La máquina

1. El calculador

Cambridge, primavera de 1936. Alan Turing, un joven de veintitrés años que ocupaba un puesto de investigador en el King's College, acababa de terminar un artículo: «Sobre los números computables, con una aplicación al problema de decisión». Los números computables del título eran aquellos cuyos decimales se podían ir obteniendo uno tras otro. Pi, por ejemplo: bastaba pedir un número de cifras y se podían calcular todas ellas. La Sociedad Matemática de Londres recibió el manuscrito el 28 de mayo.

La pregunta que el artículo se proponía resolver venía de Hilbert. Pero antes de responderla, Turing contestó otra: ¿qué hace exactamente una persona cuando calcula paso a paso? En el texto aparecía una máquina que, con el tiempo, llevaría el apellido de su autor. La primera vez que el artículo hablaba de ella, sin embargo, era para compararla con una persona.

Una persona que está calculando un número, decía Turing, puede compararse con una máquina capaz de encontrarse en un número finito de situaciones. A lo largo del extenso análisis que seguía, la palabra «calculador» designaba a esa persona. El pronombre era «él». Calculaba sobre papel, un papel que podíamos imaginar dividido en casillas, como un cuaderno de aritmética infantil. Había un límite a la cantidad de casillas que podía abarcar de una ojeada. También eran finitos los estados mentales pertinentes para aquella tarea. Y lo que hacía en cada paso era muy pequeño: cambiar una marca en una casilla, desplazar la atención a otra cercana, pasar a otro estado mental.

Por entonces, un calculador era todavía un ser humano. En los observatorios y en las instituciones que elaboraban tablas numéricas había filas de personas sentadas ante sus mesas, siguiendo paso a paso reglas que otros habían establecido. Pero quien se sienta a hacer cuentas lleva consigo muchas cosas más: se cansa, tiene una ocurrencia, comprende lo que está calculando. Turing fue retirando todo eso, pieza a pieza, hasta quedarse únicamente con el tramo de la actividad que consistía en avanzar conforme a unas reglas. Lo que quedó fue la máquina.

Para entender por qué necesitaba hacer eso hay que retroceder ocho años.

2. Una expresión de todos los días

En 1928, Hilbert y Ackermann habían situado una pregunta en el centro de un manual de lógica y, con él, en el centro de la lógica matemática. Para escribir en símbolos los enunciados matemáticos existía un lenguaje estándar: la lógica de primer orden. La pregunta era esta: dado un enunciado cualquiera escrito en ese lenguaje, ¿había un procedimiento mecánico único que permitiera decidir, en un número finito de pasos, si era verdadero bajo todas las interpretaciones? Es decir, si seguía siendo verdadero se entendieran como se entendieran sus símbolos. Era el problema de decisión, aquella gran aspiración de la escuela de Hilbert con la que empezaba el episodio 18. Allí también se explicaba qué se entendía entonces por un procedimiento mecánico: unas reglas tan rígidas que hasta alguien que no supiera matemáticas pudiera seguirlas sin equivocarse.

La dificultad empezaba antes de preguntarse si aquello sería fácil o difícil. Para contestar que sí, bastaba con presentar un procedimiento. Para contestar que no, había que demostrar que ningún procedimiento podía servir. Pero ¿qué abarcaba ese «ningún procedimiento»? Unas reglas que cualquiera puede seguir sin equivocarse: seguía siendo una expresión del lenguaje corriente. Mientras «procedimiento mecánico» no pasara de ser eso, ni siquiera había por dónde empezar una demostración de su imposibilidad.

Hasta entonces, muchos habían trabajado en la dirección del sí. Bernays ya había estudiado en 1918 la decisión en la lógica proposicional. En 1921, Behmann se ocupó expresamente del problema de decisión y encontró procedimientos para ciertos fragmentos restringidos. Las diez páginas de Presburger que aparecían en el episodio 18 eran otra pieza de ese trabajo. Dos décadas de éxitos parciales, uno detrás de otro, hacían que la pregunta general no pareciera descabellada.

El teorema de completitud de Gödel, de 1930, añadió algo más. De él se desprendía que, si un enunciado era verdadero bajo todas las interpretaciones, bastaba enumerar las demostraciones una por una: tarde o temprano aparecería la suya. Pero si no era verdadero en todas las interpretaciones, la búsqueda podía prolongarse indefinidamente, sin detenerse jamás para avisar de que no había nada que encontrar. Del lado del sí, la espera acabaría dando una respuesta. Del lado del no, podía no acabar nunca. Desde ese momento, la cuestión de si el proceso se detenía pasó a estar en el corazón del problema.

