기계

1. 계산하는 사람

1936년 봄, 케임브리지. 킹스 칼리지의 스물세 살 연구원 앨런 튜링이 논문 한 편을 완성했다. 제목은 「계산 가능한 수와 판정 문제에 대한 응용」. 여기서 계산 가능한 수란 소수점 아래 자릿수를 하나씩 계속 구해 나갈 수 있는 수를 말한다. 원주율이 그런 수다. 몇 자리까지 원하든 그만큼 계산할 수 있다. 5월 28일, 런던 수학회가 이 논문을 접수했다.

논문이 답하려던 것은 힐베르트가 던진 문제였다. 그런데 튜링은 다른 질문부터 풀었다. 사람이 한 단계씩 계산을 해 나갈 때, 그는 대체 무엇을 하고 있는가. 논문에는 기계 한 대가 등장한다. 훗날 저자의 성을 딴 이름을 얻게 되는 기계다. 하지만 논문에서 처음 기계를 꺼낸 대목은 사람을 기계에 빗대는 문장이었다.

어떤 수를 계산하는 사람은 유한한 몇 가지 상태만 취할 수 있는 기계에 견줄 수 있다고 논문은 말한다. 뒤에 길게 이어지는 분석에서도 ‘계산자’는 이 사람을 뜻하고, 대명사로는 ‘그’를 쓴다. 그는 종이에 계산한다. 그 종이는 아이들이 쓰는 산수 공책처럼 칸이 나뉘어 있다고 생각하면 된다. 한눈에 볼 수 있는 칸의 수에는 한계가 있다. 계산에 관계되는 그의 마음 상태도 유한한 몇 가지다. 한 번에 하는 일은 아주 작다. 한 칸의 기호를 바꾼다. 가까운 칸으로 주의를 옮긴다. 다른 마음 상태로 넘어간다.

당시 ‘컴퓨터’, 곧 계산자라는 말은 아직 사람을 가리켰다. 천문대나 수치표를 만드는 기관에서는 사람들이 책상 앞에 줄지어 앉아, 남이 정해 놓은 규칙에 따라 한 단계씩 계산을 이어 갔다. 책상에 앉아 계산하는 사람에게는 그 밖의 것도 많다. 지치기도 하고, 문득 묘안이 떠오르기도 하며, 자신이 무엇을 계산하는지 알기도 한다. 튜링은 그런 것들을 하나씩 걷어 냈다. 정해진 규칙을 따라 나아가는 활동만 남겼다. 그렇게 남은 것이 그 기계였다.

왜 그런 일을 했을까. 이야기는 8년 전으로 거슬러 올라간다.

2. 일상의 말 한마디

1928년, 힐베르트와 아커만은 논리학 교과서 한 권에서 하나의 문제를 수리논리학의 한가운데 놓았다. 당시 수학 명제를 기호로 적는 데 쓰는 표준적인 언어가 있었다. 1차 논리였다. 문제는 이렇다. 이 언어로 쓰인 문장을 아무거나 하나 받았을 때, 유한한 단계 안에 기계적으로 실행할 수 있는 하나의 공통된 방법으로 그 문장이 모든 해석에서 성립하는지 판정할 수 있는가. 다시 말해, 문장 속 기호를 무엇으로 해석하든 언제나 옳은지 가려낼 수 있는가. 이것이 판정 문제다. 18편의 첫머리에서 만난, 힐베르트 학파의 커다란 바람이다. 그때도 보았듯 ‘기계적인 방법’이란 규칙이 워낙 빈틈없이 정해져 있어 수학을 모르는 사람도 그대로 따라 하면 맞는 결과를 얻는 절차를 뜻했다.

그런데 이 문제에는 어렵고 쉽고를 따지기 전에 걸리는 것이 있었다. “그런 방법이 있다”라고 답하려면 방법 하나를 내놓으면 된다. “없다”라고 하려면 가능한 모든 방법이 안 된다는 것을 증명해야 한다. 여기서 ‘모든 방법’이란 무엇인가? 누구든 시키는 대로 하면 맞게 할 수 있을 만큼 딱 정해져 있다는 설명은 여전히 일상의 말이다. 기계적인 방법이 그런 말에 머물러 있는 한, 없다고 증명하고 싶어도 어디서부터 손을 대야 할지 알 수 없다.

그전까지는 많은 사람이 ‘있다’는 쪽으로 나아갔다. 베르나이스는 이미 1918년에 명제논리의 판정을 논했고, 베만은 1921년 판정 문제를 본격적으로 다루면서 범위를 제한한 몇몇 경우에 해법을 찾아냈다. 18편에 나온 프레스버거의 열 쪽짜리 논문도 그 길에 놓인 한 조각이었다. 20년에 걸쳐 부분적인 성공이 하나씩 쌓였다. 모든 경우에 통하는 방법을 찾겠다는 생각도 터무니없어 보이지 않았다.

