Matemáticas · 21 / 25
El autor desaparece
Bourbaki convirtió disputas, intuiciones y borradores descartados en un autor que no existe: lo anónimo es el libro terminado, no el trabajo que lo hizo posible.
En este ensayo
1. Un matemático que no existe
En la École normale supérieure de París había una tradición: un estudiante se hacía pasar por una autoridad llegada de fuera y daba a los nuevos una clase de lo más solemne. La gracia estaba en ver quién advertía primero que algo no cuadraba. Hacia 1923, un alumno llamado Raoul Husson se pegó una barba, adoptó el papel de profesor extranjero y pronunció una conferencia ante los estudiantes de los primeros cursos. Con un acento exageradísimo, fue desgranando teoremas de apariencia impecable, cada cual más absurdo que el anterior. Todos se atribuían a matemáticos de los que nadie había oído hablar. Para el remate se reservó el más disparatado: lo llamó teorema de Bourbaki.
Entre los alumnos sentados en aquella sala había uno que se llamaba André Weil.
Weil puso por escrito la escena en sus memorias de 1992, casi setenta años después de aquella tarde. Husson no se dedicó luego a las matemáticas, sino a estudiar cómo se produce la voz humana. Pero el apellido que había tomado prestado no era una invención. Charles-Denis Bourbaki había sido un general francés de carne y hueso, nacido en 1816. Combatió en Crimea y en Italia; en la guerra contra Prusia de 1870 mandó el Ejército del Este, que acabaría cruzando a Suiza y siendo desarmado bajo el mando de su sucesor, Clinchant. A un francés, aquel apellido le traía a los oídos toda una historia militar, y no precisamente falta de peripecias.
Se repite mucho que «inventaron a un general Bourbaki que nunca existió». La frase funde a dos personas en una. Quien nunca existió fue el matemático Nicolas Bourbaki. El general sí.
El apellido reapareció impreso en 1931, y lo hizo en la India. Weil era profesor de matemáticas en una universidad de Aligarh desde 1930. Al año siguiente invitó a un joven llamado Kosambi a incorporarse como docente. Ese mismo año, una revista académica de Agra publicó un artículo de Kosambi cuyo título anunciaba una generalización del segundo teorema de Bourbaki. Fue la primera entrada del apellido en la bibliografía matemática. Weil contó después que la idea había sido suya: atribuir ciertos resultados a un oscuro matemático ruso llamado Bourbaki, muerto por envenenamiento durante la Revolución. La broma iba dirigida contra un colega veterano que se tenía en muy alta estima.
Hasta entonces, Bourbaki no pasaba de ser una broma. En 1935, la broma se convirtió en autor.
2. Un almuerzo
Estrasburgo, 1934. Henri Cartan y Weil enseñaban en su universidad: el primero desde 1931; el segundo había llegado en 1933. A los dos les tocaba dar cálculo y análisis, y los dos utilizaban el curso de análisis de Goursat, el manual habitual de la época. Ninguno estaba satisfecho.
Cartan acudía una y otra vez a Weil con la misma clase de pregunta: ¿tú cómo explicas este apartado? Al cabo de tantas consultas, Weil propuso algo. Tenían cinco o seis amigos repartidos por otras universidades que daban cursos parecidos. ¿Por qué no reunirse y escribir de nuevo aquel manual?
El lunes 10 de diciembre de 1934, a mediodía, seis hombres celebraron el primer almuerzo formal de preparación en el café Capoulade, en el bulevar Saint-Michel del Barrio Latino de París: Cartan, Chevalley, Delsarte, Dieudonné, de Possel y Weil. El café desapareció con el tiempo. Ellos se bautizaron como Comité del Tratado de Análisis.
Visto hoy, el plan rozaba la ingenuidad: un manual de análisis moderno de unas mil páginas, terminado en unos seis meses, con el índice resuelto antes del verano de 1935. En aquel primer almuerzo fijaron también una regla: los asuntos importantes no se decidirían por votación. Haría falta el acuerdo de todos.
A lo largo de aquel medio año volvieron a encontrarse en París unas diez veces. En la segunda reunión decidieron ampliar el comité a nueve integrantes; después hubo salidas e incorporaciones. Se distribuyeron además en pequeños grupos de unas tres personas para estudiar álgebra, integración, ecuaciones diferenciales, formas diferenciales, cálculo de variaciones, funciones especiales, geometría y series de Fourier. Al formar los grupos siguieron una regla peculiar: en cada uno incluyeron deliberadamente a alguien ajeno a la especialidad.
