Rechenbuch.

Die Schreiber der ersten Folge arbeiteten auf Tontafeln, die Griechen der zweiten auf Wachs- und Staubtafeln; die dort beschriebenen Arbeitsflächen haben sich nicht erhalten. Hier haben wir das Werkzeug.

Aber auch das sind Beobachtungen im Arbeitsraum der Bearbeiter, keine Aufzeichnungen aus einer archäologischen Fundstelle. Daneben gibt es Sammlungen, die tatsächlich ausgegraben wurden.

1975 fand man im Grab 11 von Shuihudi bei Yunmeng 1.155 Streifen und Fragmente. Der Bestattete hieß Xi. Seine Beamtenlaufbahn ist gut belegt, und zwar auf den ihm selbst mitgegebenen Streifen. Eine Chronik verzeichnet neben den Feldzügen des Staates Qin auch Ereignisse aus seinem Leben. Im 45. Jahr des Königs Zhao, also 262 v. Chr., wurde Xi im zwölften Monat am Tag Jiawu beim Hahnenschrei geboren. Im ersten Jahr des Qin-Königs Zheng, 246 v. Chr., war er siebzehn. »Xi eingetragen«, heißt es auf dem Streifen: Sein Name kam in die Dienstpflichtigenliste. Im dritten Jahr König Zhengs wurde er Schreiber, später Amtsschreiber in Anlu und in Yan, wo er auch Fälle untersuchte. Dazwischen zog er dreimal mit dem Heer. Bevor er für die Verwaltung Buch führte und Rechtssachen bearbeitete, hatte die Verwaltung bereits über ihn Buch geführt. Die ebenfalls enthaltenen »Vorschriften zur Überprüfung«, Xiaolü, betreffen unmittelbar die Kontrolle von Beständen und Abrechnungen in Kreisämtern und zentralen Dienststellen sowie den Umgang mit Abweichungen bei Maßen und Gewichten. Die Strafe traf den Verantwortlichen persönlich: Wich eine Waage für ein shi um sechzehn liang oder mehr ab, musste der zuständige Amtmann einen Harnisch als Buße leisten; bei acht bis sechzehn liang war es ein Schild. Für fehlerhafte Getreidemaße, tong und dou, galten wiederum eigene Strafen. Das ist selbst kein Rechenbuch. Aber es belegt, dass Bestandskontrolle und Standardisierung keine von Rechenbuchautoren erfundene Kulisse waren.

2002 wurden aus einem alten Brunnen in Liye im Kreis Longshan, Hunan, Zehntausende beschriebener Bambus- und Holzstücke aus der Qin-Zeit geborgen. Den Hauptbestand bilden Verwaltungsakten des Kreises Qianling. Darunter sind Multiplikationshilfen nach Art des kleinen Einmaleins, aber auch zahlreiche tatsächlich geführte Rechnungsbücher. Der Wert von Liye liegt nicht darin, dass wir noch einen vollständigen Rechenklassiker bekommen hätten. Er liegt darin, dass Rechenmaterial hier unmittelbar im Fundzusammenhang eines Amtsarchivs steckt. Auf der einen Seite Lehrstoff im Grab, auf der anderen Abrechnungen im Brunnen. Beides ist da.

Diese Kombination hatten wir in den bisherigen Folgen noch nicht. Aus dem Mesopotamien der ersten Folge kennen wir viele Verwaltungstafeln und auch schulische Übungstafeln, doch ihren Zusammenhang müssen wir erschließen. Hier stehen ein als Grabbeigabe erhaltenes Rechenbuch und echte Rechnungsbücher einer Kreisverwaltung nebeneinander, an zwei verschiedenen Fundorten und jeweils mit dokumentierter Fundschicht. Auch darüber, warum sie überhaupt erhalten blieben, müssen wir kurz sprechen.

Bambus und Holz sind organische Materialien. Bei gewöhnlicher Temperatur, Feuchtigkeit und Sauerstoffzufuhr verrotten sie leicht. Deshalb konzentrieren sich die heute bekannten Bambustexte der Streitenden Reiche sowie der Qin- und Han-Zeit auf verschlossene, wassergesättigte, sauerstoffarme Gräber und Brunnenschächte im Jianghan-Gebiet; hölzerne Schriftträger finden sich außerdem in den extrem trockenen Regionen des Nordwestens.

Das erzeugt eine starke Verzerrung der Überlieferung. Zhangjiashan ist ein Gräberfund, Liye ein aufgegebener Brunnen. Keiner der beiden Fundzusammenhänge ist eine Zufallsstichprobe aus dem damaligen Schreiballtag. Gewöhnliche Erdgräber im Norden, oberirdische Gebäude, alltägliche Werkstätten und nach langem Gebrauch weggeworfene Bambusbücher dürften fast keine Spuren hinterlassen haben.

Aus dem Satz »In China gibt es Bambusmanuskripte« folgt daher nicht, dass es dort besonders viele Bücher einer bestimmten Art gegeben hätte. Er besagt nur: In manchen nassen Gräbern und Brunnen des Südens sowie in extrem trockenen Gegenden konnten organische Schriftträger überdauern.

Diese methodische Disziplin brauchten wir schon in den ersten vier Folgen, jedes Mal in anderer Gestalt. In der ersten begünstigte die Überlieferung auf Ton Verwaltungsakten; in der dritten blieben die griechischen Erzeugnisse, aber nicht ihre Werkstätten; in der vierten überlebte ein einziges Exemplar durch eine Kette von Zufällen. Jedes Mal derselbe Satz: Was erhalten ist, bildet keine Zufallsstichprobe historischer Tätigkeit.

Bei dieser Gelegenheit muss ein Satz der vorigen Folge genauer gefasst werden. Dass aus Griechenland keine Originalobjekte erhalten seien, lässt sich sagen, wenn damit die fehlenden Handschriften aus der Entstehungszeit von Klassikern wie den »Elementen« gemeint sind. Soll es heißen, aus der gesamten altgriechischsprachigen Welt gebe es überhaupt keine materiellen Zeugnisse mathematischen Schreibens auf Papyrus oder Tonscherben, wäre es zu viel behauptet.

Der eigentliche Unterschied zwischen den drei Regionen liegt darin, wie ihre erhaltenen Bestände zustande kamen. Wer Tontafeln, Bambusstreifen und spätere Abschriften unmittelbar als Zähler der jeweiligen mathematischen Tätigkeit benutzt, verwechselt die Bedingungen des Überlebens mit der Geschichte selbst.

3. Das Verfahren

Das auffälligste Gemeinsame dieser ausgegrabenen Rechenbücher und der späteren »Neun Kapitel über die mathematischen Verfahren«, Jiuzhang suanshu, ist ihre Textform. Ihr typischer Dreischritt lautet: »Gegeben ist … Gesucht ist …« Dann: »Die Antwort lautet …« Und schließlich: »Das Verfahren lautet …« Die ersten beiden Teile führen einen bestimmten Fall vor. Der dritte gibt eine Methode für eine ganze Klasse von Aufgaben.

