L’auteur disparaît

1. Un mathématicien qui n’existe pas

À l’École normale supérieure de Paris, une tradition veut qu’un élève se fasse passer pour une sommité venue d’ailleurs et donne aux nouveaux une leçon du plus grand sérieux. Le jeu consiste à voir qui comprendra le premier que quelque chose cloche. Vers 1923, un élève nommé Raoul Husson se colle une barbe et prend les traits d’un professeur étranger pour faire une conférence aux promotions plus jeunes. Avec un accent outré, il énonce des théorèmes qui ont toutes les apparences du vrai, mais deviennent de plus en plus absurdes. Chacun est attribué à un mathématicien dont personne n’a jamais entendu parler. Le dernier dépasse tous les autres. Husson l’appelle le théorème de Bourbaki.

Parmi les élèves de cette promotion assis dans la salle, il y a un certain André Weil.

C’est dans ses souvenirs publiés en 1992 que Weil raconte la scène, près de soixante-dix ans après cet après-midi-là. Husson, lui, ne fera pas carrière en mathématiques : il étudiera la production de la voix humaine. Le nom qu’il a emprunté n’a pourtant rien d’inventé. Charles Denis Bourbaki est un véritable général français, né en 1816. Il a combattu en Crimée, puis en Italie. Pendant la guerre contre la Prusse, en 1870, il commande l’armée de l’Est, qui finira par entrer en Suisse et y être désarmée sous les ordres de son successeur, Clinchant. Pour une oreille française, ce nom charrie toute une histoire militaire, et elle ne manque pas de péripéties.

On entend souvent dire qu’« ils ont inventé un général Bourbaki qui n’existait pas ». C’est confondre deux hommes. Celui qui n’existe pas, c’est le mathématicien Nicolas Bourbaki. Le général, lui, a bel et bien existé.

Le nom reparaît sous presse en 1931, en Inde cette fois. Depuis 1930, Weil enseigne les mathématiques dans une université d’Aligarh. L’année suivante, il y fait venir comme enseignant un jeune homme nommé Kosambi. Cette même année, une revue savante d’Agra publie un article de Kosambi dont le titre annonce une généralisation du deuxième théorème de Bourbaki. C’est par cet article que le nom entre pour la première fois dans la littérature mathématique. Weil expliquera que l’idée venait de lui : attribuer certains résultats à un mathématicien russe peu connu, Bourbaki, mort empoisonné pendant la Révolution. La plaisanterie visait un collègue plus âgé, fort imbu de lui-même.

Bourbaki n’est encore qu’une plaisanterie. Il faut attendre 1935 pour que la plaisanterie devienne un auteur.

2. Un déjeuner

Strasbourg, 1934. Henri Cartan et André Weil enseignent tous deux à l’université, le premier depuis 1931, le second depuis 1933. Tous deux doivent faire cours de calcul différentiel et intégral, et d’analyse. Tous deux utilisent le cours d’analyse de Goursat, qui fait alors référence. Aucun des deux n’en est satisfait.

Cartan revient sans cesse voir Weil avec la même sorte de question : ce passage-là, comment le présentes-tu ? À force, Weil avance une idée. Ils ont cinq ou six amis dispersés dans les universités qui donnent des cours semblables. Pourquoi ne pas se réunir et refaire le manuel ?

Le lundi 10 décembre 1934, à midi, six hommes prennent leur premier déjeuner officiel de préparation au café Capoulade, boulevard Saint-Michel, dans le Quartier latin : Cartan, Chevalley, Delsarte, Dieudonné, de Possel et Weil. Le café a disparu depuis. Les six convives se baptisent Comité du traité d’analyse.

Leur programme paraît aujourd’hui presque naïf : un manuel d’analyse moderne d’environ mille pages, achevé en quelque six mois, et une table des matières arrêtée avant l’été 1935. Dès ce premier déjeuner, ils posent aussi une règle. Sur les questions importantes, on ne votera pas. Il faudra l’accord de tous.

Durant ce semestre, ils se retrouvent encore une dizaine de fois à Paris. À la deuxième réunion, ils décident de porter le comité à neuf membres ; il y aura ensuite des départs et des arrivées. Ils constituent aussi des petits groupes, de trois personnes environ, chargés d’examiner chacun un domaine : algèbre, intégration, équations différentielles, formes différentielles, calcul des variations, fonctions spéciales, géométrie, séries de Fourier. Une règle singulière préside à cette répartition : dans chaque groupe, on place délibérément quelqu’un qui n’est pas spécialiste du domaine.

