Mathematik · 23 / 25

Mathematik und Geld

Als Mathematiker in Handelsräume, kryptographische Behörden und Plattformunternehmen einzogen, änderte sich nicht nur ihr Gehalt. Es änderte sich auch, wie Ergebnisse öffentlich werden, wie viel Macht Modelle erhalten und was man beim Verlassen einer Stelle mitnehmen kann.

Han Qin · Vollständige deutsche Ausgabe

In diesem Essay

1 Im Raucherzimmer
2 Unter Fremden
3 Vier Jahre früher
4 Multiplizieren ist leicht
5 Ist Quellcode eine Äußerung?
6 Die Macht der Modelle
7 Jenseits des Schreibtischs
8 Ein neuer Preis
Quellen und weiterführende Lektüre

1 Im Raucherzimmer

Am 26. April 1973 öffnete die Chicago Board Options Exchange. Die Chicagoer Terminbörse, bekannt als Chicago Board of Trade, wurde in jenem Jahr gerade 125 Jahre alt. Der erste Handelstag der neuen Optionsbörse fand im ehemaligen Raucherzimmer der Terminbörse statt.

Einige Wochen später erschien in einer wirtschaftswissenschaftlichen Zeitschrift ein Aufsatz darüber, wie sich Optionen bewerten lassen. Die Autoren hießen Fischer Black und Myron Scholes. Im Frühjahr desselben Jahres veröffentlichte eine andere Zeitschrift einen Aufsatz von Robert Merton zum gleichen Problem; sein Arbeitspapier hatte bereits 1971 vorgelegen. Black erinnerte sich später, die gemeinsame Arbeit sei zunächst abgelehnt worden. Erst als sich einige Wissenschaftler aus Chicago für sie einsetzten, wurde sie noch einmal geprüft.

Das Problem passte in einen Satz: Wie lässt sich einer handelbaren Option ein Preis geben, ohne vorher wissen zu müssen, wie viel Angst jeder einzelne Anleger vor dem Risiko hat? Der gesuchte Preis musste sich mit Aktien und Kreditgeschäften nachbilden und an der Möglichkeit von Arbitrage prüfen lassen. Das Entscheidende war nicht die Formel. Entscheidend war, dass Bewertung und Absicherung nun zu einer systematischen Arbeit werden konnten, die man Menschen mit einer Ausbildung in höherer Mathematik übertrug.

Blacks eigener Lebenslauf führte vor, was das hieß. 1959 schloss er sein Physikstudium in Harvard ab, 1964 promovierte er in angewandter Mathematik. In seiner Dissertation ging es um ein System, mit dem Maschinen Fragen beantworten sollten. Anschließend arbeitete er bei einem Technologieunternehmen an künstlicher Intelligenz. Ende 1965 wechselte er zu einer Beratungsfirma und kam dort zum ersten Mal mit Finanzfragen in Berührung. 1971 ging er an die Wirtschaftsfakultät der University of Chicago, 1975 ans MIT, 1984 zu Goldman Sachs. Zwei Jahre später war er Partner. Ein promovierter angewandter Mathematiker ging aus der Beratung an die Universität und von der Universität in eine Investmentbank.

Von der Fachzeitschrift auf das Börsenparkett brauchte die Formel nur wenige Jahre. Black ließ Tabellen mit den nach dem Modell berechneten theoretischen Preisen drucken und verkaufte sie über kommerzielle Vertriebswege an Händler. Dann kamen programmierbare Taschenrechner, später Computer. Einen Preis auszurechnen wurde zu etwas, das man während des Handels nebenbei erledigte. Mitte bis Ende der siebziger Jahre gehörte das Modell bereits zur gemeinsamen Sprache des Optionshandels. Der Finanzsoziologe Donald MacKenzie fand noch etwas Bemerkenswerteres: Je mehr sich das Modell durchsetzte, desto geringer wurden die Abweichungen zwischen seinen Preisen und den Marktpreisen. Die Händler handelten nach dem Modell, und der Markt begann, dem Modell ähnlicher zu werden.

Mathematik hatte schon vorher mit Geld zu tun. Die Schreiber in der ersten Folge führten auf Tontafeln Buch über Getreide und Steuern. Später berechnete die Astronomie Tafeln für die Seefahrt, die Versicherung brachte die Wahrscheinlichkeitsrechnung voran, Artillerie und Landvermessung kamen ohne Mathematik nicht aus. Von dem Zimmer voller Menschen in Bletchley Park aus Folge 20 ganz zu schweigen. Was also war nach 1970 neu?