Auf diesen dritten Teil kommt es an. Das shu, das Verfahren, ist meist keine zeilenweise Nachrechnung der gerade gelösten Aufgabe. Es kommt eher einem allgemeinen, wiederholt ausführbaren Programm gleich. Es sagt, welche Größe wohin zu legen ist, was womit multipliziert wird, welche Größe als fa und welche als shi dient, also als Divisor und Dividend, wann zu dividieren ist, wie man kürzt und wie es weitergeht. Setzt man andere Zahlen ein, lässt sich das Verfahren grundsätzlich erneut ausführen. Hier liegt der entscheidende Unterschied zur Antwort. Die Antwort gehört zu einer Aufgabe. Das Verfahren zu einer Klasse.

Das Buch aus Zhangjiashan belegt, dass diese Textform um 186 v. Chr. bereits existierte. Einträge etwa zur Umrechnung von ungeschältem in geschältes Getreide nennen nicht bloß ein Ergebnis. Sie lösen die allgemeine Umrechnungsregel aus dem Einzelfall heraus und setzen dann die konkreten Zahlen in diese Regel ein.

Das shu ist also keine erst zu Liu Huis Zeit erfundene Schreibweise. Es ist älter als die überlieferte Gestalt der »Neun Kapitel«. Deren gängige Fassung enthält insgesamt 246 Aufgaben in neun Kapiteln.

Fangtian, »Feldmessung«, umfasst 38 Aufgaben zu Flächen und Brüchen. Sumi, »Getreide«, enthält 46 zur Umrechnung von Getreide und Waren. Die 20 Aufgaben von Cuifen betreffen abgestufte und proportionale Verteilung. Shaoguang bietet 24 Aufgaben, in denen aus Flächen oder Volumina Seitenlängen gewonnen werden, einschließlich des Wurzelziehens. Shanggong enthält 28 Aufgaben zu Bauarbeiten und zum Volumen verschiedener Körper. Junshu behandelt in 28 Aufgaben die proportionale Verteilung von Steuern, Transportleistungen und Frondiensten. Ying bu zu, »Überschuss und Fehlbetrag«, erschließt in 20 Aufgaben unbekannte Größen aus den Überschüssen und Fehlbeträgen zweier versuchsweiser Ansätze. Fangcheng hat 18 Aufgaben zu Gruppen von Beziehungen und zum Rechnen mit positiven und negativen Größen. Gougu umfasst 24 Aufgaben über die Seiten rechtwinkliger Dreiecke, Vermessung und Ähnlichkeit.

Diese neun Namen sind zunächst technische Einteilungen, kein Verzeichnis heutiger mathematischer Fächer.

Fangcheng einfach mit moderner linearer Algebra gleichzusetzen oder Gougu gleich nach einem bestimmten Lehrsatz zu benennen, hilft heutigen Lesern zwar, mathematische Strukturen wiederzuerkennen. Zugleich löscht es die damalige Ordnung des Wissens aus. Fangcheng bezeichnet zunächst eine Anordnung von Spalten beim Stäbchenrechnen, keine auf Papier geschriebene Gleichung. Aber sind diese Aufgaben nun Verwaltungspraxis?

Nach ihren Themen sind fünf Kapitel, Fangtian, Sumi, Cuifen, Shanggong und Junshu, eindeutig in praktische Zusammenhänge eingebettet: Land, Warenumrechnung, Verteilung, Bauarbeiten sowie Abgaben und Transport. Sie enthalten zusammen 160 der 246 Aufgaben. Auch die übrigen Kapitel erzählen vielfach von Vermessung, Handel, Brunnenbau und anderen Bauarbeiten. Dass die geschilderten Situationen ausgesprochen praxisnah sind, steht außer Frage.

Wenn in einer Aufgabe jemand Getreide transportiert, ist die Aufgabe deshalb noch keine echte Transportakte.

Viele Zahlen sind offensichtlich sorgfältig gewählt, damit das Verfahren auf ein glattes Ergebnis führt. Dasselbe Verfahren kann mit verschiedenen Geschichten eingekleidet werden. Bei manchen Aufgaben wirken schon die Voraussetzungen eher so, als sollten sie einen Grenzfall des Algorithmus einüben.

Es gibt deshalb keine verlässliche Zählung, mit der sich die 246 Aufgaben in eine bestimmte Anzahl echter Fälle und eine bestimmte Anzahl von Unterrichtsübungen aufteilen ließen. Solche Zahlen wären Scheingenauigkeit.

Dass es Berechnungen im Verwaltungsalltag wirklich gab, bezeugen andere Materialien: die Bestandskontrollen und Maßvorschriften des Xiaolü aus Shuihudi, die Rechnungsbücher und Multiplikationstafeln aus dem Amt von Liye. Sie zeigen, dass die Verwaltung tatsächlich rechnete. Die »Neun Kapitel« zeigen etwas anderes: Es gab einen redigierten Bestand von Verfahrenswissen, mit dem sich ähnliche Probleme bearbeiten ließen. Zwischen beiden lässt sich ein funktionaler Zusammenhang herstellen. Daraus folgt aber nicht automatisch, dass eine bestimmte Aufgabe der »Neun Kapitel« die Abschrift eines konkreten Vorgangs aus einer Kreisverwaltung ist.

Dasselbe Problem beschäftigte uns in der ersten Folge. Damals lautete der Befund: Im alten Babylonien gab es viele Aufgaben in Verwaltungssprache, die unmöglich wirkliche Verwaltungsvorgänge wiedergeben konnten. Hier ist die Beweislage anders, und sie ist günstiger. Auf chinesischer Seite sind sowohl das Rechenbuch im Grab als auch die Schriftstücke der Verwaltung erhalten; lehrbuchartige Verfahren und reale Abrechnungen lassen sich nebeneinanderlegen. Das ist ein Unterschied der Beweislage, keine Rangordnung zwischen Praxis und Theorie. Wann dieses Buch entstand, lässt sich dagegen nicht auf einen bestimmten Tag festlegen.

Die erhaltenen »Neun Kapitel« sind offenkundig Schicht für Schicht gewachsen. Institutionen, Ortsnamen, Einheiten und Fachwörter des Textes gehören nicht alle in dieselbe Zeit. Schon die Gelehrten der Qing-Zeit, die am Siku quanshu arbeiteten, stießen auf ein bekanntes Problem: Im Buch ist unter anderem von Shanglin die Rede, doch der Shanglin-Park gehört in die Zeit des Han-Kaisers Wu.

Liu Huis Vorwort berichtet, nach der Bücherverbrennung unter Qin seien die alten Verfahren nur noch unvollständig erhalten gewesen. Zhang Cang, Markgraf von Beiping, und Geng Shouchang, beide in der Han-Zeit für ihre Rechenkünste bekannt, hätten die Reste der alten Texte jeweils gekürzt und ergänzt. Daher unterschieden sich die späteren Kapitel vom alten Buch, und daher enthalte der Wortlaut auch jüngere Ausdrücke. Die Siku-Gelehrten fragten zurück: Der Shanglin-Park stammt aus der Zeit Kaiser Wus, Zhang Cang lebte zu Beginn der Han-Dynastie. Wie konnte er ihn im Voraus aufnehmen? Hier müssen wir zwei Ebenen trennen. Zhang Cang und Geng Shouchang waren tatsächlich technische Beamte, die mit Rechnungen und Maßwesen zu tun hatten. Das belegen auch andere Geschichtswerke.

