또 다른 판단 기준

1 끈이 썩었다

1983년 말부터 1984년 초까지, 후베이성 강릉(江陵)의 장가산(張家山)에서 한나라 무덤들이 발굴됐다. 그중 247호 무덤에서 죽간이 대거 쏟아져 나왔다.

무덤 속에서 나온 연대 기록을 바탕으로, 학자들은 대체로 이 무덤을 한나라 고후 2년, 곧 기원전 186년 무렵의 것으로 본다. 이것은 고고학적 추정이다. 무덤을 봉한 정확한 날짜처럼 써서는 안 되며, 마지막으로 확인되는 연대만 보고 필사본이 반드시 그해 이전에 만들어졌다고 단정할 수도 없다. 이 죽간들 사이에 산서(算書), 곧 계산을 다룬 책 한 권이 있었다.

본래는 어엿한 책이었다. 약 200개의 대나무 쪽을 엮었는데, 하나하나의 길이는 30센티미터 안팎, 너비는 고작 6~7밀리미터였다. 그 위에 가로로 한 줄을 쓰는 것이 아니다. 붓으로 가늘고 긴 대나무 면을 따라 위에서 아래로 글자를 써 내려갔다. 죽간 한 개에 몇 글자에서 수십 글자가 들어갔고, 하나의 계산 절차를 적는 데 여러 개가 필요하기도 했다. 다 쓰면 세 줄의 끈으로 대나무 쪽들을 차례로 엮어 두루마리처럼 말았다. 끈은 유기물이다.

2천여 년 뒤 무덤을 열었을 때, 죽간을 엮었던 세 줄의 끈은 모두 썩어 있었다. 책 한 권은 가늘고 긴 대나무 조각 200여 개가 되어 있었다. 순서는 흐트러졌고, 군데군데 부러진 곳도 있었다.

여기서 앞선 글들에는 없던 문제가 생긴다. 글은 남아 있는데, 순서가 사라졌다.

현대의 인쇄본에서는 문장 뒤에 문장이 이어지는 것이 당연해 보인다. 죽간으로 책을 만들던 시대에는 그렇지 않았다. 끈이 끊어지고 나면 순서 자체가 증명해야 할 대상이 된다. 정리하는 사람들은 죽간의 길이, 위아래 대나무 마디의 위치, 끈이 남긴 자국, 필사자의 글씨, 먹빛, 깨진 단면의 모양, 문장이 이어지는지 여부, 그리고 법(法)·실(實)·술왈(術曰) 같은 기술 용어가 연속되는지를 살피며 한 개씩 순서를 다시 잡을 수밖에 없다. 하나만 잘못 끼워 넣어도 같은 알고리즘이 전혀 다른 절차처럼 보인다.

여기에는 조금 불편한 구석이 있다. 어느 죽간이 앞이고 어느 죽간이 뒤인지 정할 때, 물리적 증거가 제약할 수 있는 것은 일부다. 나머지는 뜻에 기대야 한다. 뜻에 기댄다는 것은, 복원한 순서대로 읽었을 때 그 알고리즘이 말이 되어야 한다는 뜻이다. 다시 말해 산서를 되살려 읽으려면, 먼저 그 책의 계산이 제대로 굴러간다고 가정해야 한다. 이 말은 글의 끝에서 한 번 더 돌아온다. 발굴 뒤 전체 판독문이 정식으로 나오기까지 십수 년이 걸렸다. 판독문은 2000년에 발표됐고, 주석본은 2001년에 나왔다.

그 십수 년 동안 똑같은 조각 맞추기만 한 것은 아니다. 세척과 보존 처리, 촬영, 고문자 판독, 필적 비교, 거듭된 순서 재배열, 다른 출토 자료와의 대조가 모두 들어 있다. 고문자학자들이 느긋해서가 아니다. 자료의 구조 자체가 그런 시간을 요구했다. 큰 도움이 된 단서가 하나 있었다. 현대의 정리 번호로 여섯 번째 죽간 뒷면에 세 글자가 적혀 있었다. ‘筭數書’, 산수서. 이 책이 스스로 밝힌 이름이었다.

책의 여섯 번째 죽간 뒷면에 책 이름을 적어 두는 데에는 당시로서는 실용적인 이유가 있었다. 둘둘 말아 놓으면 밖에서는 안에 무슨 내용이 있는지 보이지 않는다. 어딘가에는 표시가 있어야 했다.

2천 년 뒤의 정리자에게 그 세 글자는 또 다른 쓸모가 있었다. 적어도 한 가지는 확실해졌다. 흩어진 대나무 조각들은 원래 한 권의 책을 이루고 있었고, 그 책에는 이름이 있었다.

몇몇 죽간의 아래쪽에는 ‘왕(王)’, ‘양(楊)’, 그리고 ‘왕이 이미 교감함(王已讎)’, ‘양이 이미 교감함(楊已讎)’이라는 글도 있다. 수(讎)는 글을 대조하고 바로잡는다는 뜻이다. 이 두 사람이 필사자였는지, 교감자였는지, 아니면 다른 역할을 맡았는지는 아직 확정할 수 없다.

그래도 적어도 이것은 알 수 있다. 기원전 186년 무렵에는 반복해서 사용할 수 있는 계산 절차를 담은 실물 책이 이미 있었고, 누군가 그 내용을 대조해 확인한 흔적까지 남아 있다.

앞선 네 편에서 만난 물질의 처지는 저마다 달랐다. 점토판은 문질러 지울 수 있지만, 지운 뒤에도 판은 남는다. 밀랍의 글은 지우면 없어져 버린다. 양피지는 긁어낼 수 있지만, 다 지워지지 않은 먹이 섬유에 남아 700년 뒤에도 읽힌다. 죽간은 네 번째 경우다. 2천 년을 버틸 수 있다. 다만 흩어진다. 재료가 네 가지면 망가지는 방식도 네 가지다. 문질러 지워지고, 사라지고, 긁어도 덜 지워지고, 흩어진다.

그중 흩어지는 경우에는 고유한 골칫거리가 있다. 앞의 세 가지는 손상된 뒤 남은 것이 원래 모습인지 아닌지 보면 알 수 있다. 흩어진 경우에는 조각이 모두 남아 있어도 어떻게 놓아야 하는지를 모른다. 각각의 실패 방식이 후대에 무엇이 건네질지, 그것을 읽기 위해 무엇을 감수해야 할지를 결정한다.

2 사 온 것과 파낸 것

땅에서 나온 산서는 이 한 권뿐이 아니다. 그런데 그것들이 증거로서 지니는 지위는 크게 다르다. 이 차이부터 짚고 가야 한다.

2007년 말, 악록서원(岳麓書院)은 홍콩에서 진(秦)나라 죽간 한 무더기를 사들였다. 번호가 붙은 죽간은 약 2,100개, 그중 비교적 온전한 것은 1,300개가량이었다. 2008년에는 수집가 한 사람이 기증한 76개를 더 받았다. 그 안에 《수(數)》라는 책이 있었다. 죽간 200여 개로 이루어진 이 책은 2011년에 정식 공개됐다.

2010년 초, 베이징대학도 해외에서 사들인 진나라 죽간을 기증받았다. 정리 후 확인된 죽간은 762개였고, 그중 약 300개는 양면에 글이 쓰여 있었다. 그 밖에 나무로 만든 좁은 간과 넓은 독, 대나무 독, 목고(木觚) 한 점, 주사위 하나, 실제로 계산에 쓰던 산가지 61개가 있었다. 칭화대학이 2008년에 들여온 전국시대 죽간 중에는 21개를 맞추면 제법 복잡한 십진 곱셈표가 되는 것도 있다. 이 세 묶음은 모두 발굴품이 아니다. 골동품 시장에서 사 온 것들이다. 여기서는 두 가지를 구별해야 한다. 유물이 진짜인가 하는 문제와 어디에서 나왔는가 하는 문제는 별개다.

