NON DUBITO

Matemáticas · 25 / 25

El honor del espíritu humano

De una carta de Jacobi a las demostraciones de la inteligencia artificial: qué han conseguido las matemáticas y para quién se hacen son preguntas distintas.

Han Qin · Edición completa en español

En este ensayo
  1. 1. Una carta de respuesta
  2. 2. Para ser útiles
  3. 3. Por sí mismas
  4. 4. Recuperar a la persona
  5. 5. Tomar partido
  6. 6. Llegan las máquinas
  7. 7. ¿Quién responde?
  8. 8. ¿Para quién?
  9. Fuentes y lecturas complementarias

1. Una carta de respuesta

El 11 de septiembre de 2026 se publicó en internet una declaración que Terence Tao reprodujo enseguida en su blog. Su título hablaba de un grave desajuste de la inteligencia artificial en las matemáticas. Al publicarse, la firmaban veinticinco ganadores de la medalla Fields. Su frase más importante venía a decir que resolver problemas es solo una herramienta, un indicador indirecto: el objetivo principal de las matemáticas es la comprensión conceptual y la intuición matemática.

Ciento noventa y seis años antes, alguien había escrito algo muy parecido en una carta.

El 6 de abril de 1829, el noruego Abel murió de tuberculosis pulmonar. Tenía veintiséis años. En junio del año siguiente, la Academia de Ciencias de París concedió su gran premio de matemáticas conjuntamente a él y al prusiano Jacobi. Uno ya no estaba; el otro, de veinticinco años, enseñaba en Königsberg. En aquellos mismos años, cada uno por su cuenta había hecho avanzar enormemente el estudio de las funciones elípticas. En París, el veterano Legendre llevaba más de cuarenta años dedicado a la materia. En vez de defender su territorio, fue publicando suplementos a su libro e incorporó en ellos los resultados de los dos jóvenes. En marzo de 1829, Jacobi ya le había escrito para pedir explicaciones: el largo trabajo que Abel había entregado a la Academia en 1826 podía ser el descubrimiento matemático más importante del siglo; ¿cómo era posible que, dos años después de su entrega, no hubiese llamado la atención?

En 1829, Jacobi publicó un libro titulado Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas. La Academia encargó a Poisson que hiciera una reseña oral. En ella, Poisson citó unas palabras que Fourier había pronunciado en vida: reprochaban a Abel y a Jacobi no haber dado prioridad al estudio del movimiento del calor. La obra más célebre de Fourier era, precisamente, su teoría de la conducción del calor. Murió en París el 16 de mayo de 1830, cuando era uno de los secretarios perpetuos de la Academia. Para aquel mismo premio, un estudiante parisino de dieciocho años, Galois, había presentado un manuscrito en febrero. Tras la muerte de Fourier, ese manuscrito no llegó a la evaluación final y nunca volvió a encontrarse.

El 2 de julio de 1830, Jacobi escribió desde Königsberg a Legendre. Al comentar la reseña de Poisson, comenzó diciendo que le había alegrado leerla: las dos transformaciones estaban muy bien explicadas y se veía la influencia de los suplementos de Legendre. A continuación añadió que Poisson no debería haber vuelto a mencionar aquellas palabras poco oportunas del difunto señor Fourier. Venían luego las frases que tantas veces se citarían, y que, en sustancia, decían esto: el difunto señor Fourier creía, en efecto, que el principal fin de las matemáticas era la utilidad pública y la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería haber sabido que el único fin de la ciencia es el honor del espíritu humano y que, en ese sentido, un problema sobre los números vale tanto como un problema sobre el sistema del universo.

En la comprobación realizada para este ensayo no se encontró un registro directo de las palabras originales de Fourier. Lo que se presenta aquí es esa postura tal como la transmitió Poisson y la resumió Jacobi en su respuesta. Por parte de Jacobi sí tenemos la carta: se imprimió en una revista matemática de París en 1875.

Más tarde, esas frases se separaron de la carta y empezaron a circular solas, cada vez más recortadas. Se sustituyó ciencia por matemáticas, se eliminó la mitad relativa a Fourier y muchas veces solo quedó una fórmula: las matemáticas por las matemáticas mismas. En 1987, Dieudonné tituló un libro Por el honor del espíritu humano. Pero, al volver a la carta, Jacobi no dice que las matemáticas existan para sí mismas. El fin que propone está en el espíritu humano.