Lo que vino después ya ha ocurrido varias veces en esta serie: para explicar bien una cosa hay que aclarar antes aquello sobre lo que se sostiene. Escribir análisis exigía precisar de qué dependían el límite y la continuidad; eso, a su vez, obligaba a establecer cómo se usarían la topología y los conjuntos en general. Al final del episodio 15 vimos que, en los años treinta, las disputas técnicas de la teoría de conjuntos se habían asentado: esta se había convertido en una herramienta cotidiana de la topología y de las funciones de variable real, mientras la vertiente filosófica había seguido otro camino. Fue justo entonces cuando estos hombres se pusieron a trabajar. No pretendían librar otra vez la guerra de los fundamentos. Querían empezar por los conjuntos e ir colocando, una detrás de otra y en el orden debido, las piezas que necesitarían después.
Así fue como el proyecto de un manual retrocedió hasta los cimientos.
3. Una semana en Besse
Del 10 al 17 de julio de 1935, en Besse-en-Chandesse, entre las montañas de Auvernia, se celebró el primer congreso oficial de Bourbaki.
La asociación reconoce hoy a nueve fundadores: Cartan, Chevalley, Coulomb, Delsarte, Dieudonné, Ehresmann, de Possel, Mandelbrojt y Weil. Aquel verano, el menor, Chevalley, tenía veintiséis años; el mayor, Mandelbrojt, treinta y seis. Los demás tenían entre veintinueve y treinta y uno. Cartan trabajaba en análisis y topología y era hijo del gran matemático Élie Cartan. Weil se dedicaba a la teoría de números y la geometría algebraica. Coulomb, a la física matemática y la geofísica. Dieudonné tenía veintinueve años y trabajaba en análisis y álgebra. Durante los veinticinco años siguientes, buena parte de las versiones finales de aquella obra pasaría por sus manos.
Nueve hombres en torno a los treinta años dispuestos a rehacer los manuales de toda una disciplina: en otro momento habría sonado a arrogancia. Pero la Francia de 1935 era un caso distinto. La guerra anterior había arrasado una generación. Entre los estudiantes de matemáticas de la École normale supérieure, las estimaciones de muertos en el frente van de una cuarta parte a la mitad. Al mirar por encima de ellos, aquellos jóvenes encontraban un gran hueco en la generación que debía rondar los cuarenta y tantos años y servirles de maestros, autoridades y revisores. Tenían delante unos manuales envejecidos, puestos docentes dispersos por el país y un programa de estudios que, a su juicio, no había seguido el paso de los alemanes ni el del álgebra y la topología modernas.
Por eso Bourbaki, en su origen, no fue una escuela. Una escuela se forma alrededor de un maestro y sus discípulos. Aquello era una organización horizontal de personas de la misma edad, sin maestro y sin presidente. De esa forma de reunirse nacieron luego sus reglas: el veto al alcance de cualquiera, la retirada a los cincuenta años, los autores sin firma.
Aquella semana dejó tres decisiones de verdadero alcance. El comité provisional encargado de un manual se transformó en un colectivo que se proponía durar. En esta etapa quedó constituido el personaje de Nicolas Bourbaki. Y todos aceptaron una conclusión: si mantenían el reparto tradicional, un volumen de álgebra, otro de cálculo, otro de geometría, la obra no saldría adelante.
También en 1935, Élie Cartan, el padre de Henri, recibió una carta que le presentaba a un matemático llamado Nicolas Bourbaki. Como miembro de la Academia de Ciencias de Francia, remitió un manuscrito suyo a la publicación semanal de la institución, que lo publicó. En cuanto al nombre de pila, la versión más difundida atribuye el bautizo a Éveline, entonces esposa de de Possel: ella habría llamado Nicolas al personaje. Es un detalle procedente de testimonios orales posteriores, menos firme que la historia del apellido.