En marzo de 1935, el King's College había elegido a Turing investigador. Tenía veintidós años. El trabajo que le había valido el puesto era de probabilidad y se titulaba «Sobre la función de error de Gauss». Había demostrado por su cuenta un teorema y solo al terminar descubrió que el finlandés Lindeberg ya lo había demostrado en 1922. El College lo eligió de todos modos: tres años, trescientas libras anuales, alojamiento y manutención incluidos.

Aquella primavera asistió a las clases de Max Newman sobre fundamentos de las matemáticas. Newman habló de Gödel y del problema de decisión de Hilbert. Muchos años después, en una entrevista, recordó haber explicado que un proceso realizable paso a paso debía ser puramente mecánico; quizá había llegado a decir que una máquina podía ejecutarlo. Turing recogió aquella frase. No empezó buscando un procedimiento, ni buscando un contraejemplo. Volvió primero a la palabra que nadie había definido: ¿qué quería decir, exactamente, hacer algo de manera mecánica?

3. La cinta de papel

Su definición era esta. El papel se convertía en una cinta dividida en casillas. Cada una podía contener un símbolo o quedar en blanco. En cualquier momento, la máquina solo observaba una casilla y se encontraba en uno de un número finito de estados. El estado en que estaba y el símbolo que veía determinaban juntos el siguiente paso: escribir o borrar un símbolo, desplazarse una casilla a la derecha o a la izquierda y pasar a otro estado. Todas las instrucciones de la forma «si estás en este estado y ves este símbolo, haz esto» cabían en una tabla finita.

Cabezal de lectura y escritura, estado, tabla de reglas: son nombres cómodos que hemos adoptado después. El original de 1936 se parece más a la descripción de alguien que tiene la vista puesta en una casilla. Pero la estructura es la misma: un número finito de estados, un número finito de símbolos, una pequeña zona visible en cada momento y un avance, paso a paso, conforme a reglas determinadas.

La primera máquina del artículo hacía algo de una sencillez casi cómica: iba escribiendo un cero y un uno alternativamente en la cinta, dejando una casilla en blanco entre cifra y cifra, y seguía así para siempre. Tenía cuatro estados y su tabla solo ocupaba cuatro filas. Las demás máquinas del artículo, incluida la más extraordinaria, eran en el fondo una tabla de esa misma clase.

El artículo daba todavía un paso más. La tabla de reglas de una máquina también podía escribirse como una secuencia de símbolos. Eso permitía construir otra máquina que leyera aquella tabla y fuera ejecutando, paso a paso, todo lo que habría hecho la primera. Esa era la máquina universal. En este modelo, la descripción de una máquina y los datos que se le entregaban podían escribirse con los mismos símbolos. Las propias instrucciones podían convertirse en datos de entrada.

Ahí puede reconocerse el antepasado lógico del ordenador electrónico. Pero la máquina universal de 1936 era, ante todo, una definición; no era un plano de construcción. Entre ella y los ordenadores que, después de 1945, se armaron de verdad con válvulas electrónicas y memorias, mediaba toda una historia de ingeniería.

Lo decisivo de aquella máquina no era tanto lo que podía calcular como lo que permitía hacer con la expresión «calcular mecánicamente». Le daba una forma lo bastante precisa para introducirla en una demostración. Por primera vez era posible tomar eso que se llamaba «cualquier procedimiento mecánico» y examinar sus casos uno por uno. Una expresión de todos los días se había convertido en una colección de objetos que podían enumerarse.

4. Un mismo límite

Mientras Turing escribía, al otro lado del Atlántico alguien había llegado ya al mismo lugar. En Princeton, Church, junto con sus alumnos, entre ellos Kleene, se había acercado al cálculo efectivo por otro camino. Su herramienta era el cálculo lambda, un sistema de símbolos para representar funciones y sustituciones. En abril de 1936, Church publicó un artículo en el que proponía identificar lo efectivamente calculable, en el sentido corriente de la expresión, con las funciones definibles en el cálculo lambda. A partir de ahí demostró que cierto problema no tenía solución. Ese mismo año, en una nota muy breve, llevó la conclusión directamente al problema de decisión de Hilbert y Ackermann: no existía una solución de validez general.

