Mathematik · 21 / 25
Der Autor verschwindet
Bourbaki machte aus Streit, Intuition und verworfenen Entwürfen einen Autor, den es nicht gab. Anonym blieb das fertige Werk, nicht die Arbeit, durch die es entstand.
In diesem Essay
1 Ein Mathematiker, den es nicht gibt
An der Pariser École normale supérieure pflegte man einen Brauch: Ein Student gab sich als angereiste Autorität aus und hielt den Neuen eine feierlich ernste Vorlesung. Wer würde zuerst merken, dass etwas nicht stimmte? Um 1923 klebte sich ein Student namens Raoul Husson einen Bart an und trat vor den jüngeren Jahrgängen als ausländischer Professor auf. Mit übertriebenem Akzent trug er einen Lehrsatz nach dem anderen vor. Sie klangen durchaus gelehrt, wurden aber immer absurder. Jeder stammte angeblich von einem Mathematiker, von dem noch niemand gehört hatte. Den unsinnigsten hob er sich für den Schluss auf: den Satz von Bourbaki.
Unter den Studenten im Saal saß André Weil.
Nachlesen lässt sich die Geschichte in Weils Erinnerungen von 1992, fast siebzig Jahre nach jenem Nachmittag. Husson wurde später kein Mathematiker; er erforschte, wie die menschliche Stimme entsteht. Den Nachnamen hatte er allerdings nicht erfunden. Charles Denis Bourbaki war ein wirklicher französischer General, geboren 1816. Er hatte auf der Krim und in Italien gekämpft und führte im Krieg gegen Preußen 1870 die Ostarmee. Diese Truppe überschritt schließlich unter seinem Nachfolger Clinchant die Schweizer Grenze und wurde dort entwaffnet. Für französische Ohren steckte in dem Namen eine ganze dramatische Militärgeschichte.
Die oft erzählte Version, man habe sich „einen nicht existierenden General Bourbaki ausgedacht“, macht aus zwei Personen eine. Erfunden war der Mathematiker Nicolas Bourbaki. Den General gab es.
1931 tauchte der Nachname wieder im Druck auf, diesmal in Indien. Weil war seit 1930 Mathematikprofessor an einer Universität in Aligarh und holte im folgenden Jahr einen jungen Mann namens Kosambi als Dozenten dorthin. Noch im selben Jahr veröffentlichte eine wissenschaftliche Zeitschrift in Agra einen Aufsatz Kosambis, dessen Titel eine Verallgemeinerung des zweiten Satzes von Bourbaki ankündigte. Damit gelangte der Name erstmals in die mathematische Fachliteratur. Die Idee, erklärte Weil später, sei von ihm gewesen: Man schrieb gewisse Ergebnisse einem kaum bekannten russischen Mathematiker Bourbaki zu, der während der Revolution vergiftet worden sei. Ärgern wollte man mit diesem Streich einen älteren Kollegen, der große Stücke auf sich hielt.
Bis dahin war Bourbaki ein Scherz. Zum Autor wurde der Scherz 1935.
2 Ein Mittagessen
Straßburg, 1934. Henri Cartan und Weil lehrten beide an der dortigen Universität, Cartan seit 1931, Weil seit 1933. Beide mussten Differential- und Integralrechnung und Analysis unterrichten. Beide benutzten das damals übliche Lehrbuch der Analysis von Goursat. Und beide waren unzufrieden damit.
Cartan kam immer wieder mit derselben Art von Frage zu Weil: Wie erklärst du diesen Abschnitt? Irgendwann brachte Weil einen Vorschlag vor. Fünf oder sechs Freunde, verstreut über verschiedene Universitäten, hielten doch dieselben Vorlesungen. Warum sollten sie sich nicht zusammentun und das Lehrbuch neu schreiben?
Am Montag, dem 10. Dezember 1934, trafen sich mittags sechs Männer im Café Capoulade am Boulevard Saint-Michel im Pariser Quartier Latin zum ersten offiziellen Vorbereitungsgespräch bei Tisch: Cartan, Chevalley, Delsarte, Dieudonné, de Possel und Weil. Das Café gibt es längst nicht mehr. Die sechs gaben sich einen Namen: Ausschuss für eine Abhandlung über Analysis.
Ihr Vorhaben wirkt heute beinahe arglos: ein modernes Lehrbuch der Analysis, ungefähr tausend Seiten, in etwa einem halben Jahr fertig; bis zum Sommer 1935 sollte das Inhaltsverzeichnis stehen. Bereits bei diesem ersten Mittagessen legten sie eine Regel fest: Über wichtige Fragen würde nicht abgestimmt. Alle mussten einverstanden sein.