1930년 괴델의 완전성 정리는 여기에 한 겹을 더했다. 그 정리로부터 이런 결론이 나온다. 어떤 문장이 정말 모든 해석에서 성립한다면, 가능한 증명을 하나씩 빠짐없이 나열해 가다 언젠가는 그 문장의 증명을 찾는다. 하지만 모든 해석에서 성립하는 문장이 아니라면 어떨까. 찾는 과정이 끝없이 이어질 수 있다. 더 찾아봐야 없다고 알려 주며 멈추지도 않는다. 옳은 쪽은 기다리면 답을 받는다. 옳지 않은 쪽은 영원히 기다릴지도 모른다. 여기서부터 ‘멈추는가’가 문제의 심장부로 들어온다.

1935년 3월, 킹스 칼리지는 스물두 살 튜링을 연구원으로 선출했다. 근거가 된 것은 확률을 다룬 「가우스 오차 함수에 관하여」라는 논문이었다. 그는 그 안에서 정리 하나를 스스로 증명했다. 일을 끝내고 나서야 핀란드의 린데베리가 1922년에 이미 증명한 정리임을 알았다. 칼리지는 그래도 그를 뽑았다. 임기는 3년, 연봉은 300파운드였고 숙식이 제공되었다.

그해 봄, 튜링은 맥스 뉴먼의 수학 기초론 강의를 들었다. 괴델도, 힐베르트의 판정 문제도 강의에 나왔다. 뉴먼은 말년에 한 인터뷰에서 그때 자신이 이런 취지의 말을 했다고 회고했다. 어떤 과정을 한 단계씩 수행할 수 있다는 것은 순전히 기계적으로 움직이는 기계와 같다는 뜻이라고. 어쩌면 그냥 “기계가 할 수 있다”라고 했을지도 모른다고 했다. 튜링은 그 한마디를 붙들었다. 해법부터 찾아 나서지도, 반례부터 찾지도 않았다. 먼저 아무도 정의하지 않은 말로 돌아갔다. 기계적으로 한다는 것은 정확히 무엇인가.

3. 종이테이프

그가 내놓은 정의는 이랬다. 종이를 길쭉한 테이프로 만들고 칸칸이 나눈다. 각 칸에는 기호 하나를 적거나 빈칸으로 둘 수 있다. 기계는 어느 순간에나 그중 한 칸만 보고 있다. 기계 자신은 유한하게 정해진 상태들 가운데 하나에 있다. 지금의 상태와 지금 보고 있는 기호를 합치면 다음 행동이 정해진다. 그 칸에 기호를 쓰거나 지우고, 왼쪽이나 오른쪽으로 한 칸 움직인 뒤, 다른 상태로 넘어간다. ‘어떤 상태에서 어떤 기호를 보면 무엇을 한다’는 규칙들을 모두 적으면 길이가 유한한 표 한 장이 된다.

오늘날 쓰는 읽기·쓰기 헤드, 상태, 규칙표 같은 말은 나중에 설명을 편하게 하려고 자리 잡은 표현이다. 1936년 원문은 오히려 사람이 지금 어느 칸을 들여다보고 있는지를 말하는 데 가깝다. 그래도 뼈대는 같다. 유한한 상태, 유한한 기호, 한 번에 볼 수 있는 작은 영역. 그리고 정해진 규칙에 따라 한 단계씩 나아가는 일.

논문에 맨 처음 나오는 기계가 하는 일은 우스울 만큼 단순하다. 테이프에 한 칸씩 띄워 숫자를 쓴다. 0, 1, 0, 1. 끝없이 쓴다. 상태는 네 가지뿐이고 표도 네 줄이다. 논문의 다른 기계들, 그중 가장 놀라운 기계조차도 끝까지 따져 보면 이런 표 한 장이다.

논문은 한 걸음 더 나아갔다. 기계의 규칙표 자체도 기호를 줄지어 적은 것으로 나타낼 수 있다. 그렇다면 다른 기계의 규칙표를 읽고, 그 표에 따라 그 기계가 할 일을 한 단계씩 그대로 수행하는 기계를 만들 수 있다. 이것이 보편 기계다. 이 모형에서는 기계의 설명서와 기계에 건네는 데이터를 같은 종류의 기호로 적을 수 있다. 설명서도 입력이 된다.

훗날의 전자식 컴퓨터는 이곳에서 논리적인 조상을 찾을 수 있다. 다만 1936년의 보편 기계는 우선 하나의 정의였다. 제작 도면이 아니었다. 1945년 이후 진공관과 기억장치로 실제 만들어진 기계들에 이르기까지는, 공학의 역사가 한참 더 필요했다.

