Refus

1. Madrid

Le 22 août 2006, le Congrès international des mathématiciens s’ouvre au Palais municipal des congrès de Madrid. Plus de quatre mille cinq cents personnes ont fait le voyage. Le roi d’Espagne Juan Carlos Ier préside la cérémonie d’ouverture, au cours de laquelle les médailles Fields sont, comme de coutume, annoncées. John Ball, mathématicien à Oxford et président de l’Union mathématique internationale, lit quatre noms : Okounkov, Perelman, Tao, Werner. Trois hommes montent sur scène recevoir leur médaille des mains du roi. Perelman n’est pas là. Ball annonce, en substance et à son grand regret, que le docteur Perelman a refusé la distinction.

La médaille, elle, a déjà été frappée. De l’or à quatorze carats, un peu plus de soixante millimètres de diamètre, cent soixante-neuf grammes. À l’avers, le profil d’Archimède. Au revers, une inscription latine explique que les mathématiciens réunis ici de toutes les parties du monde décernent cette médaille pour des travaux remarquables. Le motif représente la sphère inscrite dans un cylindre qui ornait la tombe d’Archimède. D’après la revue Nature, l’Union conserve la médaille : si Perelman change un jour d’avis, il pourra toujours la réclamer. Elle s’accompagne de quinze mille dollars canadiens.

Ball était au courant du refus depuis deux mois. Le comité avait arrêté son choix à la fin de mai. En juin, Ball avait pris l’avion pour aller rencontrer Perelman à Saint-Pétersbourg. Leurs entretiens s’étaient étalés sur deux jours, soit environ dix heures de conversation, selon les récits publiés par la suite. Perelman a raconté plus tard cet échange à deux journalistes. Ball lui avait présenté trois possibilités : accepter et venir ; accepter sans venir, auquel cas on lui enverrait la médaille ; ou refuser. Il avait, disait-il, choisi la troisième dès le début. Son explication revenait à ceci : ce prix ne comptait absolument pas pour lui. Tout le monde comprenait qu’une démonstration juste n’avait besoin d’aucune autre reconnaissance.

Après la cérémonie, Ball explique aux journalistes que les raisons sont complexes. Il n’en livre qu’un résumé : Perelman se sent coupé de la communauté mathématique et ne veut pas servir de figure de proue. Le texte officiel de la distinction est soigneusement pesé. Il salue ses contributions à la géométrie et ses idées révolutionnaires sur les structures analytiques et géométriques du flot de Ricci. Le nom de Poincaré n’y figure pas. Il est dans le communiqué de presse, et dans les journaux du lendemain.

Le même jour, un site où sont déposés des articles scientifiques affiche un avertissement : son serveur subit une charge exceptionnelle, tant les internautes sont nombreux à télécharger les travaux de Perelman. Ces articles n’ont jamais paru que sous forme de prépublications. Les liens se trouvent juste en dessous. Une médaille portant la mention « travaux remarquables » récompense, pour l’essentiel, trois textes qui n’ont jamais été publiés dans une revue.

2. Trois fichiers

Le premier fichier a été mis en ligne le 11 novembre 2002 : trente-neuf pages, sous le titre La formule d’entropie pour le flot de Ricci et ses applications géométriques. Vers le 12 novembre, une dizaine de mathématiciens aux États-Unis reçoivent un courriel de Perelman accompagné du résumé. La première phrase les invite simplement à prendre connaissance de son article. Hamilton est parmi les destinataires. Le deuxième fichier arrive le 10 mars 2003 : vingt-deux pages sur le flot de Ricci avec chirurgie dans les espaces à trois dimensions. Le troisième, daté du 17 juillet de la même année, compte sept pages et démontre que, sur une certaine classe d’espaces tridimensionnels, le flot de Ricci s’éteint en temps fini. Soixante-huit pages au total.