Dass gerade sie die heutigen »Neun Kapitel« zusammengestellt oder überarbeitet hätten, stützt sich dagegen hauptsächlich auf Liu Hui, der im dritten Jahrhundert von Ereignissen erzählt, die mehrere hundert Jahre zurücklagen. In den erhaltenen Geschichtsquellen zur Han-Zeit gibt es keine ebenso ausdrückliche Nachricht.

Sagen lässt sich also: Um 263 glaubte Liu Hui an eine Überlieferung, oder gab sie weiter, nach der Zhang Cang und Geng Shouchang ältere Rechentexte geordnet hatten. Diese Überlieferung ist selbst eine wichtige historische Quelle. Die beiden deshalb zu den Männern zu erklären, die die »Neun Kapitel« zusammengestellt haben, geht zu weit. Selbst wenn Zhang Cang an einem Stadium der Bearbeitung beteiligt war, erklärt das noch längst nicht sämtliche Schichten des erhaltenen Textes.

4. Teilen und weiter teilen

Über den Menschen Liu Hui wissen wir erstaunlich wenig Sicheres. Fast dieselbe Lage wie bei dem Mann aus der dritten Folge: Das Werk ist vollständig da, der Mensch so gut wie verschwunden.

Ein Mann namens Liu Hui kommentierte die »Neun Kapitel über die mathematischen Verfahren«. Die überlieferte Datierung setzt das in das vierte Jahr der Ära Jingyuan unter Cao-Wei, also 263. Sein Kommentar und der später eigenständig überlieferte »Mathematische Klassiker von der Meeresinsel«, Haidao suanjing, sind unsere wichtigsten Zugänge zu ihm. Viel mehr haben wir nicht.

Populäre Darstellungen nennen heute oft ohne Umschweife Geburts- und Todesjahre, manchmal sogar einen genauen Herkunftsort und eine Familiengeschichte. Dafür gibt es bei weitem nicht dieselbe Grundlage in einer Biografie der offiziellen Geschichtswerke wie für Zu Chongzhis Lebensdaten 429 bis 500. Die überragende Bedeutung eines Werkes füllt nicht von selbst die Personalakte seines Autors. Das Jahr 263 ist vergleichsweise verlässlich: Sowohl ältere Kataloge als auch die bibliografischen Kapitel der offiziellen Geschichtswerke verzeichnen Liu Huis Kommentar zu den »Neun Kapiteln« für das vierte Jahr Jingyuan unter Wei.

Doch auch hier gibt es eine weitere Schicht. Der überlieferte Kommentar erwähnt Dinge wie ein bronzenes Hohlmaß aus dem Waffenmagazin der Jin-Dynastie. 263 herrschte aber noch Cao-Wei. Schon die Siku-Gelehrten bemerkten: Wenn Liu Hui den Kommentar im vierten Jahr Jingyuan schrieb, muss er ihn entweder nach Beginn der Jin-Zeit nochmals überarbeitet haben, oder spätere Anmerkungen sind in seinen Text eingegangen.

»Im vierten Jahr Jingyuan gab es Liu Huis Kommentar« ist daher eine recht belastbare Aussage. »Jeder Satz des heutigen Liu-Kommentars wurde 263 geschrieben« ist es nicht. Das Wertvollste an seinem Vorwort ist ohnehin keine große Zivilisationsgeschichte, sondern die Haltung des Autors.

Darin unterscheidet er sich deutlich von den Personen der vorigen Folgen. Archimedes erklärt in seinen Vorreden Briefwechsel und Prioritätsansprüche: wer gestorben ist, was er schon verschickt hat. Liu Hui erklärt sein Verhältnis zu einem alten Buch.

Er berichtet, er habe die »Neun Kapitel« seit seiner Kindheit gelernt und als Erwachsener immer wieder durchgearbeitet. Was er mit den alten Verfahren mache, sei, seine Einsichten aufzugreifen und die Verfahren damit zu kommentieren. Im Vorwort steht auch ein wichtiges Bild. Die Aufgaben verzweigten sich zwar wie Äste, hätten aber gemeinsame Wurzeln und einen gemeinsamen Stamm. Habe man an einer Stelle den Zusammenhang erfasst, könne man verwandte Sachverhalte von dort aus erschließen. Frei gesagt: Die Verfahren stehen schon im alten Buch. Ich will ihre Gründe sichtbar machen und zeigen, wie verwandte Einsichten ineinandergreifen.

Beachten wir: Er sagt weder, das alte Buch sei falsch, noch, er wolle ein anderes schreiben. Er weist sich die Rolle des Erklärenden zu.

Genau aus dieser Rolle entstehen sämtliche Fragen, die uns im weiteren Verlauf beschäftigen werden. Würde er bloß nach Vorschrift rechnen, gäbe es kein Problem des Kriteriums. Würde er ein neues Buch schreiben, wäre das eine andere Geschichte. Er tut etwas Drittes: Neben dem alten Text erklärt er Schritt für Schritt, warum dieser Text recht hat.

So verfährt er tatsächlich in seinen Anmerkungen. Häufig genügt es ihm nicht, nach Vorschrift das Ergebnis zu erhalten. Er fragt, warum gerade so multipliziert und so dividiert wird, warum beim Zerschneiden und Zusammenfügen die Größe unverändert bleibt. Die berühmteste Passage steht im ersten Kapitel, Fangtian, beim Verfahren für ein kreisförmiges Feld.

Er beginnt mit einem dem Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechseck. Mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke, die aus Radien und Sehnen hervorgehen, verdoppelt er nacheinander die Seitenzahl: zwölf, vierundzwanzig, achtundvierzig, sechsundneunzig, schließlich hundertzweiundneunzig. Bei jeder Verdopplung schmiegt sich das Vieleck enger an den Kreis. Der noch nicht erfasste Rest zwischen Kreis und Vieleck schrumpft. Liu Hui will außerdem erklären, wie sich diese Restfläche abschätzen lässt, damit die gewonnene Kreisfläche nicht bloß auf dem Augenmaß beruht.

Dieser letzte Schritt verdient Beachtung. Er zerschneidet nicht einfach so lange, bis kein Unterschied mehr sichtbar ist, und erklärt dann beide Flächen für gleich. Er verlangt eine Abschätzung der noch nicht erfassten Fläche. In diesem Rechengang schreibt er: »Je feiner man teilt, desto weniger geht verloren. Teilt man weiter und weiter, bis es sich nicht mehr teilen lässt, fällt es mit dem Kreis zusammen, und nichts geht mehr verloren.«

Dieser Satz wird gern herausgelöst und wie ein philosophischer Sinnspruch zitiert. Das ist er nicht. Er steht mitten in einer rechnerischen Begründung, in der konstruiert, der Fehler verkleinert und der Rest abgeschätzt wird. Vor und nach ihm ist konkrete Arbeit zu erledigen.

Heutige Historiker sprechen hier oft von einer Grenzwertidee. Das kann dem Verständnis helfen. Den Satz unmittelbar in die formalisierten Definitionen des neunzehnten Jahrhunderts zu übersetzen, bleibt trotzdem eine rückblickende Neufassung.