Uno hablaba de utilidad; el otro, del espíritu de las personas. Dos respuestas a la pregunta de cuál es el fin de las matemáticas se encontraron aquí. Desde entonces, una y otra se han alternado como postura dominante en la disciplina.

2. Para ser útiles

La respuesta de la utilidad es miles de años anterior a la carta de Jacobi.

Las primeras tablillas de Mesopotamia anotaban casi siempre cuánto había entregado cada uno, cuánto debía todavía y a quién se había repartido algo. No estaban escritas para la posteridad, sino para poder consultar las cuentas el mes siguiente. Las escuelas de la antigua Babilonia dejaron textos literarios que los alumnos copiaban. Uno comienza con la mañana de un estudiante: va a la escuela con su tablilla, lee en voz alta, almuerza, prepara otra tablilla y, al regresar a casa, vuelve a recitar la lección ante su padre. A la mañana siguiente, el maestro examina la tablilla, ve que falta algo y cae el bastón. Es un texto escolar, no el registro disciplinario de un día concreto; además, los motivos de los golpes solían ser hablar, moverse o escribir mal. Pero la escritura aprendida acababa destinada, en gran parte, a llevar las cuentas: cuánto había entregado cada uno, cuánto debía. Los números tenían que ser exactos porque el grano y los impuestos tenían que ser exactos. Lo que el estudiante debía llegar a ser era un eslabón del libro de cuentas que no cometiera errores.

Fourier no es el último de esa fila, sino el representante más digno de esta postura. Acompañó a Napoleón a Egipto y, al volver a Francia, fue prefecto del departamento de Isère durante más de diez años. Sus investigaciones sobre el calor las llevó a cabo en Grenoble, mientras desempeñaba ese cargo. La teoría de la conducción del calor nació de un problema físico muy concreto; y el método que creó para resolverlo, descomponer una función en una serie de ondas, acabaría transformando todo el análisis. En él, utilidad y profundidad eran una misma cosa.

En el siglo XX, la utilidad adoptó nuevas formas: las tablas de tiro de la artillería, el descifrado en Bletchley, las listas de precios de las bolsas. Los matemáticos entraron en masa al servicio de los Estados y las empresas. En 1973, un joven del centro británico de comunicaciones gubernamentales ideó un algoritmo de clave pública que funcionaba: el mismo que tres investigadores del MIT volverían a idear unos años después. No pudo hablar de él durante veinticuatro años, porque pertenecía al Estado. Ellis, el primero en concebir esa vía, murió menos de un mes antes de que se hiciera pública.

Esta postura no pertenece solo a las oficinas de contabilidad y a los cuarteles. En 1947, von Neumann escribió un ensayo titulado El matemático. Advertía que, si una rama de las matemáticas se aleja demasiado de sus fuentes empíricas, tras varias generaciones de abstracción corre un peligro muy serio: seguir la dirección de menor resistencia y proliferar en un montón de ramas sin importancia. No defendía hacer únicamente matemáticas aplicadas. Decía que había que alternar la depuración abstracta con el regreso a la experiencia. Es una de las formulaciones más sólidas de la postura de la utilidad: las matemáticas necesitan el mundo para no marchitarse.

Pero, en este lado, quien lleva las cuentas también es una partida de esas cuentas. El estudiante de la tablilla que recibió los bastonazos, los jóvenes de Bletchley que firmaron compromisos de confidencialidad, la matemática que tuvo que ascender a lingüista para cobrar más, el criptógrafo que durante veinticuatro años no pudo firmar públicamente su trabajo: sus matemáticas eran un medio y, muchas veces, también a ellos se los trataba como medios.

3. Por sí mismas

La otra postura tuvo su manifiesto en el siglo XX. En 1940, con la guerra ya en marcha, Hardy escribió Apología de un matemático. Comparó al matemático con el pintor y el poeta, y afirmó que la belleza era la primera prueba que una obra debía superar. Deseaba que las matemáticas auténticas a las que se dedicaba permanecieran lejos de la guerra y se consolaba con ello. No había previsto que la teoría de números, su predilecta, se convertiría unas décadas después en el fundamento de la criptografía.