Dans les trois résumés, le nom de Poincaré n’apparaît pas une seule fois. Celui de Hamilton apparaît deux fois. Le premier annonce la vérification de plusieurs affirmations liées au programme de Hamilton, ainsi qu’une esquisse de démonstration. Le deuxième reconnaît qu’une affirmation du fichier précédent, concernant le volume et la régularité, n’était pas suffisamment justifiée ; heureusement, les autres résultats n’en dépendent pas. Une affaire restée en suspens pendant près d’un siècle se trouve ainsi consignée sur le ton d’un journal de chantier.

Perelman ne soumet pas ces textes à une revue. Le site qui les héberge a été créé en août 1991 par le physicien Paul Ginsparg, au Laboratoire national de Los Alamos. En 2001, il l’a suivi à l’université Cornell. Au départ, Ginsparg tablait sur une centaine d’articles par an ; il utilisait une station de travail du laboratoire dont le disque dur n’offrait que cent cinq mégaoctets. Puis physiciens et mathématiciens ont pris l’habitude d’y déposer leurs articles avant même de les soumettre à une revue. Tout le monde peut les télécharger. Le site ne procède qu’à un premier tri, pour vérifier qu’il s’agit bien de travaux scientifiques sérieux. Il ne les fait pas évaluer par des rapporteurs. À l’époque où les revues régnaient seules, publier un résultat remplissait trois fonctions à la fois : le transmettre aux collègues, établir la priorité, obtenir l’aval des spécialistes. Ces trois opérations formaient un tout, confié à deux ou trois rapporteurs choisis par la rédaction. Il fallait des mois, parfois des années. Le site les a dissociées. La diffusion se fait dans la journée. L’horodatage établit qui a publié en premier. Quant à la validation, le site ne s’en charge pas.

En avril 2002, le mathématicien Martin Dunwoody, de l’université de Southampton, dépose sur une page de son établissement une prépublication de cinq pages intitulée Une démonstration de la conjecture de Poincaré. Quelques jours plus tard, il en publie une nouvelle version avec un point d’interrogation ajouté au titre. Une étape essentielle n’a pas été démontrée, et lui-même ne voit pas comment combler la lacune. Un texte mis en ligne ne vient avec aucune garantie d’exactitude. À ceux qui le lisent d’en juger. Parfois, le lecteur en question est l’auteur lui-même.

Perelman a expliqué plus tard aux journalistes pourquoi il avait choisi ce mode de publication. S’il s’était trompé et que quelqu’un avait tiré de ses travaux une démonstration correcte, disait-il en substance, il en aurait été heureux. Il n’avait jamais eu l’intention d’être le seul à résoudre le problème de Poincaré.

En avril 2003, Perelman part pour un mois de conférences aux États-Unis. Première étape : le MIT. Les 7, 9 et 11 avril, de 16 h 30 à 17 h 30, il y parle du flot de Ricci et de la géométrisation des variétés de dimension trois. Il passe aussi par Stony Brook, Princeton et Columbia. Plusieurs universités lui proposent un poste. Il n’en accepte aucun et regagne l’antenne de Saint-Pétersbourg de l’Institut de mathématiques Steklov. Ce n’est qu’après son retour qu’il met en ligne le troisième fichier.

3. Un élastique

Pour expliquer le problème qui avait résisté pendant un siècle, le plus simple est de reprendre l’image employée par l’Institut Clay lui-même. Passez un élastique autour d’une pomme. En le faisant glisser à la surface, vous pouvez le resserrer jusqu’à le ramener à un point, sans rompre l’élastique ni déchirer la pomme. Avec un beignet en forme d’anneau, cela ne marche plus : si l’élastique entoure le trou central, impossible de le réduire à un point sans couper l’un ou l’autre. En dimension deux, c’est-à-dire sur une surface, ce critère suffit : une surface fermée sur laquelle tout élastique peut être contracté en un point ne peut être qu’une sphère. En 1904, Poincaré demande si cela reste vrai une dimension plus haut. Un espace fermé à trois dimensions, dans lequel toute boucle peut être contractée en un point, est-il nécessairement une sphère de dimension trois ?