In diesem halben Jahr kamen sie noch etwa zehnmal in Paris zusammen. Beim zweiten Treffen beschlossen sie, den Ausschuss auf neun Mitglieder zu erweitern. Später schieden welche aus, andere kamen hinzu. Außerdem bildeten sie kleine Arbeitsgruppen von jeweils ungefähr drei Personen, die den Stoff sichten sollten: Algebra, Integration, Differentialgleichungen, Differentialformen, Variationsrechnung, spezielle Funktionen, Geometrie, Fourierreihen. Für die Besetzung galt eine eigentümliche Regel: In jede Fachgruppe kam mit Absicht jemand, der auf diesem Gebiet nicht zu Hause war.
Nun geschah etwas, das uns in dieser Reihe schon mehrmals begegnet ist: Um eine Sache ordentlich erklären zu können, muss man zunächst erklären, worauf sie steht. Wer Analysis schreiben will, muss klären, worauf Grenzwert und Stetigkeit beruhen. Dazu muss feststehen, wie man Topologie und allgemeine Mengen verwenden will. Am Ende der fünfzehnten Folge war davon die Rede: Bis in die 1930er Jahre hatten sich die fachtechnischen Auseinandersetzungen um die Mengenlehre beruhigt. Sie war zum alltäglichen Werkzeug der Topologie und der Theorie reeller Funktionen geworden; die philosophischen Fragen hatten sich davon abgelöst. Genau in diesem Augenblick gingen die Männer ans Werk. Sie wollten keinen neuen Grundlagenkrieg führen. Sie wollten mit den Mengen anfangen und alles, was später gebraucht würde, Stück für Stück in die richtige Reihenfolge bringen.
So wich der Plan für ein Lehrbuch immer weiter zurück, bis hinunter zum Fundament.
3 Eine Woche in Besse
Vom 10. bis zum 17. Juli 1935 fand in Besse-en-Chandesse, im Bergland der Auvergne, der erste offizielle Bourbaki-Kongress statt.
Der Verein nennt heute neun Gründungsmitglieder: Cartan, Chevalley, Coulomb, Delsarte, Dieudonné, Ehresmann, de Possel, Mandelbrojt und Weil. In jenem Sommer war Chevalley mit sechsundzwanzig der Jüngste, Mandelbrojt mit sechsunddreißig der Älteste; die anderen waren zwischen neunundzwanzig und einunddreißig. Cartan arbeitete über Analysis und Topologie und war der Sohn des großen Mathematikers Élie Cartan. Weils Gebiete waren Zahlentheorie und algebraische Geometrie. Coulomb beschäftigte sich mit mathematischer Physik und Geophysik. Dieudonné, damals neunundzwanzig, arbeitete über Analysis und Algebra. In den kommenden fünfundzwanzig Jahren sollte der größte Teil der druckfertigen Fassungen durch seine Hände gehen.
Neun Männer um die dreißig wollten die Lehrbücher einer ganzen Disziplin neu schreiben. Zu einer anderen Zeit hätte das vermessen gewirkt. Im Frankreich des Jahres 1935 lagen die Dinge anders. Der vorige Krieg hatte eine Generation ausgelöscht. Von den Mathematikstudenten der École normale supérieure war, je nach Berechnung, ein Viertel bis die Hälfte an der Front gefallen. Blickten diese jungen Männer nach oben, fehlte ein großer Teil jener Generation in den Vierzigern, die ihre Lehrer, Autoritäten und Gutachter hätte stellen sollen. Vor ihnen lagen alte Lehrbücher, über das Land verstreute Universitätsstellen und ein Lehrprogramm, das ihrer Ansicht nach weder mit den Deutschen noch mit der modernen Algebra und Topologie Schritt gehalten hatte.
Bourbaki war deshalb zunächst keine Schule. Eine Schule, das wäre ein Meister mit seinen Schülern gewesen. Hier verbanden sich Gleichaltrige untereinander, ohne Lehrer und ohne Vorsitzenden. Aus dieser Form des Zusammenschlusses wuchsen die späteren Regeln: Jeder durfte sein Veto einlegen, mit fünfzig schied man aus, die Autoren blieben ungenannt.
Drei Dinge brachte diese Woche tatsächlich zustande. Aus dem vorläufigen Lehrbuchausschuss wurde ein Kollektiv, das auf Dauer angelegt war. Die Person Nicolas Bourbaki nahm in dieser Phase Gestalt an. Und man fand sich mit einer Einsicht ab: Nach der alten Einteilung, ein Band Algebra, einer Differential- und Integralrechnung, einer Geometrie, ließ sich dieses Werk nicht schreiben.