2 Unter Fremden

Im November 1976 veröffentlichten Whitfield Diffie und Martin Hellman von der Stanford University in einer Zeitschrift für Informationstheorie einen Aufsatz mit dem Titel „Neue Richtungen in der Kryptographie“. Am Anfang hieß es sinngemäß: Die Kryptographie stehe an der Schwelle einer Revolution. Preiswerte digitale Hardware habe hochwertige Verschlüsselungsgeräte so billig gemacht, dass sie sich in entfernte Geldautomaten und Computerterminals einbauen ließen.

Sie stellten eine Frage, die bis dahin als grundlegendes Hindernis verschlüsselter Kommunikation gegolten hatte: Können zwei Menschen, die einander nie begegnet sind und auch zuvor kein Geheimnis ausgetauscht haben, über eine von jedermann abhörbare Leitung ein Geheimnis vereinbaren, das nur sie beide kennen? Der Aufsatz entwarf den Rahmen für Verfahren mit öffentlichen Schlüsseln, formulierte die Idee einer digitalen Signatur und beschrieb einen Schlüsselaustausch. Die öffentliche Kryptographieforschung begann damit nicht erst; Shannon und andere hatten bereits wichtige Arbeiten frei veröffentlicht. Doch die Public-Key-Kryptographie erweiterte von nun an erheblich das Feld dessen, was Forscher an Universitäten veröffentlichen, überprüfen und weiterentwickeln konnten.

Öffentlichkeit hatte ihren Preis. Im Juli 1977 erhielt der Ingenieurverband IEEE einen Brief von Joseph Meyer, einem Mitarbeiter der National Security Agency. Forschung zur Verschlüsselung in den Zeitschriften und auf den Tagungen des Verbands zu veröffentlichen, könne gegen die Vorschriften zur Kontrolle von Rüstungsexporten verstoßen, hieß es darin. Für Oktober plante der Verband eine internationale Tagung zur Informationstheorie an der Cornell University. Zwei Studenten Hellmans, Ralph Merkle und Steve Pohlig, wollten dort ihre Arbeiten vorstellen. Merkles Thema hatte eine Vorgeschichte. Im Herbst 1974, noch vor seinem ersten Studienabschluss in Berkeley, hatte er in einem Kurs zur Computersicherheit ein Projekt vorgeschlagen, das bereits auf das hinauslief, was später Public-Key-Kryptographie heißen sollte. Der Dozent nahm den Vorschlag nicht an. Merkle kürzte und vereinfachte ihn, reichte ihn noch einmal ein und stieß wieder auf Desinteresse. Also verließ er den Kurs und arbeitete allein weiter. Im August 1975 schickte er seinen Aufsatz an eine Zeitschrift der Association for Computing Machinery. Ein anonymer Kryptographieexperte lehnte ihn ebenfalls ab; fast drei Jahre vergingen bis zum Erscheinen. Im Herbst 1977 beschlossen Merkle und Pohlig nach Rücksprache mit ihren Familien, nicht selbst vorzutragen. Stanfords Rechtsberater erklärte Hellman sinngemäß: Sie dürfen veröffentlichen. Werden Sie angeklagt, verteidigt Sie die Universität. Werden Sie aber verurteilt, kann sie weder Ihre Geldstrafe bezahlen noch für Sie ins Gefängnis gehen. Auf der Tagung im Oktober trug Hellman die Arbeiten seiner Studenten vor. Die beiden standen neben ihm.

Im selben Jahr entwickelten drei junge Wissenschaftler am MIT, Ronald Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman, ein tatsächlich einsetzbares Verfahren mit öffentlichen Schlüsseln. Es eignete sich sowohl zum Verschlüsseln als auch zum Signieren. Im August stellte Martin Gardner es in seiner Mathematikkolumne einer populärwissenschaftlichen Monatszeitschrift vor. Die Überschrift versprach einen neuen Geheimcode, für dessen Entschlüsselung Millionen Jahre nötig seien. Zur Kolumne gehörte eine Aufgabe: eine mit diesem Verfahren verschlüsselte Nachricht. Wer sie entschlüsselte, bekam hundert Dollar. Der wissenschaftliche Aufsatz erschien erst im Februar 1978. 1982 hatten die drei ein Unternehmen, 1983 ein Patent auf das Verfahren.

3 Vier Jahre früher

Am 18. Dezember 1997 trat in Großbritannien bei einer öffentlichen Tagung ein Mathematiker namens Clifford Cocks vor sein Publikum. Er erzählte eine Geschichte, die bis dahin niemand hatte erzählen dürfen.