El título no se decidió hasta 1938: Elementos de matemática. La palabra «Elementos» enlazaba con el libro de Euclides que vimos en el episodio 3, a dos mil doscientos años de distancia. En francés, el nombre de la disciplina suele ir en plural; ellos lo pusieron en singular para afirmar que era una sola cosa. El primer fascículo salió en 1939: un compendio de resultados de teoría de conjuntos, con enunciados y sin demostraciones. Para los dos primeros capítulos de teoría de conjuntos con sus demostraciones hubo que esperar hasta 1954.
4. Reuniones sin presidente
Había tres congresos al año: dos de una semana y otro de unas dos. Se trabajaba en tres sesiones diarias, unas siete horas en total. Los choques eran frecuentes; la tensión, a veces también.
Nadie presidía. Alguien leía un borrador en voz alta, línea por línea, y cualquiera podía interrumpir en cualquier momento: discutir una palabra, exigir una demostración o pedir que se reescribiera todo un pasaje. Cuando el joven matemático suizo Armand Borel asistió por primera vez, en 1949, oyó dos o tres monólogos a gritos cruzándose en el aire. Dieudonné contaría después que los visitantes salían a menudo convencidos de haber presenciado una reunión de locos.
Weil explicó aquel desorden: la falta de organización se cultivaba a propósito. Creían que, si se repartían demasiado pronto los territorios de cada cual y se instauraban una presidencia y procedimientos de votación, el resultado degeneraría en el típico documento de comité.
Tampoco se trataba de que un experto redactara y los demás corrigieran las erratas. El primer borrador solía encargarse a quien conocía bien la materia; el segundo y el tercero podían pasar perfectamente a otras manos. No era raro que un capítulo superase las seis versiones. Un texto rehecho de arriba abajo según las indicaciones del congreso anterior podía ser rechazado en el siguiente. Incluso podían decidir volver a una versión más antigua.
Borel dejó constancia de lo sucedido con el capítulo sobre sistemas de raíces. El primer borrador tenía unas setenta páginas. El siguiente llegó a ciento treinta. Alguien observó que estaba bien escrito, pero que Bourbaki estaba dedicando demasiado esfuerzo a un asunto tan pequeño. El capítulo que finalmente se imprimió tenía doscientas ochenta y ocho páginas.
La regla decisiva era esta: para publicar no se votaba. En la práctica, cada miembro tenía derecho de veto. El texto definitivo requería unanimidad.
De aquella regla salió una cantidad asombrosa de páginas descartadas. Semanas o meses de escritura podían recibir sentencia de muerte después de leer unas pocas páginas en el congreso. Otros manuscritos no eran condenados: iban a lo que ellos llamaban la nevera y nunca volvían a salir. Borel citó un caso extremo. Weil escribió más de doscientas sesenta páginas de un proyecto sobre variedades y grupos de Lie. Godement añadió después unas ciento cincuenta. Al final, Bourbaki no publicó una sola palabra siguiendo aquel proyecto.
Más de cuatrocientas páginas de trabajo no llegaron a convertirse en una sola página impresa.
Si en medio de la disputa brotaba de pronto una idea que por fin los satisfacía, tenían una expresión propia para decirlo: «Ha soplado el espíritu».
5. La misma forma
Toda la fisonomía posterior de la obra nació de la tercera decisión de Besse: con la clasificación de siempre no se podía escribir.
La división tradicional seguía los objetos: por un lado los números, por otro las figuras, por otro las funciones. Ellos decidieron seguir las formas.
Basta con un ejemplo muy visible. Pongamos juntas tres cosas: la suma de números enteros, las rotaciones del plano alrededor de un punto y las formas de barajar un mazo de cartas. Sus materiales no tienen nada que ver, pero las tres comparten un esqueleto: dos elementos cualesquiera pueden componerse y dar otro del mismo tipo; cambiar la manera de agrupar las composiciones no cambia el resultado; hay un elemento que no hace nada, y cada uno tiene otro capaz de deshacer su efecto. Lo que se demuestre utilizando solo ese esqueleto será válido para las tres cosas a la vez, y también para cualquier otra que aparezca en el futuro con el mismo esqueleto. Las permutaciones que manejaba Galois en el episodio 10 eran un ejemplo temprano, cuando aquel armazón todavía no tenía nombre abstracto.