Das Verfahren des doppelten Widerspruchsbeweises aus der vierten Folge lässt die Seitenzahl zu keinem Zeitpunkt unendlich werden. Es verlangt nur, dass es irgendeine endliche Stufe gibt, auf der der Rest hinreichend klein wird. Liu Hui schreibt anders. Sein Satz führt den Prozess bis ans Ende: Wenn kein weiteres Teilen möglich ist, wird das Vieleck mit dem Kreis eins. Wie weit diese beiden Darstellungsweisen auseinanderliegen, ist eine wirkliche Frage. Durch Übersetzen allein lässt sie sich nicht lösen.

Bei den Zahlen müssen wir zwei Ebenen auseinanderhalten. Die Hauptfolge seiner Berechnungen führt zum 192-Eck; als handlichen Näherungswert für die Kreiszahl verwendet er 157/50. Der überlieferte Kommentar enthält außerdem einen genaueren Wert und Rechnungen, die mit höheren Seitenzahlen verbunden sind.

Gerade bei dieser späteren Passage darf man sich die Textgeschichte nicht leichtmachen. Dort werden Gegenstände aus dem Waffenmagazin der Jin erwähnt; 263 war aber noch Cao-Wei. Daraus schlossen die Textkritiker der Qing-Zeit, Liu Huis Kommentar könnte nach Beginn der Jin-Dynastie ergänzt worden sein. Auch die heutige Forschung behandelt die Frage unterschiedlich, ob diese Passage von ihm selbst aus späterer Zeit stammt oder einer nachfolgenden Textschicht angehört.

Dass Liu Hui persönlich im Jahr 263 bis zu sehr hohen Seitenzahlen gerechnet und sämtliche heute überlieferten Einzelheiten niedergeschrieben habe, ist also keine unstrittige Tatsache.

5. Wie dürfte ich den Zweifel nicht stehen lassen?

Beim Zerteilen des Kreises begründet Liu Hui nicht zum einzigen Mal, was er tut. Das Kapitel Shanggong gibt Verfahren für die Volumina verschiedener Körper aus dem Bauwesen. Seine Frage lautet: Warum muss in einer Formel durch zwei, durch drei, durch sechs geteilt werden?

Er stellt dazu kein neues Axiomensystem auf. Er zerlegt die Körper in Grundkörper, die sich miteinander vergleichen lassen. Ein qiandu lässt sich ungefähr als Keil in Gestalt eines geraden Dreiecksprismas verstehen; ein yangma ist ein schräg zulaufender pyramidenartiger Körper mit rechteckiger Grundfläche, ein bienao ein kleiner tetraederförmiger Körper.

Er zerlegt diese Körper, setzt ihre Teile zueinander ins Verhältnis und nutzt bekannte Volumenbeziehungen, um die unbekannten festzulegen. Beim Nachweis des Verhältnisses zwischen yangma und bienao werden die übrig bleibenden kleinen Körper auf dieselbe Weise weiter unterteilt.

Der entscheidende Gedanke ist mit der Kreisteilung verwandt. Die Differenz an einem großen Körper wird in kleinere, strukturell ähnliche Differenzen überführt. Lässt sich die Unterteilung immer weiter fortsetzen, kann der Rest das gesuchte Volumenverhältnis nicht zu Fall bringen.

Diese Gruppe von Begründungen ist so wichtig, weil sie zeigt: Liu Hui fängt nicht ausnahmsweise bei der Kreiszahl plötzlich an, nach Gründen zu fragen. Seine Kommentierung folgt einem wiederkehrenden Muster. Durch Zerlegung, Neuzusammensetzung, Querschnitte auf gleicher Höhe und abnehmende Reste erklärt er, warum die alten Verfahren notwendig richtig sind.

Allerdings müssen wir hier noch eine Schicht berücksichtigen.

In Liu Huis Kommentar ist immer wieder von roten, blaugrünen und gelben Körpern die Rede. Gemeint sind die unterschiedlich gekennzeichneten Teile in den Abbildungen. Nach der Song-Zeit waren die alten Zeichnungen verloren. Den Gelehrten der Qing-Zeit blieb nur, dem Sinn der Anmerkungen nachzugehen und die Bilder anhand des Wortlauts neu zu zeichnen. Im Siku-Katalog steht es unmissverständlich: »Die Abbildungen sind nicht mehr vorhanden.«

Einige der schönen räumlichen Zeichnungen in heutigen Büchern sind somit spätere Rekonstruktionen nach dem Text, keine Originalbilder aus dem dritten Jahrhundert. Eine Argumentation hängt wesentlich an Bildern, und die Bilder wurden nachträglich ergänzt. Wer den Charakter ihrer Begründungen untersucht, kann diese Ebene nicht überspringen. Nun kommen wir zur wichtigsten Passage dieser Folge. Das Kugelvolumenverfahren im Kapitel Shanggong der »Neun Kapitel« hat einen Fehler. Liu Hui hat ihn nicht zugunsten des alten Buches weggeredet.

Er konstruiert einen Körper namens mouhe fanggai. Man kann ihn als gemeinsamen Bereich zweier zueinander senkrechter Körper mit zylindrischer Querschnittsstruktur verstehen. Er erkennt, dass die Querschnitte der Kugel und dieses Körpers auf jeweils gleicher Höhe in einem festen Verhältnis stehen. Könnte er das Volumen des fanggai bestimmen, wäre auch das Kugelproblem gelöst.

Aber er kann das Volumen des fanggai nicht bestimmen.

Deshalb schreibt er nicht: Das ist offensichtlich. Der überlieferte Text endet vielmehr ungefähr in diesem Ton: Rundes und Eckiges greifen ineinander, Dicken ändern sich, die Beziehungen sind verwickelt. Würde er sich allein vom Aussehen zu einer Erklärung drängen lassen, könnte er den richtigen Grund verfehlen. Also lässt er die Frage lieber offen. »Wie dürfte ich darauf verzichten, den Zweifel stehen zu lassen und auf jemanden zu warten, der es erklären kann?«

Das ist kein bescheiden verkleidetes »Ich hatte keine Zeit, es auszurechnen«. Es heißt eher: Solange mir ein Grund fehlt, den ich selbst für hinreichend gerechtfertigt halte, wie könnte ich dann darauf verzichten, diese Stelle ausdrücklich als ungeklärt zu markieren und auf jemanden zu warten, der sie erklären kann? Das Gewicht der Passage liegt nicht in einer Romantik des Scheiterns. Sie formuliert ein ungewöhnlich scharfes negatives Kriterium. Negativ heißt: Sie sagt nicht, was als Mathematik gilt. Sie sagt, was nicht genügt.

So unmittelbar hat in dieser Reihe bisher noch niemand über die eigene Arbeit gesprochen. Archimedes hatte gesagt, eine mechanische Methode sei kein Beweis. Aber er hatte das Ergebnis bereits in der Hand. Hier fehlt sogar das Ergebnis. Und Liu Hui schreibt genau das in den Text.

Ein Ergebnis reicht nicht. Auch eine plausibel aussehende Zeichnung reicht nicht. Wer noch keinen tragfähigen Grund geben kann, der ihn selbst überzeugt, muss aufhören.