Um 1969 war James Ellis vom britischen Nachrichtendienst GCHQ auf den Gedanken gekommen, dass Verschlüsselung grundsätzlich möglich sein müsse, ohne dass beide Seiten vorher ein Geheimnis austauschen. 1970 hielt er den Gedanken in einem internen Papier fest. Er nannte ihn „nichtgeheime Verschlüsselung“. Ellis bewies, dass so etwas möglich war, fand aber kein praktisch brauchbares Verfahren. Im September 1973 kam der zweiundzwanzigjährige Cocks in die für Kommunikationssicherheit zuständige Abteilung des GCHQ. Er hatte am King’s College in Cambridge Mathematik studiert und danach in Oxford bei Birch Zahlentheorie betrieben, die Universität jedoch vor Abschluss seiner Promotion verlassen. Bald darauf erzählte ihm sein Kollege Nick Patterson von Ellis’ Idee. Cocks fand rasch eine Lösung. Sie nutzte eine Asymmetrie: Große Primzahlen lassen sich leicht miteinander multiplizieren, aus ihrem Produkt lassen sich die Faktoren hingegen nur schwer zurückgewinnen. Ihr Aufbau war nahezu derselbe wie bei dem Verfahren, das die drei MIT-Forscher vier Jahre später entwickelten. Cocks schrieb seinen Einfall zunächst nicht einmal auf. Erst am 20. November desselben Jahres machte er daraus eine kurze interne Arbeit, „Eine Anmerkung zur nichtgeheimen Verschlüsselung“. 1974 fand sein Kollege Malcolm Williamson ein weiteres Verfahren. Es entsprach im Wesentlichen dem Schlüsselaustausch, den Diffie und Hellman später öffentlich vorstellten.

Keine dieser Arbeiten durfte bei einer Zeitschrift eingereicht werden. Hier war kein Manuskript an einer Ablehnung gescheitert. Dieses Wissen gehörte von vornherein nicht zu dem, was an die Öffentlichkeit durfte. Mehr als zwanzig Jahre blieb es in den Akten, bis 1997 die Geheimhaltung aufgehoben wurde. Ellis hatte die Geschichte schon 1987 aufgeschrieben, von seinem eigenen Papier aus dem Jahr 1970 bis zu Cocks und Williamson. Auch dieser Bericht lag zehn Jahre lang unter Verschluss. Am 25. November 1997 starb Ellis, dreiundsiebzig Jahre alt. Drei Wochen später wurde sein Text öffentlich zugänglich gemacht; zwei Tage danach erzählte Cocks auf jener Tagung die Geschichte. Die Ehrungen kamen später, eine nach der anderen: 2008 erhielt Cocks den Bath-Orden, 2010 enthüllte der IEEE in Cheltenham eine Gedenktafel für Ellis, Cocks und Williamson, 2015 wurde Cocks in die Royal Society gewählt. Beim GCHQ war er bis zum Chefmathematiker aufgestiegen.

Hier trafen zwei verschiedene Ordnungen wissenschaftlicher Priorität aufeinander. In den Akten stehen für Ellis, Cocks und Williamson frühere, überprüfbare Daten. Wer fragt, wem der Gedanke zuerst kam, muss sie berücksichtigen. In der öffentlich betriebenen Wissenschaft wiederum hatten Diffie, Hellman und die drei vom MIT bei niemandem abgeschrieben. Sie wussten nichts von den britischen Arbeiten, fanden ihre Lösungen unabhängig und gaben die Ergebnisse in eine offene Gemeinschaft: Man konnte sie lesen, prüfen, zitieren und daran weiterarbeiten. Geheime Akten können im Nachhinein die Geschichte der ersten Entdeckung verändern. Sie können denjenigen, die öffentlich publiziert haben, ihre unabhängige Entdeckung aber nicht rückwirkend nehmen. Dieselbe Mathematik bedeutet an einer Universität Aufsätze, Zitate und Ansehen. In einem Nachrichtendienst bedeutet sie zunächst Leistungsfähigkeit, Zugangsrechte und Geheimhaltung.

Auf der anderen Seite des Atlantiks war es nicht anders. Die amerikanische NSA erklärte bei einer Anhörung vor dem Kongress, sie gelte als einer der größten Arbeitgeber für Mathematiker in den Vereinigten Staaten, womöglich sogar weltweit. Doch wie viele sie beschäftigt und auf welchen Gebieten sie arbeiten, lässt sich keiner öffentlichen, Jahr für Jahr nachprüfbaren Zahlenreihe entnehmen. Geheimhaltung wirkt auf mathematische Ergebnisse mindestens auf drei Arten: Sie werden überhaupt nicht veröffentlicht; sie erscheinen mit Jahrzehnten Verspätung; oder man darf über die Ideen sprechen, aber nur eingeschränkt über die Einzelheiten ihrer Umsetzung. Jede dieser drei Formen verändert unmittelbar, wie ein Mathematiker Ansehen aufbaut, wie seine Arbeit durch Zitate sichtbar wird und ob er sein Können mitnehmen kann.

