Matemáticas · 24 / 25

La negativa

Tres archivos públicos resolvieron un problema de un siglo. Pero ni una medalla ni un premio en dinero pudieron decidir por su autor qué relación debía mantener con la comunidad matemática.

Han Qin · Edición completa en español

En este ensayo

1. Madrid
2. Tres archivos
3. Una goma elástica
4. Operar
5. Cientos de páginas
6. A la vista de todos
7. Un millón
8. Dos libros de cuentas
Fuentes históricas y lecturas complementarias

1. Madrid

El 22 de agosto de 2006 se inauguró el Congreso Internacional de Matemáticos en el Palacio Municipal de Congresos de Madrid. Habían acudido más de cuatro mil quinientas personas. El rey Juan Carlos I presidía la ceremonia de apertura, en la que, como era costumbre, se anunciaron las medallas Fields. John Ball, matemático de Oxford y presidente de la Unión Matemática Internacional, leyó cuatro nombres: Okounkov, Perelman, Terence Tao y Werner. Tres hombres subieron al escenario y recibieron sus medallas de manos del rey. Perelman no estaba allí. Ball comunicó, con pesar, que el doctor Perelman había rechazado el galardón.

La medalla ya estaba acuñada. Oro de catorce quilates, algo más de sesenta milímetros de diámetro, ciento sesenta y nueve gramos. En el anverso, el perfil de Arquímedes; en el reverso, una inscripción latina que venía a decir que los matemáticos reunidos allí desde todos los rincones del mundo la otorgaban por una obra sobresaliente. Debajo aparecía la esfera inscrita en un cilindro que figuraba en la tumba de Arquímedes. Según informó Nature, la Unión guardaría la medalla: si algún día cambiaba de opinión, podría recogerla. La acompañaban quince mil dólares canadienses.

Ball conocía la negativa desde hacía dos meses. A finales de mayo, el comité había elegido a los premiados; en junio, Ball voló a San Petersburgo para ver a Perelman. Según los reportajes publicados después, conversaron unas diez horas a lo largo de dos días. Perelman contó más tarde el encuentro a dos periodistas. Ball le había dado tres opciones: aceptar y acudir a la ceremonia; aceptar sin acudir, en cuyo caso le enviarían la medalla; o rechazarla. Él había elegido la tercera desde el principio. Su explicación, en esencia, era que aquel premio le resultaba por completo irrelevante. Todo el mundo entendía que, si la demostración era correcta, no hacía falta ningún otro reconocimiento.

Después de la ceremonia, Ball dijo a los periodistas que los motivos eran complejos. Los resumió en una frase: Perelman se sentía apartado de la comunidad matemática y no quería que lo convirtieran en un reclamo. La justificación oficial del premio estaba redactada con cuidado: reconocía sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias sobre las estructuras analítica y geométrica del flujo de Ricci. En ese texto no aparecía el nombre de Poincaré. En el comunicado de prensa y en los periódicos del día siguiente, sí.

Ese mismo día, una web que alojaba artículos científicos publicó un aviso: el servidor estaba soportando una carga extraordinaria por la cantidad de personas que descargaban los trabajos de Perelman. Solo se habían publicado como prepublicaciones y estaban disponibles allí mismo, más abajo. Una medalla cuya inscripción celebraba una «obra sobresaliente» reconocía, sobre todo, tres artículos que nunca habían pasado por las páginas de ninguna revista.

2. Tres archivos

El primer archivo apareció el 11 de noviembre de 2002. Tenía treinta y nueve páginas y se titulaba La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas. Hacia el 12 de noviembre, una decena larga de matemáticos de Estados Unidos recibió un correo de Perelman con el resumen. La primera frase les pedía que prestaran atención a aquel trabajo. Hamilton estaba entre los destinatarios. El segundo archivo llegó el 10 de marzo de 2003: veintidós páginas sobre el flujo de Ricci con cirugía en espacios tridimensionales. El tercero, del 17 de julio de ese año, ocupaba siete páginas y demostraba que, en cierta clase de espacios tridimensionales, el flujo de Ricci se extinguía en un tiempo finito. Entre los tres sumaban sesenta y ocho páginas.