Church envió una separata a Cambridge. Llegó cuando Newman acababa de leer el manuscrito de Turing. Newman le contestó por carta. La separata, le decía, tenía un significado bastante doloroso para un joven de allí llamado Turing, que estaba a punto de enviar a publicación un artículo con el mismo propósito, basado en una definición de número computable. El método de Turing, continuaba Newman, consistía en describir una máquina capaz de ir produciendo, cifra a cifra, cualquier sucesión computable. Era muy distinto del de Church, pero parecía muy valioso. Newman consideraba de gran importancia que aquel joven pudiera ir a Princeton al año siguiente para trabajar con él.

Era la segunda vez que Turing descubría que alguien había llegado antes. La primera había sido Lindeberg. Esta vez no retiró su artículo: las dos maneras de definir el cálculo efectivo eran completamente distintas. Dejó constancia en el texto de la definición que Church acababa de proponer, afirmó que ambas eran equivalentes y añadió un argumento en un apéndice. Al año siguiente dedicó otro artículo a demostrar que las funciones calculables por sus máquinas eran exactamente las definibles en el cálculo lambda. Casi al mismo tiempo, en Estados Unidos, Post había propuesto de manera independiente algo muy parecido: un trabajador que, siguiendo instrucciones fijas, avanzaba a izquierda o derecha por una fila de casillas, poniendo y borrando marcas.

Varios caminos independientes habían desembocado en una misma clase de funciones: uno partía de la persona que calcula con lápiz y papel; otro, del cálculo de funciones; otro, de las definiciones recursivas. Con el tiempo se condensó aquella convergencia en una afirmación: la tesis de Church-Turing. Todo lo que pueda calcularse mediante pasos efectivos y enteramente mecánicos, en el sentido habitual de esas palabras, puede calcularlo una máquina de Turing. No es un teorema: ese «sentido habitual» no está formalizado y, por tanto, no puede ser uno de los términos de una demostración. Tampoco es una convención caprichosa. Su fuerza procede de dos hechos: distintos caminos independientes llegaron a un mismo límite, y Turing analizó con detalle qué hace una persona cuando calcula sobre el papel.

En 1937, Church reseñó el artículo de Turing en una revista de lógica. Entre las distintas definiciones, decía, la de Turing tenía una ventaja: su correspondencia con la noción cotidiana de cálculo efectivo se veía de inmediato, sin tener que demostrar antes ningún teorema preliminar. Fue en esa reseña donde apareció por primera vez el nombre «máquina de Turing». Church añadía algo más: una persona con lápiz, papel e instrucciones explícitas también podía considerarse una clase de máquina de Turing. Un año antes, la máquina había nacido de quitarle cosas a una persona. Ahora la persona quedaba incluida entre las variedades de la máquina.

5. Hacer lo contrario

Volvamos a la segunda mitad del artículo. Una vez fijada la definición, Turing podía demostrar una imposibilidad. Los manuales actuales presentan el resultado en una versión más depurada, llamada problema de la parada. La idea es esta. Supongamos que existe una máquina capaz de decidirlo todo en este terreno: le damos la descripción de cualquier otra máquina y unos datos de entrada, y siempre acierta al decir si aquella acabará deteniéndose o seguirá funcionando eternamente. Construimos ahora una máquina nueva. Cuando recibe la descripción de una máquina, pregunta a la que decide qué haría esa máquina si recibiera su propia descripción como entrada. Después hace deliberadamente lo contrario del pronóstico: si el pronóstico es que se detendrá, sigue funcionando para siempre; si el pronóstico es que no se detendrá, se detiene de inmediato. Entreguémosle ahora su propia descripción. Si el pronóstico dice que se detendrá, no se detiene. Si dice que no se detendrá, se detiene. Cualquier respuesta es errónea. Por tanto, aquella máquina capaz de decidir siempre correctamente no puede existir. El paso crucial consiste en escribir una máquina como una descripción que otra máquina pueda leer. Turing se había tomado tanto trabajo en cerrar su definición precisamente para que ese paso fuera posible.

El original de 1936 se ocupaba principalmente de una cuestión distinta: si una máquina seguiría produciendo cifras nuevas indefinidamente. No es exactamente el problema de la parada tal como lo formulan hoy los manuales. Sí permite, sin embargo, establecer resultados de indecidibilidad relacionados, y la estructura diagonal es común a ambos.