4 Multiplizieren ist leicht

1940 schrieb der britische Mathematiker G. H. Hardy ein kleines Buch zur Verteidigung seines Fachs. Darin stand sinngemäß, noch niemand habe einen kriegerischen Nutzen der Zahlentheorie oder der Relativitätstheorie gefunden, und es sehe nicht danach aus, als werde sich auf viele Jahre hinaus daran etwas ändern. Für Hardy lag das Unbefleckte der Zahlentheorie gerade darin, dass sie sich nicht verwenden ließ.

Nützlich wurde die Zahlentheorie durch die Asymmetrie zwischen dem Multiplizieren und dem umgekehrten Weg. Drei mal fünf ist fünfzehn, das sieht man sofort. Gibt man die fünfzehn vor und fragt nach den beiden Primzahlen, deren Produkt sie ist, ist auch das leicht. Bei hundertdreiundvierzig muss man schon etwas probieren, bis man auf elf mal dreizehn kommt. Mit wachsenden Zahlen nimmt der Aufwand des Multiplizierens mit der Stellenzahl nur allmählich zu; der Aufwand des Zerlegens wächst dagegen rasch. Zwei Primzahlen mit jeweils mehr als hundert Stellen multipliziert ein Computer gewöhnlich sehr schnell. Kennt man nur das Produkt, hängt die Schwierigkeit seiner Zerlegung allerdings von der Stellenzahl, der Struktur der Zahl, dem verwendeten Algorithmus und den verfügbaren Rechenressourcen ab. Man kann nicht pauschal behaupten, dafür brauche man viele Jahre. Die Kryptographie baut Einwegmechanismen aus Operationen auf, von denen man annimmt, dass sie leicht auszuführen und schwer umzukehren sind. Für die Existenz geeigneter Einwegfunktionen fehlt bislang ein Beweis, der ohne zusätzliche Annahmen auskommt. RSA verwendet modulares Potenzieren; bekannte Faktoren helfen beim Entschlüsseln, doch auch eine allgemeine Gleichwertigkeit zwischen dem Brechen von RSA und der Faktorisierung ist nicht bewiesen. Der Kunstgriff von Cocks und den drei Forschern am MIT bestand darin, dem Hersteller des Schlosses einen kürzeren Weg durch dieses schwierige Problem offenzuhalten: Das Produkt kann öffentlich werden, jeder kann damit Nachrichten verschließen. Die beiden Primzahlen behält man für sich und kann daraus schnell den privaten Schlüssel zum Öffnen herstellen. Auf diesem Unterschied beruhte der Wert dessen, was Staaten in ihre Geheimarchive einschlossen und Unternehmen zum Patent anmeldeten.

Bei der Hundert-Dollar-Aufgabe von 1977 hatte das Produkt 129 Stellen. Siebzehn Jahre später, im April 1994, war es zerlegt. Ein Team hatte über das Internet ungefähr sechshundert Freiwillige zusammengebracht; etwa sechzehnhundert Computer rechneten mehrere Monate lang. Die entschlüsselte Nachricht lautete: „Die magischen Worte sind: ein zimperlicher Bartgeier.“ Die hundert Dollar spendeten sie einer Stiftung zur Förderung freier Software.

2020 wurde auch ein solches Produkt mit 250 Stellen zerlegt. Der Rechenaufwand entsprach dem, was ein einzelner Prozessorkern in 2.700 Jahren ununterbrochener Arbeit geleistet hätte. Bei heute tatsächlich eingesetzten Schlüsseln hat das Produkt gewöhnlich mehr als sechshundert Stellen. Aus jener Wissenschaft, die sich Hardy zufolge nicht verwenden ließ, war etwas geworden, das Staaten unter Verschluss hielten und Unternehmen patentieren ließen.

5 Ist Quellcode eine Äußerung?

1995 wollte Daniel Bernstein, Doktorand am Fachbereich Mathematik der University of California in Berkeley, einen Aufsatz über ein selbst entworfenes Verschlüsselungssystem veröffentlichen, zusammen mit dem Quellcode des Programms. Nach den damaligen Exportbestimmungen brauchte er eine staatliche Genehmigung, um den Quellcode ausländischen Kollegen zu geben. Mit Unterstützung der Electronic Frontier Foundation verklagte er die Regierung.

Im April 1996 folgte die Richterin am Bundesbezirksgericht seinem zentralen Argument: Quellcode hat Ausdruckscharakter und fällt unter den Schutz des Ersten Verfassungszusatzes. Im Mai 1999 ging ein Spruchkörper des Bundesberufungsgerichts für den neunten Gerichtsbezirk noch weiter. Die alten Vorschriften stellten für kryptographischen Quellcode eine verfassungswidrige Vorabkontrolle dar. Das Gericht befasste sich ausdrücklich mit der Tatsache, dass Quellcode für Forscher zweierlei ist: etwas, das ausgeführt werden kann, und eine Sprache, in der Kollegen einander algorithmische Gedanken mitteilen. Ist ein Programm eher eine Maschine oder eher ein mathematischer Aufsatz? Nun mussten Richter darauf antworten.

