NON DUBITO

数学 · 23 / 25

数学とお金

数学者が取引室、暗号機関、プラットフォーム企業へ入ってから、変わったのは給料だけではない。成果をどう公開するか、モデルにどこまで権力を持たせるか、そして職場を去るとき何を持っていけるかも変わった。

Han Qin · 日本語全篇版

この篇の目次
  1. 一 喫煙室
  2. 二 見知らぬ二人のあいだで
  3. 三 四年早かった発見
  4. 四 掛けるのはたやすい
  5. 五 ソースコードは言葉なのか
  6. 六 モデルの権力
  7. 七 書斎の外へ
  8. 八 値札のつけ直し
  9. 史料とさらに読むために

一 喫煙室

1973年4月26日、シカゴ・オプション取引所が開業した。その年は、シカゴ商品取引所の創立からちょうど125年に当たった。新しい取引所での初日の売買は、商品取引所の、かつて喫煙室だった部屋で行われた。

数週間後、ある経済学の学術誌に、オプションの価格をどう決めるかという論文が載った。著者はフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズ。同じ年の春には、別の学術誌にロバート・マートンが同じ問題を論じた論文が載っていた。マートンの草稿は1971年にはできていた。ブラックがのちに振り返ったところでは、自分たちの論文は初め、学術誌に掲載を断られている。シカゴの何人かの研究者が働きかけ、ようやく再び検討されることになったのだという。

解こうとしていた問題は、短く言える。一人ひとりの投資家がどれほどリスクを嫌うかをあらかじめ知らなくても、売買できるオプションの価格を決められるか。その価格は、株式と資金の貸し借りを組み合わせて同じ支払いを再現することで導け、裁定取引が成り立つかどうかで確かめられる。肝心なのは、あの公式そのものではない。価格づけとヘッジが、高度な数学を学んだ人間に任せ、体系的に進められる仕事になったことである。

ブラック自身の歩みが、その変化をよく表している。1959年にハーバード大学の物理学科を卒業し、1964年に取った博士号は応用数学だった。博士論文の題材は、機械に質問へ答えさせるシステムである。その後、技術系の企業で人工知能の仕事をし、1965年末にはコンサルティング会社へ移った。そこで初めて金融に出会う。1971年にシカゴ大学のビジネススクールへ、1975年にマサチューセッツ工科大学へ移り、1984年にはゴールドマン・サックスに入社した。二年後にはパートナーになっている。応用数学の博士が、コンサルティング会社から大学へ、さらに大学から投資銀行へ歩いていった。

公式が学術誌から取引フロアへ届くまで、ほんの数年しかかからなかった。ブラックはモデルで計算した理論価格を表に印刷し、商品としてトレーダーに売った。そのうちプログラムを組める電卓が現れ、やがてコンピューターが入り、取引の最中にもその場で価格を計算できるようになる。1970年代の半ばから後半には、このモデルはオプション取引の共通語の一つになっていた。金融を研究する社会学者マッケンジーは、さらに興味深いことを見つけた。モデルが広く使われるようになると、市場価格とモデルのずれは、かえって小さくなっていったのである。トレーダーがモデルに従って動くと、市場のほうがモデルに似てくる。

数学がお金と関わるのは、これが初めてではない。第1回に出てきた書記たちは、粘土板に帳簿をつけ、穀物と税を計算していた。その後、天文学は航海のために数表を作り、保険は確率論を育てた。砲兵も測地も数学なしには成り立たず、第20回で見たブレッチリー・パークの一室に集まった人々は、言うまでもない。では、1970年代以降、何が新しくなったのか。

二 見知らぬ二人のあいだで

1976年11月、スタンフォード大学のホイットフィールド・ディフィーとマーティン・ヘルマンが、情報理論の学術誌に論文を発表した。題は「暗号学の新しい方向」。書き出しは、おおよそこんな内容だった。暗号学はいま革命の目前にある。デジタル機器の低価格化によって、高度な暗号装置さえ、遠隔地の現金自動支払機やコンピューター端末に組み込めるほど安くなってきた。