Ebenfalls 1935 erhielt Élie Cartan, Henris Vater, einen Brief, der ihm einen Mathematiker namens Nicolas Bourbaki vorstellte. Das Akademiemitglied reichte dessen Manuskript bei den Wochenberichten der französischen Akademie der Wissenschaften ein, und es wurde gedruckt. Wer hatte den Vornamen gewählt? Nach der bekanntesten Version taufte de Possels damalige Frau Éveline den erfundenen Mann auf Nicolas. Dieses Detail stammt aus späteren mündlichen Erzählungen. Es ist weniger fest belegt als die Geschichte des Nachnamens.
Der Titel stand erst 1938 fest: „Éléments de mathématique“, Elemente der Mathematik. Das Wort „Elemente“ griff Euklids Werk aus der dritten Folge wieder auf, über zweitausendzweihundert Jahre hinweg. Im Französischen steht das Wort für Mathematik gewöhnlich im Plural. Hier stand es im Singular: Diese Wissenschaft sollte als ein Ganzes erscheinen. Das erste Heft wurde 1939 gedruckt, eine Zusammenstellung der Ergebnisse der Mengenlehre, ohne Beweise. Die ersten beiden Kapitel der Mengenlehre mitsamt den Beweisen erschienen erst 1954.
4 Sitzungen ohne Vorsitz
Die Kongresse fanden dreimal im Jahr statt: zweimal für je eine Woche, einmal für ungefähr zwei. Jeden Tag gab es drei Sitzungen, zusammen etwa sieben Stunden. Es ging oft hart zur Sache, manchmal war die Spannung beträchtlich.
Einen Vorsitzenden gab es nicht. Jemand las einen Entwurf Zeile für Zeile vor. Jeder durfte jederzeit unterbrechen, ein Wort beanstanden, einen Beweis verlangen oder vorschlagen, den ganzen Absatz neu zu schreiben. Als der junge Schweizer Mathematiker Armand Borel 1949 zum ersten Mal als Gast dabei war, hörte er zwei oder drei laute Monologe, die sich gegenseitig durchkreuzten. Dieudonné erzählte später, Besucher von außerhalb seien oft mit dem Eindruck gegangen, gerade einen Haufen Verrückter gesehen zu haben.
Weil hat diese Unordnung erklärt: Man hielt sie absichtlich aufrecht. Die Beteiligten waren überzeugt, dass eine zu frühe Aufteilung der Zuständigkeiten, ein Sitzungsleiter und Abstimmungsverfahren das Ergebnis zu einem gewöhnlichen Ausschusspapier herabdrücken würden.
Auch schrieb nicht einfach ein Fachmann den Entwurf, den die anderen dann Korrektur lasen. Die erste Fassung übernahm gewöhnlich jemand, der sich in dem Gebiet auskannte. Die zweite und die dritte konnten durchaus von anderen stammen. Mehr als sechs Fassungen eines Kapitels waren nichts Ungewöhnliches. Ein Text, den man nach den Einwänden des letzten Kongresses völlig umgeschrieben hatte, konnte beim nächsten wieder verworfen werden. Mitunter beschloss man sogar, zu einer älteren Fassung zurückzukehren.
Borel hat den Weg des Kapitels über Wurzelsysteme festgehalten. Am Anfang stand ein Entwurf von ungefähr siebzig Seiten. Die nächste Fassung hatte hundertdreißig. Sie sei gut geschrieben, meinte jemand, aber Bourbaki verwende zu viel Mühe auf einen so kleinen Gegenstand. Das gedruckte Kapitel hatte schließlich zweihundertachtundachtzig Seiten.
Die wichtigste Regel lautete: Über die Veröffentlichung wird nicht abgestimmt. Faktisch besaß jeder ein Vetorecht. Die Endfassung musste einstimmig angenommen werden.
Diese Regel erzeugte ungeheure Mengen verworfener Texte. Jemand hatte Wochen oder Monate geschrieben, beim Kongress wurden ein paar Seiten vorgelesen, und schon war das Todesurteil gesprochen. Andere Entwürfe wurden nicht verurteilt, sondern wanderten in den sogenannten Kühlschrank, aus dem sie nie wieder herauskamen. Borel nennt einen besonders drastischen Fall: Weil schrieb einen Entwurf von mehr als zweihundertsechzig Seiten über Mannigfaltigkeiten und Lie-Gruppen. Godement legte ungefähr hundertfünfzig Seiten nach. Nach diesem Plan hat Bourbaki am Ende kein einziges Wort veröffentlicht.
Mehr als vierhundert Seiten Arbeit wurden zu keiner einzigen gedruckten Seite.