Bourbaki llamaba estructura a un esqueleto de esa clase. Escogieron unos tipos básicos: uno regía las operaciones; otro, el orden; otro, la proximidad y los límites. Entre ellos los llamaban estructuras madre. El lugar que ocuparía una materia ya no dependía de si trataba de números o de figuras, sino de qué esqueletos empleaba y de cómo se superponían.
Aquí conviene distinguir dos cosas. En el primer volumen sí dieron una definición formal de estructura y construyeron un marco general a partir de conjuntos y relaciones. Los estudios del historiador de las matemáticas Leo Corry muestran que aquella teoría formal de estructuras tuvo mucha menos importancia en la investigación efectiva que la mirada estructuralista entendida en sentido amplio. Se trata de la valoración que hace Corry de su influencia, no de una conclusión estadística que excluya toda excepción. Lo que realmente se transmitió fue esa otra manera de mirar: atender a los esqueletos y a los isomorfismos en vez de atenerse a las antiguas ramas. Cuando Cartan habló más tarde de la obra, se refería también a ese plano.
En 1948 apareció, dentro de una recopilación francesa sobre las corrientes del pensamiento matemático, un artículo titulado «La arquitectura de las matemáticas». Lo firmaba Bourbaki; lo más probable es que lo escribiera Dieudonné. Su traducción inglesa se publicó en 1950 en una revista mensual estadounidense de matemáticas. Fue una de las pocas ocasiones en que el colectivo explicó al exterior lo que hacía: las matemáticas no son un montón de ramas inconexas; por debajo tienen esqueletos comunes, y el método axiomático permite aislarlos. El artículo ponía uno junto a otro tres ejemplos de aritmética y geometría y mostraba que compartían un mismo esqueleto, exactamente el procedimiento que acabamos de seguir con nuestras tres cosas. Un hombre escribía bajo el nombre de otro que no existía para explicar cómo una disciplina podía organizarse sin repartirla por personas y por ramas.
Así, Bourbaki legó una manera de ordenar, no un dispositivo técnico.
6. Instrucciones de uso
Las seis primeras partes quedaron dispuestas en una línea rigurosa: teoría de conjuntos, álgebra, topología general, funciones de variable real, espacios vectoriales topológicos e integración. Cuando hacía falta un resultado, solo se podía remitir a uno ya presentado antes en la misma parte o en alguna de las que la precedían en esa línea. Por principio, el cuerpo del texto no citaba bibliografía externa. La historia era expulsada a las notas históricas del final de cada capítulo y quedaba encerrada allí, aparte.
Aquella línea tenía un precio. Todo lo necesario debía aparecer antes de ser utilizado, de modo que un libro esperaba a otro y un capítulo esperaba a otro. La teoría de conjuntos, situada en cabeza, solo había publicado sus resultados en 1939. Sus dos primeros capítulos con demostraciones no llegaron hasta 1954: quince años de espera. Entretanto, el álgebra y la topología, colocadas detrás, ya habían salido en varios fascículos.
También el ritmo de cada sección estaba fijado: definiciones, proposiciones y teoremas generales, demostraciones, corolarios y casos más particulares, ejercicios. Se avanzaba de lo general a lo particular. No se empezaba con un problema para pasar a los ejemplos, las conjeturas, los intentos y los errores hasta llegar por fin al teorema. Borel lo explicó más tarde con precisión: era una obra dogmática. Su propósito era ofrecer a la investigación un terreno ya despejado, sin representar de nuevo el proceso del descubrimiento.
Eso no quiere decir que se olvidaran del lector. Cada volumen comenzaba con unas «Instrucciones de uso». La primera frase anunciaba que la obra partía del comienzo de las matemáticas y daba demostraciones completas. Después aclaraba que, en principio, no se exigían conocimientos matemáticos previos, salvo cierta familiaridad con el razonamiento matemático y cierta capacidad de abstracción. El requisito no era lo que el lector hubiera estudiado, sino lo que fuera capaz de abstraer. En los márgenes aparecía además un símbolo tomado de las carreteras francesas: la señal de curva peligrosa. Advertía de un posible malentendido o de una dificultad técnica. Más tarde, quienes trabajaban en composición tipográfica difundieron el símbolo. Todavía hoy hay quien lo llama la curva peligrosa de Bourbaki.
Pero pensaban en otra clase de lector. No intentaban que el principiante se sintiera acogido, sino que quien fuera a utilizar aquellos libros durante años supiera orientarse en una construcción enorme, cruzada de referencias por todas partes: dónde estaba, dónde había peligro, de qué parte de la obra procedía el suelo que pisaba.