二人が問うたのは、それまで暗号通信の根本的な障害と考えられていた問題だった。一度も会ったことがなく、秘密も事前に何一つ交換していない二人が、誰にでも聞かれる通信路を使って、自分たちだけの秘密を持てるだろうか。論文は公開鍵暗号の枠組みと、デジタル署名という考え方、そして鍵を交換する方法を示した。暗号を公開の場で研究する営みが、ここから始まったわけではない。シャノンらの重要な公開研究はすでにあった。それでも公開鍵の登場によって、大学の研究者が発表し、検証し、さらに発展させられる暗号研究の範囲は大きく広がった。

だが、公開には代償が伴った。1977年7月、電気電子学会、IEEEに一通の手紙が届く。差出人は米国家安全保障局、NSAの職員ジョセフ・マイヤーだった。暗号化に関する研究を学会誌や会議で発表すれば、武器輸出規制に触れるおそれがあるという。その年の10月、IEEEはコーネル大学で情報理論の国際会議を開く予定で、ヘルマンの学生であるラルフ・マークルとスティーブ・ポーリグが、自分たちの研究を発表することになっていた。マークルの研究には、そこまでのいきさつがある。1974年の秋、まだバークレーの学部生だった彼は、コンピューターセキュリティーの授業で、のちに公開鍵と呼ばれるものを課題研究として提案した。担当教員は受けつけなかった。短く、簡単にして出し直しても、関心を示してもらえなかった。彼はその授業の履修をやめ、一人で研究を続けた。1975年8月、コンピューター学会の学術誌へ投稿すると、今度は匿名の暗号専門家に退けられ、掲載まで三年近くかかった。1977年の秋になり、マークルとポーリグはそれぞれ家族と相談し、登壇を取りやめると決めた。スタンフォードの法律顧問はヘルマンに、要するにこう告げた。発表はしてよい。起訴されたら大学が弁護する。ただし有罪になったら、罰金を肩代わりすることも、代わりに刑務所へ入ることもできない。10月の会議では、ヘルマンが学生に代わって論文を発表し、二人の学生はその傍らに立った。

同じ年、マサチューセッツ工科大学の三人の若者、ロナルド・リベスト、アディ・シャミア、レオナルド・エーデルマンが、実際に使える公開鍵方式を示した。暗号化にも署名にも使える方式である。8月にはマーティン・ガードナーが、一般向け科学月刊誌の数学コラムでこれを取り上げた。その回の題は、解読に数百万年かかる新しい暗号、というものだった。コラムには懸賞問題もついていた。この方式で暗号化した文章を解けたら、賞金100ドル。正式な論文が出たのは1978年2月である。1982年には三人の会社ができ、1983年にはこの方式の特許を取得した。

三 四年早かった発見

1997年12月18日、イギリスの一般公開の会議で、クリフォード・コックスという数学者が、それまで誰にも語れなかった歴史を語った。

1969年ごろ、英国政府通信本部、GCHQのジェームズ・エリスは、暗号化には、原理上、双方が前もって秘密を交換する必要はないのではないかと考えた。1970年、その着想を内部文書にまとめ、「非秘密暗号」と名づけた。可能であることは証明したが、実際に使える方法は見つからなかった。1973年9月、22歳のコックスが、GCHQの下で通信保安を担当する部門に入ってきた。ケンブリッジのキングズ・カレッジで数学を学び、オックスフォードでバーチのもとで数論を研究したあと、博士課程を終えずに大学を離れた人である。ほどなく同僚のニック・パターソンからエリスの考えを聞き、コックスはたちまち一つの方法を見つけた。大きな素数同士を掛けるのは簡単だが、積から元の因数を取り出すのは難しい。その非対称性を使う方法で、構造は四年後のMITの三人の方式とほとんど同じだった。そのときは、書き留めることさえしなかった。同年11月20日になって、ようやく「非秘密暗号に関する覚書」という短い内部文書にまとめた。1974年には、同僚のマルコム・ウィリアムソンが別の方法を発見する。こちらは実質的に、のちにディフィーとヘルマンが公開した鍵交換の方法に近かった。