La vía de Hardy lleva a unas matemáticas que respondan cada vez más solo ante sí mismas. La colección de libros de Bourbaki es la expresión más radical de ese rumbo: las definiciones van al principio, la procedencia al final, los ejemplos se retiran a los ejercicios y las personas no aparecen. En este estilo de escritura, de enorme influencia, las matemáticas se presentan como una estructura que apenas conserva huellas personales. Esto no quiere decir que toda la matemática moderna tenga por objetivo excluir a las personas.

Tanto si las matemáticas sirven para algo como si sirven para sí mismas, lo que suele entrar en las cuentas son las matemáticas, no las personas. El coste recae sobre personas concretas, y lo hace en silencio.

En el artículo de Turing de 1936, quien calcula es, al principio, una persona sentada ante un cuaderno de aritmética. La definición toma de ella únicamente el tramo en que avanza paso a paso siguiendo unas reglas. Todo lo que hay en esa persona fuera de las reglas se deja a un lado. Así se obtiene la máquina.

Durante los primeros años en que Noether dio clases en Gotinga, en el programa figuraba el nombre de Hilbert; ella solo aparecía como ayudante. El curso no cobraba derechos de asistencia, pero quien subía a dar la clase era ella. Más tarde obtuvo la habilitación y se convirtió en Privatdozent, docente sin sueldo fijo. Solo después recibiría una remuneración muy baja por sus clases. El 25 de abril de 1933 llegó a la universidad el telegrama que la suspendía. Quienes la defendían pidieron a catorce matemáticos que escribieran informes sobre ella, desde Hardy, en Cambridge, hasta Teiji Takagi, en Tokio. Dejaron perfectamente claro el valor de sus matemáticas; además, doce estudiantes firmaron una petición conjunta. Nada de eso cambió el resultado. Primero la habían bloqueado las viejas normas que impedían la habilitación de las mujeres; después, la depuración racial y política del régimen nazi en 1933, con la suspensión y las medidas legales que siguieron. Todos sabían calcular cuánto valían sus matemáticas. Allí no sirvió de nada.

Cuando se anunció la demostración del teorema de los cuatro colores en 1976, la lista contenía 1936 configuraciones; en la versión publicada en 1977 se redujo a 1482. La máquina calculaba si cada una era reducible. Para comprobar, una por una, que las configuraciones impresas eran correctas, Appel y Haken contaron con la ayuda de cinco hijos de sus dos familias. Entre ellos estaba Dorothea, hija de Haken, que por aquellos años estudiaba en secundaria y en la universidad, y que antes ya había pasado meses de trabajo manual con su padre y Appel. También estaba Laurel, hija de Appel: tenía trece años y trabajó un mes entero. Según recordó Haken más tarde, encontró unos ochocientos errores de copia o de dibujo en unas setecientas páginas; no eran ochocientas lagunas de la demostración que hubieran quedado en la versión definitiva. Ninguno de aquellos hijos figuró entre los autores de la prueba.

A partir de 2002, Perelman publicó tres archivos en internet. Cualquiera podía descargarlos, sin importar quién fuera. Más tarde dijo que, si la demostración era correcta, no necesitaba ningún otro reconocimiento. Es la formulación más limpia de este rumbo: una demostración puede separarse de quien la escribió. Pero, cuando él se convirtió en una figura visible, dijo que no podía seguir dejándose mantener como un animal de compañía sin decir nada. Solo le quedaba retirarse.

Del lado de la utilidad, la persona es una partida de las cuentas. Del lado de las matemáticas por sí mismas, a menudo ni siquiera entra en ellas. Ambas posturas llevan casi doscientos años discutiendo, pero en esto coinciden: la persona no ocupa el lugar del fin.

4. Recuperar a la persona

Y cada vez, alguien recupera a la persona.

En 1907, Brouwer presentó su tesis doctoral en Ámsterdam. Para él, afirmar que algo es válido exige tener en las manos una construcción acabada. Las matemáticas son algo que la mente humana hace paso a paso; sin una justificación constructiva adecuada no se puede, según su concepción de la existencia, afirmar que algo existe. Esto no equivale a exigir que todo proceso infinito se complete en tiempo físico. Al año siguiente escribió otro artículo en el que sostenía que una de las reglas más antiguas de la lógica, el principio del tercero excluido, no podía aplicarse sin condiciones. Después discutiría durante años con Hilbert por este asunto.

