数学 · 20 / 25
機械
チューリングは、紙と鉛筆で計算する人の営みから一つの部分を取り出し、機械として定義した。そして、その種の機械ならどれも越えられない境界を、そこから証明した。
この篇の目次
一 計算する人
1936年の春、ケンブリッジ。キングズ・カレッジの若いフェロー、アラン・チューリングは、23歳で一本の論文を書き上げた。題名は「計算可能数について、判定問題への応用とともに」。計算可能数とは、小数の桁を一つずつ計算していける数のことだ。円周率もその一つで、何桁ほしいと言われても、そこまで計算できる。ロンドン数学会がこの論文を受け取ったのは5月28日だった。
答えようとしたのは、ヒルベルトが提起した問題だった。ところが論文は、その前に別の問いに取りかかる。人が一歩ずつ計算を進めるとき、いったい何をしているのか。そこには一台の機械が登場する。のちに著者の姓を冠した名前をもらう機械だ。ただし、論文が初めて機械を持ち出す場面で、比べる相手は一人の人間だった。
ある数を計算している人は、有限個の状態しか取れない機械になぞらえることができる、と論文はいう。その先の長い分析で「計算者」と呼ばれているのは、この人だ。代名詞も「彼」である。彼は紙の上で計算する。その紙を、子どもの算数ノートのように、マス目に区切られていると考えてみる。一度に見渡せるマスの数には限りがある。この計算に関係する心の状態も、有限個しかない。一歩ごとの動作はごく小さい。一つのマスの記号を書き換える。近くのマスへ注意を移す。心の状態を切り替える。
当時、computer、つまり「計算者」といえば、まだ人間のことだった。天文台や数表を作る機関には、机に向かう人が列をなし、誰かが決めた手順どおりに計算を進めていた。もちろん、机で計算する人間には、それ以外の働きもある。疲れることもあれば、ひらめくこともある。自分が何を計算しているのかも知っている。チューリングはそれを一つずつ取り払い、決まりに従って先へ進む部分だけを残した。そうして残ったものが、あの機械だった。
なぜ、そんなことをする必要があったのか。話は8年前にさかのぼる。
二 ふだんの言葉を定義する
1928年、ヒルベルトとアッカーマンは、共著の論理学の教科書で、ある問題を数理論理学の真ん中に据えた。数学の命題を記号で書くための標準的な言語として、一階論理があった。その言語で書かれた文を、どれでも一つ渡す。その文があらゆる解釈のもとで成り立つかどうかを、有限の手順で判定できる、統一的で機械的な方法はないか。中の記号を何と解釈しても、正しい文かどうかを決めたいのである。これが判定問題だ。第18回の冒頭で触れた、ヒルベルトたちの大きな願いである。その回でも述べたように、ここでいう「機械的な方法」とは、数学がわからない人でも、言われたとおりにやれば間違えようのない、融通の余地のない手順を指していた。
だが、この問題には、難しいか易しいかよりも手前の厄介事があった。「ある」と答えるなら、方法を一つ示せばいい。「ない」と答えるには、どんな方法でも無理だと証明しなければならない。では、「どんな方法」とは、どこからどこまでをいうのか。誰でも手順どおりにやればできる、というだけでは、まだ日常の言い方にすぎない。「機械的な方法」がそのままでは、存在しないと証明したくても、何を相手にすればよいのかさえ定まらない。
それまでには、「ある」の側から挑んだ人が大勢いた。1918年にはベルナイスが命題論理の判定を論じ、1921年にはベーマンが判定問題を正面から取り上げ、範囲を限ったいくつかの部分について方法を見つけていた。第18回で読んだプレスバーガーの10ページも、その道に置かれた一石だった。20年にわたって、部分的な成功が一つ、また一つと積み重なる。だから、一般の場合にも方法があるはずだと考えるのは、荒唐無稽なことには見えなかった。