どれ一つ、学術誌へ投稿することはできなかった。投稿して断られたのではない。そもそも、公開を許される知識の範囲に入っていなかった。二十年以上、文書庫に眠り、機密が解除されたのは1997年である。エリスは1987年に、自分の1970年の文書からコックスとウィリアムソンの仕事まで、いきさつを一つの文章にまとめていた。それも内部に十年間留め置かれた。1997年11月25日、エリスは73歳で亡くなった。文章が一般に公開されたのは、その三週間後。さらに二日後、コックスがあの会議で歴史を語った。栄誉は、そのあと一つずつ届いた。コックスは2008年にバス勲章を受け、2010年にはIEEEがチェルトナムに、エリス、コックス、ウィリアムソンを顕彰する記念銘板を設置した。2015年、コックスは王立協会フェローに選ばれた。GCHQでは、主席数学者にまでなっている。

ここでぶつかっているのは、二つの異なる優先権の仕組みである。記録を見れば、エリス、コックス、ウィリアムソンには、より早い、検証可能な日付がある。誰が最初に考えついたかを語るなら、三人を外すことはできない。一方、公開された科学の側から見れば、ディフィー、ヘルマン、そしてMITの三人は、誰の仕事も盗んでいない。イギリスでの発見を知らずに独立に成し遂げ、成果を公開の共同体へ渡した。誰もが読め、確かめ、引用し、その先を研究できるようにした。秘密文書は、最初の発見の歴史をあとから書き換えることはできる。だが、公開した人々の独立した発見まで、さかのぼって取り消すことはできない。同じ数学が、大学では論文、引用、名声を意味し、情報機関ではまず能力、権限、そして機密を意味する。

大西洋の向こうでも事情は同じだった。米国のNSAは議会での証言で、自分たちはアメリカ最大級、おそらくは世界でも最大級の数学者の雇用主とみなされている、と述べたことがある。だが、何人を雇い、どの分野の仕事をしているのか、年ごとに照合できる公開の数字はない。機密扱いが数学の成果に及ぼす影響は、少なくとも三通りある。まったく発表できない。発表が数十年遅れる。考え方は話せても、実装の細部は明かせない。どの場合も、数学者がどう名声を築くか、引用がどう記録されるか、身につけた力を職場の外へ持ち出せるかを、直接変えてしまう。

四 掛けるのはたやすい

1940年、イギリスの数学者ハーディは、自分の仕事を弁護する小さな本を書いた。そこに、こんな一節がある。数論や相対性理論が戦争の何の役に立つのか、まだ誰も発見していないし、今後も長いあいだ、発見されそうにはない。ハーディにとって数論のいちばん清らかなところは、それを何かの役に立てられないことにあった。

数論を役立つものにしたのは、掛け算と、その逆の作業の非対称性だった。3掛ける5は15。ひと目でわかる。逆に15を渡され、どの二つの素数の積かと聞かれても難しくない。143になると、少し試して、11と13にたどり着く。数がもっと大きくなると、掛け算の手間は桁数に応じてゆっくり増えるのに、分解の手間は急に膨らむ。百数十桁の素数二つを掛けるのは、コンピューターなら普通は速い。ただし、積だけから因数分解する難しさは、桁数だけでなく、数の構造、アルゴリズム、使える計算資源によっても違う。一律に何年もかかるとは言えない。暗号学では、計算は容易でも逆向きには難しいと考えられる演算を、一方向の仕組みを作るために使う。もっとも、そのために適した一方向関数が存在すること自体、無条件には証明されていない。RSAが実際に使うのは剰余を取るべき乗演算であり、因数がわかれば復号の助けになるが、RSAを破ることと因数分解が一般に同等かどうかも証明されていない。MITの三人とコックスの巧みさは、この難問の中に、錠を作る人のための近道を残したことにあった。積は公開してよい。誰でもそれを使ってメッセージに錠をかけられる。二つの素数を手元に隠しておけば、錠を開ける秘密鍵をすばやく作れる。国家が文書庫にしまい込み、企業が特許を取ろうとしたのも、そこに理由があった。