이 기계에서 가장 중요한 것은 무엇을 계산할 수 있느냐가 아니었다. ‘기계적으로 계산한다’는 일을, 증명 속에 가져다 쓸 수 있을 만큼 정확한 대상으로 만들었다는 점이었다. 이제 ‘어떤 기계적인 방법이든’이라는 말을 처음으로 붙잡아 하나하나 검토할 수 있었다. 일상에서 쓰던 말이 하나씩 셀 수 있는 대상으로 바뀌었다.

4. 같은 경계

튜링이 논문을 쓰는 동안 대서양 건너편에서는 이미 누군가 같은 곳에 도착해 있었다. 프린스턴의 처치는 제자 클레이니 등과 함께 다른 방향에서 효과적 계산에 다가갔다. 그들이 쓰는 도구는 람다 계산법이었다. 함수와 대입을 기호로 표현해 다루는 체계다. 1936년 4월, 처치는 논문을 발표했다. 일상적인 의미에서 효과적으로 계산할 수 있는 함수와 람다 계산법으로 정의할 수 있는 함수를 같은 것으로 보자고 제안하고, 이를 바탕으로 풀 수 없는 문제가 있음을 증명했다. 같은 해 그는 아주 짧은 논문을 하나 더 썼다. 이번에는 결론을 힐베르트와 아커만의 판정 문제에 곧장 적용했다. 모든 경우에 통하는 해법은 없었다.

처치는 논문의 별쇄본을 케임브리지로 보냈다. 그것이 도착했을 때 뉴먼은 막 튜링의 원고를 읽은 참이었다. 뉴먼이 처치에게 답장을 썼다. 이곳의 튜링이라는 젊은이에게 그 별쇄본은 꽤 고통스러운 소식이라고 했다. 같은 목적을 위해 계산 가능한 수를 정의한 논문을 이제 막 투고하려던 중이라는 것이었다. 뉴먼은 이어서 튜링의 방법을 설명했다. 계산 가능한 어떤 수열이든 한 자리씩 뽑아내는 기계를 기술하는 방식인데, 처치의 접근과는 아주 다르면서도 상당한 가치가 있어 보인다고 했다. 그리고 이 젊은이가 이듬해 프린스턴으로 가 처치와 함께 일하게 하는 것이 매우 중요하다고 덧붙였다.

누군가 먼저 와 있었다는 사실을 알게 된 것은 두 번째였다. 지난번에는 린데베리였다. 이번에 튜링은 논문을 거두지 않았다. 두 사람이 ‘효과적 계산’을 정의한 방식은 전혀 달랐기 때문이다. 그는 처치가 최근 내놓은 정의를 논문에 명시하고, 두 정의가 동등하다고 밝힌 뒤 부록에서 그 논거를 제시했다. 이듬해에는 별도의 논문을 써서, 자신의 기계가 계산할 수 있는 함수가 정확히 람다 계산법으로 정의할 수 있는 함수와 일치함을 증명했다. 거의 같은 무렵, 미국의 포스트도 독립적으로 아주 비슷한 체계를 제안했다. 그는 작업자 한 명이 줄지어 놓인 칸들을 따라 정해진 지시에 맞춰 기호를 쓰고 지우며, 왼쪽이나 오른쪽으로 옮겨 가는 모습을 상상했다.

서로 별개인 길들이었다. 종이와 연필로 계산하는 사람에게서 출발한 길, 함수 계산법에서 출발한 길, 재귀적 정의에서 출발한 길. 그런데 모두 같은 종류의 함수에 이르렀다. 훗날 사람들은 이를 한 문장으로 묶어 처치–튜링 논제라고 불렀다. 일상적인 의미에서, 완전히 기계적인 유효한 절차로 계산할 수 있는 것은 모두 튜링의 기계로 계산할 수 있다는 것이다. 이것은 정리가 아니다. ‘일상적인 의미에서’라는 쪽은 애초에 형식화되어 있지 않으므로 증명의 대상으로 삼을 수 없다. 그렇다고 마음대로 정한 약속도 아니다. 이 논제가 무게를 갖는 데는 두 가지 이유가 있다. 독립된 여러 길이 같은 경계에 이르렀다는 것, 그리고 사람이 종이와 연필로 계산하는 일을 튜링이 그토록 면밀히 분석했다는 것이다.