La suite, nous l’avons déjà rencontrée plusieurs fois dans cette série. Pour expliquer clairement une chose, il faut d’abord éclaircir ce qui la soutient. Écrire l’analyse suppose de s’entendre sur ce qui fonde la limite et la continuité ; cela suppose, à son tour, de fixer l’usage de la topologie et des ensembles en général. À la fin de l’épisode 15, nous avons vu que, dans les années 1930, les débats techniques de la théorie des ensembles s’étaient stabilisés. Elle était devenue l’outil quotidien de la topologie et de la théorie des fonctions d’une variable réelle, tandis que la controverse philosophique suivait désormais sa propre voie. C’est à ce moment précis que ces hommes se mettent à l’ouvrage. Ils ne veulent pas rouvrir la guerre des fondements. Ils veulent partir des ensembles et disposer, une à une et dans l’ordre, toutes les choses dont ils auront ensuite besoin.

Le projet de manuel a ainsi reculé, de proche en proche, jusqu’aux fondations.

3. Une semaine à Besse

Du 10 au 17 juillet 1935, à Besse-en-Chandesse, dans les montagnes d’Auvergne, se tient le premier congrès officiel de Bourbaki.

L’association donne aujourd’hui neuf noms de fondateurs : Cartan, Chevalley, Coulomb, Delsarte, Dieudonné, Ehresmann, de Possel, Mandelbrojt et Weil. Cet été-là, Chevalley, le plus jeune, a vingt-six ans ; Mandelbrojt, le plus âgé, trente-six. Les autres ont entre vingt-neuf et trente et un ans. Cartan travaille en analyse et en topologie ; il est le fils du grand mathématicien Élie Cartan. Weil fait de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique. Coulomb s’occupe de physique mathématique et de géophysique. Dieudonné, qui a vingt-neuf ans, travaille en analyse et en algèbre. Pendant les vingt-cinq années à venir, la majeure partie des versions définitives du traité passera entre ses mains.

Neuf hommes autour de la trentaine entreprenant de refaire les manuels d’une discipline entière : à une autre époque, cela aurait paru présomptueux. La France de 1935 est dans une situation particulière. La guerre précédente a fauché une génération. Selon la manière de compter, entre un quart et la moitié des élèves mathématiciens de l’École normale supérieure sont morts au front. Au-dessus de ces jeunes gens, il manque une bonne partie de ceux qui devraient avoir une quarantaine d’années et être leurs maîtres, leurs autorités, leurs rapporteurs. Ils ont devant eux de vieux manuels, des postes d’enseignement éparpillés et un programme qui, à leurs yeux, n’a suivi ni les Allemands ni les avancées de l’algèbre et de la topologie modernes.

Bourbaki n’est donc pas, à l’origine, une école. Une école, c’est un maître entouré d’élèves. Ici, des hommes de la même génération s’organisent entre pairs, sans maître ni président. Les règles qui viendront ensuite, le veto de chacun, le départ à cinquante ans, l’absence de signatures individuelles, procèdent toutes de cette forme première.

Trois choses se décident véritablement durant cette semaine. Le comité provisoire chargé d’un manuel devient un collectif fait pour durer. Le personnage de Nicolas Bourbaki prend corps à cette époque. Et les participants acceptent une conclusion : en gardant l’ancien découpage, un volume d’algèbre, un de calcul différentiel et intégral, un de géométrie, ils n’arriveront pas à écrire leur traité.

Toujours en 1935, Élie Cartan, le père d’Henri, reçoit une lettre lui présentant un mathématicien nommé Nicolas Bourbaki. L’académicien soumet un manuscrit de ce dernier aux Comptes rendus de l’Académie des sciences, où il paraît. Qui lui a donné son prénom ? La version la plus répandue veut qu’Éveline, alors épouse de René de Possel, ait baptisé Nicolas le personnage imaginaire. Ce détail repose sur des témoignages oraux recueillis plus tard. Son assise est moins solide que celle de l’histoire du patronyme.

Le titre ne sera fixé qu’en 1938 : Éléments de mathématique. Le mot « Éléments » renoue, à deux mille deux cents ans de distance, avec le livre d’Euclide rencontré dans l’épisode 3. Là où l’usage français dit « les mathématiques », ils choisissent le singulier : cette science forme un tout. Le premier fascicule paraît en 1939. C’est un fascicule de résultats de théorie des ensembles, des énoncés sans démonstrations. Pour les deux premiers chapitres de théorie des ensembles avec leurs démonstrations, il faudra attendre 1954.