1930年、ゲーデルの完全性定理が、そこにもう一つの事情を加えた。定理からいえるのは、ある文が本当にあらゆる場合に成り立つなら、すべての証明を一つずつ列挙していけば、いつかその文の証明に行き当たる、ということだった。だが、どんな場合にも成り立つわけではない文なら、探してもいつまでも終わらないかもしれない。「見つかりません」と告げて止まってくれるわけでもない。正しい側なら、待てば答えが来る。そうでない側では、永遠に待ち続けることになりかねない。止まるのか、止まらないのか。それが、ここから問題の核心になる。
1935年3月、22歳のチューリングは、キングズ・カレッジのフェローに選ばれた。評価されたのは、「ガウスの誤差関数について」という確率論の論文だった。彼はその中で一つの定理を自力で証明していた。仕上げてから、フィンランドのリンデベルグが1922年にすでに証明していたと知った。それでもカレッジは彼を選んだ。任期3年、年300ポンド、食事と住まい付きだった。
その春、彼はマックス・ニューマンの数学基礎論の講義を聴いた。ゲーデルの話も、ヒルベルトの判定問題の話も出てきた。ニューマンは晩年のインタビューで、講義ではこんな意味のことを言ったと振り返っている。一歩ずつ実行できるというのは、その過程が純粋に機械的だということだ。「機械にできる」とまで言ったかもしれない、と。チューリングは、その言葉を受け取った。いきなり解法を探したのでも、反例を探したのでもない。誰も定義していなかった言葉に、まず戻った。機械的に行うとは、そもそもどういうことなのか。
三 紙のテープ
彼が与えた定義は、こういうものだった。紙を一本のテープにし、マス目に区切る。一つのマスには記号を一つ書けるし、空白のままでもよい。機械がその瞬間に見ているのは、一つのマスだけである。機械自身は、有限個の状態のうち、どれか一つにある。その状態と、いま見ている記号を組み合わせると、次に何をするかが決まる。マスに記号を書くか消すかし、一つ左か右へ移り、別の状態に切り替わる。「この状態で、この記号を見たら、こうする」という規則をすべて並べると、一枚の有限な表になる。
いま使う「読み書きヘッド」「状態」「規則表」といった言い方は、あとから説明をしやすくするために整えられたものだ。1936年の原文には、一人の人間が、いまどのマスを見つめているかを述べているようなところがある。それでも骨組みは変わらない。状態は有限個、記号も有限個。一度に見るのはごく狭い範囲だけで、決まった規則に従い、一歩ずつ進む。
論文で最初に示される機械は、笑ってしまうほど単純なことしかしない。テープのマスを一つおきに使い、0、1、0、1と、いつまでも数字を書き続ける。状態は四つしかなく、表もたった4行だ。論文に出てくるほかの機械も、いちばんすごいあの一台でさえ、突き詰めれば、このような一枚の表である。
論文は、そこからさらに一歩進む。機械の規則表そのものも、記号の列として書ける。ならば、別の機械の規則表を読み、その表に従って、相手の機械がするはずのことを一歩ずつ実行する機械も作れる。これが万能機械だ。このモデルでは、機械の説明書も、機械に渡すデータも、同じ種類の記号で表せる。説明書そのものを、入力にできるのである。
のちの電子計算機の、論理上の祖先はここにいる。ただし、1936年の万能機械は、まず定義だった。製作図ではない。1945年以降、真空管や記憶装置を使って実際に組み立てられる機械とのあいだには、まるごと一つの技術開発の歴史が横たわっている。
この機械がいちばん大事なのは、何を計算できるかという点ではない。「機械的に計算する」という行為に、証明の中で扱えるほど正確な形を与えたことだ。おかげで、「あらゆる機械的な方法」という言葉を初めてつかまえ、一つずつ調べることができるようになった。ふだん使っていた言葉が、一件、一件と数えられる対象になったのである。
四 同じ境界にたどり着く
チューリングが論文を書いているころ、大西洋の向こうでは、すでに同じ場所に達した人がいた。プリンストンのチャーチは、学生のクリーネたちとともに、実効的な計算に別の方向から近づいていた。道具はラムダ計算。関数や代入を記号で表して扱う計算体系だった。1936年4月、チャーチは論文を発表し、日常的な意味で実効的に計算できるということを、ラムダ計算で関数を定義できることと同一視しようと提案した。そのうえで、一つの解けない問題の存在を証明した。同じ年には、もう一本、ごく短い論文を書いた。今度はヒルベルトとアッカーマンの判定問題を直接取り上げ、あらゆる場合に通用する解法はない、と結論づけた。