1937년, 처치는 한 논리학 학술지에 튜링의 논문을 소개하는 서평을 썼다. 여러 정의 가운데 튜링의 정의에는 장점이 있다고 했다. 보통 말하는 효과적 계산과 어떻게 대응하는지 한눈에 드러나며, 그에 앞서 보조 정리를 증명할 필요도 없다는 것이었다. ‘튜링 기계’라는 이름이 처음 쓰인 곳도 이 서평이었다. 서평에는 이런 말도 나온다. 종이와 연필을 들고 명확한 지시를 받은 사람 역시 일종의 튜링 기계로 볼 수 있다고. 1년 전에는 사람에게서 하나씩 덜어 내어 이 기계를 얻었다. 이제는 사람이 그 기계의 한 종류가 되었다.

5. 거꾸로

튜링 논문의 뒷부분으로 돌아가 보자. 정의를 마련했으니 이제 불가능한 일을 증명할 수 있었다. 오늘날 교과서는 그가 얻은 결과를 더 간명한 형태로 정리해 ‘정지 문제’라고 설명한다. 이야기는 이렇다. 만능 판정 기계가 하나 있다고 가정하자. 어떤 기계의 설명서와 입력을 건네든, 그 기계가 결국 멈출지 영원히 멈추지 않을지 언제나 정확히 알려 주는 기계다. 이제 새 기계를 만든다. 이 기계는 다른 기계의 설명서를 받으면, 그 기계에 그 설명서 자체를 입력했을 때 멈추는지 판정 기계에 먼저 묻는다. 그런 다음 대답과 거꾸로 행동한다. 멈춘다고 하면 끝없이 돌고, 멈추지 않는다고 하면 즉시 멈춘다. 이제 새 기계에 그 자신의 설명서를 넣어 보자. 판정이 멈춘다고 하면 이 기계는 멈추지 않는다. 멈추지 않는다고 하면 멈춘다. 어느 쪽을 답해도 틀린다. 따라서 그런 만능 판정 기계는 존재할 수 없다. 이 과정에서 가장 중요한 한 걸음은 기계를 설명서로 적어 다른 기계가 읽게 하는 것이다. 튜링이 앞에서 그토록 공들여 기계를 빈틈없이 정의한 까닭은 바로 이 걸음을 내딛기 위해서였다.

1936년 원문이 중점적으로 다룬 것은 조금 다른 문제였다. 한 기계가 새로운 숫자를 계속 산출하는가 하는 문제다. 현대 교과서가 곧바로 제시하는 정지 문제와 같은 것은 아니다. 다만 관련된 판정 불가능성 결과를 세울 수 있고, 대각선 논증의 구조도 서로 통한다.

이 연재에서 우리는 이 구조를 이미 두 번 보았다. 13편에서 칸토어는 수들을 표에 늘어놓고 대각선 위의 자릿수를 하나씩 바꾸어, 그 표에 없는 수를 만들었다. 17편에서 괴델은 공식에 수를 붙이고, 한 문장이 자기 자신의 증명 가능성을 말하게 했다. 여기서는 기계를 설명서로 바꾸고, 기계가 자신의 설명서를 읽게 한 다음, 바로 그 자리에서 거꾸로 행동하게 한다. 먼저 번호를 붙인다. 그다음 체계가 자신의 번호를 평범한 입력으로 받게 한다. 마지막으로 대각선에서 뒤집는다. 대상은 세 번 달라졌다. 동작은 같았다.

여기서 한 걸음 거슬러 가면 힐베르트의 문제에 닿는다. 일반적인 1차 논리에는 그가 바라던, 모든 경우에 통하는 판정 방법이 없다. 17편을 읽은 독자라면 괴델이 떠오르겠지만 두 결과는 서로 다르다. 괴델이 말한 것은 공리를 프로그램에 따라 나열할 수 있는 체계가 충분히 강하기만 하면 무모순성과 완전성을 동시에 갖출 수 없다는 것이었다. 여기서 말하는 것은 1차 논리 자체에 대해서도 모든 문장에 답을 내주는 기계를 만들 수 없다는 것이다. 처치는 계산법 쪽에서 이곳에 왔고, 튜링은 종이테이프 쪽에서 왔다. 1928년 교과서 한가운데 놓였던 문제는 8년 뒤 답을 얻었다. 답은 ‘없다’였다.

6. 프린스턴, 블레츨리

1936년 가을, 튜링은 프린스턴으로 가 처치 밑에서 박사과정을 시작했다. 그의 논문은 11월 런던에서 발표되었고 연말에 인쇄되었다. 아인슈타인이 있던 고등연구소는 당시 자체 건물이 없어 대학 수학과 건물을 빌려 쓰고 있었다. 헝가리 출신 수학자 폰 노이만, 3년 전 괴팅겐에서 온 바일도 그 건물에서 일했다. 1938년 튜링은 박사학위를 받았다. 학위논문 제목은 「서수에 기초한 논리 체계」였다. 폰 노이만이 남아서 자신의 조수로 일해 달라고 했지만, 그는 받아들이지 않고 케임브리지로 돌아왔다.