Allerdings zog das Gericht die Entscheidung vom Mai wieder zurück, als es im September 1999 einer erneuten Verhandlung in erweiterter Besetzung, en banc, zustimmte. Man darf sie daher nicht als unverändert fortgeltendes, abschließendes Berufungsurteil behandeln. Der Fall gelangte später auch nicht bis vor den Supreme Court. Praktisch folgenreicher war etwas anderes: 1999 kündigte die Regierung an, den Export starker kommerzieller Verschlüsselung erheblich zu erleichtern. Die neuen Vorschriften von 2000 ermöglichten es Forschern, den Quellcode starker Verschlüsselungsverfahren öffentlich zugänglich zu machen, sofern sie unter anderem Meldepflichten erfüllten.

In denselben Jahren versuchte der Staat noch einen anderen Weg. 1993 stellte die amerikanische Regierung einen von der NSA entwickelten Verschlüsselungschip vor, den Clipper-Chip. Zu jedem Chip wurde eine Kopie seines Schlüssels bei staatlichen Stellen hinterlegt. Mit der gesetzlich erforderlichen Ermächtigung sollte die Regierung ihn zum Abhören einsetzen können. Im folgenden Jahr entdeckte Matt Blaze, Forscher bei den Bell Laboratories von AT&T, dass die gegen Manipulation vorgesehene Prüfinformation in diesem Hinterlegungsverfahren nur sechzehn Bit lang war. Man konnte die Kontrolle umgehen. Umgangen wurde damit die staatliche Schlüsselhinterlegung; der zugrunde liegende Verschlüsselungsalgorithmus war dadurch nicht gebrochen. Um 1996 hatte das Chipprogramm seinen ursprünglichen politischen Schwung verloren. Die Auseinandersetzung darüber war damit nicht verschwunden.

Auf Bernsteins Seite standen keineswegs nur Angehörige mathematischer Fachbereiche. Zu den Kritikern der staatlichen Schlüsselhinterlegung gehörten Rivest und Diffie, Informatiker aus der Kryptographieforschung wie Blaze, außerdem Juristen und die Softwarebranche. Viele von ihnen waren in erster Linie Informatiker oder Ingenieure, keine Mathematiker an Universitätsinstituten. Würde man sie alle schlicht Mathematiker nennen, verdeckte man gerade das Neue: Die beruflichen Grenzen mathematischer Arbeit begannen sich aufzulösen.

Bernstein wurde später einer der einflussreichsten Köpfe der öffentlichen Kryptographie. 2005 veröffentlichte er eine von ihm entworfene elliptische Kurve. Später machte Software für die Fernanmeldung sie zur Voreinstellung, eine neue Generation von Protokollen zur Netzverschlüsselung nahm sie in ihre Empfehlungen auf, und mehrere Chatprogramme und verschlüsselte Kommunikationskanäle setzten sie ein. Was jener Doktorand schrieb, der erst vor Gericht ziehen musste, um seinen Quellcode an Kollegen weitergeben zu dürfen, läuft heute jeden Tag auf unzähligen Maschinen.

6 Die Macht der Modelle

Im August 1995 starb Black an Kehlkopfkrebs. Er war siebenundfünfzig Jahre alt. Den Wirtschaftsnobelpreis von 1997 erhielten Scholes und Merton. In seiner Bekanntgabe erwähnte das Preiskomitee Black ausdrücklich. Der Preis wird nicht an Verstorbene verliehen.

Scholes und Merton waren damals beide Partner eines Hedgefonds. John Meriwether hatte Long-Term Capital Management 1994 gegründet. Zum Team gehörten zahlreiche Spezialisten für festverzinsliche Wertpapiere, Arbitrage und akademische Finanzforschung. Der Fonds betrieb marktübergreifende Relative-Value-Geschäfte mit hohem Fremdkapitaleinsatz: Er suchte nach Preisabständen zwischen zwei Anlagen, die eigentlich ähnlich viel kosten sollten, und setzte darauf, dass diese Abstände sich früher oder später wieder schließen würden.

Im August 1998 erklärte Russland den Zahlungsausfall. Weltweit floh das Kapital gleichzeitig in die sichersten Anlagen. Preise, die sich historisch gemeinsam bewegt hatten, taten es nicht mehr. Was man verkaufen wollte, fand keinen Käufer. Bis Ende August hatte der Fonds ungefähr die Hälfte seines Kapitals verloren. Am 23. September schoss eine Gruppe privater Finanzinstitute 3,6 Milliarden Dollar ein und übernahm ihn. Zusammengebracht hatte sie die Federal Reserve Bank of New York. Die Notenbank organisierte die Verhandlungen, eigenes Geld gab sie nicht dazu.