Wenn mitten im Streit plötzlich eine Idee entstand, mit der man zufrieden sein konnte, hatten sie dafür einen eigenen Spruch: Der Geist weht.
5 Dieselbe Gestalt
Die dritte Einsicht aus Besse, dass es mit der alten Einteilung nicht gehen würde, bestimmte alles, was dem Werk später sein Gesicht gab.
Die herkömmliche Ordnung folgte den Gegenständen: hier die Zahlen, dort die Figuren, dort die Funktionen. Bourbaki ordnete nach der gemeinsamen Gestalt.
Ein einfaches Beispiel macht das sichtbar. Man lege drei Dinge nebeneinander: die Addition ganzer Zahlen, Drehungen der Ebene um einen Punkt und die Möglichkeiten, ein Kartenspiel zu mischen. Das Material hat nichts miteinander zu tun. Doch alle drei besitzen dasselbe Gerüst: Je zwei Elemente lassen sich zu einem weiteren verknüpfen; das Ergebnis hängt nicht davon ab, wie man aufeinanderfolgende Verknüpfungen durch Klammern zusammenfasst; es gibt ein Element, das nichts verändert; und zu jedem gehört eines, das seine Wirkung wieder aufhebt. Was man allein aus diesem Gerüst beweist, gilt für alle drei zugleich. Es gilt auch für jeden weiteren Gegenstand mit demselben Gerüst, auf den man künftig stößt. Die Permutationen, mit denen Galois in der zehnten Folge arbeitete, waren ein frühes Beispiel dafür. Damals hatte dieses Gerüst noch keinen abstrakten Namen.
Ein solches Gerüst nannte Bourbaki eine Struktur. Einige besonders grundlegende wurden herausgegriffen: eine für Verknüpfungen, eine für Ordnungen, eine für Nähe und Grenzwerte. Intern hießen sie „Mutterstrukturen“. Wo ein Stoffgebiet im Werk seinen Platz bekam, hing nun nicht mehr davon ab, ob es Zahlen oder Figuren behandelte. Entscheidend war, welche Gerüste es benötigte und wie diese ineinandergriffen.
Hier sind zwei Dinge auseinanderzuhalten. Im ersten Band gaben sie tatsächlich eine förmliche Definition der Struktur und bauten aus Mengen und Beziehungen einen allgemeinen Rahmen. Wie die Forschungen des Mathematikhistorikers Leo Corry zeigen, spielte diese formale Strukturtheorie in der mathematischen Forschung eine weit geringere Rolle als der strukturelle Blick im weiteren Sinn. Das ist Corrys Urteil über ihren Einfluss, keine statistische Aussage, die ausnahmslos jeden Fall erfassen würde. Weitergewirkt hat vor allem etwas anderes: Mathematik nach ihren Gerüsten und Isomorphismen zu betrachten statt nach den alten Fächern. Auch Cartan sprach später über das Werk vor allem auf dieser Ebene.
1948 erschien in einem französischen Sammelband über Strömungen des mathematischen Denkens ein Beitrag mit dem Titel „Die Architektur der Mathematik“. Unterzeichnet war er mit Bourbaki; geschrieben hatte ihn wohl überwiegend Dieudonné. Die englische Übersetzung folgte 1950 in einer amerikanischen mathematischen Monatszeitschrift. Selten erklärte das Kollektiv der Öffentlichkeit so ausdrücklich, was es vorhatte: Mathematik sei keine Ansammlung unverbundener Zweige. Unter ihnen lägen gemeinsame Gerüste, und die axiomatische Methode sei das Mittel, sie freizulegen. Der Aufsatz stellte drei Beispiele aus Arithmetik und Geometrie nebeneinander und zeigte, dass sie dasselbe Gerüst besaßen, genau wie die drei Beispiele oben. Ein Einzelner schrieb unter dem Namen eines Menschen, den es nicht gab, darüber, wie sich eine Wissenschaft anders ordnen ließ als nach Personen und Fachgebieten.
Bourbaki hinterließ also kein technisches Gerät, sondern eine Art, die Dinge anzuordnen.
6 Gebrauchsanweisung
Die ersten sechs Bücher wurden streng hintereinander aufgereiht: Mengenlehre, Algebra, allgemeine Topologie, Funktionen einer reellen Veränderlichen, topologische Vektorräume, Integration. Wer an einer Stelle ein Ergebnis brauchte, durfte nur auf etwas verweisen, das im selben Buch bereits vorgekommen war oder in einem der früheren Bücher dieser Reihe stand. Außerhalb liegende Literatur wurde im Haupttext grundsätzlich nicht zitiert. Die Geschichte war in die historischen Anmerkungen am Ende der Kapitel verbannt, wo sie abgesondert blieb.