케임브리지로 돌아온 이듬해, 튜링은 톱니바퀴로 움직이는 기계를 만들려고 왕립학회에 40파운드를 신청했다. 수학에는 리만이 1859년에 내놓은 추측이 하나 있다. 지금도 가장 유명한 미해결 문제 가운데 하나다. 특정한 함수가 0이 되는 점들 가운데 커다란 한 무리가 모두 같은 직선 위에 놓인다는 내용이다. 튜링은 톱니바퀴를 맞물려 돌려 그 함수를 구간마다 계산하고, 0이 되는 점 중에 직선 밖으로 벗어나는 것이 있는지 보고 싶었다. 기계가 일부 만들어졌을 때 전쟁이 터졌다. 기계는 완성되지 못했고 부품도 하나 남지 않았다.

1939년 9월 4일, 영국이 독일에 선전포고한 다음 날, 튜링은 블레츨리 파크의 정부 암호학교로 출근했다. 그의 주된 과제는 독일 해군의 에니그마였다. 이 이야기는 흔히 한 사람의 이야기로 전해지지만, 처음부터 수많은 사람이 함께한 일이었다. 1930년대에 폴란드의 레예프스키, 루지츠키, 지갈스키는 이미 에니그마 해독에 돌파구를 열었다. 1939년 7월, 폴란드는 3국 회동에서 핵심적인 해독 방법과 장비에 관한 지식을 영국과 프랑스에 넘겼다. 1940년 1월 튜링은 프랑스에서 폴란드 동료들과 만났다. 이 만남은 영국과 폴란드의 협력을 이어 간 자리였다. 영국 봄브의 설계는 그보다 먼저 시작되었으므로, 이 방문을 출발점으로 삼아서는 안 된다. 봄브의 논리적 설계는 튜링이 내놓았고, 웰치먼이 대단히 중요한 개선을 더했다. 실제로 제작한 것은 또 다른 기술자들이었다. 그것을 지속적으로 정보를 생산하는 체계로 만든 것은 수많은 운용 요원과 분석가들이었다.

튜링은 8번 오두막, ‘허트 8’에서 해군 암호를 풀 통계적 방법을 고안했다. 이 방법에는 높이가 25센티미터, 길이가 몇 미터나 되는 길고 얇은 카드가 쓰였다. 옥스퍼드셔의 밴버리라는 마을에서 인쇄한 카드에 전문의 글자에 맞춰 구멍을 뚫었다. 두 장을 겹쳐 조명 상자 위에 놓으면, 구멍을 통해 빛이 비치는 곳이 두 전문에서 글자가 일치하는 곳이었다. 일치가 몇 군데인지 세고, 그 숫자가 갖는 증거의 무게를 따졌다. 그러려고 튜링은 증거의 무게를 재는 단위를 정하고, 그 마을에서 이름을 따왔다. 이 방법을 다루던 사람 가운데 여성은 조앤 클라크 한 사람뿐이었다. 그녀는 케임브리지에서 수학을 공부했고 두 단계 시험에서 모두 일등급을 받았다. 하지만 당시 케임브리지는 여성에게 정식 학위를 주지 않았다. 허트 8에 와서 처음 맡은 일은 서무였고, 급료는 주급 2파운드였다. 나중에 윗사람들이 급료를 올려 주려 하자 그녀를 ‘언어 담당자’ 직급으로 승진시켰다. 그녀가 할 줄 아는 외국어는 하나도 없었다. 훗날 그녀는 당시 서류의 두 칸에 이런 식으로 적혔다고 썼다. 직급: 언어 담당자. 구사 언어: 없음. 1944년 그녀는 허트 8의 부책임자가 되었다.

1941년 가을에는 일손이 턱없이 부족해졌다. 10월 21일, 블레츨리 파크의 네 사람이 처칠 총리에게 연명 편지를 썼다. 튜링, 웰치먼, 알렉산더, 밀너배리가 서명했다. 편지가 다룬 것은 수학이 아니라 인력이었다. 부족하다는 것들은 놀랄 만큼 소박했다. 훈련된 타자수 스무 명 남짓, 사무원 스무 명 남짓, 그리고 봄브를 운용하도록 해군에서 파견할 여군들. 인원이 모자라 이들은 직접 기계 시험에 나서야 했고, 야간 근무를 중단한 곳도 있었다. 네 사람 중 편지를 전하러 갈 사람으로 밀너배리가 뽑혔다. 그는 기차를 타고 런던에 가서 다우닝가 10번지에 도착했다. 입구에는 나무로 된 차단대 하나와 경찰관 한 명뿐이었다. 초인종을 누른 그는 총리의 의회 개인비서에게 편지를 건넸다. 처칠은 편지에 ‘오늘 중 처리’라고 인쇄된 빨간 표지를 붙이고, 군사 참모 이즈메이에게 지시를 적었다. 이들이 필요로 하는 것은 무엇이든 최우선으로 제공하고, 처리가 끝나면 보고하라는 내용이었다.