대나무 재질, 먹의 흔적, 고문자, 서체, 내용 자체의 단서와 필요한 검사를 통해 죽간의 연대와 진위를 판단할 수는 있다. 여기까지는 가능하다.

그러나 도굴에서 시장으로 이어지는 경로는 무덤 번호, 층위, 함께 출토된 물건, 죽간들이 원래 놓여 있던 공간적 관계, 땅속 환경을 한꺼번에 끊어 놓는다. 이 부분은 되찾을 수 없다. 문헌학으로 고고학을 메울 수는 없다.

그러므로 이 자료들에는 두 갈래의 평가가 필요하다. 죽간과 그 안의 글 자체는 진지하게 연구할 수 있다. 그러나 원래 출토 장소, 무덤 주인의 신분, 부장품의 조합에 기대는 사회사적 추론은 모두 신뢰도를 한 단계 낮춰야 한다.

베이징대학 소장품에는 특이한 점이 있다. 운반해 와서 겹친 부분을 떼어낼 때, 상당수가 아직 둘둘 감긴 상태를 유지하고 있었다. 대략 열 꾸러미의 죽간 책이었고, 전부 낱개로 흩어진 것은 아니었다. 덕분에 죽간 책을 어떻게 말고 묶었는지, 같은 두루마리의 앞뒷면에 어떻게 이어 썼는지, 서로 다른 글이 어떻게 한 꾸러미를 함께 썼는지 살필 수 있는 귀한 단서가 남았다. 이 유물 가운데는 글이 아닌 것도 있다. 산가지 61개가 산서와 함께 살아남았다.

첫 편의 서기는 점토판을 썼고, 둘째 편의 그리스인들은 밀랍판과 먼지를 펼친 판을 썼다. 그들이 실제로 작업하던 면은 남지 않았다. 여기서는 도구가 남았다.

하지만 이것도 여전히 실내에서 살핀 결과다. 발굴 현장의 기록은 아니다. 반면 실제로 땅을 파서 얻은 자료들도 있다.

1975년 운몽(雲夢) 수호지(睡虎地) 11호 무덤에서는 죽간과 파편 1,155개가 나왔다. 무덤 주인은 희(喜)라는 사람이었다. 그의 관리 경력은 분명하게 확인되는데, 자기 무덤에 함께 묻힌 죽간에 그 경력이 적혀 있다. 한 꾸러미의 연대기에는 진나라가 치른 전쟁과 그의 개인사가 나란히 기록돼 있다. 소왕 45년, 곧 기원전 262년 12월 갑오일 닭이 울 때 희가 태어났다. 진왕 정 원년인 기원전 246년, 열일곱 살이 된 해에는 ‘희부(喜傅)’라고 적혀 있다. 복무자 명부에 그의 이름이 오른 것이다. 진왕 정 3년에는 사(史)가 됐고, 뒤에는 안륙의 영사(令史), 언(鄢)의 영사를 지냈으며, 언에서 재판 업무를 맡았다. 그사이 세 차례 군에 나갔다. 관청을 위해 장부를 쓰고 사건을 처리하기 전에, 먼저 자기 이름이 관청 장부에 올랐던 셈이다. 함께 나온 《효율(效律)》은 현과 중앙 관서의 재물 검사, 도량형 오차의 처리 문제를 직접 다루며, 책임자에게 벌을 물렸다. 한 석을 다는 저울이 틀려 오차가 16냥 이상이면 담당 관색부(官嗇夫)는 갑옷 한 벌, 8냥에서 16냥 사이면 방패 하나를 벌로 내야 했다. 곡식을 재는 통과 됫박이 정확하지 않을 때에도 각각 벌이 있었다. 이것은 산서가 아니다. 그러나 장부와 실물의 대조, 도량형의 표준화가 산서 저자의 상상 속 배경은 아니었음을 입증한다.

2002년에는 후난성 용산(龍山) 리예(里耶)의 오래된 우물에서 진나라 간독 수만 개가 발굴됐다. 주로 천릉현 관청의 행정 문서였다. 그 안에는 구구술 같은 곱셈 자료도 있고, 실제로 쓰던 회계 장부도 많이 있다. 리예의 가치는 완전한 산경 한 권을 더 얻었다는 데 있지 않다. 계산 자료가 관청 문서의 현장 속에 그대로 들어 있다는 데 있다. 한쪽에는 무덤 속 교재가 있고, 다른 쪽에는 우물 속 장부가 있다. 양쪽 끝이 모두 남았다.

앞선 글들에서는 이런 조합을 보지 못했다. 첫 편의 메소포타미아에는 행정용 점토판도 많고 학교의 연습용 점토판도 많았지만, 두 부류의 관계는 추론해야 했다. 여기서는 부장품으로 들어간 산서 한 권과 현청에서 실제로 쓰던 장부를 볼 수 있다. 서로 다른 두 장소에서 나왔고, 각각 출토 층위가 있다. 이 물건들이 어떻게 남을 수 있었는지도 한마디 해야겠다.

대나무와 나무는 유기물이다. 보통의 온도와 습도에서 산소까지 통하면 쉽게 썩는다. 오늘날 전국·진·한 시대의 죽간이 많이 발견되는 곳은 강한(江漢) 지역의 밀폐되고 물이 차 산소가 부족한 무덤과 우물, 또는 중국 서북부의 극도로 건조한 목간 유적에 집중돼 있다.

보존 편향이 아주 강하다는 뜻이다. 장가산은 무덤이고, 리예는 버려진 옛 우물이다. 어느 쪽도 옛사람들이 평소 글을 쓰던 환경을 무작위로 뽑은 표본이 아니다. 북방의 보통 흙무덤, 지상의 건물, 일상적인 작업장, 수없이 펼쳐 읽다가 버린 죽간 책은 거의 흔적을 남기지 못했을 가능성이 크다.

따라서 중국에 죽간이 남아 있다는 사실만으로, 당시 중국에 어떤 종류의 책이 유난히 많았다고 추론할 수는 없다. 알 수 있는 것은 이 정도다. 남방의 일부 습한 무덤과 우물, 그리고 극도로 건조한 지역에는 유기물로 된 필기 재료가 살아남을 기회가 있었다.

앞선 네 편에서도 이 원칙은 여러 모습으로 등장했다. 첫 편에서는 점토판이 행정 기록 쪽으로 치우쳐 있었고, 셋째 편에서는 그리스의 완성품은 남았지만 작업장은 남지 않았으며, 넷째 편에서는 유일본 한 점이 연이은 우연으로 살아남았다. 매번 같은 말이다. 지금 남아 있는 표본은 역사 속 활동에서 무작위로 추출한 것이 아니다.

이 대목에서 지난 편의 한 문장을 바로잡아야 한다. 그리스에는 실물이 없다고 할 때, 《원론》 같은 고전의 저자 당대 원고가 남아 있지 않다는 뜻이라면 할 수 있는 말이다. 하지만 고대 그리스어권에 파피루스나 도편 같은 수학 필기 유물이 전혀 없었다는 뜻으로 읽힌다면 지나치게 강한 주장이다.

세 지역의 진짜 차이는 현존 표본이 만들어진 경로에 있다. 점토판, 죽간, 후대의 필사본을 각 지역에서 이루어진 수학 활동의 양을 재는 계량기로 곧바로 쓰면, 보존 환경을 역사 자체로 착각하게 된다.

3 술

출토된 산서들과 후대의 《구장산술》에서 가장 눈에 띄는 공통점은 글의 형식이다. 전형적인 구성은 세 토막이다. ‘지금 이러이러한 것이 있다. 무엇을 구하라.’ ‘답은 이러하다.’ ‘술은 이러하다.’ 앞의 두 토막은 구체적인 예 하나를 제시하고, 세 번째는 그 부류의 문제를 푸는 방법을 알려 준다.