1977年の賞金100ドルの問題では、積は129桁だった。17年後の1994年4月、その数は因数分解された。あるチームがインターネットを通じて約600人のボランティアを募り、およそ1,600台のコンピューターを使って、数か月計算を続けた。解読された文は、「魔法の言葉は、気難しいヒゲワシ」。賞金100ドルは、自由なソフトウェアの普及に取り組む財団へ寄付した。

2020年には、同じように作られた250桁の積も因数分解された。費やした計算量は、プロセッサーのコア一つで2,700年間、休まず計算するのに相当する。現在、実用に供されている鍵では、積は通常600桁を超える。ハーディが役に立てられないと言った学問は、国家が封印し、企業が特許にするものになった。

五 ソースコードは言葉なのか

1995年、カリフォルニア大学バークレー校数学科の博士課程にいたダニエル・バーンスタインは、自作の暗号システムについて、論文とプログラムのソースコードを発表しようとした。当時の輸出規制では、ソースコードを外国の研究仲間へ渡すのに、政府の許可を先に取らなければならなかった。電子フロンティア財団の支援を受け、彼は政府を訴えた。

1996年4月、連邦地方裁判所の判事は、彼の主張の核心を認めた。ソースコードには表現としての性質があり、合衆国憲法修正第1条によって保護される。1999年5月、第9巡回区控訴裁判所の裁判官合議体は、さらに踏み込んだ。旧来の規制は、暗号のソースコードに対する違憲の事前抑制だとしたのである。裁判所が特に取り上げたのは、研究者にとってソースコードは、動かせるものでもあり、アルゴリズムの考え方を仲間に伝える言葉でもある、という事実だった。プログラムは機械に近いのか、それとも数学の論文に近いのか。判事たちは答えを出さなければならなかった。

ただし、1999年9月、裁判所が大法廷での再審理を認めた際に、5月の合議体の意見は撤回されている。そのまま確定した控訴審判例として扱うことはできない。その後、この事件が最高裁まで進むこともなかった。変化は、もっと実際的な形で現れた。1999年、政府は商用の強力な暗号の輸出規制を大幅に緩めると発表し、2000年の新規則によって、研究者は届出などの条件を満たせば、強力な暗号のソースコードを公に発表できるようになった。

同じころ、国家は別の方法も考えていた。1993年、米政府はNSAが設計した暗号チップを打ち出した。クリッパー・チップである。チップ一つひとつの鍵の控えを政府機関にも預け、政府は法に基づく許可を得れば、その鍵で通信を傍受できるという仕組みだった。翌年、AT&Tベル研究所の研究員マット・ブレイズが、この鍵預託の仕組みで改ざんを防ぐための検査部分はわずか16ビットしかなく、迂回できることを発見した。迂回できたのは政府の鍵預託の仕組みであって、土台の暗号アルゴリズムを破ったわけではない。1996年ごろまでに、このチップの計画は当初の政策上の勢いを失ったが、そこで争われた問題は消えなかった。

バーンスタインの側に立ったのは、数学科の人間だけではなかった。政府の鍵預託案を批判した人々の中には、リベスト、ディフィー、ブレイズのように暗号を研究するコンピューター科学者がおり、弁護士やソフトウェア業界も加わっていた。多くは、まずコンピューター科学者や技術者であって、大学の数学科にいる数学者ではない。全員をまとめて数学者と呼んでしまえば、むしろ新しく起きていたことが見えなくなる。数学をする仕事の、職業としての境界がほどけ始めていたのである。