En aquellos tres resúmenes, Poincaré no aparecía ni una vez. Hamilton, dos. El primero decía que el artículo verificaba varias afirmaciones relacionadas con el programa de Hamilton y ofrecía el esbozo de una demostración. El segundo reconocía que una afirmación del archivo anterior sobre volumen y regularidad no estaba suficientemente justificada; por fortuna, las demás conclusiones no dependían de ella. Un asunto que llevaba casi un siglo pendiente se despachaba con el tono de un parte de obra.

Perelman no envió los artículos a ninguna revista. La web donde los había depositado la había creado el físico Paul Ginsparg en agosto de 1991, en el Laboratorio Nacional de Los Álamos; en 2001 se trasladó con él a la Universidad de Cornell. Al principio, Ginsparg calculaba que recibiría unos cien artículos al año. Usaba una estación de trabajo del laboratorio cuyo disco duro tenía apenas ciento cinco megabytes. Después, físicos y matemáticos empezaron a subir allí trabajos que aún no habían enviado a las revistas. Cualquiera podía descargarlos. La web solo aplicaba un filtro elemental para comprobar que se trataba de trabajos académicos serios; no encargaba su evaluación a revisores. En la era de las revistas, un resultado tenía que resolver tres cosas a la vez: llegar a los colegas, dejar constancia de quién había sido el primero y obtener el reconocimiento de los especialistas. Las tres iban en un mismo paquete, a cargo de dos o tres revisores elegidos por el editor, y podían tardar meses o años. Aquella web las separó. La difusión era cuestión de un día; la prioridad quedaba registrada en la marca de tiempo. Del reconocimiento, la web no se ocupaba.

En abril de 2002, Martin Dunwoody, matemático de la Universidad de Southampton, había colgado en la web de su universidad una prepublicación de cinco páginas titulada Una demostración de la conjetura de Poincaré. Pocos días después subió otra versión y añadió un signo de interrogación al título. Había un paso decisivo sin demostrar y él mismo no veía cómo remediarlo. Nadie respondía de la validez de lo que se publicaba en internet. De eso se encargaban los lectores; a veces, el propio autor.

Perelman explicó más tarde a los periodistas por qué había publicado de aquella manera. Si estaba equivocado y alguien se servía de su trabajo para construir una demostración correcta, se alegraría. Nunca había pretendido ser el único que resolviera el problema de Poincaré.

En abril de 2003 pasó un mes dando conferencias en Estados Unidos. Comenzó en el MIT: los días 7, 9 y 11 de abril, de cuatro y media a cinco y media de la tarde, habló sobre El flujo de Ricci y la geometrización de las variedades tridimensionales. También visitó Stony Brook, Princeton y Columbia. Varias universidades le ofrecieron puestos. No aceptó ninguno y volvió a la sección de San Petersburgo del Instituto de Matemáticas Steklov. El tercer archivo lo publicó después de regresar.

3. Una goma elástica

La forma más sencilla de explicar aquel problema centenario es la que emplea el propio Instituto Clay de Matemáticas. Pongamos una goma elástica alrededor de una manzana. Podemos deslizarla por la superficie, estrechándola poco a poco, hasta reducirla a un punto, sin romper la goma ni la manzana. Con un dónut no siempre es posible. Si la goma rodea su agujero central, no podremos contraerla hasta un punto sin cortar la goma o el dónut. En dos dimensiones, es decir, sobre una superficie, esa propiedad basta para distinguirlos: si en una superficie cerrada cualquier goma puede contraerse hasta un punto, la superficie ha de ser una esfera. En 1904, Poincaré preguntó si seguía siendo cierto al añadir una dimensión. Si en un espacio tridimensional cerrado todo lazo puede contraerse hasta un punto, ¿tiene que ser ese espacio una esfera tridimensional?

Para llegar a esa pregunta, primero tuvo que equivocarse al dar una respuesta. En 1900 había afirmado en un artículo que bastaba contar de cierta manera los agujeros de un espacio tridimensional: si el recuento coincidía con el de una esfera, el espacio era una esfera. Cuatro años después construyó él mismo un contraejemplo. Pegó por sus superficies dos piezas macizas, cada una con la forma de un dónut de dos agujeros. El espacio tridimensional resultante tenía, según aquel método, los mismos agujeros que una esfera; sin embargo, contenía un lazo imposible de contraer hasta un punto. Poincaré reformuló entonces la pregunta en términos de lazos, al final de un artículo publicado en la revista del Círculo Matemático de Palermo. Después de plantearla, dejó escrito que seguir por ahí los llevaría demasiado lejos. Y dejó la pluma.