Am 1. Oktober sagte Alan Greenspan vor dem Kongress aus. Die Modelle des Fonds, erklärte er, hätten Preisabweichungen aufspüren können, solange die Renditestrukturen im Großen und Ganzen den historischen Mustern folgten. Um seine Renditen zu halten, habe der Fonds aber immer stärker gehebelt und immer größere Risiken auf sich genommen. Und die Verhältnisse von 1998 hätten sich stark von den Erfahrungen unterschieden, die in die Modelle eingegangen waren. In derselben Aussage fragte Greenspan, wie weit man sich auf Finanzmodelle verlassen solle. Zugleich lenkte er den Blick auf andere Punkte: Hebelwirkung und Liquidität, aber auch die Banken auf der Gegenseite der Geschäfte. Warum hatten sie extreme Szenarien nicht ausreichend in Stresstests geprüft? Warum hatten sie den Fremdkapitaleinsatz des Fonds nicht begrenzt?

Wer darin nur das Scheitern einer Nobelpreisformel sieht, verkürzt die Geschichte also zu stark. Das Modell war ein Teil des Risikosystems. Tödlich wirkte das Zusammentreffen mehrerer Dinge: Vertrauen in die Modelle, gewaltige Hebel, in dieselbe Richtung gedrängte Geschäfte, plötzlich verschwundene Liquidität und Geschäftspartner, die dem Fonds keine Grenze gesetzt hatten.

Zehn Jahre später kam die nächste Krise. Ihre Folgen sahen anders aus, als viele vermutet hätten: Die Finanzinstitute verwendeten nicht weniger Modelle. Stattdessen bekamen sie zusätzlich Leute, deren Aufgabe es war, die Modelle im Auge zu behalten. 2011 veröffentlichten die amerikanischen Bankenaufsichtsbehörden Leitlinien zum Umgang mit Modellrisiken. Modelle mussten erfasst, unabhängig validiert, kritisch hinterfragt und laufend überwacht werden; ihre Einsatzbereiche waren zu begrenzen. Die mathematische Arbeit verzweigte sich: Modelle bauen, Modelle prüfen, Modelle unter Stress setzen, den Umgang mit Modellen regeln.

Emanuel Derman hatte in theoretischer Physik promoviert und sieben Jahre lang Teilchenphysik betrieben. 1980 ging er zu Bell Labs, 1985 zu Goldman Sachs, wo er mit Black an einem Zinsmodell arbeitete. Im Januar 2009 veröffentlichte er mit dem Finanzmathematiker Paul Wilmott ein Manifest für Finanzmodellierer. Es endete mit dem Entwurf eines Eides. Dessen erster Satz besagte sinngemäß: Wer Modelle baut, soll daran denken, dass er die Welt nicht erschaffen hat und dass sie seinen Gleichungen nicht gehorcht. Die folgenden Sätze verlangten, Modelle durchaus mutig zur Bewertung einzusetzen, sich aber von der Mathematik nicht blenden zu lassen; ihren Nutzern keine falsche Sicherheit über die Genauigkeit zu geben; Annahmen und Auslassungen offenzulegen; und sich bewusst zu bleiben, dass die eigene Arbeit Gesellschaft und Wirtschaft gewaltig beeinflussen kann, in vielem weit über das eigene Verständnis hinaus.

7 Jenseits des Schreibtischs

Ein weiterer neuer Arbeitsplatz für Mathematiker waren die Forschungslabore der Unternehmen.

Hinter Bell Labs standen die Einnahmen aus dem lange staatlich regulierten Monopol von AT&T. Sie finanzierten in großem Umfang langfristige Forschung, die weit von einem fertigen Produkt entfernt war. 1984 wurde der Konzern aufgeteilt, in den neunziger Jahren erneut umgebaut. Größe und Stellung der Labore veränderten sich mit, verschwunden sind sie nicht: Heute gehören sie zu Nokia. 1970 gründete Xerox sein Forschungszentrum in Palo Alto. 1991 richtete Microsoft eine eigene Forschungsabteilung ein. Deren Wissenschaftler waren Angestellte eines Unternehmens, wurden aber nach Veröffentlichungen, Auftritten auf wissenschaftlichen Konferenzen und Kooperationen mit Universitäten beurteilt. Mit Suchmaschinen und Plattformen kam eine weitere Form hinzu: Forschung steckte nun im Produkt selbst. Empfehlungen, Anzeigenauktionen, dynamische Preise, Betrugserkennung, die Reihenfolge von Suchergebnissen: Das sind keine Aufgaben, die ein einzelner Mathematiker hinter verschlossener Tür erledigen kann. Er arbeitet mit Ingenieuren, Ökonomen und Produktteams zusammen. Die Modelle müssen an Protokolldaten, laufende Onlineexperimente und Rechencluster angeschlossen werden. Der Algorithmus wird zu einer Produktionsanlage, die ununterbrochen läuft.

