Le cycle de la taille et de la construction
Une histoire humaine des mathématiques
Des comptes sur argile à l’infini, aux ordinateurs et à celles et ceux qui font les démonstrations : une histoire de ce que les mathématiques peuvent trancher et de ce qu’elles nous laissent à décider.
Aucune connaissance avancée en mathématiques n’est requise. Commencez au début ou choisissez une question ci-dessous. Les mathématiques comptent ; les salles de classe, les institutions et les vies qui les ont rendues possibles aussi.
Nombres, démonstration et transmission
Compter, mesurer, tenir les comptes
Les tablettes d’argile ont gardé pour les humains la mémoire des moutons, des céréales et des journées de travail. Elles ont aussi commencé à décider de ce qui pouvait entrer dans le grand livre, et de ceux qui resteraient hors des comptes.
Lire l’essai →Incommensurable
Ne pas avoir de commune mesure n’empêche pas de comparer. Séparer la découverte, les légendes et le récit moderne de la crise.
Lire l’essai →L’architecture des axiomes
Les prémisses déclarées ont subi deux mille ans de doute. Les ressources tacitement mobilisées dans les figures attendaient une autre forme de rigueur.
Lire l’essai →Approcher sans atteindre
Un nombre fini d’approximations peut démontrer une égalité exacte ; la voie de la découverte n’est pas nécessairement celle de la preuve.
Lire l’essai →Un autre critère
Les procédures ne donnent pas seulement des réponses : elles peuvent aussi devenir des objets de raisonnement. Les figures originales, l’ordre des lamelles liées et les couches de commentaires engagent tous notre manière de les lire.
Lire l’essai →Transmettre et nommer
Le livre original s’est perdu, le nom de son auteur est devenu « algorithme » ; la continuité des mots ne signifie pas que leurs objets et leurs sens soient demeurés inchangés.
Lire l’essai →Les objets qui n’avaient pas leur place
Des nombres absurdes
Savoir calculer avec des termes négatifs, conserver des solutions négatives et reconnaître une classe de nombres sont trois choses différentes.
Lire l’essai →Des quantités imaginées
Les racines réelles d’une équation cubique peuvent exiger des quantités intermédiaires non réelles ; les règles, les interprétations, la publication et l’acceptation ont chacune leur propre calendrier.
Lire l’essai →Les infinitésimaux et le défaut de rigueur
Un évêque interroge un accroissement qui s’évanouit. L’outil qui a changé la physique commence à réécrire ses propres justifications.
Lire l’essai →La fin de la chasse
Comment s’est achevée la chasse à une formule générale par radicaux pour le cinquième degré, et pourquoi les archives de Galois n’ont pas empêché le mythe du génie de prospérer.
Lire l’essai →Quand le cinquième postulat vole en éclats
D'une hypothèse ennemie, posée pour être réfutée, à une géométrie capable de fonctionner par elle-même : comment les modèles ont déplacé une charge de la preuve vieille de deux mille ans.
Lire l’essai →Chasser les infinitésimaux
La rigueur ne s’est pas imposée par une expulsion : limites, continuité, nombres réels et cahiers de cours ont ensemble déplacé les frontières de l’analyse.
Lire l’essai →Infini et fondements
Ce qu’on n’en finit pas de compter
En mesurant l’infini par l’appariement, Cantor a transformé la question de la taille et mis au jour un désaccord sur l’existence et la preuve.
Lire l’essai →Göttingen
Comment les salles de lecture, les séminaires, les chaires, les tables de rédaction et les conditions d’accès ont ouvert à la recherche mathématique un chemin où le travail pouvait se poursuivre.
Lire l’essai →La crise de la théorie des ensembles
Une lettre atteint un système bien précis sans mettre toutes les mathématiques à l’arrêt : les paradoxes, le choix et la crise ont chacun leur chronologie.
Lire l’essai →La querelle du tiers exclu
Dire qu’une chose existe et la construire, est-ce la même chose ? Du point fixe de Brouwer à la théorie de la démonstration de Hilbert, la querelle a changé les questions que l’on peut poser à une preuve.
Lire l’essai →Faire parler l’arithmétique d’elle-même
En codant les formules et les démonstrations par des entiers naturels, Gödel a tracé avec précision les limites de ce que l’arithmétique formelle peut démontrer à son propre sujet. Ces limites n’annoncent ni la faillite de la raison ni le destin inéluctable de tout ce qu’on appelle un système.
Lire l’essai →La clôture s’achète
Complétude, décidabilité et utilité pratique n’offrent pas la même garantie. De Presburger à la mécanisation des mathématiques, les limites de ce que l’on peut demander et le prix des réponses se comptent séparément.
Lire l’essai →Celles et ceux qui font les mathématiques
Faire le vide
Des questionnaires sur les ascendants à la salle de cours vide, raconter la dispersion de Göttingen oblige à compter tous ceux qu’on a contraints au départ, sans s’en tenir à ceux qui ont réussi à arriver.
Lire l’essai →La machine
Turing définit une machine à partir d’une part de l’activité de celui qui calcule avec du papier et un crayon. Il démontre ainsi qu’aucune machine de ce type ne peut franchir une certaine frontière.
Lire l’essai →L’auteur disparaît
Bourbaki fait de querelles, d’intuitions et de manuscrits rejetés un auteur qui n’existe pas. L’anonymat appartient au livre achevé, pas au travail qui l’a fait naître.
Lire l’essai →Une preuve qu’un seul esprit ne peut embrasser
Le théorème des quatre couleurs, les groupes simples finis et la conjecture de Kepler ont fait de la validité, de la compréhension et de la vérifiabilité trois façons différentes d’achever une preuve.
Lire l’essai →À quoi cela sert-il ?
Les mathématiques et l’argent
Quand les mathématiciens entrent dans les salles de marché, les services de cryptographie et les entreprises de plateformes, leur salaire n’est pas seul à changer. Ce qui change aussi, c’est la manière de rendre leurs résultats publics, le pouvoir donné aux modèles et ce qu’ils peuvent emporter en quittant leur emploi.
Lire l’essai →Refus
Trois fichiers publics ont résolu un problème vieux d’un siècle. Ni la médaille ni l’argent du prix n’ont pourtant pu décider, à la place de leur auteur, du lien qu’il entendait garder avec la communauté mathématique.
Lire l’essai →L’honneur de l’esprit humain
De la lettre de Jacobi aux démonstrations de l’intelligence artificielle : ce que les mathématiques accomplissent et pour qui elles existent sont deux questions distinctes.
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