핵심은 세 번째다. 술(術)은 대개 해당 문제의 계산을 한 줄씩 검산해 놓은 것이 아니다. 거듭 실행할 수 있는 일반적인 절차에 가깝다. 어느 양을 어디에 놓을지, 무엇과 무엇을 곱할지, 무엇을 법(法)으로 삼고 무엇을 실(實)로 삼을지, 언제 나누고 어떻게 약분하며 그다음에 무엇을 할지 알려 준다. 숫자를 바꾸어 넣어도 원칙적으로 같은 술을 따라갈 수 있다. 이것이 술과 답의 근본적인 차이다. 답은 한 문제를 맡고, 술은 한 부류를 맡는다.

장가산의 책은 이런 글의 형식이 기원전 186년 무렵에 이미 있었음을 보여 준다. 조를 찧어 얻는 좁쌀의 양을 구하는 속구미(粟求米) 같은 항목은 답 하나만 던져 주지 않는다. 일반적인 환산 규칙을 뽑아내고, 그 규칙 안에 구체적인 수를 집어넣는다.

그러므로 술이라는 서술 방식은 유휘의 시대에 비로소 발명된 것이 아니다. 현존하는 《구장산술》이 지금의 형태를 갖추기 전부터 있었다. 통행본 《구장산술》에는 모두 246문제가 아홉 장에 나뉘어 실려 있다.

방전(方田) 38문제는 토지 면적과 분수를 다룬다. 속미(粟米) 46문제는 곡물과 물품의 환산을 다룬다. 쇠분(衰分) 20문제는 등급과 비율에 따른 배분이다. 소광(少廣) 24문제는 면적이나 부피에서 거꾸로 변의 길이를 구하는 문제로, 제곱근과 세제곱근을 구하는 개방(開方)도 포함한다. 상공(商功) 28문제는 토목 공사와 여러 입체의 부피다. 균수(均輸) 28문제는 세금, 운송, 부역을 비례에 따라 나누어 부담하는 일이다. 영부족(盈不足) 20문제는 두 번 가정한 값에서 생긴 남음과 모자람으로 미지수를 거꾸로 찾는다. 방정(方程) 18문제는 여러 관계를 묶어 다루고 양수와 음수를 조작한다. 구고(勾股) 24문제는 직각삼각형 세 변의 관계, 측량, 닮음 문제를 다룬다.

이 아홉 이름은 우선 기술을 분류한 이름이다. 오늘날의 학문 분과 목록이 아니다.

방정을 곧바로 현대의 선형대수로 옮기거나, 구고를 어느 정리의 이름으로 불러 버리면 현대 독자는 수학적 구조를 쉽게 알아본다. 그와 동시에 고대의 분류 체계는 지워진다. 방정은 먼저 산가지 계산에서 양들을 열로 놓는 구조였다. 종이 위의 등식이 아니었다. 그렇다면 이 문제들은 행정 실무였을까.

장의 주제로 보면, 246문제 가운데 방전·속미·쇠분·상공·균수의 다섯 장에 속한 160문제는 토지, 상품 환산, 배분, 공사, 조세와 운송이라는 분명한 실무 맥락에 배치돼 있다. 나머지 장에도 측량, 거래, 우물 파기, 공사 같은 생활 속 이야기가 많다. 문제의 서사적 배경이 지극히 실무적이라는 데는 의심의 여지가 없다.

하지만 문제에 곡식을 나르는 사람이 나온다고 해서 그것이 실제 곡물 운송 문서는 아니다.

적잖은 문제에서 숫자는 절차를 밟으면 말끔한 결과가 나오도록 정교하게 설계돼 있다. 같은 술에 다른 이야기를 붙일 수도 있다. 어떤 문제는 주어진 조건부터가 알고리즘의 경계 상황을 훈련하려는 데 더 가까워 보인다.

그러니 246문제를 실제 사례 몇 문제, 수업용 연습 몇 문제로 나눌 믿을 만한 집계는 없다. 그런 숫자는 가짜 정밀함일 것이다.

행정 계산이 실제로 존재했다는 사실은 다른 자료들이 입증한다. 수호지 《효율》에 나오는 장부와 실물의 대조, 도량형 규정, 리예 관청의 회계 장부와 곱셈표가 그것이다. 이 자료들을 통해 관청에서 정말로 계산하고 있었다는 것을 안다. 《구장산술》이 알려 주는 것은 비슷한 문제를 다룰 수 있도록 편집된 절차적 지식이 있었다는 사실이다. 둘 사이의 기능적 연결은 밝힐 수 있다. 그러나 그것만으로 《구장산술》의 특정 문제가 어느 현청 사건 문서를 베낀 것이라고 입증되지는 않는다.

첫 편에서도 같은 문제를 다뤘다. 그때 내린 답은 고바빌로니아에 행정 용어로 포장됐지만 실제 업무일 수는 없는 문제가 많았다는 것이었다. 여기서는 증거의 구조가 다르고, 더 낫다. 중국 쪽에는 무덤 속 산서와 관청의 간독이 함께 남아 있어, 교재 형태의 절차와 실제 회계 업무를 나란히 놓고 볼 수 있다. 이것은 증거 구조의 차이지, 실용과 이론의 우열이 아니다. 그러면 《구장산술》은 언제 쓰였을까. 어느 하루를 짚어 답할 수는 없다.

현존하는 《구장산술》은 분명 여러 층이 쌓여 만들어진 책이다. 안에 나오는 제도, 지명, 단위, 용어가 모두 같은 시대의 것은 아니다. 청나라 때 《사고전서》를 편찬하던 학자들도 유명한 문제 하나를 포착했다. 책에는 상림(上林)에 관한 내용이 나오는데, 상림원은 한 무제 때의 일이라는 것이다.

유휘의 서문에 따르면, 진나라의 분서 이후 옛 술이 훼손됐고, 한나라의 북평후 장창(張蒼)과 경수창(耿壽昌)은 모두 계산에 능한 인물로 이름이 높았다. 두 사람은 남아 있던 옛 글을 각자 덜어내고 보충했으므로, 후대의 편목이 고본과 달라졌고 글 안에 뒤 시대의 말도 들어갔다는 설명이다. 《사고전서》 편찬자들은 되묻는다. 상림원은 무제 때 생겼고 장창은 한나라 초 사람인데, 무슨 수로 미리 적었겠는가. 이 문제는 두 층으로 나눠야 한다. 장창과 경수창이 실제로 한나라에서 계산과 도량형 업무에 관련된 기술 관료였다는 사실은 다른 사서로도 뒷받침된다.

하지만 두 사람이 오늘날의 《구장산술》을 편찬하거나 가감했다는 이야기는 주로 3세기의 유휘가 수백 년 전 일을 회고한 기록에 기대고 있다. 현존하는 한나라 관련 사료에는 그만큼 명확한 기록이 없다.

따라서 이렇게 말할 수 있다. 유휘는 263년 무렵, 장창과 경수창이 옛 계산 자료를 정리했다는 이야기를 믿고 있었거나 전해 받았다. 이 전승 자체도 중요한 사료다. 그러나 두 사람이 곧 《구장산술》의 편찬자였다는 말을 확정된 사실로 올려놓을 수는 없다. 설령 장창이 어느 단계의 정리에 참여했다 해도, 그것만으로 현존 텍스트의 모든 층위를 설명할 수는 없다.

4 자르고 또 자르다

유휘(劉徽)라는 사람에 관해 확실히 말할 수 있는 것은 아주 적다. 셋째 편에서 만난 인물과 사정이 거의 같다. 저술은 온전한데, 사람은 거의 보이지 않는다.

유휘라는 사람이 《구장산술》에 주를 달았다. 전통적으로 그 연대는 조위 경원 4년, 곧 263년으로 잡는다. 그의 주석과 나중에 독립된 책이 된 《해도산경》이 그를 이해하는 주된 근거다. 대략 그 정도다.

현대의 대중적인 글은 종종 그의 출생 연도와 사망 연도를 딱 잘라 제시하고, 구체적인 출신지와 가계까지 적는다. 그런 숫자들은 조충지의 생몰년인 429~500년처럼 정사 열전의 뒷받침을 받지 못한다. 저술이 지극히 중요하다고 해서 개인의 기록까지 저절로 풍부해지는 것은 아니다. 263년이라는 연대는 비교적 믿을 만하다. 전통적인 서목과 정사의 서지가 모두 위나라 경원 4년에 유휘가 《구장산술》에 주를 달았다고 기록하기 때문이다.

그런데 여기에 층이 하나 더 있다. 지금 전하는 유휘의 주에는 진(晉)나라 무기고의 청동 곡량기인 동곡(銅斛) 같은 것이 나온다. 263년은 아직 조위 시대였다. 《사고전서》 편찬자들은 이미 이 점을 지적했다. 경원 4년에 주를 썼다면, 이 부분은 그가 진나라에 들어서 다시 고쳤다는 뜻이거나 후대의 주석 층위가 본문에 섞였다는 뜻이어야 한다.

그러므로 경원 4년에 유휘의 주가 있었다는 말은 비교적 단단하다. 지금 전하는 유휘 주의 모든 구절이 263년에 쓰였다는 말은 그렇지 않다. 그의 서문에서 가장 값진 것은 거대한 문명사가 아니라 글쓴이의 자세다.

이 점에서 그는 앞선 글의 인물들과 아주 다르다. 아르키메데스의 서문은 서신 왕래와 우선권을 설명한다. 누가 죽었고, 무엇을 이미 보냈는가. 유휘의 서문은 자신과 오래된 책 한 권 사이의 관계를 설명한다.

그는 어려서부터 《구장산술》을 배웠고, 자라서는 거듭 깊이 읽었다고 한다. 옛 술을 앞에 두고 자신이 한 일은 ‘내가 알아낸 바를 모아 주를 다는 것’이었다. 서문에는 중요한 비유도 있다. 대략, 문제들이 나뭇가지처럼 갈라져 있어도 뿌리와 줄기는 같으므로 한 끝을 잡으면 같은 부류의 일을 미루어 다른 문제도 이해할 수 있다는 말이다. 쉽게 풀면 이렇다. 원래 책에는 이미 술이 있다. 나는 그 술이 서 있는 근거를 드러내고, 같은 부류의 이치를 서로 통하게 하려 한다.

그는 원래 책이 틀렸다고 하지 않았다. 새 책을 따로 쓰겠다고도 하지 않았다. 자신에게 맡긴 자리는 해설자의 자리였다.

바로 그 해설자라는 자리가 이 글 뒤에 나오는 모든 문제의 출발점이다. 그가 술대로 계산만 했다면 판단 기준을 논할 일이 없다. 따로 책을 썼다면 그것은 또 다른 일이다. 그가 한 일은 세 번째였다. 원래 책 곁에 서서, 원래 책이 왜 옳은지를 하나하나 설명했다.

그의 주석이 실제로 쓰인 방식도 이와 맞아떨어진다. 그는 술대로 계산해 답을 얻는 데 만족하지 않고, 왜 이렇게 곱하는지, 왜 이렇게 나누는지, 왜 잘라 옮겨 붙여도 양이 달라지지 않는지를 자주 묻는다. 가장 유명한 대목은 제1장 방전의 원전술, 원형 밭의 넓이를 구하는 술에 붙인 주다.

그는 원에 내접하는 정육각형에서 출발한다. 반지름과 현으로 이루어진 직각삼각형을 이용해 변의 수를 차례로 두 배씩 늘린다. 12각형, 24각형, 48각형, 96각형, 그리고 192각형. 두 배로 늘릴 때마다 다각형은 원에 더 바짝 붙고, 원과 다각형 사이에서 계산에 들지 않은 작은 나머지가 줄어든다. 그는 아직 포함되지 않은 이 나머지 넓이를 어떻게 추정하는지도 설명하려 한다. 원의 넓이를 눈대중으로 얻은 것이 되지 않도록 말이다.

이 마지막 단계는 주목할 만하다. 차이가 눈에 안 보일 때까지 자른 다음 같다고 선언하고 멈춘 것이 아니다. 계산에 넣지 못한 나머지 넓이를 추정하려 했다. 그 과정에서 이 문장을 남겼다. ‘잘게 자를수록 빠뜨리는 것은 줄어든다. 자르고 또 잘라 더는 자를 수 없는 데 이르면, 원과 한 몸이 되어 빠뜨리는 것이 없어진다.’

이 문장은 흔히 따로 떼어내 철학적 경구처럼 인용된다. 그러나 그런 문장이 아니다. 도형을 구성하고, 오차를 줄이고, 나머지를 추정하는 계산 논증 한가운데 있다. 앞뒤로 해야 할 구체적인 작업이 붙어 있다.

현대의 역사가들은 흔히 이것을 ‘극한 사상’이라고 설명한다. 이해를 돕는 표현일 수는 있다. 하지만 곧바로 19세기의 형식화된 정의로 옮기는 것은 여전히 후대의 눈으로 다시 쓴 설명이다.

넷째 편의 이중 귀류법은 처음부터 끝까지 변의 수를 무한으로 만들지 않는다. 나머지를 충분히 작게 누를 수 있는 어떤 유한한 단계가 존재하기만 하면 된다. 여기서 유휘가 쓰는 방식은 다르다. 그는 과정을 끝까지 말한다. 더는 자를 수 없을 때까지 자르면 원과 하나가 된다. 이 두 서술 사이의 거리가 얼마나 되는지는 진짜 문제다. 번역으로 해결할 수 있는 문제가 아니다.

수치에 관해서는 두 층위를 나눠 봐야 한다. 그의 주된 계산은 192각형까지 나아가며, 쓰기 편한 원주율의 근삿값으로 157/50을 택한다. 전해지는 주석에는 이보다 더 정밀한 값과 더 많은 변의 수에 연결된 계산도 들어 있다.

바로 그 뒷부분에서 텍스트의 역사를 대충 넘겨서는 안 된다. 관련 구절에는 진나라 무기고의 기물이 나오지만, 263년은 아직 조위 시대다. 청나라의 교감자들은 이를 근거로 유휘의 주가 진나라에 들어선 뒤 보충됐을 가능성을 제기했다. 현대 연구에서도 그 부분을 유휘 자신의 후기 글로 볼지, 후대인의 층위로 볼지 다르게 처리한다.

따라서 유휘가 263년에 직접 아주 많은 변까지 계산하고 지금 전하는 모든 세부를 적었다는 말은 논쟁의 여지가 없는 사실이 아니다.

5 어찌 의문을 남기지 않으랴

그가 이치를 설명한 곳은 할원, 곧 원을 잘라 가는 방법뿐이 아니다. 상공장은 토목 공사에 쓰이는 여러 입체의 부피를 구하는 술을 제시한다. 그 앞에서 유휘가 마주한 질문은 이것이다. 이 식에서는 왜 2로 나누고, 저 식에서는 왜 3으로, 또 왜 6으로 나누는가.

그의 방법은 공리 체계를 따로 세우는 것이 아니었다. 입체를 서로 비교할 수 있는 기본 도형으로 쪼갰다. 참도(塹堵)는 대략 곧은 삼각기둥 꼴의 쐐기, 양마(陽馬)는 밑면이 직사각형인 비스듬히 깎인 뿔 모양 입체, 별노(鱉臑)는 사면체 꼴의 작은 입체로 이해할 수 있다.

그는 이 입체들을 서로 쪼개고 맞추어, 이미 아는 부피 관계로 모르는 부피를 제약한다. 양마와 별노의 부피비를 증명할 때에는 남은 작은 입체를 같은 방식으로 계속 나눈다.

핵심은 할원과 닮아 있다. 큰 입체에서 생긴 차이를 더 작고 구조가 닮은 차이로 바꾼다. 끝없이 잘게 나눌 수 있다면, 남은 양이 구하려는 부피비를 깨뜨릴 수는 없다.

이 일련의 논증이 주목받는 이유는 유휘가 원주율을 다룰 때에만 어쩌다 갑자기 이치를 설명한 것이 아님을 보여 주기 때문이다. 그의 주석에는 되풀이되는 방식이 있다. 분해하고 다시 조합하기, 같은 높이의 단면 비교하기, 나머지를 점점 줄이기 같은 방법으로 원래의 술이 왜 반드시 옳은지 설명한다.

하지만 여기에 한 층을 더 얹어야 한다.

유휘의 주에는 주실(朱實), 청실(靑實), 황실(黃實) 같은 말이 거듭 나온다. 그림 속 서로 다른 색의 입체 조각을 가리키는 말이다. 송나라 이후에는 옛 그림이 사라져 버렸다. 청나라 사람들은 주석의 뜻을 더듬어 글을 토대로 다시 그릴 수밖에 없었다. 《사고전서총목제요》에는 네 글자가 분명히 적혀 있다. ‘圖既不存’, 그림이 이미 남아 있지 않다.

그러므로 오늘날 책에서 보는 멋진 입체도 가운데 일부는 후대인이 글을 토대로 재구성한 것이다. 3세기의 원래 그림이 아니다. 그림에 크게 기대는 논증인데, 그 그림을 후대인이 채워 넣었다. 유휘의 논증이 어떤 성격인지 논할 때 이 층위를 건너뛰어서는 안 된다. 그리고 이제 이 글에서 가장 중요한 대목이다. 《구장산술》 상공장의 구 부피 계산법에는 문제가 있었다. 유휘는 원래 책을 감싸며 얼버무리지 않았다.

그는 모합방개(牟合方蓋)라는 것을 구성했다. 서로 직교하며 원기둥식 단면 구조를 가진 두 입체의 공통 부분으로 이해할 수 있다. 유휘는 구와 이 방개의 단면이 서로 대응하는 높이에서 일정한 비율을 이룬다는 것을 알아냈다. 방개의 부피만 구할 수 있다면 구의 문제도 풀린다.

하지만 그는 방개의 부피를 구하지 못했다.

그래서 주석에 ‘자명하다’고 쓰지 않았다. 전해지는 글의 마지막 뜻을 풀면 이렇다. 네모와 원이 교차하고 두께가 달라져 관계가 복잡하다. 모양만 보고 억지로 설명했다가는 올바른 이치에서 벗어날까 두렵다. 그러니 차라리 의문을 남겨 둔다. ‘어찌 감히 의문을 남겨 두지 않을 수 있겠는가. 설명할 수 있는 이를 기다린다.’ 감불궐의, 이사능언자(敢不闕疑，以俟能言者).

이것은 ‘계산할 시간이 없었습니다’라는 겸양의 말이 아니다. 그 어조는 이쪽에 가깝다. 나 자신이 충분히 정당하다고 여길 근거를 아직 얻지 못했는데, 어찌 이 자리를 의문으로 분명히 남겨 두지 않고 넘어가겠는가. 설명할 수 있는 사람을 기다려야 한다. 이 대목의 무게는 실패가 낭만적이라는 데 있지 않다. 무엇이 충분하지 않은지를 판정하는 기준을 이례적으로 명료하게 보여 준다는 데 있다. 이런 부정의 기준은 무엇이 수학인지를 말해 주지 않는다. 무엇으로는 부족한지를 말해 준다.

지금까지 이 연작에서 한 사람이 자기 작업에 관해 가장 직접적으로 말한 순간이다. 앞선 글에서 아르키메데스는 역학적 방법이 증명이 아니라고 했지만, 그의 손에는 답이 있었다. 여기서는 답조차 없다. 그런데 유휘는 그 사실을 본문에 적었다.

답이 있다는 것만으로는 부족하다. 그럴듯해 보이는 그림이 있다는 것만으로도 부족하다. 스스로 납득할 만한 바른 이치를 내놓을 수 없다면 멈춰야 한다.

넷째 편의 그 사람도 한 지점에서 멈췄다. 다만 멈추는 방식이 달랐다. 아르키메데스가 멈춘 자리는 이랬다. 이 방법으로 답은 찾을 수 있다. 하지만 증명은 아니니 다시 증명하겠다. 유휘가 멈춘 자리는 이랬다. 나는 아직 그 방법조차 찾지 못했으니 쓰지 않겠다. 한 사람은 찾았으나 증명으로 인정하지 않았고, 다른 사람은 찾지 못했음을 인정했다. 두 멈춤에는 공통점이 있다. 후대인이 대신 판정한 것이 아니라 당사자가 직접 글로 남겼다.

이 연작에서는 이런 자료가 매우 드물다. 첫 편에도, 둘째 편에도, 셋째 편에도 없었다. 넷째와 다섯째 편에 와서야 두 번 연달아 나왔다. 그 빈틈은 나중에 다른 사람이 메웠다.

조충지(祖沖之)의 생애 연대는 유휘보다 훨씬 분명하다. 정사에 429년부터 500년까지로 기록돼 있다. 그는 역법, 천문, 수학을 연구했고, 그가 쓴 《철술(綴術)》은 나중에 국가의 산학 체계에 들어갔다. 하지만 원래 책은 소실됐다. 구의 부피에 대해서는 오늘날 주로 당나라 이순풍 등의 주석에 남은 조씨 집안의 자료에 의존한다. 핵심 문장은 ‘단면의 넓이가 같다면 부피가 다를 수 없다(冪勢既同，則積不容異)’이다. 멱(冪)은 대응하는 단면의 넓이, 적(積)은 부피를 뜻한다. 두 입체가 같은 높이마다 언제나 같은 단면적을 가지면 전체 부피가 같다는 뜻이다.

조충지의 아들 조긍(祖暅)은 이렇게 층층이 단면을 비교하여, 유휘가 남겨 놓은 방개를 부피를 구할 수 있는 도형으로 바꾸었다. 그리하여 구의 부피에 관한 올바른 관계를 얻었다.

조충지가 구한 원주율은 정사에 더 직접적으로 기록돼 있다. 사서에 따르면 그는 더욱 정밀한 방법을 개발해 아주 큰 척도로 원주를 계산하고, 넘치는 값과 모자라는 값, 곧 상한과 하한을 제시했다. 현대의 소수로 쓰면 두 경계는 3.1415926과 3.1415927이며, 차이는 0.0000001이다. 두 비율도 기록돼 있다. 밀률(密率)은 지름 113에 원주 355, 약률(約率)은 지름 7에 원주 22다. 이 결과들 자체는 상당히 확실한 전승 사료다.

그러나 방법은 남지 않았다. 사서는 더 정밀한 방법을 개발했다고만 할 뿐, 한 단계씩 이루어진 계산을 옮겨 적지 않았다. 《철술》마저 소실됐다.

따라서 조충지가 유휘의 할원을 이어받아 1만 몇천 각형이나 2만 몇천 각형까지 계산했다는 현대의 흔한 설명에는 ‘재구성한 가설’이라는 표시가 붙어야 한다. 현존하는 원문이 아니다. 가능성이 매우 높다. 하지만 결과에서 거꾸로 단 하나의 알고리즘을 확정할 수는 없다. 결과는 확정해도, 알고리즘에는 빈틈을 남겨야 한다.

6 서른 명

유휘의 주가 끝은 아니었다.

당 고종 때 이순풍(李淳風) 등은 황제의 명을 받아 《구장산술》과 다른 산경에 주석을 더했다. 그리하여 경문, 유휘의 주, 당나라의 소(疏, 주석을 풀이한 글)라는 세 층이 생겼다. 오늘날 《구장산술》을 읽으면 한 페이지에서 세 시대의 목소리와 동시에 마주할 때가 많다.

이순풍이라는 사람의 자리도 살펴볼 만하다. 그의 수학 주석 작업은 천문과 역법, 관찬 사서 편찬, 조정의 기술 업무와 결합돼 있었다. 현대적인 의미의 대학 교수가 아니었다.

당나라는 또 한 가지 일을 했다. 이순풍 등이 황명으로 정리하고 주석한 일군의 고전은 나중에 ‘산경십서’로 불렸다. 《주비산경》, 《구장산술》, 《해도산경》, 《손자산경》, 《장구건산경》, 《오조산경》, 《하후양산경》, 《오경산술》, 《집고산경》, 《철술》이다. 이 책들이 국가의 수학 교육과 시험 체계에 편입됐다.

국자감에는 전문적인 산학이 설치됐다. 전해지는 제도 문서에는 산학 학생의 정원이 30명으로 나온다. 정해진 학습 기간은 《구장산술》과 《해도산경》을 합쳐 3년, 《손자산경》과 《오조산경》을 합쳐 1년, 《장구건산경》과 《하후양산경》 묶음은 1년이었다. 《집고산경》에는 3년, 《철술》에는 무려 4년이 배정됐다.

여기서는 숫자의 함정을 피해야 한다. 산학 학생 30명은 학교 정원이다. 명산과가 해마다 30명을 뽑았다는 뜻이 아니다. 시기마다 제도도 달랐는데, 현대의 글들은 종종 학생 정원, 응시자 수, 선발 인원을 뒤섞는다. 명산은 당나라 과거의 상설 과목 가운데 기술적인 과목으로, 진사·명경·명법·명자와 나란히 놓였다. 그러나 사회적 명망도, 관직으로 이어지는 길도, 시험 규모도 같지 않았다.

‘나란히’라는 말을 조심해야 한다. 제도상으로는 분명 나란했지만 무게까지 같지는 않았다. 주된 진출로는 기술직과 역산 분야, 일반 관료제의 중하층이었다. 독립된 수학 교수 계층이 생겨난 것은 아니다. 《오조산경》이라는 책 이름부터가 계산을 정부 각 부서의 필요와 연결하고 있다. 《구장산술》이 나중에 어떻게 살아남았는가는 또 다른 이야기다.

북송에서는 1084년 무렵 산경십서를 국가가 판각해 펴내는 사업이 있었다. 남송에서는 다시 판각하고 베껴 전했다. 남송 경원 연간, 포한지(鮑澣之)는 양충보(楊忠輔)의 집에서 《구장산술》 한 부를 얻었고, 그 책은 필사되어 비각으로 들어갔다.

그렇다고 글이 안정적으로 보존된 것은 아니다. 명나라 때에는 《구장산술》의 온전한 옛 판본을 거의 볼 수 없었다. 다행히 《영락대전》이 많은 글을 항목별로 수록해 두었다. 청 건륭 연간에 《사고전서》를 편찬하면서, 대진(戴震)을 중심으로 이루어진 산경 집일과 교감 작업은 《영락대전》 등의 자료에서 이 유실된 글들을 다시 모아 바로잡았다. 오늘날 널리 읽는 판본은 상당 부분 이 청나라의 복원을 이어받는다.

그러므로 지금의 《구장산술》은 한나라 때 만들어진 책 한 권이 손에서 손으로 고스란히 전해진 것이 아니다.

이 점은 지난 편의 재필사 양피지본과 나란히 놓아볼 수 있다. 저쪽에서는 실물 한 점이 연이은 물리적 우연 덕분에 살아남았고, 글의 내용은 대체로 10세기 필사자가 적은 모습이다. 이쪽에는 그런 실물 한 점이 없다. 대신 글이 천 년 넘게 계속 보충되고, 주석이 붙고, 인쇄되고, 흩어졌다가, 유서 속에서 다시 주워 모아졌다. 한쪽은 물건이 남았고, 다른 쪽은 글이 살아왔다.

한나라의 경문, 3세기 유휘의 주, 당나라의 소, 송나라의 판본 계통, 명나라 유서 속의 잔존 부분, 청나라의 집일과 교감이 함께 이룬 텍스트다. 책보다 계산의 현장에 더 가까우면서도, 더 쉽게 지나치는 물건이 하나 더 있다.

산가지는 가늘고 긴 작은 막대기다. 대나무나 나무 같은 재료로 만든다. 베이징대학의 진나라 죽간 묶음에도 실물 61개가 있었다. 보통 길이는 몇 센티미터에서 십수 센티미터 사이다.

계산할 때는 산가지를 평평한 면에 놓고 자리로 일의 자리, 십의 자리, 백의 자리를 나타냈다. 이웃한 자리를 헷갈리지 않도록 가로와 세로 모양을 번갈아 쓰는 경우가 많았다. 특히 방정장은 한 평면 위에 여러 열의 양을 나란히 놓고 절차에 따라 소거하기에 알맞다. 현대의 행렬 표기법은 결과를 정확하게 모사할 수 있지만, 옛사람이 실제로 손으로 하던 동작은 빠뜨린다. 여기에 기록의 중요한 공백이 있다. 글로 적힌 알고리즘은 계산 현장의 완전한 기록이 아니다.

책에 ‘상등 곡식 세 묶음을 놓는다’고 적혀 있을 때, 실제로 계산하는 사람은 산가지판에서 수십 번 막대를 움직이고, 자리를 바꾸고, 지웠을 수 있다. 계산이 끝나도 책에 매 순간의 산가지 배열을 그려 넣지는 않는다. 고대 산서는 조금 기보와 닮았다. 규칙과 전형적인 국면이 들어 있지, 매번의 계산을 찍은 영상이 들어 있지는 않다.

양수의 산가지는 붉은색, 음수의 산가지는 검은색을 썼다는 말과 관련해서는, 전해지는 주석에 색으로 구별하는 전통이 있다. 그러나 한나라의 모든 양수·음수 계산에서 반드시 붉은 산가지와 검은 산가지 두 벌을 썼다고 입증할 만큼 실물 증거가 충분하지는 않다. 글에 적힌 규정과 출토 유물의 상태는 서로 다른 종류의 증거다.

사소해 보이지만, 이것도 이 글의 주제와 같은 문제다. 책에 적힌 것과 실제로 일어난 것 사이에는 언제나 거리가 있다. 후대인이 손에 넣는 것은 대개 그중 책에 적힌 쪽뿐이다.

7 증명인가 아닌가

이제 그 질문을 할 수 있다. 유휘의 논증은 증명인가. 답은 단순한 예나 아니오가 아니다. 학계에는 적어도 네 가지 입장이 있다.

첫째는 증명사의 범위를 넓히는 입장이라고 할 수 있다. 증명사가 연구하는 것이 수학 공동체가 알고리즘의 올바름을 보장할 만큼 충분한 근거를 어떻게 제시했는가라면, 유휘의 많은 주석은 명백히 증명 활동에 속한다. 이 방향의 연구는 그리스식 명제 연역만 증명이라고 미리 정해 놓고 증명사를 쓰는 데 명시적으로 반대한다. 중국, 인도, 메소포타미아 등 여러 전통에서 알고리즘의 올바름을 논증한 활동도 함께 다루자고 한다.