Das veränderte etwas sehr Konkretes. Welche Forschung jemand betreiben kann, bestimmen nicht mehr nur Bücher, Aufsätze und Kollegen. Es zählen auch die Daten seines Arbeitgebers, dessen Rechenleistung und Besucherzahlen sowie die Erlaubnis, Experimente durchzuführen. Bei einem Stellenwechsel verliert man womöglich nicht nur sein Gehalt. Man verliert den Gegenstand seiner Forschung.

Auch für die Ergebnisse gab es nun mehr als einen Weg. An Universitäten nehmen mathematische Ergebnisse vor allem die Form von Aufsätzen an; Patente und Code kommen hinzu. In algorithmisch arbeitenden Unternehmen und Finanzfirmen bestehen vier Formen nebeneinander: Aufsätze; Patente; Code und Produkte; Geschäftsgeheimnisse. Die letzten beiden können dort sogar die wichtigsten sein. Staatliche Archive öffnen sich vielleicht nach einigen Jahrzehnten. Ein gescheiterter Handelsalgorithmus oder ein internes Empfehlungsmodell kann hingegen mit dem Unternehmen verschwinden, ohne überhaupt ein Archiv zu hinterlassen. Das Publikationsverzeichnis kommt dem Verzeichnis der Ergebnisse nicht mehr annähernd gleich.

Die Berufsstatistik zeigt es ebenfalls. Unter der Berufsbezeichnung „Mathematiker“ führte das amerikanische Bureau of Labor Statistics 2025 nur rund 2.200 Menschen, mehr als die Hälfte davon im Dienst des Bundes. Viele promovierte Mathematiker tragen längst Stellenbezeichnungen wie Research Scientist, Applied Scientist oder Quantitative Researcher. Es gibt nicht weniger Menschen, die Mathematik betreiben. Sie passen nur nicht mehr unter diesen einen Namen.

Stellen wir drei Epochen nebeneinander. Die griechischen Mathematiker der Antike aus Folge 3 bildeten eine winzige, räumlich verstreute Gemeinschaft von Autoren. Einen Stellenmarkt gab es nicht. Texte und Kommentare verbanden die Generationen. Göttingen in Folge 14 sah anders aus: Seminare, Lesesäle, Lehrstühle, Redaktionstische wissenschaftlicher Zeitschriften. Die Universität wurde der Ort, an dem Mathematiker ein Auskommen und eine Bleibe fanden. Nach 1970 kam eine dritte Ordnung hinzu. Neben den Universitäten standen Nachrichtendienste, Handelsräume, Unternehmenslabore und Plattformfirmen. Das entscheidende Rüstzeug wechselte: An die Stelle von Briefwechseln und akademischen Stellen traten Daten, Rechenleistung, Code und institutionelle Zugangsrechte. Die Frage, wer Anspruch auf ein Ergebnis hatte, ließ sich nicht mehr allein mit dem Namen seines Autors beantworten. Jetzt spielten Autoren und Arbeitgeber ebenso eine Rolle wie Patente und Geschäftsgeheimnisse. Der erste Mathematiker mochte einen Brieffreund verlieren; seine Probleme blieben ihm. Der zweite konnte beim Wechsel an eine andere Universität die meisten Probleme mitnehmen. Der dritte kann beim Ausscheiden gleichzeitig Daten, produktiv eingesetzten Code, Handelsaufzeichnungen, Rechencluster und die Erlaubnis zur Veröffentlichung verlieren.

8 Ein neuer Preis

Die Vereinigten Staaten befragen jedes Jahr alle frisch Promovierten. Unter den neuen Doktoren der Mathematik und Statistik gab es 2003 insgesamt 325, die eine feste Zusage für eine Beschäftigung in den USA außerhalb von Postdoc-Stellen hatten. Davon gingen 226 in den akademischen Bereich, siebzig Prozent. 2023 waren es 220 von 814, siebenundzwanzig Prozent. In dieser Abgrenzung hatte sich die Zahl der akademischen Stellen in zwanzig Jahren kaum bewegt, während sich die Zahl der Promovierten mit einer gesicherten Beschäftigungszusage mehr als verdoppelt hatte. Für den Jahrgang 2024 lag der Median des erwarteten Jahresgehalts bei Stellen in der Wirtschaft bei ungefähr 150.000 Dollar, bei akademischen Stellen bei 68.000 Dollar und bei Postdoc-Stellen bei 70.000 Dollar. „Wirtschaft“ meint hier Industrie und Unternehmen, nicht allein die Finanzbranche, aber auch nicht sämtliche Bereiche außerhalb der Wissenschaft. Staatliche Stellen und gemeinnützige Organisationen bilden eigene Kategorien. Dafür muss kein Kapitalist jemanden persönlich verführen. Der Arbeitsmarkt hat den Preis schon neu angesetzt.