チャーチがケンブリッジへ送った別刷りは、ニューマンがチューリングの原稿を読み終えたばかりのところへ届いた。ニューマンは返事を書いた。ここにチューリングという若者がいて、その別刷りは彼にはかなりつらい意味をもつ、と。同じ目的のために計算可能数を定義し、ちょうど論文を投稿しようとしていたからだ。だが、ニューマンは続けた。チューリングの方法は、計算可能な数列ならどれでも一桁ずつ作り出す機械を記述するもので、チャーチの方法とはずいぶん違うが、とても価値がありそうだ。来年、この若者をプリンストンへ行かせ、チャーチのもとで研究できるようにすることが、たいへん重要だと思う、と。
先に着いた人がいたと知るのは、チューリングにはこれが2度目だった。前はリンデベルグだった。今回は、原稿を引っ込めなかった。「実効的な計算」を定義するやり方が、二人ではまったく違ったからだ。論文には、最近チャーチが別の定義を提案したことを明記し、二つは同値であると述べ、付録にその論証を置いた。さらに翌年、あらためて一本の論文を書き、自分の機械で計算できる関数は、ラムダ計算で定義できる関数とちょうど一致すると証明した。ほぼ同じころ、アメリカのポストも独立に、よく似た仕組みを考えていた。一列に並んだマスを前にした作業員が、固定された指示に従って、記号をつけ、消し、左や右へ移動する、というものだった。
紙と鉛筆で計算する人から出発する道。関数の計算体系から出発する道。再帰的な定義から出発する道。互いに独立だったいくつもの道が、最後には同じ関数の集まりに行き着いた。のちに、それは一つの言い方にまとめられる。「チャーチ＝チューリングのテーゼ」。ふつうの意味で、完全に機械的な、実効的な手順によって計算できるものは、すべてチューリングの機械で計算できる、という主張である。定理ではない。「ふつうの意味で」という半分は、そもそも形式化されていないので、証明の対象にできない。かといって、好き勝手にそう決めただけでもない。その重みは二つのところから来る。別々の道が同じ境界に行き着いたこと。そして、人が紙と鉛筆でどう計算するのかを、チューリングがあれほど丁寧に分析したことだ。
1937年、チャーチは論理学の学術誌に、チューリングの論文の書評を書いた。いくつかある定義のうち、チューリングの定義には、日常的にいう実効的な計算とどう対応するかが、すぐに見て取れるという利点がある。あらかじめ補助定理を証明しておく必要がない、と述べた。「チューリング機械」という名が初めて使われたのは、この書評だった。そこには、こんな一文もある。紙と鉛筆を持ち、明確な指示を与えられた人も、一種のチューリング機械とみなせる。一年前には、人間から一つずつ取り去ることで、機械が得られた。いまや人間のほうが、その機械の一種に数えられていた。
五 答えを裏返す
チューリングの論文の後半へ戻ろう。定義ができたので、今度は「できないこと」を証明できる。現在の教科書は、彼が得た結果をすっきりした形に整理し、「停止問題」として説明する。どんな機械の説明書と入力を渡しても、その機械がいつか止まるのか、いつまでも動き続けるのかを、必ず正しく答える万能の判定機械があると仮定する。次に、新しい機械を作る。この機械は、別の機械の説明書を受け取ると、「この説明書の機械に、この説明書そのものを入力したら止まるか」と、まず判定機械に問い合わせる。そして、わざと答えの反対をする。「止まる」と言われたら、いつまでも動き続ける。「止まらない」と言われたら、その場で止まる。では、この新しい機械に、それ自身の説明書を渡したらどうなるか。止まると判定されれば、止まらない。止まらないと判定されれば、止まる。どちらと答えても間違いになる。だから、そんな万能の判定機械は存在しえない。この議論で欠かせないのは、機械を一冊の説明書のように書き表し、別の機械に読ませるという一歩である。先にあれだけ手をかけて機械を厳密に定義したのは、この一歩を踏み出せるようにするためだった。