Weyl había sido alumno de Hilbert, pero durante un tiempo tomó partido por Brouwer en aquella disputa. En 1921 escribió un artículo sobre una nueva crisis en los fundamentos de las matemáticas, y en él decía: Brouwer, eso es la revolución. Más tarde escribiría también, en sustancia, que la matematización bien podría ser una actividad creadora del ser humano, como el lenguaje o la música, dotada de una originalidad propia, y que las decisiones tomadas a lo largo de su historia no podían agotarse mediante razones objetivas. En 1946 habló del desgaste que aquella disputa le había causado y añadió que probablemente cualquier matemático pasaría por una experiencia semejante si le importaba lo que significaba su investigación dentro de la existencia humana entera, con sus preocupaciones y conocimientos, su sufrimiento y su creación.

En agosto de 1976, en un congreso anual celebrado en la Universidad de Toronto, Haken subió al estrado para presentar la demostración del teorema de los cuatro colores que había elaborado con Appel. Incluía mil doscientas horas de cálculo por ordenador. Recibió un aplauso cortés. Al terminar, un matemático tras otro admitió que no se sentía tranquilo. Durante muchos años seguiría discutiéndose si una demostración que nadie puede comprobar a mano de principio a fin constituye algo que se conoce.

Dieciocho años después, Thurston escribió un artículo titulado Sobre la demostración y el progreso en matemáticas. Empezaba preguntando qué es lo que, en realidad, consiguen los matemáticos. No quería plantear la cuestión como «¿cómo demuestran teoremas los matemáticos?», sino como «¿cómo hacen avanzar la comprensión humana de las matemáticas?». Al hablar de la controversia del teorema de los cuatro colores, daba esta explicación: no se dudaba de la verdad del teorema ni de la corrección de la demostración. La discusión expresaba un deseo que siempre había estado ahí: además de saber que el teorema es verdadero, queremos comprender su demostración como personas.

En el mismo artículo contó una experiencia propia. A comienzos de los años setenta demostró, uno tras otro, varios grandes teoremas sobre foliaciones. En pocos años, los investigadores fueron abandonando ese campo. Alguien le dijo, como elogio y no como queja, que lo estaba matando. Más tarde comprendió lo ocurrido: sus artículos no explicaban, ni podían explicar, todo el conjunto de ideas que había detrás. El umbral de entrada era demasiado alto, y lo que las personas buscan, más que conocimientos, es una comprensión propia. Añadía que lo que los matemáticos más deseaban aprender de él era su forma de pensar los problemas, no tanto su demostración de una amplia clase de casos de la conjetura de geometrización. La conjetura completa la demostraría después Perelman.

De Brouwer a Thurston, el sentido de este recorrido es, en el fondo, uno solo: las matemáticas son más que un montón de proposiciones verdaderas. Son algo que hacen las personas, algo que se hace para las personas.

5. Tomar partido

La otra visión también tiene una formulación que expresa toda su fuerza. Merece ser expuesta sin rebajarla.

En la sección veinticuatro de aquella Apología, Hardy escribió que, a su juicio, la matemática pura era el arrecife contra el que naufragaría todo idealismo: trescientos diecisiete es un número primo, no porque las personas lo piensen ni porque la mente humana esté hecha de una manera y no de otra, sino porque es primo, porque así está hecha la realidad matemática. Gödel fue más lejos en 1964: aunque los objetos de la teoría de conjuntos estén muy alejados de la experiencia sensible, tenemos de ellos algo parecido a una percepción. La evidencia, decía, está en que los axiomas se nos imponen por sí mismos y nos obligan a reconocerlos como verdaderos.

La fuerza de esta postura reside en un hecho sencillo: nadie puede convertir trescientos diecisiete en un número compuesto por votación. Que un resultado sea correcto no depende de quién lo encontró primero ni del año en que lo encontró.

Esta serie toma partido por la otra postura: las matemáticas son una construcción. Las razones están en los veinticuatro ensayos anteriores.