Diese geradlinige Ordnung hatte ihren Preis. Alles, was man verwenden wollte, musste zuvor eingeführt worden sein. So wartete ein Buch auf das andere, ein Kapitel auf ein anderes. Von der Mengenlehre, die ganz am Anfang stand, wurden 1939 lediglich die Ergebnisse gedruckt. Auf die ersten beiden Kapitel mit Beweisen musste man bis 1954 warten. In den fünfzehn Jahren dazwischen waren von den nachgeordneten Büchern über Algebra und Topologie schon mehrere Hefte erschienen.
Auch der Takt eines Abschnitts stand fest: Definitionen, allgemeine Aussagen und Sätze, Beweise, Folgerungen und speziellere Fälle, Übungen. Es ging vom Allgemeinen zum Besonderen. Der Weg führte nicht von einer Frage über Beispiele, Vermutungen und Fehlversuche schließlich zum Satz. Borel traf es später genau: Dies war ein dogmatisch angelegtes Werk. Es wollte der Forschung einen bereits freigeräumten Baugrund bieten, nicht den Vorgang der Entdeckung noch einmal durchspielen.
Gleichgültig waren ihm seine Leser keineswegs. Jedem Band war eine „Gebrauchsanweisung“ vorangestellt. Gleich zu Beginn hieß es, das Werk fange bei den Anfängen der Mathematik an und führe die Beweise vollständig aus. Grundsätzlich, so ging es weiter, brauche der Leser keine mathematischen Vorkenntnisse, lediglich eine gewisse Vertrautheit mit mathematischem Schließen und ein gewisses Abstraktionsvermögen. Die Bedingung war also nicht, was er gelernt hatte, sondern ob er abstrahieren konnte. Am Seitenrand stand außerdem ein Zeichen, entlehnt dem französischen Verkehrsschild für eine gefährliche Kurve. Es warnte vor Missverständnissen oder technisch heiklen Stellen. Später verbreiteten Leute aus dem mathematischen Schriftsatz dieses Zeichen weiter. Noch heute wird es Bourbakis „gefährliche Kurve“ genannt.
Gemeint war allerdings eine andere Art von Leser. Es ging nicht darum, einem Anfänger den Eintritt angenehm zu machen. Wer das Werk über Jahre benutzte, sollte sich in einem riesigen Gebäude voller Querverweise zurechtfinden: Wo stehe ich? Wo wird es gefährlich? Aus welchem Buch stammt der Boden, auf dem ich gerade stehe?
Im Buch war alles durchnummeriert. Wurde ein früheres Ergebnis gebraucht, verwies man auf dessen Nummer, nicht auf den Aufsatz einer bestimmten Person aus einem bestimmten Jahr. In gewöhnlichen Mathematikbüchern häufen sich die Personennamen vor allem in den Literaturangaben. Im Haupttext dieses Werks fehlte diese Rubrik. Ein Kapitel begann mit Definitionen. Woher sie stammten, erfuhr man erst in den historischen Anmerkungen am Schluss. Erst dort traten die Namen des neunzehnten Jahrhunderts auf.
Geometrische Skizzen gab es kaum. Anschauliche Erläuterungen, die der Vorstellung auf die Sprünge helfen sollten, überlebten die Kongresse oft nicht. Borel hat es selbst erlebt: Ein solcher Satz stand im Entwurf, beim Vorlesen beanstandete jemand seine Unschärfe, in zwei oder drei Sätzen ließ er sich nicht hinreichend präzisieren, also wurde er gestrichen. Sogar ein von Dieudonné selbst verfasster Entwurf bekam vom Kollektiv zu hören, er sei zu abstrakt.
Der Eindruck, das Buch kenne keine Intuition, entstand also zumindest teilweise durch diesen redaktionellen Filter. Den Verfassern selbst fehlte sie keineswegs.
An dieser Stelle lässt sich etwas offen aussprechen. Diese Reihe wird, je weiter sie fortschreitet, schwieriger zu lesen, besonders seit der vierzehnten Folge. Das liegt nicht an einem Mangel an Material. Aus dem zwanzigsten Jahrhundert gibt es weit mehr Menschen und Papier als aus dem neunzehnten. Die Wissenschaft selbst hat ihre Gestalt verändert: Die Definitionen stehen vorn, ihre Herkunft hinten, die Beispiele ziehen sich in die Übungen zurück, die Menschen kommen nicht vor. Auch wer darüber schreibt, bekommt diese Schwierigkeit zu spüren. Denn eine mächtige Darstellungsweise der modernen Mathematik hat Definition und Beweis an den Anfang gerückt und den menschlichen Entdeckungsprozess aus dem Haupttext entfernt. Bourbakis Werk hat diese Richtung am konsequentesten zu Ende verfolgt.