S’il pose la question, c’est qu’il y a déjà répondu une fois, à tort. En 1900, il affirme dans un article qu’il suffit de compter d’une certaine manière les trous d’un espace à trois dimensions : si l’on obtient le même compte que pour une sphère, l’espace est une sphère. Quatre ans plus tard, il construit lui-même un contre-exemple. Il colle par leur surface deux solides en forme de beignets à deux trous et obtient un espace tridimensionnel. Avec sa méthode de comptage, cet espace a les mêmes trous qu’une sphère. Pourtant, il contient une boucle qu’aucune déformation ne peut ramener à un point. Poincaré reformule donc le problème en termes de boucles, à la fin d’un article paru dans les Rendiconti du Cercle mathématique de Palerme. Puis il ajoute que poursuivre cette question l’entraînerait trop loin. Et il pose la plume.

La question, elle, poursuivra son chemin pendant près d’un siècle. En dimension supérieure, la version formulée pour les sphères d’homotopie est démontrée dans les années 1960. En dimension quatre, la version topologique l’est dans les années 1980. Attention aux distinctions : dans les grandes dimensions, la simple connexité ne suffit pas à remplacer la condition d’être une sphère d’homotopie ; et, en dimension quatre, le cas des structures différentiables doit être traité à part. C’est précisément la dimension trois qui continue de résister. En mai 2000, à Paris, l’Institut Clay présente sept problèmes et promet un million de dollars pour la résolution de chacun. La conjecture de Poincaré est du nombre.

Pour arriver jusqu’à ce problème, Perelman a suivi un parcours universitaire classique, en franchissant seulement chaque étape très vite. En 1982, à seize ans, il obtient un score parfait aux Olympiades internationales de mathématiques de Budapest. Il obtient ensuite son diplôme à l’université de Leningrad, puis, à partir de 1990, travaille à l’antenne locale de l’Institut Steklov. En 1992, il part pour trois ans aux États-Unis : un semestre à l’Institut Courant de l’université de New York, un autre à Stony Brook, puis deux années à Berkeley comme Miller Fellow. En 1994, un article de quatre pages lui suffit à démontrer une conjecture vieille de vingt-deux ans. La même année, il est invité à donner une conférence au Congrès international des mathématiciens de Zurich. En 1995, il rentre à Saint-Pétersbourg.

Durant ces années américaines, il assiste à une conférence de Hamilton à l’Institute for Advanced Study de Princeton. Hamilton a vingt-trois ans de plus que lui. Il enseigne alors à l’université de Californie à San Diego et travaille depuis dix ans à une certaine méthode. À la fin de la conférence, Perelman vient lui poser des questions. Il racontera aux journalistes avoir trouvé un homme souriant et patient, qui lui avait expliqué sans la moindre réticence des résultats qu’il ne publierait que plusieurs années plus tard. Cette franchise et cette générosité l’avaient beaucoup attiré. Il ne pouvait pas en dire autant de la plupart des mathématiciens, précisait-il.

4. Opérer

Ce dont Hamilton parlait durant ces années-là, c’était de la méthode qu’il avait inaugurée en 1982. L’idée consistait à mettre l’espace lui-même en mouvement : laisser les zones très courbées s’aplanir, comme la chaleur se propage, dans une barre de fer, de l’extrémité chaude vers l’extrémité froide. C’est ce qu’on appelle le flot de Ricci. Pour une variété compacte de dimension trois dont la courbure de Ricci est partout strictement positive, Hamilton avait démontré dès cette première année qu’après une normalisation maintenant le volume constant, le flot tend vers une géométrie à courbure sectionnelle constante strictement positive. L’espace correspondant peut être une sphère, mais aussi un quotient de la sphère. La difficulté, c’est qu’un espace quelconque ne se comporte pas ainsi. En cours d’évolution, certaines zones s’étranglent en un col de plus en plus mince, jusqu’au point où l’équation ne permet plus de poursuivre le calcul. Hamilton propose alors d’opérer : couper le col avant qu’il se rompe, poser une calotte sur chacune des deux ouvertures, puis laisser le flot reprendre. Encore faut-il régler deux questions. Les zones qui s’étranglent prennent-elles toujours l’une de quelques formes reconnaissables ? Sinon, on ne sait pas où couper. Et les opérations risquent-elles de se rapprocher indéfiniment, au point qu’il en faille une infinité en un temps fini ? Perelman résout les deux difficultés. Il démontre en outre que, si toute boucle de l’espace peut être contractée en un point, cette alternance de déformations et de coupes finit par faire disparaître l’espace entier en un temps fini ; chaque morceau retiré a une forme identifiable. En recousant les morceaux, opération après opération, on remonte à un espace initial qui ne peut être qu’une sphère. Pour tout cela, Perelman a utilisé soixante-huit pages.