Números negativos, números imaginarios: ambos nombres llevan una herida. Se les dio nombre por aquello que les faltaba. Lo negativo quedó del lado de la pérdida; lo imaginario decía que no había una cantidad que le correspondiera. Después se aceptaron esos objetos, pero no se cambiaron los nombres. El lado de un cuadrado y su diagonal no admitían una medida común. Los griegos no fueron a buscar aquella regla inexistente: cambiaron lo que significaba que dos razones fueran iguales. El quinto postulado quedó pendiente durante dos mil años. Se intentó sin descanso deducirlo de los demás hasta que alguien decidió sustituirlo; otra geometría se sostuvo igualmente y, desde entonces, hubo más de una. El infinitesimal no sabía explicar qué era, pero aun así sostuvo los cálculos de la mecánica y la astronomía durante más de cien años. Más tarde, en muchas demostraciones, su lugar lo ocupó el lenguaje de los límites, que controla mediante cuantificadores incrementos finitos y errores; ese análisis, sin embargo, sigue pudiendo tratar conjuntos y procesos infinitos. En los años sesenta del siglo XX se construyó además un sistema numérico con infinitesimales, dentro del cual el cálculo se podía hacer con igual rigor. Fueron las personas quienes eligieron el camino. Después de 1976, qué cuenta como demostración pasó a ser materia de discusión pública. Algunas teorías aritméticas y geométricas de capacidad expresiva restringida pueden ser, en efecto, completas y decidibles a la vez, al precio de no poder expresar ciertas relaciones en su lenguaje original; esto no significa que los cálculos necesarios para decidir sean fáciles. En cada ocasión, cómo cambiar las definiciones, qué axiomas conservar, qué cuenta como demostración y qué cuenta como algo conocido fueron decisiones humanas tomadas en un año concreto.

Para que trescientos diecisiete sea primo, antes alguien tiene que haber establecido qué es un número, qué significa la divisibilidad y qué es un número primo. Una vez establecido, la conclusión deja de estar en nuestras manos: salvo el uno y el propio trescientos diecisiete, ningún entero positivo lo divide exactamente. Da igual quién haga la cuenta y en qué año. La coacción que sentían Hardy y Gödel es real. Pero lo que nos obliga es el sistema que nosotros mismos hemos levantado. Una conclusión puede ser objetiva sin tener por ello que ser independiente de las personas.

Desde el primer ensayo, esta serie viene usando una palabra: construcción. El armazón que las personas levantan para dar cabida a algo: un sistema de numeración, un conjunto de axiomas, una regla que establece qué cuenta como demostración. También una universidad, unos estatutos o un premio. A lo que una construcción no logra dar cabida, esta serie lo llama resto. La raíz cuadrada de dos es un resto; el quinto postulado, un resto; los infinitesimales, un resto; el infinito que no se puede acabar de contar, un resto. También son restos Noether, a quien los estatutos dejaron fuera, y todo lo que la definición apartó de la persona que calcula por quedar fuera de las reglas. Esta serie compara lo que no cabe en una estructura y lo que no cabe en una institución dentro de un mismo marco interpretativo. Es una analogía filosófica del autor, no la demostración de que ambas cosas procedan de un mismo mecanismo científico.

Las personas abren a cincel la construcción allí donde algo no cabe y levantan otra nueva. Esa nueva construcción vuelve a dejar algo fuera. De esto habla el nombre de la serie, La ley del ciclo de cincelado y construcción. El teorema de 1931, junto con una mejora introducida unos años después, dice lo siguiente: en un sistema formal suficientemente potente, cuyos axiomas puedan enumerarse mecánicamente uno a uno y que no sea contradictorio, siempre hay un enunciado que el sistema no puede demostrar ni refutar. Dentro de ese ámbito, que la construcción no puede cerrarse es un teorema demostrado. Fuera de él, que la construcción no puede cerrarse y el resto no puede eliminarse es el juicio que sostiene esta serie.

Las construcciones las levantan las personas, para que las personas las utilicen. La persona es el fin; la construcción, el medio. Tras veinticuatro ensayos, lo que reaparece en la historia de las matemáticas es, en realidad, la disputa sobre cuál de las dos cosas debe ir primero.

6. Llegan las máquinas

Julio de 2025, Sunshine Coast, Australia: la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Seiscientos treinta estudiantes de secundaria de ciento diez países hicieron el examen en dos días, con cuatro horas y media y tres problemas cada día. El umbral de la medalla de oro fue de treinta y cinco puntos; setenta y dos participantes la obtuvieron. Hubo también sistemas de máquinas que resolvieron los mismos problemas. Los dos primeros cuyos resultados se anunciaron, uno de Google DeepMind y otro de OpenAI, consiguieron ambos treinta y cinco puntos de un máximo de cuarenta y dos. Los correctores de la organización verificaron las respuestas del primero. Para el segundo, se pidió que puntuaran las respuestas a tres antiguos concursantes que habían obtenido medallas.