4. Des réunions sans président

Les congrès ont lieu trois fois par an : deux d’une semaine, un d’environ deux semaines. Trois séances par jour, quelque sept heures au total. Les affrontements sont fréquents, l’atmosphère parfois tendue.

Personne ne préside. On lit un manuscrit à voix haute, ligne après ligne. Chacun peut interrompre à tout moment, contester un mot, réclamer une démonstration ou demander que tout un passage soit réécrit. En 1949, le jeune mathématicien suisse Armand Borel vient assister pour la première fois à ces séances. Il entend deux ou trois monologues lancés à pleine voix se croiser dans la pièce. Dieudonné dira plus tard que les visiteurs, en ressortant, avaient souvent l’impression d’avoir vu une bande de fous.

Weil a expliqué ce désordre : l’absence d’organisation était entretenue à dessein. À leurs yeux, délimiter trop tôt le territoire de chacun, installer un président et des procédures de vote aurait ramené le résultat au rang d’un ordinaire rapport de commission.

Le travail sur les textes ne consiste pas davantage à laisser l’expert rédiger et les autres corriger. La première version revient généralement à quelqu’un qui connaît bien le sujet. Rien n’oblige à confier la deuxième ou la troisième à la même personne. Six versions d’un chapitre, voire davantage, n’ont rien d’exceptionnel. Un manuscrit entièrement refait selon les remarques du congrès précédent peut encore être rejeté au suivant. On peut même décider de revenir à une version plus ancienne.

Borel a raconté l’histoire du chapitre sur les systèmes de racines. D’abord, un projet d’environ soixante-dix pages. La version suivante en compte cent trente. Quelqu’un observe que c’est très bien, mais que Bourbaki consacre décidément trop d’efforts à un si petit sujet. Le chapitre imprimé fera deux cent quatre-vingt-huit pages.

La règle essentielle reste celle-ci : on ne vote pas pour publier. Chacun dispose, dans les faits, d’un droit de veto. Le texte définitif exige l’unanimité.

Cette règle produit une quantité stupéfiante de manuscrits sacrifiés. Des semaines, parfois des mois d’écriture : le congrès en lit quelques pages et prononce la condamnation. D’autres textes ne sont pas condamnés. On les met dans ce qu’ils appellent le réfrigérateur, d’où ils ne ressortiront plus. Borel en donne un exemple extrême. Weil rédige plus de deux cent soixante pages sur les variétés et les groupes de Lie. Godement en ajoute ensuite environ cent cinquante. Bourbaki ne publiera finalement pas un mot selon ce projet.

Plus de quatre cents pages de travail, sans une seule page imprimée à l’arrivée.

Si, au milieu d’une dispute, surgit soudain une idée qui les satisfait, une formule circule entre eux : « L’Esprit a soufflé. »

5. Une même ossature

Des trois décisions prises à Besse, la troisième, l’impossibilité de conserver les anciennes divisions, commande tout ce que le traité deviendra.

L’ancien classement suivait les objets : les nombres d’un côté, les figures d’un autre, les fonctions d’un troisième. Eux vont classer d’après l’ossature.

Prenons l’exemple le plus facile à voir. Mettons côte à côte l’addition des entiers, les rotations du plan autour d’un point et les façons de mélanger un jeu de cartes. Rien de commun dans leur matière, mais une même ossature : deux éléments peuvent toujours se composer en un troisième ; changer le regroupement des compositions, sans changer l’ordre des éléments, ne change pas le résultat ; il existe un élément qui ne fait rien ; et chacun possède un inverse qui annule son effet. Tout ce qu’on démontre à partir de cette seule ossature vaut pour les trois à la fois. Cela vaudra aussi pour toute autre chose qui, plus tard, se révélera construite de la même manière. Les permutations maniées par Galois dans l’épisode 10 en étaient un exemple précoce. L’ossature n’avait pas encore de nom abstrait.

Bourbaki appelle ces ossatures des structures. Le collectif en retient quelques-unes de fondamentales : l’une régit les opérations, une autre l’ordre, une autre encore la proximité et les limites. Ils les appellent les structures mères. Pour décider où placer un sujet, on ne demande plus s’il parle de nombres ou de figures. On cherche quelles structures il emploie, et comment il les superpose.