Todo estaba numerado. Para utilizar un resultado anterior se indicaba su número, no un artículo de tal persona publicado en tal año. En un libro corriente de matemáticas, buena parte de los nombres propios se acumula en la bibliografía. En el cuerpo de esta obra no había tal apartado. Al abrir un capítulo, lo primero eran las definiciones. Para saber de dónde venían había que llegar a las notas históricas del final. Solo allí aparecían los nombres de aquellos hombres del siglo XIX.
Los dibujos geométricos eran escasísimos. Las explicaciones heurísticas que ayudaban a imaginar algo tampoco solían sobrevivir a los congresos. Borel lo había visto: una explicación entraba en el borrador, alguien denunciaba su vaguedad durante la lectura línea por línea y, como no se conseguía volverla rigurosa en dos o tres frases, se eliminaba. El colectivo llegó incluso a tachar de demasiado abstracto un texto del propio Dieudonné.
Por tanto, aquella apariencia de no contener intuición era, al menos en parte, el producto de un filtro editorial. No significaba que quienes escribían carecieran de ella.
A estas alturas podemos decir algo con claridad. Esta serie se vuelve más difícil de leer a medida que avanza, sobre todo después del episodio 14. No es que escaseen los materiales: del siglo XX hay muchas más personas y muchos más papeles que del XIX. Es la propia disciplina la que ha cambiado de forma. Las definiciones van al principio; su procedencia, al final; los ejemplos se retiran a los ejercicios, y las personas no aparecen. También se vuelve difícil contarla, porque una de las formas dominantes de exponer la matemática moderna pone por delante definiciones y argumentos y desplaza fuera del cuerpo del texto el proceso humano del descubrimiento. La obra de Bourbaki llevó esa dirección hasta sus últimas consecuencias.
7. Todos sabían quiénes eran
A menudo se llama a Bourbaki una sociedad secreta. La expresión no acaba de acertar.
Lo que no se hacía público era la lista de miembros en activo, no quiénes eran. Cuando Borel llegó a París en 1949, tardó muy poco en enterarse de qué matemáticos, jóvenes y veteranos, pertenecían al círculo. Poco después recibió una invitación al congreso. Un joven dedicado a las matemáticas en París no tenía que jugar a los detectives.
La Sociedad Matemática Americana recibió una solicitud de Bourbaki para ingresar como socio individual. Quien respondió sabía que se trataba de un colectivo y les pidió que solicitaran la admisión como institución. En otra ocasión, Boas explicó en una enciclopedia que Nicolas Bourbaki era el seudónimo colectivo de un grupo de jóvenes matemáticos franceses. Bourbaki hizo correr entonces la noticia de que probablemente el verdadero seudónimo colectivo fuera Boas, y que detrás de él se escondiera la redacción de Mathematical Reviews.
Era un juego para sostener un personaje ficticio, no un ocultamiento logrado.
Lo que desaparecía de verdad estaba en otro plano: quién había escrito primero tal párrafo, quién se había empeñado en tal definición, quién había perdido una discusión, de quién eran las cuatrocientas páginas enviadas a la nevera. De todo eso, el libro no dejaba rastro.
El caso más claro es Dieudonné. Durante veinticinco años recayó sobre él una gran parte del trabajo de redactar versiones finales, preparar ejercicios y mandar los textos a imprenta. Borel calculaba que su producción quizá superaba la de otros dos o tres miembros juntos. Por las mañanas tocaba un rato el piano y luego escribía unas páginas para Bourbaki. En septiembre de 1940, con la guerra ya en marcha, expuso en el número 3 del boletín interno La Tribu un plan general de veintisiete partes. Buena parte de la voz uniforme de toda la obra era creación suya. Pero esa no era la voz de sus propios escritos: había adoptado expresamente una voz de Bourbaki.
Su nombre no figuraba en los libros. En los libros solo estaba Nicolas Bourbaki.
A partir de 1948, el Seminario Bourbaki comenzó a reunirse con regularidad: tres veces al año, seis conferencias en cada ocasión. Allí se exponían trabajos recientes de otros matemáticos; entre los conferenciantes había miembros del grupo y personas ajenas a él. Las conferencias se publicaban con el nombre de quien las había pronunciado. Un mismo colectivo editaba, por un lado, una obra sin autores y sostenía, por otro, una tribuna en la que todos firmaban.