El año anterior, dos sistemas de DeepMind que trabajaban juntos habían obtenido veintiocho puntos en los problemas de aquella edición, previamente traducidos por personas a un lenguaje formal que las máquinas pudieran leer. Era la puntuación más alta del tramo de plata y quedaba a un punto del umbral del oro. Los evaluaron Gowers y Myers, presidente de la comisión de selección de problemas de aquel año. En algunos problemas llegaron a calcular durante tres días.

Los dos sistemas de 2025 no eran concursantes. No habían pasado la selección de un equipo nacional ni se habían sentado en una sala de examen. Ambas empresas dijeron haber respetado las mismas dos sesiones de cuatro horas y media, pero la organización declaró expresamente que no podía confirmar de forma independiente los recursos de cálculo, el grado de intervención humana ni la reproducibilidad de aquellas pruebas privadas. Puntuar las respuestas no equivale a certificar que todo el proceso que las produjo fue idéntico al de la competición de los estudiantes. Por tanto, lo preciso es decir que alcanzaron la puntuación del oro, no que ganaron una medalla de oro. La organización quería que los laboratorios retrasaran sus anuncios para dejar a los estudiantes su tiempo de atención pública; las versiones de las distintas partes sobre los plazos concretos y los permisos no coinciden del todo. OpenAI, que no había colaborado con la organización en la corrección, publicó la noticia la noche de la clausura y dijo que un miembro del consejo solo había pedido esperar hasta después de ella. DeepMind, que sí había colaborado, esperó hasta el lunes, cuando recibió el visto bueno de la organización. La comunidad matemática tiene su propio reloj: enviar un trabajo, evaluarlo, citarlo, ver cómo lo utiliza un trabajo posterior. Las empresas también tienen el suyo: la fecha del anuncio, ser las primeras. Aquel sábado, los dos relojes chocaron de frente.

Tres meses después volvieron a chocar. En octubre de 2025, un vicepresidente de OpenAI dijo en internet que su modelo había encontrado las respuestas a diez problemas de Erdős que hasta entonces seguían sin resolver. Erdős fue uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX y dejó más de mil problemas. El matemático británico Bloom había creado una web para registrar el estado de cada uno. Bloom respondió enseguida que aquello era gravemente engañoso: el modelo había encontrado artículos antiguos que ya resolvían los problemas y que él no conocía. «Sin resolver» en la web solo quería decir que él, personalmente, no sabía de ningún artículo que lo hubiera resuelto. La publicación acabó borrándose. Durante aquellos días, una sola línea estuvo a punto de borrar a los autores de aquellos trabajos antiguos.

Los logros de las máquinas también son reales. En mayo de 2026, un modelo interno de OpenAI refutó una conjetura de Erdős sobre distancias unitarias. Sea u(n) el número máximo de pares de puntos separados por una distancia exactamente igual a uno que pueden formarse con n puntos del plano. La cota superior propuesta por la conjetura era n elevado a 1+o(1): la parte del exponente que supera uno tiende a cero. El contraejemplo alcanzó, a lo largo de una sucesión de valores de n cada vez mayores, n elevado a 1+ε, donde ε es una constante positiva. Lo que no disminuye es ese exceso en el exponente, no la diferencia efectiva entre el número de pares y el número de puntos. El artículo atribuye al modelo la contribución decisiva que produjo el contraejemplo. Los nueve matemáticos que lo firman, entre ellos Bloom, también comprobaron el resultado, lo mejoraron, lo generalizaron hasta cierto punto y lo explicaron de manera que pudiera leerlo una persona. El trabajo expone, además, las construcciones matemáticas previas en las que se apoya.

7. ¿Quién responde?

En enero de 2023, la revista Nature estableció varias reglas para los grandes modelos de lenguaje. La primera decía que ninguna herramienta de ese tipo podía figurar como autora de un artículo de investigación. La razón era breve: firmar implica responder por el trabajo, y esas herramientas no pueden asumir tal responsabilidad. Después, varias grandes editoriales adoptaron reglas semejantes. Conforme a estas normas de autoría, la responsabilidad tiene que recaer sobre personas; no puede transferirse a la herramienta.