또 다른 독일 암호를 푸는 작업은 별도의 길로 진행되었다. 해독의 결정적인 한 걸음을 내디딘 사람은 튜트였다. 전자식 기계 콜로서스는 플라워스와 우편 당국의 기술자들이 만들었다. 이 기계들을 쓰는 부서를 이끈 사람은 뉴먼이었다. 1935년 케임브리지에서 수학 기초론을 강의했던 바로 그 뉴먼이다.

전쟁이 끝난 뒤에도 오랫동안 아무도 이 일들을 말할 수 없었다. 1945년 1월, 블레츨리 파크와 외부 시설에서 일하는 사람은 거의 9천 명이었고, 그중 4분의 3이 여성이었다. 모두 비밀보호법에 따른 서약에 서명했다. 어떤 이는 수십 년 동안 남편에게조차 말하지 않았다. 튜링 자신의 전시 암호 논문 두 편이 공개 기록으로 옮겨진 것은 2012년이었다. 그래도 본래 그의 분야에서 튜링이 잊힌 것은 아니었다. 1966년, 미국계산기학회(ACM)는 이 분야에서 가장 중요한 상을 제정하면서 그의 이름을 붙였다. 그때만 해도 그가 전쟁 중 무슨 일을 했는지 아는 사람은 얼마 없었다.

7. 1950년, 1952년

전후 튜링은 국립물리연구소로 갔고, 1946년 2월 전자식 컴퓨터의 상세한 설계를 제출했다. 전체 설계대로의 기계는 그가 재직하는 동안 완성되지 않았다. 1947년 말에는 1년 휴가를 얻어 케임브리지로 돌아갔고, 1948년 맨체스터대학교로 옮겼다. 그곳 기계의 하드웨어를 만든 사람들은 윌리엄스와 킬번 등이었다. 전자식 컴퓨터를 누가 발명했느냐는 질문의 답을 한 사람의 이름으로 다 감당할 수는 없다.

1950년, 튜링은 맨체스터의 기계에서 전쟁 전에 끝내지 못한 일을 다시 시작했다. 리만의 그 함수가 0이 되는 점들을 계산하는 일이었다. 그는 나중에 논문에서, 그 직선 위에 놓이지 않는 점을 찾을 수 있으리라는 낙관적인 희망을 품고 계산했다고 썼다. 이 계산으로 리만 가설의 수치적 검증은 처음 1,104개의 비자명한 영점까지 나아갔다. 이 영점들을 모두 튜링이 처음부터 새로 계산해 낸 것은 아니었다. 그는 또 한 가지를 적어 두었다. 그 기계가 드물게도 어느 날 오후 3시부터 다음 날 아침 8시까지 줄곧 제대로 작동했다는 것이다. 그러지 않았다면 이 계산은 아예 이루어지지 못했을지도 몰랐다.

같은 해 10월, 그는 철학 학술지 『마인드』에 글을 발표했다. 첫머리의 질문은 “기계가 생각할 수 있는가”였다. 그는 먼저 ‘기계’와 ‘생각’을 정의하려 하지 않았다. 대신 질문을 놀이 하나로 바꾸었다. 질문자는 다른 공간에 앉아 글로만 문답을 주고받으며, 상대 두 사람 중 누가 남자이고 누가 여자인지 알아맞힌다. 그다음 두 자리 중 하나를 기계로 바꾼다. 오늘날에는 사람의 30퍼센트를 속이면 지능이 있다고 인정하는 시험처럼 흔히 말하지만, 논문에는 그런 합격선이 없다. 해당 대목은 예측이었다. 약 50년 뒤면 보통의 질문자가 5분 동안 질문했을 때 정체를 맞힐 확률이 70퍼센트를 넘지 않을 것이라는 예측.

글에는 수학에서 나온 반론을 다루는 절도 있었다. 근거는 그 자신이 1936년에 증명한 것과 같은 종류의 결과였다. 어떤 기계든 답하지 못하는 문제가 있으니 기계는 인간을 따라올 수 없다는 주장이었다. 17편에서 살펴본 “괴델은 기계가 인간처럼 생각할 수 없음을 증명했다”라는 말을 튜링은 이미 1950년에 정면으로 마주한 셈이다. 그의 대답은 짧았다. 각각의 기계에 한계가 있다는 것은 증명되었다. 하지만 인간의 지능에는 그런 한계가 없다는 말은 주장되었을 뿐, 조금도 증명되지 않았다.