Il faut ici séparer deux choses. Dans le premier livre, Bourbaki a bien donné une définition formelle de la structure et bâti, avec des ensembles et des relations, un cadre général. Les travaux de l’historien des mathématiques Leo Corry montrent que cette théorie formelle des structures a beaucoup moins compté dans la recherche effective que le regard structuraliste au sens large. C’est le jugement de Corry sur son influence, pas un bilan statistique qui n’admettrait aucune exception. Ce qui s’est vraiment transmis se situe à cet autre niveau : regarder les mathématiques à travers leurs ossatures et leurs isomorphismes plutôt qu’à travers leurs anciennes divisions. Quand Cartan parlera lui-même du traité, c’est aussi sur ce terrain qu’il se placera.

En 1948, un recueil français consacré aux courants de la pensée mathématique accueille un article, L’Architecture des mathématiques, signé Bourbaki et rédigé, selon toute vraisemblance, par Dieudonné. Sa traduction anglaise paraît en 1950 dans un mensuel mathématique américain. C’est l’une des rares occasions où le collectif explique au dehors ce qu’il entreprend : les mathématiques ne sont pas une collection de branches sans rapport ; sous ces branches se retrouvent des ossatures communes, que la méthode axiomatique permet de dégager. L’article rapproche trois exemples venus de l’arithmétique et de la géométrie et fait apparaître la même ossature, exactement comme nous venons de le faire avec nos trois objets. Un homme écrit, un homme inexistant signe, et le texte explique comment une science peut s’ordonner autrement que par noms d’hommes et par spécialités.

Ce que Bourbaki a légué n’est donc pas un dispositif technique. C’est une manière de mettre en ordre.

6. Mode d’emploi

Les six premiers livres se suivent dans un ordre strictement linéaire : Théorie des ensembles, Algèbre, Topologie générale, Fonctions d’une variable réelle, Espaces vectoriels topologiques, Intégration. Si un passage a besoin d’un résultat, il ne peut renvoyer qu’à une partie antérieure du même livre ou à un livre placé plus tôt dans cette ligne. Le corps du texte ne cite en principe aucune littérature extérieure. L’histoire est chassée dans les notes historiques à la fin de chaque chapitre, et enfermée à part.

Cette ligne droite a son prix. Tout ce dont on aura besoin doit d’abord figurer en amont. Un livre attend donc un autre livre, un chapitre attend un autre chapitre. La théorie des ensembles, placée tout au début, ne donne en 1939 que ses résultats ; les deux premiers chapitres avec démonstrations n’arrivent qu’en 1954. Quinze ans d’intervalle, durant lesquels l’algèbre et la topologie, pourtant situées après elle, ont déjà livré plusieurs fascicules.

À l’intérieur d’une section, le rythme est fixé lui aussi : définitions, propositions et théorèmes généraux, démonstrations, corollaires et cas plus particuliers, exercices. On va du général au particulier. On ne part pas d’un problème, d’exemples, de conjectures et de tâtonnements pour aboutir au théorème. Borel le dira avec justesse : c’est un ouvrage dogmatique. Il veut offrir à la recherche un terrain déjà déblayé, pas rejouer le cheminement de la découverte.

Le lecteur n’est pas pour autant oublié. Chaque volume s’ouvre sur un Mode d’emploi de ce traité. La première phrase annonce que le traité reprend les mathématiques depuis le commencement, avec des démonstrations complètes. Puis vient cette précision : en principe, aucune connaissance mathématique n’est requise, seulement une certaine familiarité avec le raisonnement mathématique et une certaine capacité d’abstraction. Ce qu’un livre exige ainsi de son lecteur, ce n’est pas un acquis scolaire : c’est la faculté d’abstraire. Dans les marges figure aussi un signe emprunté au panneau routier français du « virage dangereux ». Il avertit d’un risque de contresens ou d’une difficulté technique. Les typographes l’ont ensuite fait circuler. Aujourd’hui encore, on parle du virage dangereux de Bourbaki.

Mais c’est un autre lecteur que le traité accompagne. Il ne cherche pas à mettre le débutant à l’aise. Il aide celui qui le fréquente des années durant à se repérer dans un immense édifice de renvois, à savoir où il se trouve, où est le danger et de quel livre vient le sol sur lequel il pose le pied.