El 4 de septiembre de 2026, Anthropic anunció que varias decenas de agentes Claude habían producido, en once días según el informe de la empresa, la primera demostración del último teorema de Fermat comprobada por ordenador de principio a fin: unos trece millones de líneas de código y unos 30 300 resultados intermedios demostrados, de los cuales unos 29 500 entraban en la prueba final. No era una nueva demostración del último teorema de Fermat: las personas ya lo habían demostrado en los años noventa. La novedad anunciada por la empresa era la primera demostración formalizada completa de un teorema que ya estaba demostrado. Buzzard informó después de que había compilado el código y comprobado por comparación el enunciado del teorema. Eso no significa que revisara a mano, línea por línea, trece millones de líneas de código.

Buzzard, del Imperial College de Londres, llevaba años trabajando en ello. Había recibido un millón de libras de un consejo de investigación británico para un proyecto de cinco años, iniciado en octubre de 2024, cuyo compromiso era reducir el último teorema de Fermat a resultados de los años ochenta del siglo XX. Aquel mismo día escribió en su blog: «Enhorabuena». Dijo que el código cumplía una parte de los objetivos de su proyecto y llegaba mucho más lejos. Añadió que él quería hacer un documento vivo en el que las personas pudieran entrar y explorar la demostración moderna. El programa de comprobación solo reconoce si el enunciado que hay en el código se deduce de los axiomas que hay en el código. Si ese enunciado es precisamente el último teorema de Fermat que las personas tienen en mente, deben comprobarlo las personas. Por qué funciona la demostración, dónde está su clave y qué ideas pueden trasladarse a otros problemas son cuestiones de las que el programa no se ocupa en absoluto.

Tres años antes había habido un caso que permite comparar. En noviembre de 2023, Gowers, Green, Manners y Terence Tao publicaron la demostración de una conjetura combinatoria. Unos días más tarde, Tao abrió un proyecto y convirtió la prueba en un plano de construcción: cada lema ocupaba una pieza y cualquiera podía encargarse de ella. Tres semanas después, toda la demostración había superado la comprobación de la máquina. Participaron veinticinco personas a lo largo del proceso. Ese plano sigue ahí hoy; se puede recorrer para comprender cómo se levantó la demostración.

El 8 de septiembre de 2026, OpenAI anunció que, según el informe de la empresa, unos diez mil agentes habían empezado a trabajar el 1 de septiembre y habían obtenido en unas ochenta y ocho horas una propuesta de solución al problema del milenio de las ecuaciones de Navier–Stokes. Después habían completado su formalización en Lean en unas diecisiete horas más: bajo la acción de una fuerza externa suave, la velocidad del fluido puede descontrolarse en un tiempo finito. Esta es una de las respuestas que admite el enunciado del Instituto Clay; seguía comprobándose si la demostración cumplía todas las condiciones. La empresa dijo que no reclamaría el millón de dólares. En su declaración del 11 de septiembre, el Instituto Clay afirmó que el problema parecía tener ya una respuesta y que la evaluación sería deliberadamente pausada. Mencionó el premio de un millón de dólares y las reglas para concederlo, pero no anunció su concesión.

La noche anterior al anuncio, Buckmaster, matemático de la Universidad de Nueva York, y su colaborador Alpöge habían publicado apresuradamente una prepublicación. A mediados de agosto habían obtenido resultados parecidos para varias ecuaciones cercanas. Alpöge trabaja en Anthropic, pero aquella investigación la había hecho por su cuenta, no para la empresa. Tras el anuncio de OpenAI al día siguiente, Buckmaster publicó una declaración en la que se preguntaba si sus avances aún inéditos podrían haber llegado a la empresa por alguna vía, incluidos los datos dejados al utilizar su herramienta de programación. Especificaba, a la vez, que no acusaba a nadie. También decía que la otra parte había propuesto un acuerdo entre cuyas condiciones estaba retirar el nombre de Alpöge de los autores. Estas eran las afirmaciones de una de las partes. OpenAI negó haber visto su trabajo y afirmó que las dos demostraciones eran muy distintas. En la actualización de su explicación publicada el 10 de septiembre, OpenAI dijo que una investigación interna había establecido que los materiales relativos al uso de la herramienta de programación no podían haber influido en el resultado a través del entrenamiento. Esa es la conclusión de una investigación de la empresa y no debe presentarse como un hecho ya dictaminado por un tercero independiente. En la comprobación realizada para este ensayo, hasta el 1 de octubre de 2026 no se había encontrado ningún registro público de una investigación independiente que zanjara el asunto. Ni la investigación interna de la empresa ni las declaraciones de los implicados sustituyen un dictamen independiente. Pero la pregunta ya está ahí: dentro del proceso de trabajo de una máquina, averiguar de quién vino una idea es mucho más difícil que averiguar quién tecleó la secuencia final de palabras.