Dans ses trois fichiers, le programme porte donc le nom de Hamilton. Le premier résumé annonce qu’il vérifie des affirmations du programme de Hamilton. Le troisième indique que la démonstration utilise un argument tiré d’un article de Hamilton paru en 1999. Ce nom n’a pas été ajouté après coup par souci d’équité : Perelman l’a lui-même inscrit dans ses résumés. C’est lui, en revanche, qui a vaincu les deux difficultés les plus coriaces du programme. Ceux qui vérifieront ensuite le texte ligne à ligne identifieront la forme des zones d’étranglement et le contrôle de la fréquence des opérations comme les points les plus difficiles de toute la méthode. Pendant vingt ans, personne n’en était venu à bout.

Voilà aussi pourquoi il faudra ensuite trois équipes et, à elles toutes, plus de mille pages pour déplier ces soixante-huit pages. Perelman a écrit une démonstration extrêmement condensée. Aux endroits décisifs, il apporte les idées nouvelles et les arguments qui les établissent. Entre ces points, il omet quantité d’étapes qu’un spécialiste peut reconstituer seul. Comment choisir les paramètres lorsqu’on opère près d’un col ? Comment passer à la limite après une chirurgie ? Comment assembler les fines tranches découpées pour parvenir à une conclusion globale ? Tout cela doit être exposé pas à pas pour que quelqu’un d’autre que Perelman puisse se convaincre que la démonstration est juste.

L’article de quatre pages paru en 1994 était déjà écrit de cette façon. Cette fois, il aura fallu plusieurs équipes et plusieurs années pour venir à bout de la lecture.

5. Des centaines de pages

Les premiers à se mettre au travail sont Kleiner et Lott, de l’université du Michigan. Dès 2003, ils publient en ligne les notes de leur lecture de Perelman, paragraphe après paragraphe. Ils écrivent au fil de leur progression, corrigent à mesure, laissent chacun regarder. En mai 2006, ils déposent une version mise en forme sur le même site de prépublications. Deux ans plus tard, elle paraîtra dans une revue : environ deux cent soixante-dix pages. En juin, Zhu Xiping, de l’université Sun Yat-sen, et Cao Huaidong, de l’université Lehigh aux États-Unis, publient un article de trois cent vingt-huit pages dans l’Asian Journal of Mathematics. En juillet, John Morgan, de Columbia, et Tian Gang, de Princeton, mettent leur propre version en ligne. Elle deviendra l’année suivante un livre de plus de cinq cents pages.

Les trois équipes accomplissent le même travail : expliciter, vérifier et compléter la démarche de Hamilton et Perelman. Leurs styles et certains traitements locaux diffèrent, mais il ne s’agit pas de trois nouvelles démonstrations indépendantes. Il n’y a pas eu un jour où un vote aurait déclaré l’affaire réglée. La certitude s’est construite couche après couche. Le 24 août, Morgan donne au congrès de Madrid une conférence sur la conjecture de Poincaré. Il en parle comme d’un problème résolu. En décembre, la revue Science en fait sa percée de l’année.