7 Jeder wusste, wer dahintersteckte
Bourbaki wird oft als Geheimbund bezeichnet. Ganz trifft das Wort nicht.
Nicht veröffentlicht wurde die jeweils aktuelle Mitgliederliste. Wer dazugehörte, war hingegen kein Geheimnis. Als Borel 1949 nach Paris kam, wusste er bald, welche älteren und jüngeren Mathematiker zu diesem Kreis gehörten. Kurz darauf erhielt er eine Einladung zum Kongress. Junge Mathematiker in Paris mussten keine Detektive sein.
Bei der American Mathematical Society ging einmal ein Antrag Bourbakis auf persönliche Mitgliedschaft ein. Der Verfasser der Antwort wusste, dass hinter dem Namen ein Kollektiv stand, und bat um einen Antrag auf institutionelle Mitgliedschaft. Ein anderes Mal erklärte Boas in einer Enzyklopädie, Nicolas Bourbaki sei das gemeinsame Pseudonym einer Gruppe junger französischer Mathematiker. Bourbaki ließ daraufhin verlauten, vermutlich sei vielmehr Boas der Sammelname der Redaktion der „Mathematical Reviews“.
Das war ein Spiel, mit dem man eine erfundene Person am Leben hielt. Eine gelungene Tarnung war es nicht.
Verborgen blieb etwas anderes: Wer hatte einen Absatz zuerst geschrieben? Wer auf einer Definition bestanden? Wer bei einer bestimmten Auseinandersetzung verloren? Wessen vierhundert Seiten waren im Kühlschrank gelandet? Davon ließ das Buch nichts stehen.
Dieudonné ist das deutlichste Beispiel. Fünfundzwanzig Jahre lang lag ein großer Teil der Arbeit an den Endfassungen, den Übungen und der Druckvorbereitung bei ihm. Borel schätzte, er habe womöglich mehr hervorgebracht als zwei oder drei andere zusammen. Morgens spielte er zuerst eine Weile Klavier, dann schrieb er einige Seiten für Bourbaki. Im September 1940, als der Krieg bereits begonnen hatte, legte er in der dritten Nummer des internen Rundbriefs „La Tribu“, des „Stamms“, einen Gesamtplan von siebenundzwanzig Büchern vor. Die einheitliche Stimme des Werks war zu einem erheblichen Teil seine Arbeit. Es war aber nicht die Stimme, in der er sonst schrieb. Er hatte sich eigens einen Bourbaki-Ton zugelegt.
Sein Name stand nicht auf dem Buch. Dort stand nur Nicolas Bourbaki.
Seit 1948 fand das Séminaire Bourbaki regelmäßig statt, dreimal jährlich mit jeweils sechs Vorträgen. Vorgestellt wurden neue Arbeiten anderer; vortragen konnten Mitglieder ebenso wie Außenstehende. Die gedruckten Vortragstexte trugen die wirklichen Namen der Vortragenden. Dasselbe Kollektiv gab auf der einen Seite ein Werk ohne sichtbare Einzelautoren heraus und betrieb auf der anderen eine Rednertribüne, auf der jeder mit seinem Namen auftrat.
Auch das gemeinsame Pseudonym gab es anderswo. Ungefähr zur selben Zeit veröffentlichten in Großbritannien mehrere Personen gemeinschaftliche Arbeiten unter dem Namen Blanche Descartes. 1952 trat in den USA ein gewisser John Rainwater auf; über lange Zeit bedienten sich mehrere Menschen dieses Namens und veröffentlichten später tatsächlich mathematische Ergebnisse darunter. Einzigartig war Bourbaki durch das Zusammentreffen von vier Umständen: die ungewöhnlich lange Dauer, die außerordentliche Stärke der Beteiligten, der gewaltige Umfang der Veröffentlichungen und eine Autorität des erfundenen Verfassers, die beinahe den Rang einer Institution erreichte.
Die Regel, mit fünfzig auszuscheiden, wurde später so erzählt, als sei sie vom ersten Tag an unerbittlich durchgesetzt worden. Tatsächlich ging es lockerer zu. Der Grundsatz war früh beschlossen, doch als um 1953 die ersten Mitglieder dieses Alter erreichten, kümmerte sich zunächst niemand ernsthaft darum. Erst 1956, als Weil in einem Brief von sich aus seinen Rückzug erklärte, wurde daraus eine beständige Praxis. Sie richtete sich auch nicht gegen das Alter. Sie sollte verhindern, dass die Gründer ihre Plätze auf Dauer besetzten. Mit neuen Menschen sollte neue Mathematik hereinkommen.