La pregunta siguió su camino durante casi un siglo. La versión en términos de esferas de homotopía para dimensiones superiores se demostró en los años sesenta del siglo XX; la versión topológica en dimensión cuatro, en los ochenta. En las dimensiones superiores no basta sustituir la condición de ser una esfera de homotopía por la de ser simplemente conexo, y la versión diferenciable en dimensión cuatro también debe tratarse por separado. Era precisamente el caso tridimensional el que seguía sin rendirse. En mayo de 2000, el Instituto Clay anunció en París siete problemas y ofreció un millón de dólares por cada uno. El de Poincaré estaba en la lista.

Perelman llegó hasta ese problema por un itinerario académico bastante corriente, solo que recorrió cada etapa muy deprisa. En 1982, a los dieciséis años, obtuvo la puntuación máxima en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de Budapest. Completó después sus estudios en la Universidad de Leningrado y, en 1990, comenzó a trabajar en la sección del Instituto Steklov de esa ciudad. Desde 1992 pasó tres años en Estados Unidos: un semestre en el Instituto Courant de la Universidad de Nueva York, otro en Stony Brook y dos años como investigador Miller en Berkeley. En 1994 demostró, en un artículo de cuatro páginas, una conjetura que llevaba veintidós años abierta. Ese mismo año fue invitado a dar una conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de Zúrich. En 1995 regresó a San Petersburgo.

Durante sus años en Estados Unidos fue a escuchar una conferencia de Hamilton en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Hamilton le llevaba veintitrés años, trabajaba entonces en la Universidad de California en San Diego y llevaba una década desarrollando un método. Al terminar, Perelman se acercó a hacerle preguntas. Más tarde recordó ante los periodistas que Hamilton sonreía, tenía mucha paciencia y le contó, sin el menor reparo, algunas cosas que no publicaría hasta varios años después. A Perelman le atrajeron aquella franqueza y aquella generosidad. No podía decir, añadió, que la mayoría de los matemáticos fueran así.

4. Operar

El método del que Hamilton hablaba en aquellos años era el que había puesto en marcha en 1982. Consistía en hacer evolucionar el propio espacio: que las zonas muy curvadas se fueran alisando, como el calor se propaga desde el extremo caliente de una pieza de hierro hacia el frío. Ese proceso se llama flujo de Ricci. Hamilton había demostrado que, en una variedad tridimensional compacta con curvatura de Ricci positiva en todos sus puntos, el flujo, normalizado para conservar el volumen, tiende a una geometría de curvatura seccional positiva constante. El espacio correspondiente puede ser una esfera o un espacio cociente de ella. La dificultad es que un espacio cualquiera no se comporta así. En pleno alisado pueden formarse cuellos que se estrechan cada vez más, hasta que la ecuación deja de poder avanzar por ellos. Hamilton proponía operar: cortar el cuello antes de que se estrangule, cerrar cada abertura con un casquete y seguir alisando. Para hacerlo había que resolver dos cuestiones. ¿Adoptarían siempre las zonas que se estrechaban alguna de unas pocas formas reconocibles? De lo contrario, no habría modo de saber dónde cortar. ¿Se sucederían las operaciones con una frecuencia cada vez mayor, hasta hacer infinitas en un tiempo finito? Perelman resolvió ambas cuestiones y demostró algo más: si todos los lazos del espacio pueden contraerse hasta un punto, ese proceso de alisar y cortar acaba por extinguir el espacio entero en un tiempo finito, y cada pieza retirada tiene una forma reconocible. Si se recorre el proceso a la inversa, cosiendo de nuevo cada corte, el espacio original solo puede ser una esfera. A Perelman le bastaron sesenta y ocho páginas para hacer todo eso.