Chaque énoncé porte un numéro. Pour invoquer un résultat antérieur, on donne ce numéro, pas le nom d’un auteur suivi de l’année d’un article. Dans un ouvrage mathématique ordinaire, les noms de personnes abondent dans les références bibliographiques. Cette rubrique est absente du corps du traité. Ouvrez un chapitre : vous trouvez d’abord des définitions. Pour savoir d’où elles viennent, il faut aller aux notes historiques finales. C’est là seulement que réapparaissent les hommes du XIXe siècle.

Les figures géométriques sont très rares. Quant aux explications heuristiques qui aident à se représenter les choses, elles survivent souvent mal aux congrès. Borel l’a vu de ses yeux : une remarque entre dans un manuscrit ; à la lecture ligne par ligne, quelqu’un en relève le flou ; impossible de la rendre rigoureuse en deux ou trois phrases, on la supprime. Même des textes de Dieudonné se sont attiré ce reproche du collectif : trop abstraits.

Si le livre paraît dépourvu d’intuition, c’est donc, au moins en partie, parce que la rédaction l’a filtrée, pas parce que ceux qui l’écrivaient en manquaient.

Arrivés ici, nous pouvons dire une chose franchement. Cette série devient plus difficile à lire au fil des épisodes, et nettement plus depuis le quatorzième. Ce n’est pas faute de matière : le XXe siècle a laissé bien plus de gens et de papiers que le XIXe. C’est la discipline elle-même qui a changé de forme. Les définitions passent devant, leur histoire derrière ; les exemples se retirent dans les exercices, les personnes disparaissent. Le récit de ces mathématiques devient à son tour difficile parce qu’une manière particulièrement puissante de les exposer a placé définitions et démonstrations au premier plan et rejeté hors du texte principal le chemin humain de la découverte. Le traité de Bourbaki est l’entreprise qui est allée le plus loin dans cette direction.

7. Tout le monde savait

On qualifie souvent Bourbaki de société secrète. Le terme est mal choisi.

Ce qui n’est pas public, c’est la liste des membres en exercice, pas leur identité. Quand Borel arrive à Paris en 1949, il apprend très vite quels mathématiciens, confirmés ou jeunes, appartiennent au cercle. Peu après, il reçoit une invitation au congrès. Un jeune mathématicien parisien n’a pas besoin de jouer au détective.

L’American Mathematical Society reçoit un jour de Bourbaki une demande d’adhésion individuelle. La personne qui répond sait qu’il s’agit d’un collectif et l’invite à présenter plutôt une demande d’adhésion institutionnelle. Une autre fois, Boas explique dans une encyclopédie que Nicolas Bourbaki est le pseudonyme commun d’un groupe de jeunes mathématiciens français. Bourbaki fait alors savoir que Boas est très probablement, lui, le pseudonyme collectif de la rédaction des Mathematical Reviews.

On joue à faire vivre un personnage, on ne réussit pas à se cacher.

Ce qui disparaît véritablement est ailleurs. Qui a écrit le premier ce passage ? Qui a défendu cette définition ? Qui a perdu telle dispute ? Qui a vu ses quatre cents pages partir au réfrigérateur ? De tout cela, le livre ne garde aucune trace.

Dieudonné en est l’exemple le plus net. Pendant vingt-cinq ans, il assume une grande part des versions définitives, des exercices et de la préparation pour l’imprimeur. Borel estime que sa production a peut-être dépassé celle de deux ou trois autres réunis. Le matin, Dieudonné commence par jouer un peu de piano, puis écrit quelques pages pour Bourbaki. En septembre 1940, alors que la guerre a déjà éclaté, il expose dans le troisième numéro du bulletin interne La Tribu un plan général en vingt-sept livres. La voix uniforme du traité lui doit énormément. Ce n’est pourtant pas la voix de ses écrits personnels : il a adopté, pour ce travail, un ton propre à Bourbaki.

Son nom n’est pas sur le livre. Il n’y a que Nicolas Bourbaki.

À partir de 1948, le séminaire Bourbaki se réunit régulièrement : trois sessions par an, six exposés par session. On y présente les travaux récents d’autres mathématiciens. Membres et invités extérieurs prennent la parole. Lorsqu’ils sont publiés, les textes des exposés portent le vrai nom de leur auteur. Un même collectif produit ainsi un traité sans auteurs individuels et fait vivre une tribune où chacun signe.