Tampoco era el único seudónimo colectivo. Más o menos por entonces, varias personas publicaban trabajos conjuntos en Gran Bretaña bajo el nombre de Blanche Descartes. En 1952 apareció en Estados Unidos un tal John Rainwater: distintas personas utilizaron su nombre durante muchos años y acabaron publicando con él auténticos resultados matemáticos. La singularidad de Bourbaki no consistía en ser el único, sino en reunir cuatro cosas: una duración extraordinaria, matemáticos extraordinariamente fuertes, una enorme producción editorial y una autoridad casi institucional adquirida por aquel autor ficticio.
Con el tiempo se contó que la regla de retirarse a los cincuenta años se había aplicado con mano de hierro desde el primer día. La realidad fue bastante más laxa. El principio se formuló pronto, pero cuando los primeros miembros empezaron a alcanzar esa edad, hacia 1953, durante un tiempo nadie se ocupó seriamente del asunto. Solo después de que Weil anunciara por carta su retirada voluntaria en 1956 se convirtió en una costumbre estable. No pretendía proteger al grupo de la edad, sino impedir que los fundadores se perpetuaran en sus puestos: las nuevas matemáticas debían entrar con gente nueva.
En 1952, el colectivo adquirió personalidad jurídica como Asociación de Colaboradores de Nicolas Bourbaki, para gestionar contratos, derechos de autor y la continuidad de las publicaciones. Los miembros vivían de los sueldos de sus universidades o centros de investigación. Los ingresos de los libros sostenían las ediciones y al propio colectivo; no eran el salario de nadie.
El archivo se conservó con gran detalle. Hay borradores y contrapropuestas, anotaciones posteriores a las reuniones, repartos de tareas y las crónicas internas de los congresos, La Tribu, con sus bromas, poemas y apodos. Más tarde, Beaulieu utilizó ese material en su tesis doctoral para reconstruir, una por una, las diez reuniones preparatorias de 1934 y 1935. La asociación confió después una cantidad considerable de documentos a un proyecto de digitalización de historia de las matemáticas. Hoy pueden recorrerse en internet, página a página.
Esos papeles marcan hasta dónde puede decirse que el autor desaparece.
8. Lo que sale por el otro extremo
Cuando los miembros hacían sus propias matemáticas, no trabajaban como en aquellos libros.
Borel lo dijo sin rodeos: investigar y escribir la obra eran dos actividades casi separadas. Entre sesiones y fuera de las reuniones formales, hablaban de los problemas concretos que tenían entre manos y de sus resultados más recientes. Deligne recordó más tarde cómo lo habían introducido, siendo muy joven, en la geometría algebraica: su maestro dibujó una curva cúbica, trazó una recta que pasaba por dos puntos de ella y le dijo que aquello era una geometría hermosa.
Tampoco conviene irse al extremo contrario. Borel encontraba a menudo en los artículos del propio Cartan una manera de avanzar muy bourbakista: un lema enlazaba naturalmente con otro hasta que, de pronto, caía el gran teorema final. Serre bromeaba diciendo que aquello se aprendía a fuerza de pasar años en Bourbaki. La forma de presentar los libros y la práctica personal no eran lo mismo, pero tampoco eran mundos sin contacto.
Dieudonné dejó el contraste más nítido. Su nombre no aparecía en la obra colectiva, pero sí en los artículos donde explicaba al público lo que hacía Bourbaki: uno en 1970 y otro en 1982. Desde 1960 escribió además, con su propia firma, otra obra en varios volúmenes, Elementos de análisis. La terminó en 1982, con nueve volúmenes. Quien había escrito veinticinco años sin firmar acabó construyendo sus propios Elementos. En 1987 publicó, también con su nombre, un libro sobre las matemáticas de su tiempo para lectores que las hubieran estudiado en la secundaria y conservaran algo de interés por ellas. Se titulaba En honor del espíritu humano.