Por eso, en sus tres archivos, el programa es el de Hamilton. El primer resumen dice que se verifican afirmaciones de ese programa; el tercero, que la demostración utiliza un argumento de un artículo de Hamilton de 1999. Su nombre no lo añadieron después otros por un deber de justicia. Lo había puesto Perelman en los resúmenes. Los dos puntos más duros del programa los resolvió él: quienes luego revisaron la demostración línea por línea señalaron como sus mayores dificultades la descripción de las zonas que se estrechan y la garantía de que las operaciones no se acumulan cada vez más deprisa. Llevaban veinte años sin resolverse.

Eso explica también por qué, para desarrollar aquellas sesenta y ocho páginas, hicieron falta tres equipos y más de mil páginas entre todos. Perelman había escrito una demostración extremadamente condensada. En los puntos decisivos exponía las ideas nuevas y los argumentos que las justificaban; omitía muchos pasos intermedios si un especialista podía reconstruirlos por su cuenta. Cómo elegir los parámetros al operar cerca de un cuello, cómo tomar límites después de la cirugía, cómo reunir las láminas recortadas para obtener una conclusión sobre el conjunto: todo eso había que escribirlo paso a paso para que alguien distinto de Perelman pudiera estar seguro de que la demostración era correcta.

El artículo de cuatro páginas de 1994 ya estaba escrito de ese modo. Esta vez, entender lo que había escrito exigió varios equipos y varios años.

5. Cientos de páginas

Los primeros en ponerse a ello fueron Bruce Kleiner y John Lott, de la Universidad de Michigan. Desde 2003 fueron publicando en internet sus notas de lectura, párrafo a párrafo, de los artículos de Perelman. Escribían conforme avanzaban, corregían sobre la marcha y cualquiera podía seguirlos. En mayo de 2006 subieron una versión ordenada al mismo repositorio. Dos años después apareció en una revista, con unas doscientas setenta páginas. En junio, Xi-Ping Zhu, de la Universidad Sun Yat-sen, y Huai-Dong Cao, de la Universidad de Lehigh, en Estados Unidos, publicaron en el Asian Journal of Mathematics un artículo de trescientas veintiocho páginas. En julio, John Morgan, de Columbia, y Gang Tian, de Princeton, difundieron su versión. Al año siguiente se convirtió en un libro de más de quinientas páginas.

Los tres equipos hacían lo mismo: desarrollar, comprobar y completar el camino abierto por Hamilton y Perelman. Diferían en estilo y en algunos tratamientos concretos, pero no eran tres demostraciones nuevas e independientes entre sí. No hubo un día en que aquello se aprobara por votación. El consenso se fue afianzando poco a poco. El 24 de agosto, Morgan dio una conferencia sobre la conjetura de Poincaré en el congreso de Madrid y la presentó como un problema resuelto. En diciembre, Science la eligió como el avance científico del año.

Las reglas del Instituto Clay exigían que la solución se publicara en un medio sometido a revisión por especialistas y que, después de publicarse, transcurrieran dos años. Los tres archivos de Perelman no cumplían el primer requisito. Las exposiciones detalladas que pasaron después por revisión formaron parte del proceso que permitió cumplir las condiciones del premio. Entre ellas estaba el libro de más de quinientas páginas de Morgan y Tian, publicado en 2007 en la propia colección de monografías del Instituto Clay. También contaban el plazo de espera y la aceptación de la comunidad matemática: publicar un libro no bastaba para desencadenar automáticamente la concesión.

El artículo de Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu llevaba al principio el título Una demostración completa de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. El subtítulo lo presentaba como una aplicación de la teoría del flujo de Ricci de Hamilton y Perelman. Algunos matemáticos y periodistas interpretaron las palabras «demostración completa», junto con ciertas expresiones del resumen, como una afirmación de que solo con ellos la demostración había quedado terminada. En julio, Kleiner y Lott les señalaron que uno de los argumentos no reconocía su procedencia: unas notas que ambos habían difundido antes. A finales de aquel año, la revista publicó una corrección. Uno de los pasos de la demostración seguía, con algunas modificaciones, las notas que Kleiner y Lott habían hecho públicas en junio de 2003. Cao y Zhu las habían estudiado desde ese mes hasta comienzos del año siguiente y habían tomado sus propios apuntes; al redactar el artículo, olvidaron de dónde procedía el argumento. Se disculparon por ello. El 3 de diciembre apareció una versión revisada, titulada La demostración de Hamilton y Perelman de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. Una nota inicial recordaba las disculpas y explicaba que el nuevo título y el nuevo resumen pretendían expresar mejor la posición de los autores: todo el mérito de demostrar la conjetura de Poincaré correspondía a Hamilton y Perelman. Según su propia explicación en la versión revisada, aparte de esos cambios, el cuerpo matemático permanecía prácticamente intacto.