Bourbaki n’est pas non plus le seul pseudonyme collectif. À peu près à la même époque, en Grande-Bretagne, plusieurs personnes publient des travaux communs sous le nom de Blanche Descartes. En 1952 apparaît aux États-Unis un certain John Rainwater : plusieurs mathématiciens emprunteront durablement ce nom, sous lequel paraîtront par la suite d’authentiques résultats. La singularité de Bourbaki ne tient pas au fait d’être le seul, mais à la réunion de quatre traits : une durée exceptionnelle, des membres d’une force exceptionnelle, une publication d’une ampleur exceptionnelle, et un auteur fictif investi d’une autorité presque institutionnelle.

On a fini par raconter la règle du départ à cinquante ans comme si elle avait été appliquée sans faiblesse dès le premier jour. La réalité est plus souple. Le principe est posé tôt, mais lorsque les premiers membres commencent à atteindre cet âge, vers 1953, personne ne s’en occupe sérieusement pendant un temps. C’est en 1956, quand Weil écrit pour annoncer de lui-même sa retraite, que la règle devient une pratique stable. Elle ne vise d’ailleurs pas l’âge en soi. Elle empêche les fondateurs de garder leur place indéfiniment : les mathématiques nouvelles doivent pouvoir entrer avec les nouveaux venus.

En 1952, le collectif se dote d’une existence juridique : l’Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki. Elle permet de gérer les contrats, les droits d’auteur et la poursuite des publications. Les membres vivent de leur traitement universitaire ou de leur salaire dans un institut de recherche. Les recettes des livres font vivre les publications et le collectif ; elles ne constituent le salaire de personne.

Les archives ont été conservées de façon remarquablement complète. Premières versions, contre-projets, annotations après les réunions, répartition des tâches, comptes rendus internes des congrès dans La Tribu : même les plaisanteries, les poèmes et les surnoms sont restés. Liliane Beaulieu s’est ensuite appuyée sur ces pièces pour sa thèse, reconstituant une par une les dix réunions préparatoires de 1934 et 1935. Plus tard, l’association a confié une part importante de ses archives à un projet de numérisation consacré à l’histoire des mathématiques. On peut aujourd’hui les feuilleter en ligne, page après page.

Ces papiers marquent la limite de la formule : l’auteur disparaît.

8. Ce qui sort à l’autre bout

Quand les membres font leurs propres mathématiques, cela ne ressemble pas au livre.

Borel est très clair : la recherche et la rédaction du traité sont deux activités presque séparées. Entre les séances des congrès, ou en dehors des réunions officielles, ils parlent de leurs problèmes concrets et de leurs tout derniers résultats. Deligne racontera comment, tout jeune, il a été introduit à la géométrie algébrique : son professeur a dessiné une courbe cubique, puis une droite passant par deux de ses points, en lui disant que c’était de la belle géométrie.

Il ne faudrait pas basculer dans l’excès inverse. Borel trouve souvent, dans les articles personnels de Cartan, une progression toute bourbachique : les lemmes s’enchaînent comme naturellement, puis le grand théorème tombe. Serre plaisante : c’est le métier qui rentre, à force de rester chez Bourbaki. La forme des publications et la pratique individuelle ne se confondent pas. Elles ne sont pas non plus sans rapport.

Dieudonné laisse lui-même le contraste le plus net. Son nom ne figure pas sur le traité. Mais les articles par lesquels il explique au public ce que fait Bourbaki, l’un en 1970, l’autre en 1982, portent sa propre signature. Dès 1960, il entreprend aussi sous son nom une autre œuvre en plusieurs volumes, les Éléments d’analyse. Il la poursuivra jusqu’en 1982 : neuf volumes. L’homme qui a écrit vingt-cinq ans sans signer s’est ensuite bâti ses propres Éléments. En 1987, toujours sous son nom, il publie encore un livre sur les mathématiques d’aujourd’hui, destiné à ceux qui en ont étudié au lycée et leur gardent un peu d’intérêt : Pour l’honneur de l’esprit humain.