둘째는 구조는 동등하지만 형식은 다르다는 입장이다. 유휘가 구고, 면적, 부피 등에서 실제 논증을 제시했음을 인정하면서도, 《구장산술》과 유휘 주의 텍스트 구성, 언어, 추론을 펼치는 방식이 《원론》의 명제와 증명 구조와 다르다는 점을 강조한다. 비교의 목적은 그의 문장을 유클리드식 틀로 고쳐 쓴 뒤 결국 똑같다고 선언하는 것이 아니다. 각 전통이 저마다 어떻게 믿을 만함을 세웠는지 확인하는 것이다.

셋째는 문헌학적인 유보다. 이 입장은 이런 위험을 일깨운다. 근현대 수학자는 고대의 술 한 구절을 현대 대수로 옮긴 다음, 그 대수식에 멋진 증명을 붙이고, 끝내 그 현대적 재구성을 옛사람이 원래 갖고 있던 증명인 양 역사에 되써 넣기 쉽다. 이것은 중국에는 증명이 없었다는 단순한 선언이 아니다. 역사가의 증명이 옛사람의 증명을 대신할 수 없다는 경고다.

넷째는 보다 전통적인 좁은 기준이다. 증명이란 명시된 정의, 공준, 공리와 앞선 명제에서 출발해 명제의 형태로 연속해서 연역하는 것만을 뜻한다면, 유휘의 논증 대부분은 당연히 그 문체에 속하지 않는다.

그러나 그 용법을 받아들여도 얻을 수 있는 결론은 ‘이 종류의 증명은 아니다’까지다. ‘올바름에 관한 논증이 없다’까지 갈 수는 없다.

그러므로 학계에서 정말 합의되지 않은 것은 유휘가 이유를 제시했느냐가 아니다. 그 점은 자료가 너무나 분명하다. 합의되지 않은 것은 ‘증명’이라는 말이 어떤 역사적 실천까지 포괄해야 하는지, 그 말을 쓰면서 실천들 사이의 차이를 지워 버리지는 않는지다. 네 입장 뒤에는 여러 세대에 걸친 방법론적 선택이 놓여 있다. 독자에게 중요한 것은 누가 어느 편에 서느냐가 아니라 각 입장이 무엇을 주의하라고 말하는가다.

가장 쓸모 있는 경고는 번역에 관한 것이다. 고대의 술 한 구절을 현대 대수로 옮긴다. 그 식에 멋진 증명을 붙인다. 다시 그 재구성을 과거에 집어넣고 옛사람이 원래 하던 논증이라고 말한다. 세 단계를 밟고 나면 아무도 쓴 적 없는 증명이 책에 등장한다. 중국에는 증명이 없다는 말이 아니다. 후대인이 재구성한 것을 옛사람이 직접 써 놓은 것 대신 내세워서는 안 된다는 말이다.

또 하나의 경고는 비교 자체를 향한다. 성과 목록을 만들어 누가 무엇을 먼저 얻었는지 겨루는 비교가 있다. 다른 질문을 하는 비교도 있다. 고대 그리스와 고대 중국에서, 한 사람이 자기 주장을 남에게 받아들이게 하려면 각각 무엇을 해야 했는가. 누구에게 말했으며, 무엇으로 그 주장을 믿게 했는가. 뒤의 질문을 하려면 어느 문명이 후대 유럽 과학에 더 가까웠는지부터 정할 필요가 없다.

출토 자료도 한 가지 경고를 보탠다. 장가산의 산서를 읽어 낸 뒤에는 《구장산술》을 초기 알고리즘 전체의 유일한 원천으로 삼을 수 없다. 이제 물어야 하는 것은 여러 실천과 텍스트로 이루어진 계산이 실제로 어떻게 형성되고 전수됐는가다.

텍스트 자체에 관해서는 곽서춘(郭書春)과 프랑스 학자 카린 셰믈라(Karine Chemla, 중국명 林力娜)가 함께, 현재 가장 완전한 정리 작업을 수행했다. 이들은 경문, 유휘의 주, 당나라의 소, 용어, 도해의 재구성을 한데 다루었다. 그 연구의 중심 질문 가운데 하나가 바로 알고리즘이 어떻게 증명할 수 있는 대상이 되는가다. 이 논의의 일부는 분명 정의의 문제다.

증명을 명시적 정의, 공리, 공준과 앞선 명제에서 이어지는 연역으로 먼저 정의한다면, 《구장산술》의 경문에는 당연히 증명이 드물다. 유휘의 주도 그런 전체 구조를 거의 취하지 않는다.

반대로 증명을, 일반적인 수학적 주장이나 알고리즘에 대해 해당 공동체가 그 필연적인 올바름을 받아들일 수 있도록 공개적인 근거를 제시하는 일로 정의한다면, 할원, 면적의 잘라 붙이기, 양마와 별노, 개방의 해설은 아주 자연스럽게 증명사 안으로 들어온다.

하지만 논쟁은 사전에서 끝나지 않는다.

모두가 넓은 정의를 쓰기로 합의해도 계속 물어야 한다. 유휘의 원래 그림은 어떤 것이었는가. ‘더는 자를 수 없다’는 말은 그의 논증에서 무슨 역할을 하는가. 같은 구조를 되풀이하는 재귀적 분할에는 명시하지 않은 완비성 가정이 들어 있는가. 그의 독자들은 어떤 이유를 충분하다고 받아들였는가. 이것들은 실질적인 역사 문제이지 사전의 문제가 아니다. 그중 하나에는 이제 깔끔한 답을 내는 것 자체가 불가능하다. 원래 그림이 없기 때문이다.

용어는 그를 ‘증명’이라는 상자에 넣을지 결정한다. 자료 분석은 그 상자 안에 실제로 무엇이 들었는지 결정한다.

8 거꾸로 묻다

이제 질문을 거꾸로 돌려야 한다. 그리고 정말로 끝까지 돌려 물어야 한다.

이 글의 제목은 ‘또 다른 판단 기준’이다. 이 틀 자체는 버틸 수 있을까.

첫 번째 반론은 이렇다. 알고리즘 전통 대 연역 전통이라는 이분법부터가 현대 역사학이 만들어 낸 것일 수 있다. 강력한 반론이다.

유휘는 분명 알고리즘만이 아니라 논증도 제시했다. 고대 그리스 수학에도 공리 체계만 있었던 것은 아니다. 수치 계산, 알고리즘, 천문 계산, 실용 측량이 있었다. 수천 년의 자료에서 고정관념에 가장 잘 맞는 고전을 한 권씩 고르면, 순수한 두 전통을 인위적으로 만들어 낼 수 있다.

따라서 이 글에서 허용되는 것은 국소적인 서술뿐이다. 《구장산술》과 유휘의 주로 이어지는 이 텍스트 전통은 술을 강하게 중심에 두고 구성돼 있다. 이 말을 어느 문명의 정신 자체가 알고리즘적이라는 주장으로 키워서는 안 된다.

두 번째 반론은 증명과 알고리즘의 대립이 과장됐다는 것이다.

유휘는 바로 그 점을 보여 준다. 그가 논증하는 대상은 흔히 알고리즘 자체다. 증명은 알고리즘 바깥에서 벌어지는 별개의 활동이 아니다. 왜 이 알고리즘이 이런 부류의 모든 문제에서 성립하는가에 답하는 일이다.

세 번째 반론이 가장 중요하다. 문명과 시대를 가로지르는 하나의 통일된 대상으로서 ‘수학’은 그 자체로 역사가의 분석 범주다. 전국·진·한 시대 사람들은 수(數)를 말하고, 산(算)을 말하고, 술(術)과 구수(九數)를 말했다. 오늘날의 의미로 수학의 본질이 무엇인지 논하지는 않았다.