Le règlement de l’Institut Clay exige que la solution paraisse dans une publication évaluée par les pairs, puis qu’un délai de deux ans s’écoule. Les trois fichiers de Perelman ne remplissent pas la première condition. Les exposés détaillés examinés par la suite par des spécialistes ont contribué à satisfaire les conditions d’attribution. Parmi eux figure le livre de plus de cinq cents pages de Morgan et Tian Gang, publié en 2007 dans la collection de monographies de l’Institut Clay lui-même. Il fallait aussi que le délai d’attente soit respecté et que la communauté mathématique ait accepté le résultat. La seule publication d’un livre ne suffisait pas à déclencher le prix.

L’article de Cao Huaidong et Zhu Xiping s’intitulait à l’origine Une démonstration complète des conjectures de Poincaré et de géométrisation, avec un sous-titre le présentant comme une application de la théorie du flot de Ricci de Hamilton et Perelman. Certains mathématiciens et journalistes ont lu les mots « démonstration complète », ainsi que plusieurs formulations du résumé, comme une revendication : la démonstration n’aurait été achevée qu’entre les mains des deux auteurs. En juillet, Kleiner et Lott leur signalent qu’un argument repris de leurs anciennes notes publiques n’est pas attribué. À la fin de l’année, la revue publie un correctif. Une étape de la démonstration, y est-il expliqué, suit les notes mises en ligne par Kleiner et Lott en juin 2003, avec quelques modifications seulement. Les deux auteurs avaient étudié ces notes entre juin 2003 et le début de l’année suivante, pris leurs propres notes, puis oublié la provenance de l’argument au moment de rédiger. Ils présentent leurs excuses. Le 3 décembre, une version révisée est mise en ligne. Le titre devient La démonstration des conjectures de Poincaré et de géométrisation par Hamilton et Perelman. Un paragraphe liminaire rappelle leurs excuses et explique que les changements du titre et du résumé doivent mieux exprimer leur position : tout le mérite de la démonstration de la conjecture de Poincaré revient à Hamilton et Perelman. Selon les auteurs, en dehors des modifications annoncées, le corps mathématique du texte reste pour l’essentiel inchangé.

6. Être en vue

En juin de cette année-là, deux journalistes s’entretiennent longuement avec Perelman à Saint-Pétersbourg : Sylvia Nasar, l’autrice d’Un homme d’exception, la biographie de Nash, et David Gruber. Leur article est mis en ligne le 21 août, puis paraît dans le numéro du 28 août du New Yorker sous le titre Manifold Destiny, « Le destin des variétés ». C’est de cet article que provient l’essentiel des propos les plus développés de Perelman dont nous disposons aujourd’hui sur son refus de la médaille.

À propos de l’article de Cao Huaidong et Zhu Xiping, Perelman dit aux journalistes ne pas voir ce qu’ils ont apporté de nouveau. Interrogé sur Yau Shing-Tung, il répond en substance qu’il n’est pas en colère, que d’autres se conduisent plus mal. Puis il poursuit : les mathématiciens plus ou moins honnêtes sont nombreux, mais presque tous suivent le mouvement. Ils sont eux-mêmes plus ou moins honnêtes et tolèrent pourtant la malhonnêteté des autres. Ceux que l’on traite en marginaux, ce ne sont pas les gens qui enfreignent les règles, mais les gens comme lui. Il parle aussi de ce que change le fait d’être en vue. Tant qu’il restait discret, il avait encore le choix : commettre un acte peu honorable, ou s’en abstenir et se laisser garder comme un animal de compagnie. Maintenant qu’il était devenu très visible, il ne pouvait plus jouer ce rôle et garder le silence. Il ne lui restait donc qu’à se retirer. L’article indique qu’il avait démissionné de son poste de chercheur à l’Institut Steklov en décembre de l’année précédente.