ただし、1936年の原論文が中心に据えた問いは、少し違う。機械は、新しい数字をいつまでも出力し続けるか。これは、現代の教科書がそのまま提示する停止問題と同一ではない。それでも、関連する決定不能性の結果を導くことができ、対角線を使う論証の構造も共通している。
この仕組みを、このシリーズではすでに2度見ている。第13回では、カントールが数を表に並べ、対角線上の桁を一つずつ変えて、その表にはない数を作った。第17回では、ゲーデルが式を数に置き換え、ある文に、自分自身が証明できるかどうかを語らせた。今度は機械を説明書にし、その機械に自分の説明書を読ませ、そこで動作を逆転させる。まず番号をつける。次に、自分の番号を、ありふれた入力と同じように体系の中へ入れる。そして対角線の位置で裏返す。対象は3度変わったが、手つきは同じだ。
ここから一歩さかのぼれば、ヒルベルトの問題に届く。一階論理一般について、彼が求めた統一的な判定方法は存在しない。第17回を読んだ人はゲーデルを思い出すだろうが、これは別の話である。ゲーデルが示したのは、公理をプログラムで列挙できる体系は、十分に強ければ無矛盾かつ完全ではありえない、ということだった。ここでいっているのは、一階論理そのものについてさえ、どの文にも答えを出せる機械は作れない、ということだ。チャーチは計算体系の側からここへ来た。チューリングは紙のテープの側からここへ来た。1928年の教科書の真ん中に置かれた問いに、8年後、答えが出た。答えは「ない」だった。
六 プリンストン、ブレッチリー
1936年の秋、チューリングはプリンストンへ行き、チャーチのもとで博士号を目指した。あの論文は11月にロンドンで発表され、年末には印刷された。アインシュタインのいた高等研究所は、当時まだ自前の建物を持たず、大学の数学科の建物に間借りしていた。同じ建物には、ハンガリー出身のフォン・ノイマンも、3年前にゲッティンゲンから来たワイルも、仕事場を構えていた。1938年、チューリングは博士号を取得した。学位論文の題名は「順序数に基づく論理体系」。フォン・ノイマンは助手として残るよう誘ったが、彼は応じず、ケンブリッジへ戻った。
ケンブリッジに戻った翌年、彼は王立協会に40ポンドを申請した。歯車で動く機械を作りたかった。数学には、リーマンが1859年に提示し、いまも最も有名な未解決問題の一つに数えられる予想がある。ある特定の関数がゼロになる場所のうち、大きな一群は、すべて同じ直線上に並ぶという予想だ。チューリングは歯車の組み合わせでこの関数を少しずつ計算し、直線から外れたところにゼロになる場所がないか調べようとした。機械を途中まで作ったところで、戦争が始まった。完成には至らず、部品も一つとして残らなかった。
1939年9月4日。イギリスがドイツに宣戦布告した翌日、彼はブレッチリー・パークの政府暗号学校に着任し、主にドイツ海軍のエニグマに取り組んだ。しばしば一人の英雄の物語として語られる仕事だが、初めから一人の仕事ではなかった。1930年代には、ポーランドのレイェフスキ、ルジツキ、ジガルスキが、すでにエニグマの突破口を開いていた。1939年7月、三か国の会合で、ポーランド側は解読の鍵となる方法と装置の知識をイギリスとフランスへ渡した。1940年1月には、チューリングがフランスでポーランドの同業者たちと会い、英ポ間の協力が続いた。ただし、イギリスのボンブの設計は、この訪問より前に始まっている。ここを出発点とすることはできない。ボンブの論理設計を提案したのはチューリングで、ウェルチマンがきわめて重要な改良を加えた。実物を作ったのは別の技術者たちであり、それを情報を生み出す一連の仕組みに育てたのは、大勢の操作員と分析員だった。