Gleich zu Beginn dieser Geschichte stellte jemand eine andere Frage. 1970 verließ Alexander Grothendieck das Institut des Hautes Études Scientifiques vor den Toren von Paris. Er hatte sich mit dem Direktor überworfen, unter anderem, weil ein kleiner Teil des Institutsetats vom Militär stammte. Danach gründete er die Gruppe „Survivre“, „Überleben“, die sich mit Rüstung, Ökologie und der gesellschaftlichen Verantwortung von Wissenschaftlern befasste. Das markierte den Bruch mit seiner bisherigen Forschungseinrichtung, nicht das Ende seines mathematischen Lebens. Noch bis in die achtziger Jahre hinein entstanden wichtige mathematische Forschungen und Schriften. Grothendieck fragte, woher das Geld kam. Bernstein fragte, wer ihm verbieten durfte, seine Arbeit weiterzugeben. Die Finanzmodellierer fragten, wie viel Macht ihren Modellen innerhalb einer Organisation eingeräumt wurde.

Was also war nach 1970 neu? Nicht, dass Mathematik nützlich wurde, sondern die Art, wie Mathematiker in die Welt der Arbeit eingefügt wurden. Es waren mehr geworden: Die Universitäten der Nachkriegszeit brachten ungleich mehr Promovierte hervor als die des neunzehnten Jahrhunderts. Den gleichen Anteil konnten sie nicht mehr selbst beschäftigen. Staat und Unternehmen baten deshalb nicht nur gelegentlich einen Mathematiker um Rat, sondern bildeten einen dauerhaften Arbeitsmarkt. Auch die Stellung der Mathematik hatte sich verändert. Früher errechnete man eine Zahl, und ein Beamter entschied. Jetzt stellte das Preismodell selbst die Preise, der Absicherungsalgorithmus handelte selbst, und das Sortiersystem ordnete in Echtzeit, was Hunderte Millionen Menschen zu sehen bekamen. Mathematik stand nicht mehr nur vor der Entscheidung. Sie steckte zunehmend in der Maschine, die entschied. Das Rüstzeug war ein anderes geworden: Daten, Rechenleistung, Marktzugang und der Nutzerverkehr für Experimente lagen in den Händen der Arbeitgeber. Und die Geheimhaltung hatte eine weitere Schicht bekommen. Zu Staatsgeheimnissen kamen Geschäftsgeheimnisse, Patente, Verschwiegenheitsvereinbarungen und proprietäre Daten. Auch der wissenschaftliche Aufsatz war nicht mehr das Einzige, was man mitnehmen konnte.

Das ist ebenso wenig eine Geschichte davon, wie das Kapital die Mathematik vereinnahmte. Unternehmen können echte, offene Grundlagenforschung finanzieren. Bell Labs ist ein Beispiel: Shannons Informationstheorie erschien 1948 in der technischen Zeitschrift dieses Labors. Umgekehrt stand die Universität nie außerhalb des Marktes. Sie lebt von öffentlichen Haushalten, Verteidigungsforschung, Stiftungen und Studiengebühren. Auch der Staat kann Wissen hermetisch abriegeln: Cocks’ Entdeckung blieb vierundzwanzig Jahre unter Verschluss. Und aus den Anwendungen kommt etwas zurück. Öffentliche Schlüssel gaben Zahlentheorie, endlichen Körpern und elliptischen Kurven einen gewaltigen technischen Wert. Die Finanzwelt brachte der stochastischen Analysis, den partiellen Differentialgleichungen, numerischen Verfahren und der Optimierung eine Fülle neuer Fragen und Arbeitsplätze. Zwischen algorithmisch arbeitenden Unternehmen auf der einen und kombinatorischer Optimierung, Lerntheorie und Mechanismusdesign auf der anderen Seite fließt ebenfalls Wissen in beide Richtungen. Ein Teil der Ergebnisse findet in die öffentliche Mathematik zurück.

Wo jemand steht, zeigt sich daran, was er beim Gehen mitnehmen kann.

Am 22. August 2006 wurden auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Madrid die Fields-Medaillen dieses Jahres bekannt gegeben. Von den vier Ausgezeichneten war einer nicht gekommen. Er wollte auch die Medaille nicht.

Es wird weitergerechnet. Was aber als Mathematik zählt, ist bis heute nicht abschließend geklärt.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Materialien erschließen die historischen Einzelheiten und unterschiedlichen Deutungen im Text. Archivbestände, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.