6. A la vista de todos

En junio de aquel año, dos periodistas conversaron largamente con Perelman en San Petersburgo. Una era Sylvia Nasar, autora de Una mente prodigiosa, la biografía de Nash; el otro, David Gruber. Su artículo apareció en internet el 21 de agosto y en el número de The New Yorker fechado el día 28, con el título Manifold Destiny, El destino de las variedades. De ese reportaje procede la mayor parte de las explicaciones más completas que hoy conocemos, en palabras del propio Perelman, sobre su rechazo de la medalla.

Al hablar del artículo de Cao y Zhu, Perelman dijo a los periodistas que no veía qué habían aportado de nuevo. Cuando le preguntaron por Shing-Tung Yau, respondió que no estaba enfadado: otros se portaban peor. Y desarrolló la idea. Había muchos matemáticos más o menos honrados, dijo, pero casi todos eran conformistas; ellos mismos eran más o menos honestos y, sin embargo, toleraban a quienes no lo eran. No se trataba como extraños a los que rompían las reglas, sino a personas como él. También habló de lo que suponía llamar la atención. Mientras pasaba inadvertido, aún podía elegir: hacer algo desagradable o no hacerlo y dejar que lo tuvieran como una mascota. Ahora se había vuelto demasiado visible para seguir de mascota sin decir nada. Así que no le quedaba más que retirarse. El artículo contaba que había dejado su puesto de investigador en el Instituto Steklov en diciembre del año anterior.

El reportaje enlazaba varios asuntos: la demostración y el rechazo del premio, el reparto del mérito entre Hamilton y Perelman, el artículo de Cao y Zhu y la influencia de Shing-Tung Yau en la comunidad matemática internacional. Lo acompañaba una caricatura a toda página que convertía la disputa en una pelea por arrebatar una medalla. El 18 de septiembre, los abogados de Yau enviaron una carta que acusaba al artículo de faltar a la verdad, difamar e inventar o tergiversar citas, y exigía una rectificación y una disculpa. El 25 de septiembre, Hamilton publicó una carta abierta en la que expresaba su profunda inquietud por el trato injusto que el reportaje daba a Yau. Dos matemáticos entrevistados, Stroock y Anderson, también protestaron públicamente por el uso de sus declaraciones. The New Yorker defendió su información y el asunto no llegó a los tribunales. Más tarde, Yau negó una y otra vez en público que hubiera querido quitarle el mérito a nadie. Lo que pretendía subrayar, decía, era que no todo el mundo podía entender directamente los textos de Perelman y que el desarrollo minucioso de Cao y Zhu tenía valor. Hay varias cosas que sí pueden darse por establecidas: faltaba una atribución en aquel artículo, los autores lo reconocieron, se disculparon y cambiaron el título en la versión revisada. Sobre qué intención había detrás de las primeras formulaciones y sobre si hubo irregularidades en la revisión y publicación del artículo en la revista, las versiones siguen sin coincidir.

Dos días antes de la apertura del congreso de Madrid, el británico The Sunday Telegraph también publicó las palabras que un periodista había recogido al dar con Perelman. Él no creía que nada de lo que pudiera decir tuviera la menor relevancia pública. Ya había publicado todos sus cálculos; eso era lo que podía ofrecer al público. Después circularon mucho más otras dos declaraciones: que no le interesaban el dinero ni la fama y no quería que lo mirasen como a un animal en un zoológico; y que él no era ningún héroe de las matemáticas. La publicación más antigua que se puede rastrear de estas dos declaraciones data de 2010. Los periódicos y la radio británicos las atribuían a 2006, pero ya no es posible precisar en qué ocasión las dijo ni a quién.

Desde 2006 no han dejado de multiplicarse los textos sobre Perelman. La mayoría no tienen nada que ver con sus cálculos. Este también está entre ellos.