Auch der Mann aus der vierten Folge hielt an einer Stelle an, nur auf andere Weise. Archimedes sagte: Mit dieser Methode finde ich das Ergebnis, aber sie gilt nicht als Beweis, also beweise ich es nochmals. Liu Hui sagt: Ich habe noch nicht einmal eine solche Methode, also schreibe ich sie nicht hin. Der eine hat etwas gefunden und lässt es nicht gelten. Der andere hat es nicht gefunden und gesteht es ein. Beide Arten des Anhaltens haben eines gemeinsam: Die Beteiligten haben sie selbst festgehalten. Es sind keine nachträglichen Urteile über sie.

Solche Zeugnisse sind in dieser Reihe selten. In der ersten Folge gab es keines, in der zweiten keines, in der dritten auch nicht. Erst in der vierten und fünften begegnen sie uns zweimal hintereinander. Die Lücke wurde später von anderen geschlossen.

Zu Chongzhis Lebenszeit ist viel besser belegt als die Liu Huis. Die offiziellen Geschichtswerke nennen 429 bis 500. Er arbeitete an Kalendern, Astronomie und Mathematik. Sein Werk Zhuishu ging später in das staatliche mathematische Lehrprogramm ein, ist selbst aber verloren. Für das Kugelvolumen sind wir heute vor allem auf die Überlieferung der Familie Zu angewiesen, die in den Tang-zeitlichen Erläuterungen Li Chunfengs und anderer erhalten blieb. Der Kernsatz lautet: »Sind die entsprechenden Querschnittsflächen gleich, können die Volumina nicht verschieden sein.« Mit mi sind die entsprechenden Querschnittsflächen gemeint, mit ji die Volumina. Zwei Körper, die auf jeder gleichen Höhe gleich große Querschnittsflächen haben, besitzen demnach dasselbe Gesamtvolumen.

Zu Chongzhis Sohn Zu Geng nutzte diesen schichtweisen Vergleich der Querschnitte, um Liu Huis fanggai auf Körper mit bestimmbarem Volumen zurückzuführen. Damit gewann er das richtige Verhältnis für das Kugelvolumen.

Zu Chongzhis Ergebnis für die Kreiszahl ist in den offiziellen Geschichtswerken unmittelbarer belegt. Dort heißt es, er habe ein noch genaueres Verfahren entwickelt und den Kreisumfang in einem außerordentlich großen Maßstab berechnet. Er gab eine obere und eine untere Schranke an, eine mit Überschuss und eine mit Fehlbetrag. In heutigen Dezimalzahlen lauten sie 3,1415926 und 3,1415927; ihre Differenz beträgt 0,0000001. Überliefert sind außerdem zwei Verhältnisse: als genaue Näherung ein Durchmesser von 113 zu einem Umfang von 355, als einfachere Näherung ein Durchmesser von 7 zu einem Umfang von 22. Diese Ergebnisse selbst sind ausgesprochen solide überliefert.

Die Methode ist dagegen verloren. Die Geschichtswerke berichten nur von einem »noch genaueren Verfahren«, ohne die einzelnen Rechenschritte abzuschreiben. Auch das Zhuishu ist nicht erhalten.

Die heute verbreitete Erzählung, er habe Liu Huis Kreisteilung bis zu einem Vieleck mit mehr als zehntausend oder mehr als zwanzigtausend Seiten fortgesetzt, muss deshalb als Rekonstruktionshypothese gekennzeichnet werden. So steht es in keinem erhaltenen Originaltext. Das ist sehr wahrscheinlich. Aber aus dem Ergebnis lässt sich nicht rückwärts ein einzig möglicher Algorithmus bestimmen. Das Ergebnis ist gesichert. Bei der Methode muss die Lücke bleiben.

6. Dreißig Studierende

Mit Liu Huis Kommentar war die Geschichte nicht zu Ende.

Unter dem Tang-Kaiser Gaozong erhielten Li Chunfeng und andere den kaiserlichen Auftrag, die »Neun Kapitel« und weitere Rechenklassiker erneut zu kommentieren. So entstanden drei Schichten: Grundtext, Liu-Kommentar und Tang-Erläuterungen. Wer heute die »Neun Kapitel« liest, begegnet oft auf derselben Seite den Stimmen dreier Zeitalter.

Auch Li Chunfengs Stellung lohnt einen Blick. Seine mathematische Kommentierungsarbeit war mit Astronomie und Kalenderwesen, der Abfassung offizieller Geschichtswerke und technischen Aufgaben am Hof verbunden. Er war kein Universitätsprofessor im heutigen Sinn.

Die Tang-Zeit brachte noch etwas anderes. Die im kaiserlichen Auftrag von Li Chunfeng und seinen Mitarbeitern bearbeitete Gruppe von Klassikern wurde später als »Zehn Rechenklassiker« zusammengefasst: Zhoubi suanjing, Jiuzhang suanshu, Haidao suanjing, Sunzi suanjing, Zhang Qiujian suanjing, Wucao suanjing, Xiahou Yang suanjing, Wujing suanshu, Jigu suanjing und Zhuishu. Diese Bücher wurden in das staatliche mathematische Ausbildungs- und Prüfungssystem aufgenommen.

An der Reichsakademie, dem Guozijian, gab es eine eigene Abteilung für Rechenstudien. Die überlieferten institutionellen Vorschriften nennen dreißig Studienplätze. Für die »Neun Kapitel« und den »Meeresinsel-Klassiker« waren zusammen drei Jahre vorgesehen, für Sunzi und Wucao zusammen eines, für Zhang Qiujian und Xiahou Yang ebenfalls eines, für Jigu drei Jahre und für das Zhuishu sogar vier.

Bei dieser Zahl lauert eine Falle. Dreißig Studierende bezeichnet die vorgesehene Größe der Schule. Es bedeutet nicht, dass jährlich dreißig Bewerber die Mingsuan-Prüfung bestanden. Die Regelungen änderten sich im Lauf der Zeit, und neuere Darstellungen werfen häufig Studienplätze, Teilnehmerzahlen und die Zahl der Aufgenommenen durcheinander. Mingsuan, das Rechenfach, war ein technisches Fach unter den regulären Prüfungskategorien der Tang-Zeit, neben Jinshi, Mingjing, Mingfa und Mingzi. Gesellschaftliches Ansehen, Laufbahnen und Prüfungsumfang waren jedoch sehr verschieden.

Mit »neben« müssen wir vorsichtig sein. Im institutionellen Verzeichnis standen sie nebeneinander, ihrem Gewicht nach keineswegs. Die beruflichen Wege führten vor allem in technische Aufgaben, Kalenderberechnung und die unteren bis mittleren Ränge der allgemeinen Verwaltung. Ein eigenständiger Stand von Mathematikprofessoren entstand daraus nicht. Schon der Titel Wucao suanjing, »Rechenklassiker der fünf Verwaltungsabteilungen«, bindet das Rechnen weiterhin an die Bedürfnisse staatlicher Dienststellen. Wie das Buch selbst später überlebte, ist noch einmal eine andere Geschichte.

Um 1084, unter den Nördlichen Song, gab es ein staatliches Projekt zum Druck der zehn Rechenklassiker. Unter den Südlichen Song folgten Neudrucke und Abschriften. In der Ära Qingyuan der Südlichen Song erhielt Bao Huanzhi aus dem Hause Yang Zhongfus ein Exemplar der »Neun Kapitel«, das abgeschrieben und in die kaiserliche Bibliothek aufgenommen wurde.