1952 gab sich das Kollektiv eine Rechtsform: die Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, den Verein der Mitarbeiter Nicolas Bourbakis. Er kümmerte sich um Verträge, Urheberrechte und die Fortführung der Publikationen. Ihren Lebensunterhalt bestritten die Mitglieder aus den Gehältern ihrer Universitäten oder Forschungseinrichtungen. Die Einnahmen aus den Büchern finanzierten die Veröffentlichungen und das Kollektiv selbst, kein persönliches Gehalt.
Die Arbeit ist im Archiv umfassend überliefert. Entwürfe und Gegenentwürfe, Anmerkungen nach den Sitzungen, Aufgabenverteilungen und die internen Kongressberichte „La Tribu“: Selbst Witze, Gedichte und Spitznamen stehen darin. Später nutzte Beaulieu diese Materialien für eine Dissertation und rekonstruierte die zehn Vorbereitungstreffen von 1934 bis 1935 eines nach dem anderen. Der Verein übergab später zudem einen beträchtlichen Teil der Bestände an ein Digitalisierungsprojekt zur Mathematikgeschichte. Heute lassen sich die Papiere im Netz Seite für Seite durchblättern.
Diese Papiere setzen dem Satz vom verschwundenen Autor eine Grenze.
8 Was am anderen Ende herauskam
Wenn die Mitglieder selbst Mathematik betrieben, sah das anders aus als in ihren Büchern.
Borel sagte es unverblümt: Forschen und an diesem Werk schreiben waren zwei nahezu getrennte Tätigkeiten. In den Pausen der Kongresse und außerhalb der offiziellen Sitzungen sprachen sie über ihre eigenen konkreten Probleme und neuesten Ergebnisse. Deligne erinnerte sich später daran, wie er als sehr junger Mann an die algebraische Geometrie herangeführt wurde. Sein Lehrer zeichnete eine Kurve dritten Grades, dann eine Gerade durch zwei ihrer Punkte und sagte: Das ist schöne Geometrie.
Man darf allerdings auch nicht ins andere Extrem fallen. Borel meinte, Cartans eigene Aufsätze zeigten häufig einen typisch bourbakistischen Gang: Ein Lemma schließt sich wie von selbst ans nächste an, bis auf einmal der große Satz dasteht. Serre scherzte, das lerne man, wenn man lange genug bei Bourbaki bleibe. Die Form der veröffentlichten Bücher war nicht mit der persönlichen Forschungspraxis identisch. Ganz ohne Verbindung waren die beiden aber auch nicht.
Dieudonné selbst hinterließ den saubersten Vergleich. In dem großen Werk fehlte sein Name. Unter zwei Aufsätzen, die der Öffentlichkeit erklärten, was Bourbaki tat, einem von 1970 und einem von 1982, stand er hingegen. Von 1960 bis 1982 schrieb er außerdem unter eigenem Namen ein anderes mehrbändiges Werk: die „Éléments d’analyse“, Elemente der Analysis, neun Bände. Der Mann, der fünfundzwanzig Jahre ohne eigene Unterschrift geschrieben hatte, baute sich später seine eigenen „Elemente“. 1987 veröffentlichte er wiederum unter seinem Namen ein Buch über die Mathematik seiner Gegenwart. Es wandte sich an Menschen, die an einer weiterführenden Schule Mathematik gelernt und ein wenig Interesse daran bewahrt hatten. Der Titel lautete „Pour l’honneur de l’esprit humain“, Zur Ehre des menschlichen Geistes.
An der Kritik, die das Werk erntete, lassen sich mehrere Arten unterscheiden. Artin schrieb 1953 in einer Besprechung des Algebra-Bandes sinngemäß jenen oft zitierten Satz: Dieses Buch sei abstrakt, und zwar erbarmungslos abstrakt. Meist fehlt die zweite Hälfte. Dort erklärte er, wer die ersten Schwierigkeiten überwinde, werde mit tieferem Verständnis belohnt. Im selben Jahr kritisierte Halmos in seiner Besprechung der „Integration“, die Integrationstheorie werde zu einseitig um lokalkompakte Räume herum aufgebaut und verfehle damit die tatsächlichen Bedürfnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dieser Einwand hatte Folgen: Das Buch erhielt ein weiteres Kapitel. Ein anderer Vorwurf lautete, das Werk sei zu weit von den Anwendungen entfernt. Wahrscheinlichkeitstheorie, partielle Differentialgleichungen, Logik und Kombinatorik bekamen darin einen Platz, der ihrem Gewicht in der damaligen Forschung nicht entsprach. Das war eine Auswahlentscheidung, kein Versehen.