L’article noue plusieurs fils : sa démonstration et son refus du prix, le partage du mérite entre Hamilton et lui, le travail de Cao Huaidong et Zhu Xiping, l’influence de Yau Shing-Tung dans les mathématiques internationales. Une caricature en pleine page représente le conflit comme une lutte pour s’emparer d’une médaille. Le 18 septembre, l’avocat de Yau adresse une lettre dénonçant des inexactitudes, de la diffamation, des citations inventées ou déformées, et exigeant des rectifications et des excuses. Le 25 septembre, Hamilton publie une lettre ouverte où il se dit profondément troublé par le traitement injuste réservé à Yau. Deux mathématiciens interrogés pour l’article, Stroock et Anderson, contestent eux aussi publiquement l’usage fait de leurs propos. Le New Yorker maintient son récit. Aucun procès n’est engagé. Yau niera ensuite à plusieurs reprises avoir voulu s’attribuer le mérite de qui que ce soit. Ce qu’il entendait souligner, explique-t-il, c’est que tout le monde ne peut pas lire directement les textes de Perelman, et que l’exposé détaillé de Cao Huaidong et Zhu Xiping a sa valeur. Quelques faits sont établis : une source avait bien été omise ; les auteurs l’ont reconnu, se sont excusés et ont changé le titre de leur version révisée. En revanche, sur les intentions derrière les formulations initiales, ou sur d’éventuels problèmes dans les procédures d’évaluation et de publication de l’article, les récits des différentes parties ne se rejoignent toujours pas.

Deux jours avant l’ouverture du congrès de Madrid, le Sunday Telegraph britannique publie lui aussi les propos recueillis par un journaliste qui a retrouvé Perelman. Celui-ci dit ne pas croire que ce qu’il pourrait dire présente le moindre intérêt public. Il a publié tous ses calculs : voilà ce qu’il peut offrir au public. Deux autres déclarations circuleront encore davantage. Il ne s’intéresserait ni à l’argent ni à la célébrité, ne voudrait pas être exposé comme un animal au zoo et ne se considérerait pas comme un héros des mathématiques. La plus ancienne publication de ces propos que l’on puisse retrouver date de 2010. Des journaux et radios britanniques les attribuent à 2006, sans qu’il soit désormais possible d’établir dans quelles circonstances ni à qui il les aurait tenus.

Depuis 2006, les textes consacrés à Perelman ne cessent de se multiplier. La plupart n’ont rien à voir avec ses calculs. Celui que vous lisez en fait partie.

Les sources de cette histoire présentent une singulière dissymétrie. Du côté de la démonstration, chaque étape a ses fichiers datés, ses nombres de pages, ses versions révisées, ses correctifs. Qui a publié quoi, et quel jour : tout peut être vérifié. Du côté du refus, nous n’avons toujours pas de déclaration signée de Perelman qui expose l’ensemble des raisons de ces refus successifs et que l’on puisse vérifier. Nous avons quelques entretiens. À chaque fois, un journaliste et une rédaction s’interposent, souvent aussi une langue. On peut encore tenir en main une tablette d’argile où un scribe a inscrit une opération comptable il y a quatre mille ans, et en vérifier le contenu. Pour savoir pourquoi un homme ne veut pas d’une médaille, ce que nous pouvons tenir en main se réduit aux journaux.

7. Un million

Pendant leurs deux journées de discussion en 2006, Ball demande à Perelman s’il accepterait le million de dollars au cas où l’Institut Clay le lui attribuerait un jour. Ball racontera à l’Associated Press la réponse reçue : si le prix lui était effectivement décerné, Perelman en parlerait avec l’Institut Clay. Aux journalistes du New Yorker, Perelman dit que le prix n’a pas encore été attribué et qu’il n’entend pas décider pour l’instant s’il l’acceptera.

Le 18 mars 2010, l’Institut Clay annonce l’attribution du prix du millénaire à Perelman. C’est la première fois que l’une des récompenses promises est effectivement décernée. Son président, Carlson, y voit la fin d’une quête de cent ans. Le 8 juin, l’Institut ouvre à Paris une conférence de deux jours intitulée, tout simplement, La résolution de la conjecture de Poincaré. Perelman ne vient pas. Le 1er juillet, l’agence de presse russe Interfax annonce qu’il a fait savoir à l’Institut Clay, environ une semaine plus tôt, qu’il n’accepterait pas le prix. Les propos qu’elle publie reviennent à ceci : il a refusé ; les raisons pour et contre étaient nombreuses, d’où le temps qu’il lui a fallu pour trancher. La raison principale est son désaccord avec la communauté mathématique organisée. Il n’approuve pas ses décisions, qu’il juge injustes. À ses yeux, la contribution du mathématicien américain Hamilton à la résolution du problème n’est en rien inférieure à la sienne.