Damit war der Text aber keineswegs dauerhaft gesichert. In der Ming-Zeit waren vollständige ältere Ausgaben der »Neun Kapitel« kaum noch aufzutreiben. Glücklicherweise hatte die Enzyklopädie Yongle dadian große Textmengen nach Sachgebieten aufgenommen. Als unter dem Qing-Kaiser Qianlong das Siku quanshu entstand, sammelten und kollationierten Gelehrte um Dai Zhen die verlorenen Rechenklassiker neu, gestützt auf das Yongle dadian und andere Quellen. Die heute verbreiteten Fassungen beruhen zu einem erheblichen Teil auf dieser Rekonstruktion der Qing-Zeit.

Die »Neun Kapitel über die mathematischen Verfahren«, die wir heute lesen, sind also nicht ein einziges Buch, das seit der Han-Zeit von Hand zu Hand weitergegeben wurde.

Das lässt sich neben das Palimpsest aus der vorigen Folge stellen. Dort überlebte ein Gegenstand durch eine Kette materieller Zufälle, und der Text entspricht im Wesentlichen dem, was der Schreiber des zehnten Jahrhunderts niedergeschrieben hatte. Hier gibt es keinen solchen einen Gegenstand. Dafür wurde der Text über mehr als tausend Jahre ergänzt, kommentiert, gedruckt, auseinandergerissen und aus Enzyklopädien wieder aufgesammelt. Dort blieb das Ding bestehen. Hier blieb etwas am Leben.

Der Text, den wir vor uns haben, setzt sich aus dem Han-zeitlichen Grundtext, Liu Huis Kommentar des dritten Jahrhunderts, den Tang-Erläuterungen, der Drucküberlieferung der Song-Zeit, den Resten in einer Ming-Enzyklopädie und der Sammel- und Editionsarbeit der Qing zusammen. Nun gibt es noch etwas, das näher am tatsächlichen Rechnen liegt als das Buch und leichter übersehen wird.

Rechenstäbchen sind schmale Stäbe aus Bambus, Holz oder ähnlichem Material. In der Pekinger Qin-Sammlung sind 61 wirkliche Exemplare erhalten. Üblich sind Längen von einigen Zentimetern bis in den Bereich von etwas über zehn Zentimetern.

Zum Rechnen legt man die Stäbchen auf eine ebene Fläche. Ihre Position bezeichnet Einer, Zehner, Hunderter; waagerechte und senkrechte Formen wechseln sich häufig ab, damit benachbarte Stellen nicht verwechselt werden. Gerade die Verfahren des Kapitels Fangcheng eignen sich dazu, mehrere Zahlenspalten auf einer Fläche nebeneinanderzulegen und dann nach Vorschrift zu eliminieren. Die moderne Matrixschreibweise kann das Ergebnis präzise nachbilden, lässt aber die wirklichen Handbewegungen der damaligen Rechner verschwinden. Hier klafft eine wichtige Lücke der Aufzeichnung: Ein niedergeschriebener Algorithmus ist noch kein vollständiges Protokoll seiner Ausführung.

Wenn im Buch steht: »Lege drei Garben Getreide erster Qualität aus«, kann der Mensch am Rechenbrett während der Rechnung Dutzende Male Stäbchen verschieben, vertauschen und entfernen. Hinterher zeichnet das Buch nicht jede zwischenzeitliche Stäbchenstellung ab. Alte Rechenbücher haben etwas von Aufzeichnungen zu einem Brettspiel: Regeln und typische Stellungen, keine Videoaufnahme jeder einzelnen Rechnung.

Für rote Stäbchen bei positiven und schwarze bei negativen Größen gibt es in der Kommentarüberlieferung eine entsprechende Tradition der Farbunterscheidung. Die materiellen Funde reichen aber nicht aus, um zu behaupten, bei jeder Rechnung mit positiven und negativen Größen in der Han-Zeit seien ausnahmslos ein roter und ein schwarzer Stäbchensatz benutzt worden. Eine textliche Vorschrift und der Zustand ausgegrabener Gegenstände sind zwei Arten von Belegen.

Das wirkt wie eine Kleinigkeit. Tatsächlich betrifft es genau das Thema dieser Folge. Zwischen dem, was im Buch steht, und dem, was geschah, liegt immer ein Stück Weg. Die Nachgeborenen bekommen oft nur die im Buch festgehaltene Hälfte zu sehen.

7. Gilt das als Beweis?

Jetzt können wir die Frage stellen: Sind Liu Huis Begründungen Beweise? Darauf gibt es kein schlichtes Ja oder Nein. In der Forschung lassen sich mindestens vier Positionen unterscheiden.

Die erste könnte man eine erweiterte Geschichte des Beweisens nennen. Untersucht Beweisgeschichte, wie mathematische Gemeinschaften Gründe vorbringen, die ausreichen, die Richtigkeit eines Algorithmus zu gewährleisten, gehören viele von Liu Huis Kommentaren offenkundig dazu. Diese Forschungsrichtung widerspricht ausdrücklich einer Geschichte, die von vornherein nur griechisch geprägte Deduktionen von Lehrsätzen als Beweise gelten lässt. Sie bezieht auch die Begründung von Algorithmen in chinesischen, indischen, mesopotamischen und anderen Traditionen ein.

Die zweite Position lautet: strukturell gleichwertig, in der Form verschieden. Sie erkennt an, dass Liu Hui bei rechtwinkligen Dreiecken, Flächen, Volumina und anderen Gegenständen wirkliche Begründungen gibt. Zugleich betont sie, dass Textaufbau, Sprache und Darstellung der Schlüsse in den »Neun Kapiteln« und ihrem Kommentar anders funktionieren als die Folge von Sätzen und Beweisen in den »Elementen«. Der Vergleich soll Liu Huis Sätze nicht in euklidische Form umschreiben, um anschließend zu erklären, im Grunde sei alles dasselbe. Er soll klären, wie jede Tradition auf ihre Weise Verlässlichkeit herstellt.

Die dritte Position erhebt einen philologischen Vorbehalt. Moderne Mathematiker können allzu leicht einen alten Verfahrenssatz in heutige Algebra übersetzen, für diesen algebraischen Ausdruck einen eleganten Beweis ergänzen und die moderne Rekonstruktion anschließend rückwärts als den ursprünglichen Beweis ausgeben. Das ist keine pauschale Behauptung, in China habe es keine Beweise gegeben. Die Warnung lautet: Der Beweis des Historikers darf nicht an die Stelle des Beweises der historischen Akteure treten.

Die vierte Position legt einen traditionelleren, engeren Maßstab an. Soll »Beweis« ausschließlich die fortlaufende Deduktion von Aussagen aus ausdrücklich angegebenen Definitionen, Postulaten, Axiomen und zuvor bewiesenen Sätzen heißen, dann gehört der größte Teil von Liu Huis Begründungen selbstverständlich nicht zu dieser Textform.

Aber auch wer diesen Sprachgebrauch übernimmt, kann daraus nur schließen: Das ist nicht diese Art von Beweis. Er kann nicht schließen: Hier wird die Richtigkeit nicht begründet.