La declaración de los veinticinco ganadores de la medalla Fields se publicó tres días después. Se oponían a una producción en serie cada vez más rápida y a los anuncios apresurados que se saltaban varios pasos: redactar bien el trabajo, extraer y presentar por separado los métodos y las ideas nuevas, citar los trabajos anteriores. Decían que, de seguir así, se rompería una cadena esencial de transmisión entre matemáticos, de persona a persona. Si los matemáticos no desarrollan esas ideas con cuidado y no las incorporan a las matemáticas existentes, nunca llegarán a cobrar verdadera vida.

8. ¿Para quién?

De 1830 a 2026, las dos frases están separadas por ciento noventa y seis años. Jacobi hablaba del honor del espíritu humano. Los veinticinco ganadores de la medalla Fields dicen que resolver problemas es una herramienta y que el fin es comprender. Ambas frases desembocan en el mismo lugar: el fin es algo que está en la persona.

Desde que las máquinas hacen matemáticas, las reacciones de las distintas partes han situado, sin ponerse de acuerdo, a las personas en dos extremos. En uno está quien responde por el trabajo: las revistas dicen que firmar implica asumir la responsabilidad; el Instituto Clay dice que la evaluación debe hacerse despacio; quienes formalizan deben comprobar que el enunciado del código sea el teorema que las personas tienen en mente. En el otro está quien comprende: Buzzard quiere un documento en el que se pueda entrar a explorar; nueve matemáticos redactan un contraejemplo en un artículo que las personas puedan leer; la declaración dice que las ideas solo cobran vida cuando se incorporan a las matemáticas humanas. Entre ambos extremos, la máquina hace cada vez más cosas. En los extremos siguen estando las personas.

Durante aquellos dos días en Sunshine Coast, seiscientos treinta estudiantes estaban sentados, cada uno en su sitio en la sala de examen. Los treinta y cinco puntos de la máquina son un resultado. Lo que ocurrió en las mentes de aquellos estudiantes durante esos dos días es la razón por la que esta disciplina organiza ese examen.

Las matemáticas las construyen las personas. Las personas son el fin. La historia de esta disciplina vuelve una y otra vez a la pregunta de cuál es el fin: las matemáticas o las personas. A veces se toma a las matemáticas como fin, se aparta todo lo que hay en quien calcula fuera de las reglas y desaparecen de la firma quienes comprobaron los dibujos. A veces se toman como medio para recaudar impuestos en grano, ganar una guerra o aprovechar las diferencias de precios en la bolsa, y con ellas se utiliza a quienes hacen las cuentas. La máquina es el giro más reciente; no será el último. Puede llevar una construcción muy lejos de las personas y hacerla funcionar por su cuenta: trece millones de líneas, diez mil agentes, ochenta y ocho horas. Cuanto más lejos la lleve, más necesario será preguntar: ¿para quién se levantó esto?

La frase de la carta de Jacobi acabó recortada hasta convertirse en las matemáticas por las matemáticas. La persona que estaba en la frase original nunca se había ido.

Cuanto más pueda funcionar algo por sí solo, lejos de las personas, más debemos recordar para quién se hizo.

En 1843, una condesa tradujo un artículo sobre una máquina que todavía no se había construido. Añadió unas notas que ocupaban aproximadamente el triple que el original. En una de ellas escribió que la máquina no podía iniciar nada por sí misma.

Los números siguen calculándose. Preguntar por qué se calcula sigue siendo una responsabilidad de la que las personas no pueden desprenderse.

El estado de los nuevos resultados y controversias sobre inteligencia artificial tratados en este ensayo corresponde al 1 de octubre de 2026. El anuncio de una empresa, la comprobación mediante compilación, la verificación por la comunidad y la concesión formal de un premio son etapas distintas.

Fuentes y lecturas complementarias

Las fuentes que siguen corresponden a los detalles históricos y a las diferencias de interpretación del ensayo. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son el mismo tipo de evidencia.

Episodio anterior: La negativa