Am stärksten übertrieben wurde die Verbindung zur „Neuen Mathematik“. Dieudonné gehörte nach dem Krieg tatsächlich zu den entschiedensten öffentlichen Fürsprechern eines strukturorientierten Mathematikunterrichts. Er war es, der 1959 auf einer Tagung zur mathematischen Bildung „Nieder mit Euklid!“ rief. Daraus folgt aber nicht, dass Bourbaki als Kollektiv eine Reformbewegung für Grund- und weiterführende Schulen in Gang gesetzt hätte. Die Reformen in den einzelnen Ländern hatten ihre eigenen Verwaltungssysteme und ihre eigene Vorgeschichte. Bourbaki hat als Kollektiv kein schulisches Lehrplanprogramm herausgegeben, und die Bücher waren nie für Kinder geschrieben. Borel betonte ausdrücklich, ihre dogmatische Darstellungsform sei keine Blaupause für den Forschungsprozess.
Nach den fünfziger Jahren bekam auch das Kollektiv selbst Schwierigkeiten. Das Fundament der ersten sechs Bücher war weitgehend gelegt, doch die Mathematik hatte sich inzwischen verändert. Wer an der strengen linearen Reihenfolge festhielt, musste neue Themen immer weiter nach hinten schieben. Auch ließ sich der Anspruch, jeder solle sich für den gesamten Stoff interessieren, angesichts der zunehmenden Spezialisierung nicht halten. Grothendieck verlangte, zunächst tiefere Grundlagen der homologischen Algebra und der Kategorien zu schaffen. Er lieferte einen ganzen Stapel von Entwürfen, die keineswegs einfach angenommen wurden. Diese weitgespannten Vorhaben ließen sich über lange Zeit nicht zu einem Abschluss bringen. Anfang der 1980er Jahre umfasste das Werk Dutzende von Heften und Tausende von Seiten. Die Analysis, die man ursprünglich hatte schreiben wollen, war noch immer nicht fertig.
Wie groß der Einfluss war, ließ sich schon seit den fünfziger Jahren auf zweierlei Weise berechnen. Hurewicz meinte 1952 sinngemäß, man müsse die sichtbaren Leistungen nicht Bourbaki zuschreiben: Diese Männer seien ohnehin hervorragende Mathematiker. Auch Borel räumte ein, dass der gewaltige Wandel der französischen Mathematik nach dem Krieg nicht allein auf das Konto dieses Kollektivs ging. Leray, Thom und mehrere andere Richtungen hatten ihre eigenen Ursprünge. Zugleich hielt er etwas anderes fest: Weyl, der das Werk früher kritisiert hatte, erklärte 1952, er nehme seine früheren Worte vollständig zurück. Misst man Bourbaki daran, wem einzelne Sätze gehören, überschätzt man es leicht. Misst man seinen Einfluss auf Sprache, Ausbildung und Darstellungsformen, unterschätzt man es ebenso leicht. Borels spätes Urteil blieb zurückhaltend: Dass Mathematiker mit so verschiedenen Temperamenten über viele Jahre uneigennützig auf ein gemeinsames Ziel hinarbeiteten, sei in der Geschichte der Mathematik wohl eine einzigartige Erfahrung gewesen.
Sie hatten eine Maschine gebaut. Auf der einen Seite gingen persönliche Entwürfe, Temperamente, Streit und Intuition hinein. Auf der anderen kam kein zwischen neun Männern ausgehandelter Kompromisstext heraus, sondern ein Buch, das aussah, als habe es von Anfang an nur einen Autor gehabt. Diesen Autor gab es nicht. Doch die Regeln, die Arbeit und das Beziehungsnetz, die ihm den Anschein einer wirklichen Existenz verliehen, sind in den Archiven deutlicher zu sehen als bei den meisten wirklichen Autoren.
Was aussieht wie eine von Natur aus gegebene Ordnung, ist Fassung für Fassung umgeschrieben worden.
1976 wurde der Beweis eines Satzes vorgelegt, in dem zwölfhundert Stunden Maschinenrechnung steckten. Kein Mensch konnte ihn vollständig von Hand nachprüfen.
Gerechnet wird weiter. Was aber als Mathematik zählt, ist noch nie endgültig geklärt worden.
Quellen und weiterführende Lektüre
Die folgenden Quellen belegen historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen im Text. Einträge in Archiv- und Sammlungskatalogen, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.