Hay una asimetría en las fuentes de esta historia. Del lado de la demostración, cada paso dejó documentos fechados, números de páginas, revisiones, correcciones. Puede comprobarse con precisión quién publicó qué y en qué día. Del lado de la negativa, si buscamos las razones completas de aquellos rechazos, no disponemos de una declaración firmada por él que podamos cotejar. Lo que encontramos son unas pocas entrevistas, y entre él y nosotros siempre hay un periodista, una redacción y, a menudo, otra lengua. Todavía podemos tener entre las manos una tablilla de hace cuatro mil años y comprobar la cuenta que anotó un escriba. Para saber por qué alguien no quiso una medalla, lo único que podemos tener entre las manos son periódicos.

7. Un millón

Durante aquellos dos días de 2006, Ball le preguntó a Perelman si aceptaría el millón de dólares en caso de que el Instituto Clay se lo concediera algún día. Ball contó después a un periodista de Associated Press que Perelman le había respondido que, si llegaban a concedérselo, hablaría con el instituto. A los periodistas de The New Yorker les dijo que el premio aún no se había otorgado y que no pensaba decidir todavía si lo aceptaría.

El 18 de marzo de 2010, el Instituto Clay anunció la concesión a Perelman del Premio del Milenio. Era la primera vez que aquella recompensa llegaba a otorgarse. El presidente del instituto, James Carlson, dijo que se ponía fin a una búsqueda de cien años. El 8 de junio comenzó en París un encuentro de dos días organizado por el instituto y llamado, precisamente, La resolución de la conjetura de Poincaré. Perelman no acudió. El 1 de julio, la agencia rusa Interfax informó de que, aproximadamente una semana antes, había comunicado al Clay que no aceptaba el premio. Según las palabras que publicó la agencia, lo había rechazado después de pensarlo tanto tiempo porque había muchas razones a favor y en contra. La principal era su desacuerdo con la comunidad matemática organizada: no le gustaban sus decisiones y las consideraba injustas. A su juicio, la contribución del matemático estadounidense Hamilton a la solución del problema no era menor que la suya.

Cuatro años antes, su primera explicación de la negativa se había apoyado en la propia demostración: si era correcta, no necesitaba más reconocimiento. Esta vez empezó por las decisiones de la comunidad matemática e introdujo el nombre de Hamilton. No enumeró a qué decisiones se refería. Dos cosas son seguras. La medalla Fields tiene una regla estricta: el cuadragésimo cumpleaños del candidato no puede ser anterior al 1 de enero del año en que se entrega. Hamilton había nacido en enero de 1943; en 2006 tenía sesenta y tres años. Desde el principio era imposible que la medalla fuera para él. Perelman cumplió cuarenta en junio de aquel año: 2006 era su última oportunidad. El Premio del Milenio no tenía límite de edad, pero cuando se concedió en 2010 también llevaba un solo nombre.

Hamilton recibió bastantes premios. El propio Instituto Clay le había otorgado uno de investigación en 2003, y más adelante llegaron el premio Steele y el premio Shaw. Enseñó en Columbia desde 1998. Murió en septiembre de 2024, a los ochenta y un años.

La frase atribuida a Perelman que más se repite en internet en chino dice que, si sabía cómo controlar el universo, para qué iba a perseguir un millón de dólares. Su primera aparición fue la noche del 27 de abril de 2011, cuando la web del diario moscovita Komsomólskaya Pravda publicó el relato de una conversación con él, contado por un hombre que se presentaba como productor de cine. Habían transcurrido casi diez meses desde el rechazo del dinero. Al día siguiente, una web de noticias rusa señaló que nadie respondía al teléfono de la productora, que no había rastro de las películas de aquel hombre y que el artículo se equivocaba incluso en el departamento donde había estudiado Perelman y en el título de su tesis. Nadie, salvo el propio narrador, podía acreditar aquella conversación. La frase que más lejos viajó era la que tenía el rastro más corto.