Ya hemos visto dos veces esa estructura en esta serie. En el episodio 13, Cantor ordenaba los números en una tabla y modificaba cada posición de la diagonal para construir un número que no figuraba en ella. En el 17, Gödel asignaba números a las fórmulas y hacía que un enunciado hablara de su propia demostrabilidad. Aquí se codifica una máquina mediante una descripción, se le hace leer su propia descripción y, justo en ese punto, se invierte la respuesta. Primero se asigna un código; después el sistema recibe su propio código como una entrada cualquiera; finalmente, se da la vuelta a lo que ocurre en la diagonal. Los objetos han cambiado tres veces. El movimiento es el mismo.

Un paso más en el razonamiento nos devuelve a la pregunta de Hilbert: para la lógica de primer orden en general no existe el procedimiento uniforme de decisión que buscaba. Quien haya leído el episodio 17 pensará en Gödel, pero son dos resultados distintos. Gödel decía que un sistema cuyos axiomas puedan enumerarse mediante un programa, si es suficientemente potente, no puede ser a la vez consistente y completo. Aquí se dice que ni siquiera para la propia lógica de primer orden puede construirse una máquina que dé una respuesta en todos los casos. Church llegó por el camino del cálculo; Turing, por el de la cinta de papel. Ocho años después, la pregunta situada en el centro de aquel manual de 1928 tenía respuesta. La respuesta era no.

6. Princeton, Bletchley

Turing llegó a Princeton en el otoño de 1936 para hacer el doctorado con Church. Su artículo se presentó en Londres en noviembre y se imprimió a finales de año. El Instituto de Estudios Avanzados, donde trabajaba Einstein, aún no tenía edificio propio: se alojaba en el del departamento de matemáticas de la universidad. Allí tenían también sus despachos el matemático húngaro von Neumann y Weyl, que había llegado de Gotinga tres años antes. En 1938, Turing obtuvo el doctorado con una tesis titulada «Sistemas de lógica basados en ordinales». Von Neumann le ofreció quedarse como ayudante. Turing rechazó la oferta y regresó a Cambridge.

Al año siguiente de su regreso pidió cuarenta libras a la Royal Society para construir una máquina de engranajes. Quería abordar una conjetura que Riemann había formulado en 1859 y que sigue siendo uno de los problemas sin resolver más famosos de las matemáticas. La conjetura trata de una función concreta: entre los puntos donde su valor es cero hay una gran clase que debería estar entera sobre una misma recta. Turing quería hacer que unos engranajes fueran reproduciendo la función por tramos y comprobar si alguno de esos ceros caía fuera de la recta. La máquina estaba a medio construir cuando llegó la guerra. Nunca se terminó. No se conserva ni una pieza.

El 4 de septiembre de 1939, un día después de que el Reino Unido declarara la guerra a Alemania, Turing se incorporó a la Escuela Gubernamental de Códigos y Cifrados en Bletchley Park. Su objetivo principal era la Enigma de la marina alemana. Suele contarse esta historia como la hazaña de un solo hombre, aunque desde el principio fue una labor colectiva. Durante los años treinta, los polacos Rejewski, Różycki y Zygalski ya habían logrado avances decisivos contra Enigma. En julio de 1939, en una reunión entre los tres países, Polonia transmitió a franceses y británicos métodos esenciales y conocimientos sobre los equipos. Turing se reunió con sus colegas polacos en Francia en enero de 1940. La visita dio continuidad a la cooperación británico-polaca; el diseño de la bombe británica ya había empezado antes y no puede hacerse arrancar de aquel encuentro. Turing concibió su diseño lógico; Welchman introdujo una mejora crucial; otro grupo de ingenieros construyó las máquinas; y una multitud de operadores y analistas las convirtió en una cadena de producción de inteligencia.