バーンスタインはのちに、公開の暗号研究で最も影響力のある人物の一人となった。2005年、自分で設計した楕円曲線を発表すると、その後、遠隔ログイン用のソフトウェアがそれを標準設定に採用し、新世代のネットワーク暗号プロトコルは推奨対象に挙げた。いくつものチャットソフトや暗号化通信路でも使われている。ソースコードを研究仲間に渡すだけのために訴訟を起こさなければならなかった、あの博士課程の学生の書いたものが、いまは毎日、数えきれないほどの機械の上で動いている。

六 モデルの権力

1995年8月、ブラックは喉頭がんで亡くなった。57歳だった。1997年のノーベル経済学賞はショールズとマートンに贈られ、選考委員会は発表文の中でブラックに特に言及した。この賞は、亡くなった人には授与されない。

当時、ショールズとマートンは、二人ともあるヘッジファンドのパートナーだった。ロングターム・キャピタル・マネジメント、LTCM。1994年にジョン・メリウェザーが設立し、債券、裁定取引、金融の学術研究に携わる人材を大勢集めていた。手がけていたのは、高いレバレッジを使い、市場をまたいで行う相対価値取引だった。本来なら価格が近いはずの二つのものにずれを見つけ、いずれその差が縮まるほうに賭ける。

1998年8月、ロシアが債務不履行に陥り、世界の資金は一斉に最も安全な場所へ逃げた。それまで一緒に動いてきた価格が一緒に動かなくなり、売りたいものを売れなくなった。8月末には、ファンドは資本のおよそ半分を失っていた。9月23日、ニューヨーク連邦準備銀行の呼びかけで集まった民間金融機関が36億ドルを注入し、経営を引き受けた。連銀は交渉を取りまとめたが、資金は出していない。

10月1日、グリーンスパンが議会で証言した。このファンドのモデルは、収益の構造が過去のパターンをおおむね繰り返すときには、価格のずれを見つけられた。だがファンドは収益率を保とうと、レバレッジとリスクを増やし続けた。そして1998年の状況は、モデルに組み込まれた過去の経験とは大きく異なっていた、という。同じ証言で彼は、金融モデルにどこまで依存すべきなのかを問い、さらに別の問題へも目を向けた。レバレッジ、流動性、そして取引相手の銀行はなぜ極端な状況を想定したストレステストを十分に行わず、ファンドのレバレッジに歯止めをかけなかったのか。

だから、これをノーベル賞の公式が失敗した話にしてしまうのは、縮めすぎである。モデルはリスクを扱う仕組みの一部だった。致命的だったのは、いくつもの要因が重なったことだ。モデルへの信頼、巨大なレバレッジ、同じ方向へ集中した取引、突然消えた流動性、そして、ファンドに歯止めをかけなかった取引相手。

十年後、再び危機が来た。その結果は、多くの人が思うのとは逆だった。金融機関のモデルは減らず、むしろモデルを見張る専門家が新たに増えた。2011年、米国の銀行監督当局がモデル・リスク管理の指針を出す。モデルは登録しなければならない。独立した検証を受け、異議を唱える人を置き、継続的に監視し、用途も制限しなければならない。数学の仕事は、モデルを作る、審査する、ストレスをかけて試す、運用を統治するという、いくつもの道筋に分かれていった。

エマニュエル・ダーマンは理論物理学の博士で、素粒子物理を七年間研究したのち、1980年にベル研究所へ入った。1985年にはゴールドマン・サックスへ移り、そこでブラックと一緒に金利モデルを作ったことがある。2009年1月、数理ファイナンスの研究者ポール・ウィルモットと、モデルを作る者の宣言を発表し、末尾に誓いの言葉を添えた。最初の一文は、おおよそこういう意味である。モデルを作る者は、世界は自分が作ったものではなく、自分の方程式を満たしてもくれないことを忘れてはならない。続く言葉は、モデルを大胆に使って価格を見積もってもよいが、数学に気圧されてはならないと説く。モデルを使う人に精度について偽りの安心を与えず、仮定と見落としを明記すること。自分の仕事が社会と経済に甚大な影響を及ぼしかねず、その多くが自分の理解を超えることを自覚すること。