チューリング自身はハット8で、海軍の暗号を扱うための統計的な方法を考案した。使うのは、縦25センチ、長さ数メートルもある、薄く細長いカードだった。オックスフォードシャーのバンベリーという町で印刷し、電文の文字に応じて穴を開ける。二枚を重ねてライトボックスに載せると、両方の穴を通して光の見える場所が、二つの電文で文字の一致した場所になる。その数を数え、どれほどの意味を持つかを見積もる。そのため、チューリングは証拠の重みを測る単位を定め、町の名前をつけた。この方法に携わった中で、女性はジョーン・クラーク一人だった。彼女はケンブリッジで数学を学び、二つの部の試験をどちらも最優等で通った。しかし当時のケンブリッジは、女性に正式な学位を授けなかった。ハット8に来た彼女は、まず事務仕事に回され、週給は2ポンド。のちに上司たちが給料を上げようとすると、語学職の等級へ昇格させることになった。彼女は外国語を一つも話せなかった。あとで本人が書き残したところでは、書類の二つの欄には、こんな答えが並んだ。職種、語学職。言語、なし。1944年、彼女はハット8の副責任者になった。
1941年の秋、人手が足りなくなった。10月21日、ブレッチリー・パークの4人が、首相チャーチルに連名で手紙を書いた。署名したのはチューリング、ウェルチマン、アレグザンダー、ミルナー＝バリーだった。訴えたのは数学の問題ではなく、人員の不足だ。必要なものは、驚くほどささやかだった。訓練を受けたタイピスト20数人、事務員20数人、それにボンブを操作する海軍の女性隊員。人がいないため、彼ら自身が機械を試運転しなければならず、取りやめになった夜勤もあった。4人のうち、手紙を届ける役にはミルナー＝バリーが選ばれた。列車でロンドンへ行き、ダウニング街10番地に着くと、入口には木の柵と警官が一人いるだけだった。呼び鈴を鳴らし、議会業務を担当する首相の私設秘書に手紙を渡した。チャーチルは「本日中に処理」と印刷された赤いラベルをつけ、軍事参謀のイズメイに指示を書いた。彼らが求めるものはすべて、最優先で必ずそろえること。完了したら報告すること。
別のドイツ暗号には、別の仕事の流れがあった。解読の決定的な一歩を踏み出したのはタットで、電子式のコロッサスを作ったのは、フラワーズと郵政機関の技術者たちだった。その機械を使う部門を率いたのはニューマン。1935年、ケンブリッジで数学基礎論を講じていた、あのニューマンである。
戦後も長いあいだ、この仕事は誰にも話せなかった。1945年1月、ブレッチリー・パークと外部拠点には、合わせて9千人近くが働いていた。4人に3人は女性で、全員が公務秘密法に従う署名をしていた。何十年ものあいだ、夫にさえ話さなかった人もいる。チューリングの戦時中の暗号論文も、2本が公開の文書館に移されたのは、ようやく2012年のことだった。しかし、もともとの専門分野で、彼が忘れられていたわけではない。1966年、アメリカの計算機学会は、この分野で最も重要な賞を設け、彼の名をつけた。その時点では、戦争中のチューリングが何をしていたのか、知る人はまだほとんどいなかった。
七 一九五〇年、一九五二年
戦後、彼は国立物理学研究所へ移り、1946年2月、電子計算機の詳細な設計を提出した。その完全な形の機械は、在職中には完成しなかった。1947年末には一年の休暇を取ってケンブリッジへ戻り、1948年にはマンチェスター大学に移った。そこの計算機のハードウェアを作ったのは、ウィリアムズやキルバーンたちだった。電子計算機を発明したのは誰か。その問いの答えを、一人の名前で背負うことはできない。
1950年、チューリングはマンチェスターの計算機で、戦前にやり残した仕事を再開した。リーマンのあの関数がゼロになる場所を計算したのである。のちの論文には、直線の上にないものを見つけられるのではないかという、楽観的な期待を抱いて計算した、と書いている。この計算によって、リーマン予想の数値的な検証は、最初の1,104個の非自明な零点にまで進んだ。ただし、そのすべてを彼が初めて、一から計算したわけではない。もう一つ、彼は書き留めた。あの機械は珍しく、ある日の午後3時から翌朝8時まで、ずっと正常に動いてくれた。そうでなければ、おそらくこの計算そのものができなかっただろう、と。