Quatre ans plus tôt, sa première explication du refus portait sur la démonstration elle-même : si elle est juste, elle n’a pas besoin d’une autre reconnaissance. Cette fois, il parle d’abord des décisions du milieu mathématique et cite Hamilton. Il ne précise pas quelles décisions il vise. Deux faits, néanmoins, sont certains. La médaille Fields obéit à une règle impérative : le quarantième anniversaire d’un candidat ne doit pas précéder le 1er janvier de l’année d’attribution. Né en janvier 1943, Hamilton a soixante-trois ans en 2006. La médaille ne pouvait donc, dès le départ, lui revenir. Perelman fête ses quarante ans en juin de cette année-là : 2006 est sa dernière année d’éligibilité. Le prix du millénaire n’impose aucune limite d’âge. En 2010, il est pourtant décerné sous un seul nom.

Hamilton a reçu bien des distinctions. L’Institut Clay lui a attribué un prix de recherche dès 2003 ; sont venus ensuite le prix Steele et le prix Shaw. Il enseignait à Columbia depuis 1998. Il est mort en septembre 2024, à quatre-vingt-un ans.

Sur l’Internet chinois, la phrase de Perelman la plus souvent citée est celle où il aurait demandé à quoi bon courir après un million puisqu’il savait contrôler l’Univers. Elle apparaît pour la première fois dans la nuit du 27 avril 2011. Le site moscovite de Komsomolskaïa Pravda publie le récit d’un entretien par un homme qui se présente comme producteur de cinéma. Près de dix mois se sont écoulés depuis le refus de la somme. Dès le lendemain, un site d’information russe relève que personne ne répond au téléphone de la société de production, qu’aucun film à son actif n’est identifiable, et que l’article se trompe même sur le département où Perelman a étudié et sur le titre de sa thèse. En dehors du narrateur, personne ne peut attester que cette conversation a eu lieu. La phrase qui a voyagé le plus loin est celle dont la trace se perd le plus vite.

8. Deux livres de comptes

Perelman n’est pas le premier à refuser une grande distinction. Le 13 avril 1988, Grothendieck, qui a soixante ans, apprend que l’Académie royale des sciences de Suède lui attribue le prix Crafoord, conjointement avec son ancien élève Deligne. La dotation totale est de deux cent soixante-dix mille dollars. Six jours plus tard, il écrit au secrétaire perpétuel de l’Académie. Le Monde publie sa lettre le 4 mai, en y apportant quelques modifications qui le mettent en colère. Voilà, parmi ces refus, une rare pièce signée de son auteur, dont les motifs sont parfaitement explicites. Son traitement de professeur, puis sa retraite à compter d’octobre, suffisent très largement à ses besoins et à ceux de sa famille. Les chercheurs de haut niveau, écrit-il en substance, disposent tous d’une position sociale suffisante et vivent déjà dans une grande aisance matérielle. Le trop-plein des uns ne peut se faire qu’au prix du manque des autres. Les travaux récompensés remontent à vingt-cinq ans ; leur vitalité se mesure à ce qu’ils ont fait naître depuis, non aux honneurs qu’ils récoltent. Il réserve pour la fin la raison qu’il juge essentielle : les mœurs scientifiques se sont dégradées au point que le vol manifeste entre collègues est devenu courant. Accepter ce prix reviendrait à cautionner cet état de choses.

Perelman avait également refusé le prix que la Société mathématique européenne lui avait attribué en 1996. Il n’en a jamais donné publiquement les raisons. Avant lui, personne n’avait refusé la médaille Fields.