그러므로 ‘판단 기준이 아직 확립되지 않았다’는 말은 후대인이 돌아보며 하는 말이다. 유휘 시대 사람들이 자각적으로 ‘무엇을 수학이라고 할지 아직 정해지지 않았다’고 말한 것이 아니다. 이 점을 잊으면 현대의 학문 철학적 문제를 옛사람에게 거꾸로 투사하게 된다.

네 번째 반론은 《구장산술》 자체를 겨냥한다. 출토 자료 때문에 이 책을 중심에 둔 서사 전체가 무너질 수도 있다.

장가산, 악록서원, 베이징대학의 자료는 초기 계산 지식이 수많은 짧은 술, 발췌문, 합본, 표, 관청의 계산, 입으로 전하던 조작의 형태로 존재했을 수 있음을 알려 준다. 《구장산술》이 나중에 정전이 됐다고 해서 전국·진·한 시대의 모든 계산이 그 책을 향해 가고 있었던 것은 아니다.

예전에는 그 책을 갑자기 나타난 완성된 건축물로 보기 쉬웠다. 이제 보이는 것은 건물 이전부터 있던 수많은 부재, 서로 다른 공법, 제각기 따로 있던 방들이다.

이 변화는 출토 자료가 가져왔고, 그 방향은 아래로 향한다. 《구장산술》을 더 오래되고 더 위대한 책으로 만든 것이 아니다. 출발점이었던 책을 하나의 과정 속 특정한 단면으로 바꾸었다.

그래도 공사 일지는 없다.

다섯 번째 반론은 ‘두 전통은 저마다 성립한다’는 말 자체를 겨눈다. 이 말도 여전히 중국과 그리스를 지나치게 닫힌 세계로 상상할 수 있다. 역사 속 지식 공동체는 본래부터 문명이라는 상자에 담겨 있는 것이 아니다. 비교 연구의 단위로는 미리 실체화한 문명의 성격보다 구체적인 시대, 텍스트, 기관, 실천이 더 알맞다.

그러므로 이 글이 끝내 지켜 낼 수 있는 명제는 ‘두 개의 수학 전통’보다 약하다. 동시에 더 단단하다.

전국시대부터 위진시대에 이르는 중국 자료에는 술을 편집하고, 실행하고, 주석을 통해 논증하는 일을 핵심으로 삼는 수학적 실천이 드러난다. 이 실천이 믿을 만함을 세우는 방식은 그 자체로 서술할 수 있다. 그것을 고대 그리스의 특정한 명제 연역 실천과 비교하는 일도 의미가 있다. 하지만 알고리즘과 연역은 두 문명의 영구적인 본질이 아니며, 같은 경기장의 순위표는 더더욱 아니다. 특히 위험한 비교가 몇 가지 있다. 기억해 둘 만하다.

후대의 한 전통으로 다른 전통을 정의하는 비교가 있다. 수학이 곧 《원론》식 텍스트라고 먼저 정하면, 《구장산술》은 공리가 결여된 것으로만 묘사된다. 수학이 곧 범용 알고리즘이라고 먼저 정하면, 이번에는 《원론》이 실행 가능한 계산을 갖추지 못한 것으로 묘사된다. 양쪽 모두 선택한 자를 중립적 기준으로 위장할 뿐이다.

저술의 유형을 문명의 유형으로 잘못 여기는 비교도 있다. 《구장산술》은 계산의 고전이고, 《원론》은 기하학을 명제로 엮은 편찬물이다. 두 책을 비교하는 것은 두 집단의 사람을 비교하는 것과 같지 않다. 주석의 층위를 무시하는 경우도 있다. 《구장산술》의 경문만 발라내어 《원론》의 명제 증명과 비교하면서 유휘의 주는 제외한다면, 비교를 시작하기 전에 이미 답을 정한 셈이다.

현대의 학문 경계로 과거의 빈칸을 채우는 비교도 있다. 대수, 기하, 증명, 알고리즘을 분석 용어로 쓸 수는 있다. 다만 그것들이 현대 역사가의 번역 도구이며, 당시 사람들 자신의 분류가 아니라는 점을 밝혀야 한다.

흩어진 대나무 조각 200여 개로 돌아가 보자.

끈이 썩고 나면 원래 엮인 순서는 더 이상 그대로 보존되지 않는다. 그래도 끈 자국, 물리적 위치, 일부 조각들 사이의 관계는 복원의 범위를 제약할 수 있다. 그 책을 되살려 읽으려면 어느 조각을 앞에, 어느 조각을 뒤에 놓을지 먼저 정해야 한다. 그런데 그 결정 자체가 그 알고리즘은 이런 식으로 돌아가야 한다는 현대인의 이해를 바탕으로 내려진다. 정리자들도 당연히 이 점을 알고, 물리적 증거를 총동원해 그 결정을 제약한다. 그래도 그 순환을 완전히 없앨 수는 없다.

복원한 순서를 믿을 수 없다는 말이 아니다. 물리적 증거의 제약은 강하고, 서로 다른 증거의 실마리는 맞물려 확인해 줄 수 있다. 말하려는 것은 이렇다. 그 순서는 관찰한 사실이 아니라 도출한 결론이다. 산서를 이해하려면 먼저 그 책의 계산이 말이 된다고 가정해야 한다. 이 순환은 첫 절에서 이미 나타났다. 그때는 죽간의 배열에 관한 이야기였다. 여기까지 오면 배열만의 문제가 아님을 알 수 있다.

유휘의 주가 증명인지 판단할 때도, 먼저 그가 ‘논증’이라 부를 만한 일을 하고 있다고 가정해야 그 일이 충분했는지 물을 수 있다. 그가 무엇을 하고 있었는지 가정하는 데 쓰이는 것은 후대인의 논증 개념이다.

그 사람들은 스스로 무엇이 수학인지를 묻지 않았다. 수를 말하고, 산을 말하고, 술을 말했다. 그 질문을 하는 사람은 후대인이다. 그것도 뒤를 돌아보며 묻는다. 여기서 잠깐 멈출 만하다. 이 사실은 이 연작이 서 있는 자리도 밝혀 주기 때문이다.

이 글에서 말하는 전통을 가로지르는 판단 기준은 후대의 비교 분석이다. 그렇다고 당시 사람들이 자기 논증의 기준을 한 번도 논하지 않았다는 뜻은 아니다. 그 비교의 기준은 나중에 어떤 한 방식이 우세해진 뒤, 뒤를 돌아볼 때 비로소 모습을 드러낸다. 그 모습이 드러나기 전에도 곳곳의 사람들은 자기가 계산해야 할 것을 계산하고 있었고, 저마다 자신이 믿을 수 있게 만드는 방법을 갖고 있었다. 유휘의 ‘감히 의문을 남기지 않을 수 있겠는가’라는 말은 바로 그 방법이 그의 손안에서 허용하는 최저선을 보여 준다. 그는 무엇이 수학인지를 말하지 않았다. 이 지점에서는 아직 믿을 수 없다고 말했다.

계산은 계속되지만, 무엇을 수학으로 칠지는 아직 한 번도 분명하게 풀린 적이 없다.

사료와 더 읽을거리

다음 자료는 본문의 역사적 세부와 해석상의 이견에 대응한다. 소장 기록, 고대의 문학 기록, 현대의 재구성은 같은 종류의 증거가 아니다.

• 《번갈아 쓰기: 산수서 필사자 연구》
• 베이징대학: 《베이징대학 소장 진나라 간독》
• 칭화대학: 전국시대 죽간 계산표
• 카린 셰믈라: 《구장산술》의 술을 읽고 다시 분류하기
• 카린 셰믈라: 고대 중국 문헌으로 수학적 증명을 논하다
• 세인트앤드루스대학교: 조충지