Las críticas que recibió la obra pueden distinguirse en varios tipos. En una reseña del volumen de Álgebra, en 1953, Artin dejó una de las frases más citadas: venía a decir que el libro era abstracto, y despiadadamente abstracto. A menudo se corta ahí. La continuación decía que el lector capaz de superar las dificultades iniciales obtendría a cambio una comprensión más profunda. Ese mismo año, Halmos reseñó Integración y objetó que organizaban la teoría de la integración demasiado en torno a los espacios localmente compactos, de un modo que no respondía a las necesidades reales de la probabilidad. Aquella crítica tuvo consecuencias: Integración incorporó un capítulo más. Otra objeción era la distancia respecto de las aplicaciones. El lugar de la probabilidad, las ecuaciones en derivadas parciales, la lógica y la combinatoria en aquellos libros no correspondía al peso que tenían en la investigación de la época. Era una elección, no un descuido.
La relación que más se ha exagerado es la de Bourbaki con la matemática moderna en la enseñanza, la llamada New Math. Dieudonné fue, en efecto, uno de los defensores públicos más vehementes de una enseñanza de las matemáticas basada en estructuras en la posguerra. Él fue quien gritó «¡Abajo Euclides!» en un encuentro sobre educación en 1959. Pero de ahí no se sigue que la New Math fuera una campaña para primaria y secundaria emprendida por Bourbaki: las reformas de cada país tuvieron sus propios orígenes y aparatos administrativos; el colectivo nunca publicó un programa de estudios escolares, y sus libros jamás estuvieron destinados a los niños. El propio Borel recalcó, además, que la exposición dogmática de la obra no era un plano del proceso de investigación.
A partir de los años cincuenta, el colectivo también empezó a tropezar con sus propias dificultades. Los cimientos de las seis primeras partes estaban casi puestos, pero las matemáticas habían cambiado. Si se mantenía el orden lineal estricto, los nuevos temas quedaban aplazados una y otra vez. Exigir que todos se interesaran por todo tampoco se sostenía en una disciplina cada vez más especializada. Grothendieck pedía levantar primero fundamentos más profundos de álgebra homológica y teoría de categorías. Entregó montones de borradores, pero estos no se aceptaron sin más, y aquellos grandes proyectos seguían sin cerrarse durante años. A comienzos de la década de 1980, la obra ya ocupaba decenas de fascículos y miles de páginas. El análisis que habían querido escribir al principio seguía sin terminar.
Desde los años cincuenta hay dos maneras de calcular la magnitud de su influencia. En 1952, Hurewicz venía a decir que los resultados a la vista no tenían por qué atribuirse a Bourbaki: sus miembros ya eran matemáticos de primera fila por derecho propio. El mismo Borel admitía que la gran transformación de las matemáticas francesas de posguerra no podía apuntarse entera en la cuenta del colectivo; Leray, Thom y otras líneas de trabajo tenían sus propios orígenes. Pero también dejó registrada otra cosa: Weyl, que había criticado antes la obra, declaró en 1952 que retiraba todo lo que había dicho. Si se cuentan los teoremas y a quién pertenecen, es fácil sobrevalorar a Bourbaki. Si se atiende al lenguaje, a la formación y a las formas de exposición, es igual de fácil quedarse corto. Ya mayor, Borel dejó una valoración contenida: que un grupo de matemáticos de caracteres distintos colaborase durante tantos años de manera desinteresada y hacia un objetivo común era, probablemente, una experiencia única en la historia de las matemáticas.
Lo que construyeron fue una máquina. Por un extremo entraban borradores personales, temperamentos, discusiones e intuiciones. Por el otro no salía un texto de compromiso entre nueve hombres, sino un libro que parecía haber tenido siempre un solo autor. Ese autor no existe. Pero las reglas que le daban apariencia de existencia, el trabajo y la red de relaciones que lo sostenían resultan más fáciles de rastrear en los archivos que la mayoría de los autores de carne y hueso.
El orden que parece haber estado siempre ahí se hizo corrigiendo un borrador tras otro.
En 1976 se presentó la demostración de un teorema que contenía mil doscientas horas de cálculos de máquina. Nadie podía comprobarla entera a mano.
Seguimos haciendo cuentas con los números. Qué cuenta como matemáticas sigue siendo una cuenta pendiente.
Fuentes históricas y lecturas complementarias
Las siguientes fuentes respaldan los detalles históricos y las discrepancias de interpretación del texto. Los registros de catálogo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de prueba.