8. Dos libros de cuentas

Perelman no fue el primero en rechazar un gran premio. El 13 de abril de 1988, Grothendieck, que tenía sesenta años, supo que la Real Academia de Ciencias de Suecia les había concedido a él y a su antiguo alumno Deligne el premio Crafoord de aquel año, dotado con un total de doscientos setenta mil dólares. Seis días después escribió al secretario permanente de la Academia. Le Monde publicó la carta el 4 de mayo, con algunas modificaciones que lo enfurecieron. Es uno de los pocos documentos firmados por su autor que poseemos sobre una negativa de este tipo. Los motivos están expuestos con toda claridad. Su sueldo de profesor y la pensión que empezaría a cobrar en octubre le bastaban, de sobra, para él y su familia. Los investigadores de alto nivel ya gozaban de suficiente posición social y tenían cubiertas con creces sus necesidades materiales; la abundancia de unos solo podía darse a costa de la escasez de otros. El trabajo premiado lo había hecho veinticinco años antes. La vitalidad de una obra se medía por lo que había crecido a partir de ella, no por los honores recibidos. Dejó para el final la razón que consideraba más importante: el ambiente científico se había deteriorado hasta hacer habitual que unos colegas robaran abiertamente el trabajo de otros. Aceptar el premio equivalía a avalar ese estado de cosas.

Perelman también había rechazado el premio que le concedió la Sociedad Matemática Europea en 1996. Nunca explicó públicamente por qué. Antes de él, nadie había rechazado una medalla Fields.

Un premio también puede cambiar a quien lo recibe. Hay quien lo ha medido. En 2015, los economistas George Borjas y Kirk Doran compararon a los ganadores de la medalla Fields con matemáticos de su misma generación y de nivel semejante que no la habían obtenido. Después del premio, en el primer grupo descendían de forma notable las publicaciones, las citas y el número de alumnos formados; además, era más frecuente que sus miembros pasaran a investigar temas ajenos a sus trabajos anteriores. Los autores estimaron que cerca de la mitad de la caída de producción se debía a esos cambios de rumbo. El estudio no explica los motivos de ninguna persona concreta. Ofrece una comparación observacional de una muestra determinada, incapaz de demostrar para cada individuo una relación causal o una motivación. Pero sí sugiere que una medalla es algo más que una etiqueta colocada a posteriori sobre un resultado.

En esta disciplina rige una regla: que una demostración sea correcta o no es independiente de quién la haya escrito. La lógica de los premios va en otra dirección. Necesita un nombre, una persona que suba al escenario y, a veces, una cantidad de dinero. Por lo general, ambas reglas siguen sus propios caminos. En 2006 y en 2010 se encontraron en una misma persona.

Al final, las dos instituciones optaron por llevar las cuentas por separado. En el registro de la Unión Matemática Internacional, su nombre sigue en la casilla de 2006, con una línea debajo que indica que rechazó la medalla. El Instituto Clay sigue dando por resuelta la conjetura de Poincaré y atribuyéndole a él la solución. En cuanto al millón de dólares, el Clay y el Instituto Henri Poincaré de París crearon juntos una Cátedra Poincaré. El dinero del premio la financiaría durante cinco años y permitiría invitar a París a matemáticos al comienzo de sus carreras, para estancias de seis meses a un año. Los dos primeros llegaron en 2014. Al explicar el propósito de la cátedra, el instituto decía que quería dar a jóvenes matemáticos prometedores la oportunidad de desarrollar sus ideas y concentrarse en la investigación, como la que había tenido Perelman entre 1993 y 1995, cuando fue investigador Miller en Berkeley.

Aquellos dos años en Berkeley fueron la parte final de sus tres años en Estados Unidos. Entonces no hubo medallas ni un millón de dólares. Hubo tiempo, y un matemático veterano dispuesto a responder preguntas después de terminar una conferencia.

Los tres archivos siguen en aquel servidor. Sesenta y ocho páginas que cualquiera puede descargar, sin pagar y sin que le pregunten quién es.

Son dos libros de cuentas: uno registra si algo está bien hecho; el otro, qué se ha obtenido a cambio.

El 11 de septiembre de 2026, veinticinco ganadores de la medalla Fields publicaron una declaración conjunta.

Seguimos echando cuentas. Qué cuenta como matemáticas es algo que nunca hemos acabado de resolver.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las fuentes que siguen corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación que aparecen en el texto. Los registros de archivo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son el mismo tipo de evidencia.

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