七 書斎の外へ

数学者の新しい行き先は、企業の研究所にもあった。

ベル研究所の背後には、長年、規制の下で独占を認められていたAT&Tの収入があった。製品から遠く離れた、長期の研究を数多く抱える余裕があった。1984年の会社分割、1990年代の再編によって、研究所の規模も位置づけも変わったが、消えたわけではない。現在はノキアの傘下にある。1970年、ゼロックスはパロアルトに研究所を設立した。1991年にはマイクロソフトが自社の研究所を作る。研究員は会社に雇われながら、論文、学会発表、大学との共同研究で評価された。検索とプラットフォームの時代になると、さらに別の形が加わった。研究そのものが製品の中に組み込まれるのである。推薦、広告入札、変動価格づけ、不正検知、検索順位の決定。どれも数学者が一人で部屋にこもって仕上げられる仕事ではない。技術者、経済学者、製品チームと働き、モデルをログ、オンライン実験、計算クラスターにつながなければならない。アルゴリズムは、動き続ける生産設備になった。

そこから、ごく具体的な変化が生じる。どんな研究ができるかを決めるのは、もはや本、論文、同僚だけではない。雇い主が握るデータ、計算能力、アクセス数、実験を行う権限も、それを決める。転職によって失うのは、給料だけではないかもしれない。研究対象そのものを失うことがある。

成果の出ていく先も増えた。大学では、数学の成果は主に論文で、特許やコードはそれに付随していた。アルゴリズムを事業にする企業や金融会社には、論文、特許、コードと製品、営業秘密という四つの出口が並び、後ろの二つが主になることもある。国の記録は数十年後に公開されるかもしれない。だが、失敗した取引アルゴリズムや、社内の推薦モデルは、会社がなくなれば記録さえ残らないかもしれない。論文の目録を見れば、成果の目録もだいたいわかる。そういう時代ではなくなった。

職業統計にも、その変化は表れている。米労働統計局が2025年に「数学者」という職業名で数えたのは、わずか2,200人ほどで、半数以上は連邦政府に勤めていた。数学の博士号を持つ人の多くは、すでに研究科学者、応用科学者、クオンツ研究員といった肩書で働いている。数学をする人が減ったのではない。その名前に収まりきらなくなったのである。

三つの時代を並べてみよう。第3回で見た古代ギリシアの数学者たちは、ごく小さく、地理的にも散らばった、著作でつながる共同体だった。就職市場はなく、テキストと注釈を通じて世代から世代へ続いていった。第14回のゲッティンゲンは違う。ゼミ、閲覧室、教授職、学術誌の編集机。大学が数学者の居場所になっていた。1970年以降、第三の形が加わる。大学の外に、情報機関、取引室、企業の研究所、プラットフォーム企業がある。仕事の足場となるものは、書簡と大学の職から、データ、計算能力、コード、組織が与える権限へと移った。成果が誰に属するかも、著者一人の問題ではなくなり、著者、雇い主、特許、営業秘密が並び立つ。第一の時代の人は、文通相手を失っても、手元の問題は残る。第二の時代の人は、大学を移っても、たいていの問題を持っていける。第三の時代の人は、仕事を辞めると同時に、データ、本番で動くコード、取引記録、計算クラスター、そして発表する許可まで失うかもしれない。