同じ年の10月、彼は哲学誌『マインド』に論文を発表した。冒頭の問いは、「機械は考えることができるか」。だが、「機械」と「考える」を先に定義しようとはしなかった。代わりに、問いを一つのゲームへ置き換えた。質問者は別の場所に座り、文字によるやり取りだけで、相手の二人のうち、どちらが男性でどちらが女性かを当てる。次に、そのうちの一人を機械に交代させる。いまでは「3割の人をだませれば知能がある」と説明されることがあるが、論文にそんな合格ラインはない。そこで述べられたのは予測だった。およそ50年後には、普通の質問者が5分間質問して正しく見分けられる確率は、7割を超えなくなるだろう、と。
論文には、数学からの反論を取り上げた節もある。根拠は、彼自身が1936年に証明したのと同じ種類の結果だった。どんな機械にも答えられない問題がある。だから、機械は人間に及ばない。第17回で触れた「ゲーデルは、機械が人間のように考えることはできないと証明した」という主張に、チューリングは1950年の時点ですでに向き合っていた。返答は短い。個々の機械に限界があることは、証明されている。だが、人間の知性にはそういう限界がないというのは、言っているだけで、何も証明されてはいない。
1952年1月、マンチェスター近郊のウィルムスローにある彼の家に、泥棒が入った。捜査に来た警察が、アーノルド・マレーという青年との関係を尋ねると、チューリングは二人の性的関係を隠さなかった。結果、二人とも起訴された。罪名は男性間の「重大な猥褻行為」。根拠となったのは、1885年刑法改正法の第11条だった。
2月、彼はキングズ・カレッジの若い友人、数学者のノーマン・ラウトリッジに手紙を書いた。いずれ自分にも降りかかりそうだと、ずっと感じていた厄介事に巻き込まれた、という内容だった。もっとも、ふだんの見積もりでは、そうならずに済む見込みが、そうなる見込みの10倍あると思っていた、ともいう。手紙の末尾には、三段論法めいた3行が置かれている。チューリングは、機械が考えると信じている。チューリングは男と寝る。ゆえに、機械は考えない。署名は「困難のさなかにいるアラン」だった。
3月31日、チェシャーの四季裁判所で審理が行われた。チューリングは弁護士と家族の勧めに従い、罪を認めた。法廷には、彼のために証言する人が一人いた。政府の暗号機関で暗号分析を率いていたヒュー・アレグザンダーが、人物について証言する許可を得て出廷し、彼は国の財産だ、と述べた。11年前、首相に宛てたあの手紙に署名した4人の中に、アレグザンダーもいた。チューリングに言い渡されたのは、12か月の保護観察だった。ただし条件が一つあった。性欲を抑えるため、医師の指示によるホルモン治療を受けること。もう一つの選択肢は、刑務所に入ることだった。治療は一年続き、彼の体には、目に見える変化が残った。
有罪判決のあと、彼は政府の機密に属する暗号の仕事ができなくなった。イギリスの情報機関が安全保障を理由に同性愛者を排除する措置は、1991年まで続いた。マンチェスター大学の職を失ったわけではない。1952年8月14日、有罪判決から4か月半後、王立協会の学術誌に「形態形成の化学的基礎」が掲載された。彼が考えたのは、互いに反応しながら組織の中を拡散する、いくつかの化学物質だった。一定の条件では、拡散はすべてを均すとは限らない。むしろ、ほとんど均一だった状態がひとりでに不安定になり、斑点や縞模様が生まれる。生物の体のこうした模様を説明する、のちの一群の理論は、この論文から始まった。茎の周りに葉がどう並ぶのかも、彼はずっと計算し続けていた。
八 検査されなかったリンゴ
あのコンピューター会社の、一口かじられたリンゴのロゴは、チューリングをしのぶものだ。いまでも、そう信じている人は多い。しかし、ロゴをデザインした本人は、のちのインタビューで別の説明をしている。かじった跡をつけたのは、サクランボではなくリンゴだと、一目でわかるようにするためだった。チューリングとは関係がない、と。