En la cabaña 8, Turing ideó un método estadístico para atacar el cifrado naval. Se utilizaban unas tiras finas de cartulina, de veinticinco centímetros de alto y varios metros de largo, impresas en Banbury, una localidad de Oxfordshire. Las perforaban según las letras de los mensajes. Al superponer dos tiras sobre una caja de luz, los agujeros por los que pasaba la luz señalaban coincidencias entre ambos mensajes. Había que contarlas y valorar cuánto pesaban como indicio. Para esa valoración, Turing definió una unidad de peso de la evidencia y le dio el nombre de la localidad. Entre quienes aplicaban el método solo había una mujer: Joan Clarke. Había estudiado matemáticas en Cambridge y obtenido la máxima calificación en las dos partes de los exámenes, aunque Cambridge todavía no concedía títulos oficiales a las mujeres. Al llegar a la cabaña 8 la destinaron primero a tareas administrativas, por dos libras a la semana. Más adelante quisieron subirle el sueldo y la ascendieron a la categoría de lingüista. No sabía ninguna lengua extranjera. Cuando recordó el episodio por escrito, resumió así las dos casillas del formulario: categoría, lingüista; idiomas, ninguno. En 1944 pasó a ser la segunda al mando de la cabaña 8.

En el otoño de 1941 faltaban manos. El 21 de octubre, cuatro hombres de Bletchley Park escribieron conjuntamente al primer ministro Churchill: Turing, Welchman, Alexander y Milner-Barry. La carta hablaba de personal, no de matemáticas. Las carencias eran sorprendentemente modestas: una veintena de mecanógrafos preparados, otra veintena de empleados administrativos y mujeres de la marina para manejar las bombes. Como no tenían suficiente personal, debían encargarse ellos mismos de probar las máquinas. Algunos turnos de noche ya se habían suspendido. Eligieron a Milner-Barry para llevar la carta. Viajó en tren a Londres y se presentó en el número 10 de Downing Street. En la entrada solo había una barrera de madera y un policía. Llamó al timbre y entregó el sobre al secretario privado parlamentario del primer ministro. Churchill pegó en la carta una etiqueta roja que decía «Actuar hoy» y la remitió a su asesor militar, Ismay, con una instrucción: satisfacer todas sus necesidades con la máxima prioridad e informarle cuando estuviera hecho.

Otro cifrado alemán exigió una línea de trabajo distinta. El avance decisivo para romperlo fue de Tutte. Los Colossus electrónicos los construyeron Flowers y los ingenieros del servicio de correos. La sección que los utilizaba estaba dirigida por Newman, el mismo que en 1935 había dado aquellas clases sobre fundamentos de las matemáticas en Cambridge.

Durante muchos años después de la guerra nadie pudo contar nada de aquello. En enero de 1945 trabajaban casi nueve mil personas entre Bletchley Park y sus centros externos. Tres de cada cuatro eran mujeres. Todos habían firmado su compromiso bajo la ley de secretos oficiales; algunas no se lo contaron ni a sus maridos durante décadas. Dos artículos de Turing sobre criptografía escritos durante la guerra no pasaron a los archivos públicos hasta 2012. Pero su propia disciplina no lo había olvidado. En 1966, la Association for Computing Machinery de Estados Unidos creó el premio más importante del campo y le puso su nombre. Todavía eran muy pocos quienes sabían a qué se había dedicado durante la guerra.

7. 1950, 1952

Después de la guerra fue al Laboratorio Nacional de Física. En febrero de 1946 entregó el diseño detallado de un ordenador electrónico. La máquina completa no llegó a construirse mientras él estuvo allí. A finales de 1947 regresó a Cambridge para pasar un año de permiso y, en 1948, se incorporó a la Universidad de Manchester. El hardware del ordenador de Manchester era obra de Williams, Kilburn y sus colaboradores. Ningún nombre puede cargar, por sí solo, con la invención del ordenador electrónico.

En 1950, con la máquina de Manchester, Turing retomó la tarea que había dejado pendiente antes de la guerra: calcular dónde se anulaba la función de Riemann. En el artículo que publicó más tarde explicó que había emprendido los cálculos con la esperanza optimista de encontrar un cero fuera de aquella recta. El trabajo extendió la comprobación numérica de la hipótesis de Riemann hasta los primeros mil ciento cuatro ceros no triviales; eso no quiere decir que él los hubiera calculado todos por primera vez y desde cero. Dejó anotado también un detalle: por una vez, la máquina había funcionado bien desde las tres de una tarde hasta las ocho de la mañana siguiente. De no haber sido así, probablemente aquellos cálculos no habrían podido hacerse.