Der eigentliche Dissens der Forschung betrifft daher nicht die Frage, ob Liu Hui Gründe anführt. Dafür ist das Material viel zu eindeutig. Umstritten ist, welche historischen Praktiken das Wort »Beweis« umfassen soll und ob es ihre Unterschiede einebnet. Hinter den vier Positionen stehen methodische Entscheidungen mehrerer Generationen. Für Leser ist dabei nicht entscheidend, wer in welchem Lager steht, sondern worauf jede Position aufmerksam macht.

Die praktischste Warnung betrifft das Übersetzen. Man überträgt einen alten Verfahrenssatz in moderne Algebra, versieht den Ausdruck mit einem schönen Beweis und schreibt diese Rekonstruktion dann in die Vergangenheit zurück: So hätten die Alten bereits argumentiert. Nach drei Schritten steht ein Beweis im Buch, den damals nie jemand geschrieben hat. Das heißt nicht, dass es in China keine Beweise gab. Es heißt, dass eine spätere Rekonstruktion nicht ersetzen darf, was die damaligen Menschen selbst aufgeschrieben haben.

Eine zweite Warnung betrifft das Vergleichen. Man kann Ergebnislisten aufstellen und nachsehen, wer was zuerst fand. Man kann aber auch anders fragen: Was musste jemand im alten Griechenland oder im alten China jeweils tun, damit andere seine Behauptung annahmen? Zu wem sprach er? Wodurch wurde sie glaubwürdig? Für diese Fragen muss man nicht zuerst entscheiden, welche Zivilisation der späteren europäischen Wissenschaft näher kam.

Eine weitere Warnung liefern die ausgegrabenen Texte. Seit das Rechenbuch aus Zhangjiashan wieder gelesen werden kann, lassen sich die »Neun Kapitel« nicht mehr als einzige Quelle sämtlicher früher Algorithmen behandeln. Zu fragen ist vielmehr, wie Rechnen als ein Gefüge von Praktiken und Texten überhaupt entstand und weitergegeben wurde.

Was den Text selbst angeht, haben Guo Shuchun und die französische Forscherin Karine Chemla die heute umfassendste gemeinsame Aufarbeitung vorgelegt. Sie behandeln Grundtext, Liu-Kommentar, Tang-Erläuterungen, Terminologie und die Rekonstruktion der Zeichnungen zusammen. Eine ihrer zentralen Fragen lautet gerade, wie ein Algorithmus zu einem Gegenstand wird, der sich beweisen lässt. Ein Teil des Streits ist tatsächlich eine Frage der Definition.

Definiert man Beweisen vorab als fortlaufendes Ableiten aus ausdrücklich formulierten Definitionen, Axiomen, Postulaten und früheren Sätzen, enthält der Grundtext der »Neun Kapitel« natürlich nur wenige Beweise. Auch Liu Huis Kommentar übernimmt diese Gesamtarchitektur nur selten.

Definiert man Beweisen dagegen als das öffentliche Vorbringen von Gründen, die es der betreffenden Gemeinschaft erlauben, die notwendige Richtigkeit einer allgemeinen mathematischen Aussage oder eines Algorithmus anzuerkennen, dann gehören Kreisteilung, Zerlegen und Ergänzen von Flächen, yangma und bienao sowie die Erklärungen des Wurzelziehens ganz selbstverständlich in die Geschichte des Beweisens.

Doch der Streit endet nicht im Wörterbuch.

Selbst wenn sich alle auf die weitere Definition einigen, bleiben Fragen: Wie sahen Liu Huis ursprüngliche Zeichnungen aus? Welche Rolle spielt das »Nicht-weiter-teilbar« in seiner Begründung? Enthält die rekursive Unterteilung eine unausgesprochene Vollständigkeitsannahme? Welche Gründe hielten seine Leser für hinreichend? Das sind gehaltvolle historische Fragen, keine Wörterbuchfragen. Und eine davon lässt sich inzwischen nicht mehr sauber beantworten: Die ursprünglichen Zeichnungen fehlen.

Die Terminologie entscheidet, ob man Liu Hui in die Schublade »Beweis« legt. Die Untersuchung des Materials entscheidet, was tatsächlich darin liegt.

8. Die Frage umdrehen

Jetzt müssen wir die Frage umdrehen. Und zwar ernsthaft.

Diese Folge heißt »Ein anderes Kriterium«. Hält dieser Rahmen selbst stand?

Der erste Einwand lautet: Die Gegenüberstellung einer algorithmischen und einer deduktiven Tradition könnte selbst ein Erzeugnis moderner Geschichtsschreibung sein. Das ist ein starker Einwand.

Liu Hui bietet offensichtlich nicht nur Algorithmen, sondern auch Begründungen. Umgekehrt bestand die altgriechische Mathematik nicht allein aus Axiomensystemen. Sie kannte numerisches Rechnen, Algorithmen, astronomische Berechnungen und praktische Vermessung. Wer aus Jahrtausenden von Material auf jeder Seite den einen Klassiker auswählt, der dem Klischee am besten entspricht, kann künstlich zwei reine Traditionen herstellen.

Diese Folge darf daher nur eine begrenzte Aussage machen: In der Texttradition der »Neun Kapitel« und des Liu-Kommentars bildet das shu, das Verfahren, in hohem Maß das Ordnungszentrum. Daraus darf nicht die Behauptung werden, der Geist einer ganzen Zivilisation sei algorithmisch.

Der zweite Einwand lautet: Der Gegensatz zwischen Beweis und Algorithmus wird übertrieben.

Gerade Liu Hui zeigt das. Was er begründet, ist häufig der Algorithmus selbst. Beweisen ist dann keine andere Tätigkeit außerhalb des Algorithmus. Es beantwortet die Frage, warum dieser Algorithmus für sämtliche Aufgaben dieser Art gilt.

Der dritte Einwand ist der wichtigste. Mathematik als einheitlicher, zivilisations- und epochenübergreifender Gegenstand ist selbst eine analytische Kategorie der Historiker. Die Menschen der Streitenden Reiche, der Qin- und der Han-Zeit sprachen von shu, Zahlen, von suan, Rechnen, von shu, Verfahren, und von jiu shu, den neun Rechenkünsten. Sie diskutierten nicht darüber, was das Wesen der Mathematik im heutigen Sinn sei.

Der Satz »Das Kriterium stand noch nicht fest« gehört deshalb zum rückblickenden Sprechen. Er bedeutet nicht, dass Menschen zu Liu Huis Zeit sich selbst gesagt hätten: Was als Mathematik zählt, ist noch unentschieden. Wer das vergisst, wirft eine heutige Frage der Wissenschaftsphilosophie in die Vergangenheit zurück.

Der vierte Einwand richtet sich gegen die »Neun Kapitel« selbst. Die ausgegrabenen Texte könnten eine Erzählung, die alles um dieses Werk anordnet, insgesamt zum Einsturz bringen.