リンゴの物語の発端は、1954年6月にある。6月8日、ウィルムスローの自宅で、家政婦がチューリングの遺体を発見した。41歳だった。ベッド脇の小さなテーブルには、何口かかじった、半分ほどのリンゴがあった。解剖の結果、死亡したのは前日で、死因はシアン化物中毒とされた。検死審問が下した公式の結論は自殺だった。リンゴそのものは、検査されなかった。
母のサラは、そのときイタリアで休暇を過ごしていた。帰国できたのは、検死審問が終わったあとだった。彼女は初めから、自殺という結論を受け入れなかった。息子が化学薬品をしまうとき、不注意だったせいだと考えた。1959年、彼女は息子の伝記を書いた。翌年には、息子から届いた何十通もの手紙と一群の資料を、キングズ・カレッジに託した。
のちに彼について書いた人の多くは、その紙の束から読み始めた。1983年、ホッジスが厚い伝記を刊行した。本格的な伝記として初めて、チューリングの数学、暗号の仕事、性的指向、有罪判決、そして死を、一冊の中で描いた本だった。そこでは、自殺が最も可能性の高い説明とされている。自殺を支持する最も強い根拠は、当時の公式な判断だ。彼の家には、化学実験のためにシアン化物が保管されていた。調査に当たった人たちは、毒物、現場、死亡の仕方を合わせて考え、自殺と判断した。一方、コープランドは資料を再検討した。チューリングは当時、自宅でシアン化物を使う電気めっきの実験をしていた。リンゴは一度も検査されていない。今後の仕事を手配していたことを示す資料もある。コープランドの見解は、残る証拠だけでは事故の可能性を排除できない、というものだった。
したがって、確かにいえるのはここまでだ。チューリングはシアン化物中毒で亡くなり、1954年の検死審問は自殺と判断した。コープランドらによる再検討は、実験中の事故を本当に排除できるのかという、根拠のある疑問を提起している。当時の公式判断は、いまも自殺である。その一方で、現存する証拠によって事故を完全に退けられるかどうかは、後世の研究者のあいだで見解が分かれている。それをもって、本人が何を意図していたのか、いずれかの説明が直接証明されたとすることはできない。
2009年8月、イギリスのプログラマー、ジョン・グレアム＝カミングが、かつてチューリングを起訴したことについて政府に謝罪を求める請願を始めた。3万人以上が署名した。9月10日、ブラウン首相が政府を代表して公に謝罪した。声明は、彼への扱いがきわめて不公正だったことはいうまでもなく、これほど非人道的に扱われたことはいっそう衝撃的だ、と述べ、最後をこう結んだ。「申し訳ありません。あなたは、もっとはるかによい扱いを受けるべきでした。」2013年12月、女王は王室の恩赦権によって、死後の恩赦を与えた。2017年には、すでに廃止された同性間の性行為に関する罪で有罪となった大勢の人へ、恩赦を広げる法律が成立した。報道では「チューリング法」と呼ばれた。2021年6月23日、彼の誕生日に、イングランド銀行は肖像入りの50ポンド紙幣の発行を始めた。
1936年の論文で、計算者は、算数ノートを前に座る一人の人間だった。定義に取り込まれたのは、決まりに従って一歩ずつ進める部分だけである。疲れも、ひらめきも、初めからその定義の中に居場所はなかった。そこから先、何が計算でき、何が原理的に計算できないかは、同じ厳密な定義によって決められるようになった。14年後、マンチェスターの機械は、午後3時から翌朝8時まで動いた。人の代わりに引き受けていたのは、まさにその部分だった。数学は自分の一部を機械に渡し、同時に、機械には届かない場所の境界も引いた。
あることができないと証明するには、まず「する」とは何かを、はっきりさせなければならない。
1936年、チューリングがケンブリッジであの論文を書いていたころ、パリではすでに若い数学者たちが集まり、実在しない人物の名で論文を発表していた。
数の計算は、まだ先へ進んでいく。何を数学と数えるのかは、いまだに答えが出ていない。
史料と、さらに読むために
以下は、本文中の歴史的な細部や解釈の相違に対応する資料である。所蔵品の記録、古代の文学作品、現代の研究による再構成は、同じ種類の証拠ではない。