En octubre de ese mismo año publicó un artículo en la revista de filosofía Mind. Empezaba con una pregunta: ¿pueden pensar las máquinas? No quiso detenerse primero a definir las dos palabras. Sustituyó la pregunta por un juego. Una persona, separada de otras dos y comunicándose con ellas solo por escrito, debía averiguar cuál era el hombre y cuál la mujer. Después una máquina ocuparía uno de esos dos lugares. Hoy circula la idea de que engañar al treinta por ciento de los participantes basta para que una máquina sea inteligente. El artículo no fijaba ese umbral de aprobación. Aquel pasaje era una predicción: unos cincuenta años después, tras cinco minutos de preguntas, un interrogador corriente no tendría más de un setenta por ciento de probabilidades de acertar.

El artículo recogía también una objeción matemática. Su argumento nacía precisamente de resultados como los que el propio Turing había demostrado en 1936: toda máquina tiene preguntas que no puede responder; por eso las máquinas serían inferiores a las personas. En 1950, Turing ya se había encontrado de frente con aquella afirmación mencionada en el episodio 17: «Gödel demostró que las máquinas no pueden pensar como los seres humanos». Su respuesta fue breve. Que una máquina determinada tiene límites es algo que se ha demostrado. Que la inteligencia humana carece de esos límites es algo que solo se ha afirmado, sin demostración alguna.

En enero de 1952 entraron a robar en su casa de Wilmslow, cerca de Manchester. Durante la investigación, la policía le preguntó por su relación con un joven llamado Arnold Murray. Turing no ocultó que mantenían relaciones sexuales. Acabaron procesados los dos, acusados de «indecencia grave» entre hombres en virtud del artículo 11 de la Ley de Enmienda del Derecho Penal de 1885.

En febrero escribió a un joven amigo del King's College, el matemático Norman Routledge. Le decía, en esencia, que había acabado metido en el tipo de problemas que siempre había creído muy posible que le ocurrieran, aunque normalmente calculaba que las probabilidades de que no ocurrieran eran diez veces mayores. Al final de la carta dispuso tres líneas como un silogismo: Turing cree que las máquinas piensan. Turing se acuesta con hombres. Por tanto, las máquinas no piensan. Firmaba: Alan, en apuros.

El 31 de marzo se celebró el juicio ante el tribunal de sesiones trimestrales de Cheshire. Siguiendo el consejo de su abogado y de su familia, Turing se declaró culpable. Un testigo habló en su favor: Hugh Alexander, responsable de criptoanálisis del organismo gubernamental de cifrado, recibió permiso para comparecer y dar fe de su integridad. Dijo al tribunal que era un hombre de enorme valor para el país. Alexander había sido uno de los cuatro firmantes de la carta al primer ministro once años antes. A Turing le impusieron doce meses de libertad vigilada con una condición: someterse al tratamiento hormonal que le prescribieran los médicos para reducir su deseo sexual. La otra opción era la cárcel. El tratamiento duró un año y produjo cambios visibles en su cuerpo.

La condena le cerró el acceso al trabajo criptográfico secreto para el Gobierno. La prohibición de que los homosexuales trabajaran en los servicios de inteligencia británicos por motivos de seguridad se mantuvo hasta 1991. Turing conservó, sin embargo, su puesto en la Universidad de Manchester. El 14 de agosto de 1952, cuatro meses y medio después de la condena, una revista de la Royal Society publicó «La base química de la morfogénesis». Allí estudiaba varias sustancias capaces de reaccionar entre sí y de difundirse por un tejido. Bajo ciertas condiciones, la difusión, en lugar de uniformarlo todo, podía volver inestable por sí sola una situación casi homogénea y hacer aparecer manchas y rayas. De aquel artículo nació toda una teoría posterior de ese tipo de patrones en los seres vivos. Turing seguía haciendo cálculos, además, sobre la disposición de las hojas alrededor del tallo.

8. Una manzana que nunca se analizó

Todavía hoy mucha gente cree que el logotipo de aquella empresa de ordenadores, la manzana a la que le falta un bocado, es un homenaje a Turing. Su diseñador explicó después en una entrevista que el mordisco servía para reconocer de inmediato una manzana y no confundirla con una cereza. No tenía relación con Turing.

La historia de la manzana se remonta a junio de 1954. El día 8, su ama de llaves encontró el cuerpo de Turing en su casa de Wilmslow. Tenía cuarenta y un años. En la mesilla junto a la cama había media manzana con varios mordiscos. La autopsia estableció que había muerto el día anterior por envenenamiento con cianuro. La investigación judicial sobre la muerte concluyó oficialmente que se trataba de un suicidio. La manzana nunca se analizó.