L’effet d’un prix sur son lauréat a été mesuré. En 2015, les économistes Borjas et Doran comparent les lauréats de la médaille Fields à des mathématiciens de niveau comparable, de la même génération, qui ne l’ont pas obtenue. Après la récompense, le premier groupe produit sensiblement moins d’articles, reçoit moins de citations et forme moins d’étudiants. Les lauréats sont aussi plus nombreux à se tourner vers des sujets sans rapport avec leurs recherches antérieures. Les économistes estiment qu’environ la moitié de la baisse de production provient de ces changements de direction. L’étude ne prétend expliquer les motivations d’aucun individu. Elle fournit une comparaison observationnelle portant sur un échantillon précis, et ne peut établir pour chacun ni causalité ni motivation. Elle suggère toutefois qu’une médaille ne se contente pas d’étiqueter après coup un travail accompli.

La discipline obéit à une règle : la justesse d’une démonstration ne dépend pas de l’identité de celui qui l’a écrite. Les prix suivent une autre logique. Ils veulent un nom, une personne qui monte sur scène, avec parfois une somme d’argent à la clé. D’ordinaire, les deux logiques suivent chacune leur cours. En 2006 et en 2010, elles se sont rencontrées chez un même homme.

Les deux institutions ont fini par tenir des comptes séparés. Au palmarès de l’Union mathématique internationale, son nom figure toujours à l’année 2006, suivi d’une ligne précisant qu’il a refusé la distinction. L’Institut Clay continue de classer la conjecture de Poincaré parmi les problèmes résolus, et lui en attribue la solution. Quant au million de dollars, l’Institut l’a affecté à une chaire Poincaré créée avec l’Institut Henri-Poincaré de Paris. La somme finance pendant cinq ans des séjours parisiens de six mois à un an pour de jeunes mathématiciens en début de carrière. Les deux premiers titulaires arrivent en 2014. En présentant cette chaire, l’Institut explique vouloir offrir à de jeunes chercheurs prometteurs la possibilité de développer leurs idées et de se consacrer à leurs recherches, comme Perelman avait pu le faire à Berkeley grâce à sa bourse Miller de 1993 à 1995.

Ces deux années à Berkeley formaient la seconde partie de ses trois années américaines. Il n’y avait alors ni médaille ni million. Il y avait du temps, et un aîné disposé à répondre aux questions après une conférence.

Les trois fichiers sont toujours sur ce serveur. Soixante-huit pages. Chacun peut les télécharger, sans rien payer et sans avoir à dire qui il est.

La justesse d’un travail et ce qu’il rapporte s’inscrivent dans deux livres de comptes distincts.

Le 11 septembre 2026, vingt-cinq lauréats de la médaille Fields ont publié une déclaration commune.

Les calculs continuent. Quant à savoir ce qui compte comme mathématiques, la question n’a jamais été réglée.

Sources et lectures complémentaires

Les documents ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans cet essai. Les notices de collections, les textes anciens et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Union mathématique internationale : palmarès et règles de la médaille Fields
• Médailles Fields 2006 : textes officiels des distinctions
• Perelman : la formule d’entropie pour le flot de Ricci
• Perelman : le flot de Ricci avec chirurgie sur les variétés de dimension trois
• Perelman : extinction en temps fini
• Kleiner et Lott : notes sur les articles de Perelman
• Morgan et Tian : le flot de Ricci et la conjecture de Poincaré
• Cao et Zhu : version révisée de la démonstration de Hamilton et Perelman
• Université Columbia : récit de la controverse autour du reportage
• Nasar et Gruber : « Manifold Destiny », le destin des variétés
• Institut Clay : rapport annuel 2010
• Université Columbia : nécrologie de Richard Hamilton
• Académie royale des sciences de Suède : annonce du prix Crafoord 1988
• Catalogue des archives de la correspondance de Grothendieck
• Borjas et Doran : prix et productivité
• Institut Clay : la chaire Poincaré
• Terence Tao : déclaration relayée sur le grave désalignement de l’IA en mathématiques

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