1952년 1월, 맨체스터 근교 윔슬로에 있는 튜링의 집에 도둑이 들었다. 수사하러 온 경찰은 아널드 머리라는 젊은 남자와 어떤 관계인지 물었다. 튜링은 두 사람 사이의 성관계를 숨기지 않았다. 그 결과 두 사람 모두 기소되었다. 죄명은 남성 간의 ‘중대한 외설 행위’. 근거는 1885년 형법개정법 제11조였다.

2월, 그는 킹스 칼리지의 젊은 친구인 수학자 노먼 라우틀리지에게 편지를 썼다. 언젠가 자기에게 닥칠 만하다고 늘 생각했던 종류의 곤경에 빠졌다는 내용이었다. 평소에는 그래도 그런 일이 일어나지 않을 가능성이 일어날 가능성의 열 배쯤 된다고 보았지만 말이다. 편지 끝에는 삼단논법처럼 세 문장이 나란히 놓였다. 튜링은 기계가 생각할 수 있다고 믿는다. 튜링은 남자와 잔다. 그러므로 기계는 생각할 수 없다. 마지막 서명은 “곤경에 빠진 앨런”이었다.

3월 31일, 체셔의 분기 형사법정에서 재판이 열렸다. 튜링은 변호사와 가족의 조언에 따라 유죄를 인정했다. 법정에는 그를 위해 증언한 사람이 있었다. 정부 암호기관의 암호해독 책임자 휴 알렉산더가 인품을 증언하도록 허가받고 나와, 튜링은 국가의 자산이라고 말했다. 11년 전 총리에게 보내는 편지에 서명했던 네 사람 가운데 알렉산더도 있었다. 튜링에게 내려진 처분은 12개월의 보호관찰이었다. 조건이 붙었다. 성욕을 줄이기 위해 의사가 지시하는 호르몬 치료를 받아야 했다. 다른 선택지는 감옥이었다. 치료는 1년 동안 계속되었고 그의 몸에 눈에 보이는 변화를 남겼다.

유죄판결 뒤 튜링은 더 이상 정부의 비밀 암호 업무를 맡을 수 없었다. 영국 정보기관이 동성애자를 보안상 배제하는 조치는 1991년까지 이어졌다. 맨체스터대학교의 자리를 잃지는 않았다. 1952년 8월 14일, 유죄판결이 내려진 지 넉 달 반 만에 왕립학회 학술지에 그의 「형태 발생의 화학적 기초」가 실렸다. 그가 생각한 것은 서로 반응하면서 조직 안으로 퍼져 나가는 몇 가지 화학물질이었다. 특정 조건에서 확산은 모든 것을 고르게 만들기는커녕, 거의 균일한 상태가 스스로 불안정해지게 하여 점무늬와 줄무늬를 만들어 낼 수 있었다. 훗날 생물 몸의 이런 무늬를 설명하는 이론 체계 전체가 이 논문에서 출발했다. 잎이 줄기 둘레에 어떻게 배열되는지도 그는 계속 계산하고 있었다.

8. 검사하지 않은 사과

지금도 많은 사람은 그 컴퓨터 회사의 로고, 한입 베어 문 사과가 튜링을 기리기 위한 것이라고 믿는다. 로고를 디자인한 사람은 훗날 인터뷰에서 한입이 빠진 이유를 설명했다. 체리가 아니라 사과라는 것을 한눈에 알아보게 하려는 것이었다. 튜링과는 관계없었다.

그 사과 이야기는 1954년 6월에서 비롯되었다. 6월 8일, 가정부가 윔슬로의 집에서 튜링의 시신을 발견했다. 마흔한 살이었다. 침대 옆 작은 탁자에는 몇 입 베어 먹은 사과 반쪽이 놓여 있었다. 부검 결과 그는 전날 사망한 것으로 확인되었고, 사인은 시안화물 중독이었다. 사인 심리의 공식 결론은 자살이었다. 그 사과를 검사한 사람은 없었다.

튜링의 어머니 사라는 당시 이탈리아에서 휴가를 보내고 있었고, 사인 심리가 끝난 뒤에야 돌아왔다. 그녀는 처음부터 자살이라는 결론을 받아들이지 않았다. 아들이 화학약품을 너무 부주의하게 보관했기 때문이라고 생각했다. 1959년, 그녀는 아들의 전기를 썼다. 이듬해에는 아들이 자신에게 보낸 편지 수십 통과 여러 자료를 킹스 칼리지에 맡겼다.