Su madre, Sara, estaba de vacaciones en Italia. No logró regresar hasta después de la investigación judicial. Desde el principio rechazó la conclusión de suicidio: pensaba que su hijo había sido demasiado descuidado al guardar sustancias químicas. En 1959 escribió una biografía de él. Al año siguiente entregó al King's College varias decenas de cartas que su hijo le había enviado, junto con otros documentos.

Muchos de los que escribieron después sobre Turing empezaron por esos papeles. En 1983, Hodges publicó una extensa biografía que reunía por primera vez, en una gran obra biográfica, sus matemáticas, su trabajo criptográfico, su orientación sexual, la condena y su muerte. El libro consideraba el suicidio la explicación más probable. El respaldo más firme de esa interpretación era el dictamen oficial de entonces: Turing tenía cianuro en casa para sus experimentos químicos, y los investigadores habían considerado conjuntamente el veneno, la escena y la forma de la muerte para concluir que se había suicidado. Copeland, por su parte, volvió a examinar los materiales. Turing estaba realizando en casa experimentos de galvanoplastia con cianuro; la manzana nunca se había analizado; y había documentos que mostraban que estaba organizando su trabajo futuro. A su juicio, las pruebas disponibles no bastaban para descartar un accidente.

Esto es, por tanto, lo que puede afirmarse con seguridad: murió por envenenamiento con cianuro; la investigación de 1954 dictaminó suicidio; y revisiones como la de Copeland han planteado dudas sustanciales sobre la posibilidad de excluir un accidente de laboratorio. El dictamen oficial de entonces sigue siendo el suicidio. Los investigadores posteriores discrepan sobre si las pruebas conservadas permiten descartar por completo un accidente. Esa discrepancia no autoriza a presentar ninguna intención concreta como algo directamente demostrado.

En agosto de 2009, el programador británico John Graham-Cumming lanzó una petición para que el Gobierno se disculpara por haber procesado a Turing. Reunió más de treinta mil firmas. El 10 de septiembre, el primer ministro Brown pidió disculpas públicamente en nombre del Gobierno. Su declaración decía que el trato recibido había sido, por supuesto, terriblemente injusto, y aún más estremecedor por su inhumanidad. Terminaba así: «Lo sentimos. Merecías algo mucho mejor». En diciembre de 2013, la reina le concedió un indulto póstumo mediante la prerrogativa real de gracia. Una ley de 2017 extendió los indultos a numerosas personas condenadas por delitos de actividad sexual entre personas del mismo sexo que ya habían sido derogados. La prensa la llamó «ley Turing». El 23 de junio de 2021, el día de su cumpleaños, el Banco de Inglaterra empezó a poner en circulación un billete de cincuenta libras con su retrato.

En el artículo de 1936, el calculador era una persona sentada ante un cuaderno de aritmética. La definición solo retenía la parte de su actividad que consistía en seguir unas reglas paso a paso. El cansancio y las ocurrencias no tenían cabida en ella desde el principio. A partir de entonces, una misma definición rigurosa permitía determinar qué podía calcularse y qué era imposible calcular por principio. Catorce años después, la máquina de Manchester había trabajado desde las tres de la tarde hasta las ocho de la mañana siguiente. Era precisamente esa parte de la actividad humana la que hacía en su lugar. Las matemáticas habían entregado una parte de sí mismas a la máquina. También habían trazado la frontera de lo que la máquina no podía alcanzar.

Para demostrar que algo no puede hacerse, primero hay que dejar claro qué significa «hacer».

Mientras Turing escribía aquel artículo en Cambridge en 1936, un grupo de jóvenes matemáticos de París ya publicaba bajo el nombre de una persona que no existía.

Los cálculos siguen adelante; qué cuenta como matemáticas nunca ha terminado de quedar claro.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las fuentes siguientes documentan los detalles históricos y las discrepancias de interpretación que aparecen en el texto. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen la misma clase de prueba.

• Artículo original de Turing sobre los números computables, 1936
• Selección de los archivos de Turing en el King's College
• Biografía de Joan Clarke publicada por el GCHQ
• Carta a Churchill de 1941 y su respuesta
• Booker: Turing y la hipótesis de Riemann
• Artículo de Turing de 1953 sobre el cálculo de la función zeta
• El billete de cincuenta libras dedicado a Turing, Banco de Inglaterra