八 値札のつけ直し

アメリカでは毎年、新しく博士号を取得した人の全数調査を行っている。2003年、新しく数学・統計学の博士号を取り、米国内でポスドク以外の就職先が決まっていた325人のうち、226人が学術界へ進んだ。70％である。2023年には、814人中220人、27％になった。この集計の範囲では、学術職に就く人数は二十年間ほぼ変わらず、就職先の決まった博士の人数は二倍以上になった。2024年の博士号取得者では、産業界の職に就く人の予想初年度年収の中央値は約15万ドル、学術職は6万8,000ドル、ポスドクは7万ドルだった。ここでいう産業界は産業部門または企業部門を指し、金融だけではない。ただし、学術界以外のすべてを含むわけでもなく、政府と非営利組織は別の分類になる。誰か資本家が誘惑の手を伸ばすまでもない。労働市場はすでに、自分で値札をつけ直していた。

この歴史が始まったころから、別の問いを口にした人もいた。1970年、グロタンディークはパリ郊外の高等科学研究所を去った。所長との対立の一因は、研究所の予算のごく一部が軍から出ていたことだった。その後、「生き延びる」という名の団体を組織し、軍備、環境、科学者の社会的責任について議論した。これは、それまで属していた研究機関との断絶を意味したが、数学者としての歩みが終わったということではない。その後も1980年代まで、重要な数学研究と執筆を続けた。グロタンディークが問うたのは、お金はどこから来るのか。バーンスタインが問うたのは、自分の作ったものを外へ渡すなと、誰が命じられるのか。金融モデルを作る人々が問うたのは、自分たちのモデルが組織の中でどれほどの権力を与えられているのか、ということだった。

では、1970年以降、何が新しくなったのか。数学が役に立ち始めたのではない。数学者が組み込まれる仕方が変わった。まず、人数が増えた。戦後の大学は19世紀とは比べものにならない数の博士を送り出し、かつてと同じ割合では大学の中に収められなくなった。政府も企業も、ときどき数学者を一人、顧問に招くというだけではなく、安定した就職市場を形づくった。次に、置かれる場所が変わった。かつては数値を計算して渡し、役人が決めた。いまは価格づけのモデルが自ら値を提示し、ヘッジのアルゴリズムが自ら取引する。順位づけのシステムは、何億人もの目に入るものをリアルタイムで並べている。数学は意思決定に先立って使われるだけでなく、ますます意思決定の機械そのものの中に入っている。仕事の足場も変わった。データ、計算能力、市場への接続、実験に使える利用者の流れは、雇い主の手にある。秘密はさらに一層増えた。国家機密に加えて、営業秘密、特許、秘密保持契約、独占的に保有されるデータがある。そして、持ち出せるものも、もはや論文だけではない。

これは、数学が資本に取り込まれたという物語でもない。企業は、真に開かれた基礎研究を養うことができる。ベル研究所がその例であり、1948年、シャノンの情報理論はこの研究所の技術誌に掲載された。大学もまた、市場の外にいたことなどない。公的予算、防衛研究、財団、授業料に支えられている。国家も知識を極めて厳重に封じ込められる。コックスの発見は24年間、鍵をかけられていた。応用の側から数学へ返ってくるものもある。公開鍵は数論、有限体、楕円曲線に、工学上の巨大な価値をもたらした。金融は確率解析、偏微分方程式、数値計算法、最適化に、数多くの新しい問題と仕事を送り込んだ。アルゴリズム企業と、組合せ最適化、学習理論、メカニズムデザインのあいだでも、行き来は双方向に続いている。その成果の一部は、また公開の数学へ帰っていった。

人がどこに立っているかは、そこを去るとき、何を持っていけるかに表れる。

2006年8月22日、マドリードの国際数学者会議で、その年のフィールズ賞が発表された。受賞者四人のうち、一人は姿を見せず、メダルも辞退した。

数の計算は、その先へと続いていく。けれど、何を数学に数えるのかは、いまだに答えが出ていない。

史料とさらに読むために

以下の資料は、本文中の歴史的な細部や、解釈の分かれる点に対応している。所蔵記録、古代の文学、現代の再構成は、それぞれ性質の異なる証拠である。