Zhangjiashan, Yuelu und die Pekinger Sammlung zeigen, dass frühes Rechenwissen womöglich in vielen kurzen Verfahren, Exzerpten, Sammlungen, Tabellen, Verwaltungsrechnungen und mündlich vermittelten Handgriffen bestand. Dass die »Neun Kapitel« später zum Kanon wurden, heißt nicht, alles Rechnen der Streitenden Reiche und der Qin- und Han-Zeit habe auf dieses Buch zugesteuert.

Früher war es leicht, darin ein vollständiges Gebäude zu sehen, das plötzlich dastand. Jetzt werden die vielen schon zuvor vorhandenen Bauteile, unterschiedlichen Bauweisen und einzelnen Räume sichtbar.

Diesen Wandel haben die ausgegrabenen Texte bewirkt, und er führt nach unten. Er macht die »Neun Kapitel« nicht älter und größer. Er verwandelt sie von einem Anfangspunkt in einen bestimmten Querschnitt durch einen laufenden Prozess.

Ein Bautagebuch haben wir trotzdem noch immer nicht.

Der fünfte Einwand trifft schon die Formulierung, zwei Traditionen hätten jeweils für sich Bestand. Auch sie könnte China und Griechenland zu sehr als geschlossene Welten denken. Historische Wissensgemeinschaften sind keine von Natur aus gegebenen Zivilisationskästen. Als Einheiten des Vergleichs eignen sich konkrete Zeiten, Texte, Institutionen und Praktiken besser als vorab als feste Größen behandelte Wesenszüge ganzer Zivilisationen.

Was von dieser Folge am Ende übrig bleiben kann, ist deshalb schwächer als die These von »zwei mathematischen Traditionen«. Und belastbarer.

Das chinesische Material von der Zeit der Streitenden Reiche bis zu Wei und Jin zeigt eine mathematische Praxis, in deren Zentrum das Zusammenstellen, Ausführen und begründende Kommentieren von Verfahren steht. Wie sie Verlässlichkeit herstellt, lässt sich eigenständig beschreiben. Ein Vergleich mit bestimmten altgriechischen Praktiken der Deduktion von Sätzen ist sinnvoll. Algorithmus und Deduktion sind aber weder das ewige Wesen zweier Zivilisationen noch Platzierungen auf derselben Rennbahn. Einige besonders gefährliche Arten des Vergleichs sollten wir uns merken.

Die eine definiert eine Tradition mit dem Maß einer anderen, späteren Tradition. Legt man vorab fest, Mathematik sei ein Text nach dem Muster der »Elemente«, lassen sich die »Neun Kapitel« nur noch als etwas beschreiben, dem Axiome fehlen. Legt man dagegen fest, Mathematik bestehe aus allgemeinen Algorithmen, fehlen den »Elementen« plötzlich ausführbare Berechnungen. In beiden Fällen gibt man lediglich den selbst gewählten Maßstab als neutralen Standard aus.

Eine andere verwechselt Werktypen mit Zivilisationstypen. Die »Neun Kapitel« sind ein Rechenklassiker, die »Elemente« eine in Sätzen geordnete geometrische Sammlung. Zwei Bücher zu vergleichen heißt nicht, zwei Menschengruppen zu vergleichen. Dazu kommt das Ausblenden der Kommentare. Wer den nackten Grundtext der »Neun Kapitel« neben die Satzbeweise der »Elemente« legt und Liu Huis Anmerkungen ausschließt, hat die Antwort schon vor Beginn des Vergleichs festgelegt.

Eine weitere füllt die Vergangenheit mit heutigen Fachgrenzen auf. Algebra, Geometrie, Beweis und Algorithmus lassen sich durchaus als Analysebegriffe verwenden. Nur muss deutlich bleiben, dass sie Übersetzungswerkzeuge heutiger Historiker sind und nicht die ursprünglichen Kategorien der damaligen Menschen.

Zurück zu den mehr als zweihundert verstreuten Bambusstreifen.

Seit die Schnüre verfault sind, ist die ursprüngliche Bindereihenfolge nicht mehr unmittelbar erhalten. Bindespuren, materielle Lage und örtliche Zusammenhänge schränken die möglichen Rekonstruktionen aber weiterhin ein. Um das Buch wieder lesen zu können, muss man zunächst entscheiden, welcher Streifen vor welchem stand. In diese Entscheidung geht bereits die heutige Vorstellung davon ein, wie der Algorithmus ablaufen müsste. Die Bearbeiter wissen das selbstverständlich und schöpfen alle materiellen Befunde aus, um ihre Deutung zu begrenzen. Ganz beseitigen lässt sich der Kreis trotzdem nicht.

Damit ist nicht gesagt, die rekonstruierte Reihenfolge sei unglaubwürdig. Die materiellen Befunde setzen enge Grenzen, und verschiedene Spuren können einander bestätigen. Gesagt ist: Diese Reihenfolge ist eine Schlussfolgerung, keine Beobachtung. Um ein Rechenbuch zu verstehen, muss man zunächst voraussetzen, dass sich damit richtig rechnen lässt. Dieser Kreis begegnete uns schon im ersten Abschnitt, damals beim Ordnen der Bambusstreifen. Jetzt zeigt sich, dass es um mehr geht als um ihre Reihenfolge.

Auch wer entscheiden will, ob Liu Huis Kommentar als Beweis gilt, muss zuerst voraussetzen, dass Liu Hui etwas tut, das man Begründung nennen kann. Erst dann lässt sich fragen, ob er es hinreichend gut tut. Was man ihm dabei als Tätigkeit zuschreibt, bestimmt sich nach dem späteren Verständnis von Begründung.

Die damaligen Menschen selbst haben nicht gefragt, was als Mathematik zählt. Sie sprachen von Zahlen, Rechnen und Verfahren. Die Frage stellen die Späteren, und sie stellen sie rückblickend. Dabei sollten wir einen Moment verweilen. Denn damit wird auch der Standort dieser ganzen Reihe deutlich.

Das traditionsübergreifende Kriterium, von dem diese Folge spricht, gehört zur späteren vergleichenden Analyse. Das heißt nicht, dass die Menschen damals nie über ihre eigenen Maßstäbe des Begründens gesprochen hätten. Sichtbar wird es im Rückblick, nachdem sich eine bestimmte Art des Vorgehens durchgesetzt hat. Zuvor rechneten Menschen an verschiedenen Orten aus, was sie ausrechnen wollten, und hatten jeweils ihre eigenen Wege, dem Ergebnis vertrauen zu können. Liu Huis »Wie dürfte ich den Zweifel nicht stehen lassen?« bezeichnet genau die untere Grenze dessen, was diese Wege für ihn leisten mussten. Er sagte nicht, was als Mathematik zählt. Er sagte: An dieser Stelle traue ich der Sache noch nicht.

Es wird weitergerechnet. Was aber als Mathematik zählt, ist noch nie restlos aufgegangen.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen im Text. Sammlungskataloge, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Abwechselnd schreiben: Die Schreiberhände im Suan shu shu
• Universität Peking: Qin-zeitliche Bambus- und Holzmanuskripte der Sammlung
• Tsinghua-Universität: Eine Rechentafel aus der Zeit der Streitenden Reiche
• Karine Chemla: Die Verfahren der Neun Kapitel lesen und neu einordnen
• Karine Chemla: Mathematische Beweise anhand altchinesischer Dokumente untersuchen
• Universität St Andrews: Zu Chongzhi