나중에 튜링에 관해 쓴 사람들 가운데 많은 이가 이 종이들을 읽는 데서 시작했다. 1983년 호지스가 두꺼운 전기를 펴냈다. 그의 수학, 암호 업무, 성적 지향, 유죄판결, 죽음을 모두 한데 엮은 본격적인 전기는 처음이었다. 호지스는 자살이 가장 개연성 높은 설명이라고 보았다. 자살이라는 설명을 뒷받침하는 가장 강한 근거는 당시의 공식 판단이었다. 튜링은 화학 실험 때문에 집에 시안화물을 보관하고 있었다. 조사자들은 독물, 현장, 사망 양상을 종합해 자살로 판단했다. 한편 코플런드는 이 자료들을 다시 검토했다. 튜링은 집에서 시안화물을 쓰는 전기도금 실험을 하고 있었고, 사과는 한 번도 검사되지 않았으며, 앞으로 할 일을 계획하고 있었다는 자료도 남아 있었다. 코플런드가 보기에 현재의 증거만으로는 사고 가능성을 배제할 수 없었다.

그러므로 확실히 말할 수 있는 것은 여기까지다. 튜링은 시안화물 중독으로 죽었다. 1954년의 사인 심리는 자살로 결론 내렸다. 그리고 코플런드 같은 연구자들의 재검토는 실험 중 사고를 정말 배제할 수 있는지에 대해 실질적인 의문을 제기했다. 당시의 공식 판정은 여전히 자살이다. 이후 연구자들 사이에는 남아 있는 증거로 사고를 완전히 배제할 수 있느냐를 놓고 논쟁이 있다. 그렇다고 어느 쪽이든 그의 의도가 직접 입증되었다고 말할 수는 없다.

2009년 8월, 영국 프로그래머 존 그레이엄커밍이 당시의 튜링 기소에 대해 정부가 사과할 것을 요구하는 청원을 시작했다. 3만 명 넘게 서명했다. 9월 10일, 브라운 총리는 정부를 대표해 공개 사과했다. 성명은 튜링이 받은 대우가 분명 지극히 부당했으며, 그가 이처럼 비인간적인 처우를 겪었다는 사실이 더욱 충격적이라고 밝혔다. 마지막 말은 이랬다. “미안합니다. 당신은 훨씬 더 나은 대우를 받았어야 했습니다.” 2013년 12월, 여왕은 왕실 사면권으로 튜링을 사후 사면했다. 2017년에는 이미 폐지된 동성 간 성행위 관련 죄목으로 유죄판결을 받은 수많은 사람에게 사면을 확대하는 법이 마련되었다. 언론은 이를 ‘튜링 법’이라고 불렀다. 2021년 6월 23일, 그의 생일에 영란은행은 튜링의 초상이 들어간 50파운드 지폐를 발행하기 시작했다.

1936년 논문에서 계산자는 산수 공책 앞에 앉은 사람이었다. 정의는 그가 규칙을 따라 한 단계씩 수행하는 활동만 떼어 냈다. 피로도 번뜩이는 생각도 처음부터 그 정의 안에는 자리가 없었다. 그 뒤로는 무엇을 계산할 수 있고 무엇을 원리상 계산할 수 없는지, 하나의 엄밀한 정의로 판가름할 수 있게 되었다. 14년 후 맨체스터의 기계가 오후 3시부터 다음 날 아침 8시까지 계산하며 사람 대신 해 준 것도 바로 그 활동이었다. 수학은 자기 일의 일부를 기계에 맡겼고, 기계가 갈 수 없는 곳의 경계도 그어 주었다.

할 수 없다는 것을 증명하려면, 먼저 ‘한다’는 것이 무엇인지 분명히 해야 한다.

1936년 튜링이 케임브리지에서 그 논문을 쓰고 있을 때, 파리에서는 이미 젊은 수학자들이 실재하지 않는 한 사람의 이름으로 글을 발표하고 있었다.

수는 계속 계산된다. 그러나 무엇을 수학이라 할지는, 아직 한 번도 셈이 끝난 적이 없다.

사료와 더 읽을거리

아래 자료들은 본문에 나오는 역사적 세부 사항과 해석상의 차이에 대응한다. 소장 기록, 고대 문학, 현대의 재구성은 같은 종류의 증거가 아니다.

• 튜링의 1936년 계산 가능한 수 논문 원문
• 킹스 칼리지 튜링 아카이브 전시
• GCHQ의 조앤 클라크 생애 소개
• 1941년 처칠에게 보낸 편지와 회신
• 부커: 튜링과 리만 가설
• 튜링의 1953년 제타 함수 계산 논문
• 영란은행의 튜링 50파운드 지폐