Les critiques adressées au traité ne sont pas toutes du même ordre. En 1953, rendant compte d’un volume d’Algèbre, Artin écrit une phrase sans cesse reprise : en substance, le livre est abstrait, impitoyablement abstrait. On en coupe souvent la moitié. La suite dit que le lecteur qui surmonte les premières difficultés gagne une compréhension plus profonde. La même année, Halmos, à propos d’Intégration, reproche au traité d’organiser excessivement la théorie autour des espaces localement compacts, au détriment des besoins effectifs des probabilités. Cette critique aura une suite : Intégration s’enrichira d’un chapitre. Autre grief, l’éloignement des applications. Probabilités, équations aux dérivées partielles, logique, combinatoire : la place de ces domaines dans le traité ne correspond pas à leur poids dans la recherche de l’époque. Cela relève d’un choix, pas d’un oubli.

Le lien qu’on a le plus grossi est celui avec les mathématiques modernes à l’école. Dieudonné a bien été, après la guerre, l’un des plus ardents défenseurs publics d’un enseignement fondé sur les structures mathématiques. C’est lui qui lance « À bas Euclide ! » lors d’une rencontre sur l’enseignement en 1959. Mais on ne peut en déduire que les mathématiques modernes furent un mouvement de réforme scolaire lancé par Bourbaki : chaque pays avait ses administrations et ses propres origines de réforme. Le collectif Bourbaki n’a publié aucun programme pour l’enseignement primaire ou secondaire, et son traité n’a jamais été écrit pour des enfants. Borel a d’ailleurs tenu à préciser que l’exposé dogmatique du livre ne fournit pas le plan de marche d’une recherche.

Après les années 1950, le collectif rencontre aussi ses propres difficultés. Les fondations des six premiers livres sont à peu près posées, mais les mathématiques, elles, ont changé. Maintenir un ordre strictement linéaire revient à repousser toujours les nouveaux sujets vers l’aval. Exiger que chacun s’intéresse à tout devient intenable dans une discipline de plus en plus spécialisée. Grothendieck demande que l’on commence par bâtir des fondements plus profonds en algèbre homologique et en théorie des catégories. Il remet des piles de manuscrits, qui sont loin d’être acceptés tels quels ; ces vastes projets restent longtemps sans aboutissement. Au début des années 1980, le traité compte déjà des dizaines de fascicules et des milliers de pages. L’analyse qu’on voulait écrire au départ n’est toujours pas terminée.

Dès les années 1950, il y a deux façons de mesurer l’influence de Bourbaki. En 1952, Hurewicz dit en substance que les résultats admirés n’ont pas à être portés au crédit du collectif : ces hommes étaient déjà d’excellents mathématiciens. Borel reconnaît lui-même que l’immense transformation des mathématiques françaises après la guerre ne peut être tout entière attribuée à Bourbaki. Leray, Thom et plusieurs autres courants ont leur histoire propre. Mais il rapporte aussi que Weyl, qui avait auparavant critiqué le traité, déclare en 1952 retirer tout ce qu’il en avait dit. À compter les théorèmes, on surestime facilement Bourbaki. À considérer le langage, la formation et les normes d’exposition, on risque tout aussi facilement de le sous-estimer. Vers la fin de sa vie, Borel porte un jugement retenu : un groupe de mathématiciens de tempéraments si divers travaillant ensemble, des années durant, avec désintéressement, vers un but commun, voilà sans doute une expérience unique dans l’histoire des mathématiques.

Ils ont construit une machine. À une extrémité entrent des manuscrits individuels, des tempéraments, des querelles, des intuitions. À l’autre ne sort pas un texte de compromis entre neuf personnes, mais un livre qui semble n’avoir jamais eu qu’un seul auteur. Cet auteur n’existe pas. Pourtant, les règles, le travail et le réseau de relations qui lui donnent l’apparence d’exister se laissent voir dans les archives plus aisément que la plupart des auteurs réels.

Cet ordre qui paraît aller de soi a été fabriqué, version après version.

En 1976, la démonstration d’un théorème est présentée. Elle contient mille deux cents heures de calcul sur machine. Personne ne peut la vérifier entièrement à la main.

Les calculs continuent. Quant à savoir ce qui compte comme mathématiques, la question n’a jamais été réglée.

Sources et lectures complémentaires

Les documents suivants éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans cet épisode. Les notices de collections, les textes anciens et les reconstitutions modernes ne constituent pas une seule et même sorte de preuve.

• Armand Borel, souvenirs de vingt-cinq ans chez Bourbaki
• Leo Corry, étude de la théorie des structures de Bourbaki
• Université de St Andrews, Bourbaki avant la guerre
• Documents sur les écrits mathématiques de Kosambi
• Archives du canton de Vaud, l’armée de l’Est en 1871
• Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki