Mathematik · 25 / 25

Die Ehre des menschlichen Geistes

Von Jacobis Brief bis zu Beweisen der künstlichen Intelligenz: Was die Mathematik zustande bringt und für wen sie da ist, sind zwei verschiedene Fragen.

Han Qin · Vollständige deutsche Ausgabe

In diesem Essay

1 Ein Antwortbrief
2 Für den Nutzen
3 Um ihrer selbst willen
4 Den Menschen zurückholen
5 Stellung beziehen
6 Die Maschinen kommen
7 Wer trägt die Verantwortung
8 Für wen
Quellen und weiterführende Lektüre

1 Ein Antwortbrief

Am 11. September 2026 erschien im Netz eine Erklärung, die Terence Tao umgehend auf seinem Blog übernahm. Ihr Titel lautete „Eine gravierende Fehlorientierung der KI in der Mathematik“. Bei der Veröffentlichung trug sie die Namen von fünfundzwanzig Trägern der Fields-Medaille. Ihr entscheidender Satz besagte sinngemäß: Probleme zu lösen ist nur ein Werkzeug, ein Ersatzmaßstab; das vorrangige Ziel der Mathematik sind begriffliches Verständnis und Einsicht.

Dasselbe hatte jemand schon hundertsechsundneunzig Jahre zuvor in einem Brief geschrieben.

Am 6. April 1829 starb der Norweger Abel an Lungentuberkulose. Er war sechsundzwanzig. Im Juni des folgenden Jahres verlieh die Pariser Akademie ihren großen Mathematikpreis gemeinsam an ihn und den Preußen Jacobi. Der eine lebte nicht mehr; der andere war fünfundzwanzig und lehrte in Königsberg. Beide hatten in denselben Jahren, jeder für sich, die Theorie der elliptischen Funktionen weit vorangebracht. In Paris arbeitete der alte Mathematiker Legendre seit mehr als vierzig Jahren auf diesem Gebiet. Er verteidigte sein Revier nicht, sondern ließ seinem Buch einen Nachtrag nach dem anderen folgen, in denen er die Ergebnisse der beiden jungen Männer aufnahm. Im März 1829 hatte Jacobi ihm geschrieben und nachgehakt: Abels lange Abhandlung, 1826 bei der Akademie eingereicht, sei womöglich die wichtigste mathematische Entdeckung des Jahrhunderts. Wie könne sie nach zwei Jahren noch immer keine Beachtung gefunden haben?

Jacobi veröffentlichte 1829 ein Buch mit dem Titel „Neue Grundlagen der Theorie elliptischer Funktionen“. Die Akademie beauftragte Poisson mit einem mündlichen Bericht darüber. Darin führte Poisson eine Äußerung des inzwischen verstorbenen Fourier an. Sie lief auf den Vorwurf hinaus, Abel und Jacobi hätten sich nicht zuerst mit der Bewegung der Wärme beschäftigt. Fouriers berühmteste Lebensleistung war eben die Theorie der Wärmeleitung. Er war am 16. Mai 1830 in Paris gestorben und hatte damals das Amt eines der ständigen Sekretäre der Akademie inne. Für denselben Preis hatte im Februar auch ein achtzehnjähriger Pariser Schüler namens Galois ein Manuskript eingereicht. Nach Fouriers Tod gelangte es nicht in die abschließende Begutachtung. Es wurde auch später nicht wiedergefunden.

Am 2. Juli 1830 schrieb Jacobi aus Königsberg an Legendre. Zunächst äußerte er seine Freude über Poissons Bericht. Die beiden Transformationen seien sehr gut dargestellt; man erkenne, dass Legendres Nachträge den Weg gewiesen hätten. Dann schrieb er, Poisson hätte die wenig angemessene Bemerkung des verstorbenen Herrn Fourier nicht wieder hervorholen sollen. Es folgten die später so oft zitierten Sätze. Sinngemäß hieß es: Der verstorbene Herr Fourier habe tatsächlich geglaubt, die Mathematik diene vor allem dem öffentlichen Nutzen und der Erklärung natürlicher Erscheinungen. Doch ein Philosoph wie er hätte wissen müssen, dass die Wissenschaft nur einen Zweck habe, die Ehre des menschlichen Geistes. In diesem Sinne sei eine Frage über Zahlen ebenso viel wert wie eine Frage über das System des Weltalls.

Bei der Überprüfung für diesen Essay ließ sich keine unmittelbare Aufzeichnung von Fouriers ursprünglichen Worten finden. Die hier dargestellte Position ist durch Poissons Wiedergabe und anschließend durch Jacobis Antwort und Zusammenfassung vermittelt. Auf Jacobis Seite ist der Brief erhalten. Er wurde 1875 in einer Pariser mathematischen Zeitschrift gedruckt.

Später löste man diese Sätze aus ihrem Zusammenhang. Sie gingen auf Wanderschaft und wurden dabei immer kürzer. Aus Wissenschaft wurde Mathematik, die auf Fourier bezogene Hälfte entfiel, und übrig blieb häufig: Mathematik um ihrer selbst willen. 1987 machte Dieudonné „Für die Ehre des menschlichen Geistes“ zum Titel eines Buches. Doch im ursprünglichen Brief hatte Jacobi nicht gesagt, Mathematik sei für sich selbst da. Der Zweck, den er benannte, lag im menschlichen Geist.

Der eine sagte: für den Nutzen. Der andere: für den menschlichen Geist. Hier trafen zwei Antworten auf die Frage zusammen, wozu Mathematik da ist. Seither hatten sie in dieser Wissenschaft abwechselnd die Oberhand.

2 Für den Nutzen

Die Seite des Nutzens ist einige Jahrtausende älter als Jacobis Brief.

Auf den frühesten Tontafeln Mesopotamiens steht fast nur, wer wie viel abgeliefert hat, was noch geschuldet wird und an wen etwas ausgegeben wurde. Sie waren nicht für die Nachwelt bestimmt. Man wollte im nächsten Monat noch nachsehen können. Aus altbabylonischen Schulen sind literarische Unterrichtstexte erhalten, die Schüler abschreiben sollten. Einer beginnt mit dem Morgen eines Schülers: Er nimmt seine Tafel mit zur Schule, liest laut, isst zu Mittag, bereitet eine neue Tafel vor und muss nach der Heimkehr seinem Vater das Gelernte noch einmal aufsagen. Am nächsten Vormittag prüft der Lehrer seine Tafel, entdeckt eine fehlende Stelle, und der Stock fährt nieder. Das ist ein Unterrichtstext, kein Protokoll der Disziplinarmaßnahmen eines bestimmten Tages. Anlass für die Schläge sind zudem meist Reden, Umhergehen oder schlechte Schrift. Doch was man schreiben lernte, wurde größtenteils fürs Buchführen gebraucht: Wer hat wie viel abgeliefert, was ist noch offen? Die Zahlen mussten stimmen, weil Getreide und Abgaben stimmen mussten. Der Schüler sollte zu jenem Glied der Buchführung werden, bei dem kein Fehler unterlief.

Fourier steht nicht am Ende dieser Reihe. Er ist ihr ehrenhaftester Vertreter. Er war mit Napoleon nach Ägypten gegangen und nach seiner Rückkehr mehr als ein Jahrzehnt Präfekt des Départements Isère gewesen. Seine Wärmeforschung entstand während dieser Amtszeit in Grenoble. Der Theorie der Wärmeleitung lag ein handfestes physikalisches Problem zugrunde. Um es zu lösen, entwickelte er ein Verfahren, Funktionen in eine Folge von Wellen zu zerlegen. Später veränderte es die gesamte Analysis. Nützlichkeit und Tiefe waren bei ihm von Anfang an ein und dieselbe Sache.

Im zwanzigsten Jahrhundert nahm die Seite des Nutzens neue Gestalten an. Schusstafeln für die Artillerie, Entschlüsselung in Bletchley, Kurslisten an der Börse. Mathematiker traten scharenweise in die Dienste von Staaten und Unternehmen. Ein junger Mitarbeiter des britischen Nachrichtendienstes GCHQ entwickelte 1973 einen brauchbaren Algorithmus für die Verschlüsselung mit öffentlichem Schlüssel. Es war derselbe, auf den wenige Jahre später drei Männer am MIT erneut kamen. Vierundzwanzig Jahre lang durfte er nichts davon sagen, denn das Ergebnis gehörte dem Staat. Ellis, der als Erster auf die grundsätzliche Idee gekommen war, starb weniger als einen Monat vor ihrer Veröffentlichung.

Auf dieser Seite gibt es allerdings nicht nur Kontore und Kasernen. Von Neumann schrieb 1947 einen Aufsatz mit dem Titel „Der Mathematiker“. Entferne sich ein mathematisches Gebiet zu weit von seinem Ursprung in der Erfahrung, so drohe nach mehreren Generationen der Abstraktion eine ernste Gefahr: Es könne dem geringsten Widerstand folgen und zu einem Dickicht belangloser Verzweigungen auswachsen. Er verlangte nicht, ausschließlich Anwendungen zu betreiben. Ihm ging es um einen Wechsel zwischen der Hinwendung zur reinen Mathematik und der Rückkehr zur Erfahrung. Das ist eine der gewichtigsten Fassungen des Arguments für den Nutzen: Mathematik braucht die Welt, damit sie nicht verdorrt.

Doch auf dieser Seite ist auch der Mensch, der die Rechnung führt, ein Posten in der Rechnung. Der Schüler auf der Tontafel, den der Stock trifft; die jungen Leute in Bletchley, die Geheimhaltungserklärungen unterschrieben; jene Mathematikerin, deren Gehalt erst steigen konnte, als sie zur Sprachspezialistin befördert wurde; der Kryptologe, der vierundzwanzig Jahre lang seinen Namen nicht öffentlich unter sein Ergebnis setzen durfte. Ihre Mathematik war ein Mittel. Sie selbst wurden oft ebenfalls als Mittel behandelt.

3 Um ihrer selbst willen

Die andere Seite erhielt im zwanzigsten Jahrhundert ihr Manifest. 1940, als der Krieg bereits begonnen hatte, schrieb Hardy seine „Apologie eines Mathematikers“. Er verglich Mathematiker mit Malern und Dichtern. Schönheit sei das erste Kriterium. Er hoffte, seine eigentliche Mathematik möge vom Krieg weit entfernt bleiben, und tröstete sich damit. Dass gerade seine geliebte Zahlentheorie wenige Jahrzehnte später zur Grundlage der Kryptographie werden würde, ahnte er nicht.

Der Weg auf Hardys Seite führte dahin, dass Mathematik immer weniger für etwas anderes als sich selbst einzustehen hatte. Am konsequentesten ging die Bücherreihe Bourbakis diesen Weg: Die Definitionen stehen ganz vorn, die Herkunft ganz hinten, Beispiele sind in die Übungen ausgelagert, Menschen treten nicht auf. In dieser besonders einflussreichen Schreibweise erscheint Mathematik als ein Gefüge, das fast keine persönlichen Spuren zurückbehält. Damit ist nicht gesagt, die gesamte moderne Mathematik habe zum Ziel, Menschen auszuschließen.

Ob Mathematik nun dem Nutzen oder sich selbst dienen soll: In die Rechnung geht oft die Mathematik ein, der Mensch nicht. Den Preis zahlen einzelne Menschen. Und sie zahlen ihn sehr leise.

In Turings Aufsatz von 1936 ist der Rechner zunächst ein Mensch, der vor einem Rechenheft sitzt. Die Definition greift aus seinem Tun nur das heraus, was er regelgerecht, Schritt für Schritt, ausführt. Alles an ihm, was über die Regeln hinausgeht, bleibt beiseite. So entsteht die Maschine.

In den ersten Jahren, in denen Noether in Göttingen Vorlesungen hielt, stand im Vorlesungsverzeichnis Hilberts Name. Sie war lediglich als Unterstützung aufgeführt. Für die Veranstaltung wurde kein Kolleggeld erhoben, doch vor den Hörern stand sie. Später konnte sie sich habilitieren und wurde Privatdozentin, ohne festes Gehalt. Erst noch später erhielt sie eine geringe Vergütung für ihre Lehre. Am 25. April 1933 traf an der Universität das Telegramm ein, das sie vom Dienst suspendierte. Ihre Fürsprecher holten Gutachten von vierzehn Mathematikern ein, von Hardy in Cambridge in England bis Takagi Teiji in Tokio. Darin wurde ihr mathematischer Wert unmissverständlich dargelegt. Dazu kam eine gemeinsame Eingabe von zwölf Studenten. Nichts davon änderte das Ergebnis. Erst hatte ihr die alte Vorschrift den Weg versperrt, die Frauen die Habilitation untersagte. Dann trafen sie die rassistischen und politischen Säuberungen des NS-Regimes von 1933, mit der Suspendierung und den darauf folgenden gesetzlichen Maßnahmen. Was ihre Mathematik wert war, konnten alle beziffern. Hier half es überhaupt nicht.

Auf der Liste, mit der 1976 der Beweis des Vierfarbensatzes angekündigt wurde, standen 1936 Konfigurationen; für die Veröffentlichung von 1977 wurde die Zahl auf 1482 geändert. Ob jede einzelne reduzierbar war, berechnete die Maschine. Beim Prüfen der ausgedruckten Zeichnungen halfen Appel und Haken fünf Kinder aus ihren beiden Familien, Blatt für Blatt. Zu ihnen gehörte Hakens Tochter Dorothea, die in diesen Jahren noch zur Schule und später an die Universität ging. Schon vorher hatte sie mit ihrem Vater und Appel monatelang von Hand daran gearbeitet. Auch Appels Tochter Laurel war dabei, damals dreizehn. Sie arbeitete einen vollen Monat und fand, wie Haken später berichtete, auf rund siebenhundert Seiten etwa achthundert Abschreib- oder Zeichnungsfehler. Das waren keine achthundert Beweislücken, die in der Endfassung stehen geblieben wären. Unter dem Beweis standen ihre Namen nicht.

Von 2002 an stellte Perelman drei Dateien ins Netz. Jeder konnte sie herunterladen, ohne sagen zu müssen, wer er war. Später sagte Perelman, ein richtiger Beweis brauche keine weitere Anerkennung. Kaum ein Satz bringt diesen Weg klarer zum Ausdruck: Ein Beweis kann sich von dem Menschen lösen, der ihn geschrieben hat. Doch als Perelman selbst im Rampenlicht stand, sagte er, er könne sich nicht länger wie ein Haustier halten lassen und zu allem schweigen. Also blieb ihm nur der Rückzug.

Auf der Seite des Nutzens ist der Mensch ein Rechnungsposten. Auf der Seite der Mathematik um ihrer selbst willen kommt er in der Rechnung oft gar nicht vor. Fast zweihundert Jahre lang haben die beiden Seiten gestritten. In einem Punkt sind sie sich einig: Der Mensch steht bei keiner an der Stelle des Zwecks.

4 Den Menschen zurückholen

Und jedes Mal gibt es Menschen, die den Menschen zurückholen.

1907 legte Brouwer in Amsterdam seine Dissertation vor. Wer behauptete, etwas gelte, musste nach seinem Verständnis eine abgeschlossene Konstruktion vorweisen können. Mathematik entsteht Schritt für Schritt im menschlichen Geist. Ohne eine angemessene konstruktive Grundlage konnte man nach seinem Begriff von Existenz nicht behaupten, etwas existiere. Das verlangt nicht, jeden unendlichen Vorgang in physischer Zeit zu Ende zu führen. Im folgenden Jahr schrieb er in einem weiteren Aufsatz, eine der ältesten Regeln der Logik, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, dürfe nicht uneingeschränkt angewandt werden. Darüber stritt er später viele Jahre mit Hilbert.

Weyl war Hilberts Schüler, stellte sich in diesem Streit aber zeitweise auf Brouwers Seite. 1921 schrieb er von einer neuen Krise der mathematischen Grundlagen. Ein Satz in dem Aufsatz lautet: „Brouwer, das ist die Revolution.“ Später schrieb er, sinngemäß, Mathematisieren sei wohl eine schöpferische Tätigkeit des Menschen, ähnlich der Sprache oder der Musik, mit eigener, ursprünglicher Gestaltungskraft. Die Entscheidungen, die es in seiner Geschichte getroffen habe, ließen sich nicht restlos durch objektive Gründe erklären. 1946 sprach er darüber, wie viel Kraft ihn jener Streit gekostet hatte. Ein Mathematiker, dem daran liege, was seine Forschung im ganzen menschlichen Dasein des Sorgens und Erkennens, des Leidens und Schaffens bedeute, werde wohl Ähnliches erleben.

Im August 1976 trat Haken auf einer Jahrestagung an der Universität Toronto ans Rednerpult und stellte den Vierfarbensatzbeweis vor, den er mit Appel erarbeitet hatte. Darin steckten zwölfhundert Stunden Maschinenrechnung. Der Beifall im Saal war höflich. Nach der Tagung äußerte ein Mathematiker nach dem anderen sein Unbehagen. Kann ein Beweis, den kein Mensch vollständig von Hand prüfen kann, als etwas gelten, das wir wissen? Darüber wurde noch viele Jahre gestritten.

Achtzehn Jahre später schrieb Thurston einen Aufsatz mit dem Titel „Über Beweis und Fortschritt in der Mathematik“. Zuerst fragte er, was Mathematiker eigentlich zustande bringen. Er wolle nicht fragen, wie Mathematiker Sätze beweisen, schrieb er. Lieber frage er, wie Mathematiker das menschliche Verständnis der Mathematik voranbringen. Den Streit um den Vierfarbensatz erklärte er so: Man bezweifle weder, dass der Satz wahr sei, noch, dass der Beweis richtig sei. Der Streit bringe vielmehr einen Wunsch zum Ausdruck, der immer schon da gewesen sei. Man wolle nicht nur wissen, dass ein Satz wahr ist. Man wolle als Mensch auch einen Beweis verstehen.

Im selben Aufsatz erzählte er von einer eigenen Erfahrung. Anfang der siebziger Jahre hatte er in der Theorie der Blätterungen in rascher Folge eine Reihe großer Sätze bewiesen. Innerhalb weniger Jahre verließen Forscher in großer Zahl das Gebiet. Jemand sagte ihm, er sei dabei, das Gebiet umzubringen; das war als Kompliment gemeint, nicht als Beschwerde. Später begriff Thurston, dass seine Aufsätze die ganze Gedankenwelt hinter den Ergebnissen nicht mitgeteilt hatten und auch gar nicht mitteilen konnten. Die Einstiegshürde war zu hoch. Mehr noch als Wissen brauchen Menschen ein eigenes Verständnis. Er schrieb auch, Mathematiker hätten vor allem lernen wollen, wie er über Fragen nachdachte. Weniger wichtig sei ihnen sein Beweis für eine große Klasse von Fällen der Geometrisierungsvermutung gewesen. Die vollständige Vermutung bewies erst später Perelman.

Von Brouwer bis Thurston läuft diese Linie auf eines hinaus: Mathematik ist nicht bloß ein Haufen wahrer Aussagen. Sie ist etwas, das Menschen tun. Und sie tun es für Menschen.

5 Stellung beziehen

Auch die andere Auffassung verdient es, in ihrer stärksten Form unverkürzt zu Wort zu kommen.

In Abschnitt vierundzwanzig seiner „Apologie“ schrieb Hardy, die reine Mathematik sei für ihn ein Felsen, an dem jeder Idealismus zerschellen müsse. Dreihundertsiebzehn sei eine Primzahl, nicht weil Menschen es so dächten oder weil ihr Geist so und nicht anders beschaffen sei, sondern weil sie eben eine Primzahl sei, weil die mathematische Wirklichkeit so beschaffen sei. Gödel ging 1964 noch weiter: Die Gegenstände der Mengenlehre seien zwar weit von der sinnlichen Erfahrung entfernt, doch hätten wir ihnen gegenüber tatsächlich etwas wie eine Wahrnehmung. Das zeige sich daran, dass sich ihre Axiome uns von selbst aufdrängten und uns zwängen, sie als wahr anzuerkennen.

Die Stärke dieser Auffassung liegt in einer schlichten Tatsache: Niemand kann dreihundertsiebzehn durch Abstimmung zu einer zusammengesetzten Zahl machen. Ob ein Ergebnis stimmt, hängt weder davon ab, wer es zuerst gefunden hat, noch davon, in welchem Jahr es gefunden wurde.

Diese Reihe steht auf der anderen Seite. Sie betrachtet Mathematik als etwas, das konstruiert wird. Ihre Gründe stehen in den vierundzwanzig vorangegangenen Folgen.

Negative Zahlen, imaginäre Zahlen: Beide Namen tragen Wunden. Beide benennen die Zahlen von dem her, was ihnen fehlen soll. Das Negative steht auf der Seite des Verlusts; das Imaginäre besagt, dass ihm keine Größe entspricht. Die Gegenstände wurden später aufgenommen, ihre Namen blieben. Die Seite eines Quadrats und seine Diagonale ließen sich nicht mit demselben Maß ausmessen. Die Griechen suchten nicht nach dem Maßstab, den es nicht gab. Sie änderten die Bedeutung der Gleichheit zweier Verhältnisse. Zweitausend Jahre lang hing das fünfte Postulat in der Schwebe. Man wollte es aus den übrigen Postulaten herleiten, bis jemand es einfach ersetzte. Auch eine andere Geometrie hielt stand. Von da an gab es mehr als eine. Die Infinitesimalen konnten nicht recht sagen, was sie waren, und trugen doch mehr als ein Jahrhundert lang die Rechnungen der Mechanik und Astronomie. Später trat in vielen Beweisen an ihre Stelle eine Sprache der Grenzwerte, die endliche Zuwächse und Fehler durch Quantoren beherrschte. Diese Analysis konnte aber weiterhin unendliche Mengen und Prozesse umfassen. In den sechziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts konstruierte man wiederum ein Zahlensystem mit Infinitesimalen und betrieb darin die Differential- und Integralrechnung ebenso streng. Welchen Weg man ging, entschieden Menschen. Nach 1976 wurde öffentlich darüber gestritten, was als Beweis gelten sollte. Manche arithmetischen und geometrischen Theorien mit eingeschränkter Ausdruckskraft sind tatsächlich zugleich vollständig und entscheidbar. Der Preis ist, dass sich bestimmte Beziehungen in ihrer ursprünglichen Sprache nicht ausdrücken lassen; daraus folgt nicht, dass ihre Entscheidungsverfahren leicht zu berechnen wären. Jedes Mal entschieden Menschen in einem bestimmten Jahr, wie Definitionen geändert werden, welche Axiome bleiben und was als Beweis oder als Wissen gilt.

Dass dreihundertsiebzehn eine Primzahl ist, setzt voraus, dass Menschen zuvor bestimmt haben, was Zahl, Teilbarkeit und Primzahl heißen. Danach steht das Ergebnis nicht mehr zu ihrer Verfügung: Keine positive ganze Zahl außer eins und dreihundertsiebzehn selbst teilt sie ohne Rest. Wer rechnet und in welchem Jahr, macht keinen Unterschied. Der Zwang, den Hardy und Gödel empfanden, ist wirklich. Nur geht er von dem Gefüge aus, das Menschen selbst errichtet haben. Ein Ergebnis kann objektiv sein, ohne deshalb vom Menschen unabhängig sein zu müssen.

Seit der ersten Folge arbeitet diese Reihe mit einem Begriff: Aufbau. Gemeint ist ein Gerüst, das Menschen errichten, um etwas darin unterzubringen: ein Verfahren zum Aufschreiben von Zahlen, ein Axiomensystem, eine Regel dafür, was als Beweis gilt. Dazu gehören ebenso eine Universität, eine Satzung, ein Preis. Was in einem Aufbau keinen Platz findet, nennt diese Reihe den Rest. Die Wurzel aus zwei ist ein Rest, das fünfte Postulat ein Rest, die Infinitesimalen ein Rest, das Unendliche, das sich nicht zu Ende zählen lässt, ein Rest. Auch Noether, die eine Satzung vor der Tür hielt, gehört dazu. Ebenso all das am rechnenden Menschen, was über die Regeln hinausgeht und von der Definition beiseitegeschoben wird. Diese Reihe vergleicht, was strukturell keinen Platz findet, mit dem, was institutionell keinen Platz findet, innerhalb desselben Deutungsrahmens. Das ist eine philosophische Analogie des Autors. Es ist kein Nachweis, dass beides aus demselben wissenschaftlich bestimmten Mechanismus hervorgeht.

Menschen brechen einen Aufbau dort auf, wo er etwas nicht fassen kann, und errichten einen neuen. Auch im neuen bleibt wieder etwas draußen. Eben davon handelt der Titel dieser Reihe, „Der Zyklus von Abtragen und Aufbau“. Der Satz von 1931, zusammen mit einer Verbesserung einige Jahre später, besagt: In einem hinreichend starken, widerspruchsfreien formalen System, dessen Axiome sich mechanisch eines nach dem anderen aufzählen lassen, gibt es immer eine Aussage, die innerhalb des Systems weder bewiesen noch widerlegt werden kann. In diesem Geltungsbereich ist bewiesen, dass sich der Aufbau nicht vollständig schließen lässt. Außerhalb dieses Bereichs ist es die Auffassung dieser Reihe, dass kein Aufbau endgültig abschließbar und der Rest nicht aus der Welt zu schaffen ist.

Menschen errichten den Aufbau. Sie errichten ihn für Menschen. Der Mensch ist der Zweck, der Aufbau das Mittel. Nach vierundzwanzig Folgen zeigt sich: Der Streit, der in der Mathematikgeschichte immer wiederkehrt, handelt eigentlich davon, welches von beiden an erster Stelle steht.

6 Die Maschinen kommen

Juli 2025, Sunshine Coast in Australien, Internationale Mathematik-Olympiade. Sechshundertdreißig Schüler der Sekundarstufe aus hundertzehn Ländern schreiben an zwei Tagen Klausuren: jeweils viereinhalb Stunden für drei Aufgaben. Die Grenze für Gold liegt bei fünfunddreißig Punkten; zweiundsiebzig Teilnehmer erhalten eine Goldmedaille. Dieselben Aufgaben bearbeiten auch Maschinensysteme. Von den beiden Systemen, deren Ergebnisse zuerst veröffentlicht werden, stammt eines von Googles DeepMind, das andere von OpenAI. Beide erreichen fünfunddreißig von zweiundvierzig möglichen Punkten. Die Lösungen des ersten werden von den Korrektoren des Veranstalters geprüft. Für das zweite bewerten drei ehemalige Teilnehmer mit Medaillenerfahrung die Lösungen.

Im Jahr zuvor hatten zwei zusammenarbeitende Systeme von DeepMind bei den damaligen Aufgaben achtundzwanzig Punkte erreicht. Menschen hatten die Aufgaben zunächst in eine formale Sprache übersetzt, die die Maschinen verarbeiten konnten. Das Ergebnis lag am oberen Ende des Silberbereichs, einen Punkt unter der Goldgrenze. Die Bewertung übernahmen Gowers und Myers, der Vorsitzende des damaligen Aufgabenauswahlkomitees. An einigen Aufgaben rechneten die Systeme bis zu drei Tage.

Die beiden Systeme von 2025 waren keine Wettbewerbsteilnehmer. Sie hatten keine Auswahl für eine Nationalmannschaft durchlaufen und nicht im Prüfungssaal gesessen. Beide Unternehmen erklärten, dieselben zwei Zeitfenster von je viereinhalb Stunden eingehalten zu haben. Der Veranstalter stellte jedoch ausdrücklich fest, dass er Rechenressourcen, Umfang menschlicher Mitwirkung und Reproduzierbarkeit dieser privaten Tests nicht unabhängig bestätigen könne. Lösungen zu benoten bescheinigt nicht, dass der ganze Weg zu ihrer Erzeugung dem Wettbewerb der Schüler vollständig entsprach. Genau gesagt erreichten die Punktzahlen also die Goldgrenze; Goldmedaillen gewannen die Systeme nicht. Der Veranstalter wünschte eine spätere Bekanntgabe durch die Labore, damit die Aufmerksamkeit zunächst den Schülern blieb. Über die genaue Verzögerung und die erteilten Freigaben stimmen die Darstellungen der Beteiligten nicht völlig überein. OpenAI, das bei der Bewertung nicht mit dem Veranstalter zusammengearbeitet hatte, veröffentlichte sein Ergebnis bereits am Abend der Abschlussfeier. Ein Mitglied des Vorstands habe lediglich verlangt, bis nach der Abschlussfeier zu warten, hieß es dort. DeepMind hatte mit dem Veranstalter zusammengearbeitet und wartete bis Montag, als dieser die Veröffentlichung freigab. Die mathematische Gemeinschaft hat ihre eigene Uhr: einreichen, begutachten, zitieren, in späteren Arbeiten weiterverwenden. Auch Unternehmen haben ihre Uhr: Veröffentlichungstermin, als Erste da sein. An jenem Samstag prallten diese beiden Uhren aufeinander.

Drei Monate später kam es zum nächsten Zusammenstoß. Im Oktober 2025 schrieb ein Vizepräsident von OpenAI im Netz, das Modell des Unternehmens habe Antworten auf zehn zuvor ungelöste Erdős-Probleme gefunden. Erdős war einer der produktivsten Mathematiker des zwanzigsten Jahrhunderts und hinterließ mehr als tausend Fragen. Der britische Mathematiker Bloom hatte eine Website angelegt, auf der er den Stand jeder einzelnen festhielt. Er antwortete rasch: Das sei grob irreführend. Das Modell habe ältere Aufsätze gefunden, die diese Probleme längst gelöst hätten; nur ihm selbst seien sie zuvor nicht bekannt gewesen. „Ungelöst“ auf seiner Website bedeute lediglich, dass er persönlich noch keine Arbeit kenne, in der die Frage gelöst werde. Der Beitrag wurde später gelöscht. In diesen Tagen wären die Autoren jener alten Arbeiten beinahe von einer einzigen Zeile ausgelöscht worden.

Auch die Leistungen der Maschinen sind wirklich. Im Mai 2026 widerlegte ein internes Modell von OpenAI eine Vermutung von Erdős über Einheitsabstände. Mit u(n) sei die größtmögliche Zahl von Punktpaaren bezeichnet, deren Abstand genau eins beträgt, wenn n Punkte in der Ebene liegen. Die vermutete obere Schranke war n^(1+o(1)); der Anteil des Exponenten oberhalb von eins sollte also gegen null gehen. Das Gegenbeispiel erreichte entlang einer Folge immer größerer n dagegen n^(1+ε), mit einem festen positiven ε. Was nicht kleiner wird, ist der zusätzliche Anteil im Exponenten, nicht die tatsächliche Differenz zwischen der Zahl der Punktpaare und der Zahl der Punkte. Der Aufsatz schreibt dem Modell den entscheidenden Beitrag zur Erzeugung des Gegenbeispiels zu. Die neun als Autoren genannten Mathematiker, darunter Bloom, übernahmen darüber hinaus die Prüfung, Verbesserungen, gewisse Verallgemeinerungen und eine für Menschen lesbare Darstellung. Der Aufsatz legt auch die bereits vorhandenen mathematischen Konstruktionen offen, auf denen er aufbaut.

7 Wer trägt die Verantwortung

Im Januar 2023 stellte die Zeitschrift „Nature“ einige Regeln für große Sprachmodelle auf. Die erste: Keines dieser Werkzeuge darf als Autor einer Forschungsarbeit aufgeführt werden. Die Begründung war knapp. Wer als Autor genannt wird, trägt Verantwortung für die Arbeit, und diese Werkzeuge können eine solche Verantwortung nicht übernehmen. Ähnliche Regeln wurden später von mehreren großen Verlagen übernommen. Nach solchen Regeln der Autorschaft müssen Menschen die Verantwortung tragen. Sie können sie nicht an ein Werkzeug weiterreichen.

Am 4. September 2026 gab Anthropic bekannt, mehrere Dutzend seiner Claude-Agenten hätten nach Angaben des Unternehmens innerhalb von elf Tagen den ersten von Anfang bis Ende computergeprüften Beweis des großen Fermatschen Satzes erstellt. Er umfasse ungefähr dreizehn Millionen Codezeilen und Beweise für rund 30.300 Zwischenresultate, von denen etwa 29.500 in den endgültigen Beweis eingingen. Das ist kein neuer Beweis des großen Fermatschen Satzes. Menschen hatten ihn bereits in den neunziger Jahren bewiesen. Der angekündigte Fortschritt bestand in der ersten vollständigen Formalisierung dieses bereits bewiesenen Satzes. Buzzard berichtete anschließend, er habe den Code kompiliert und die formulierten Satzaussagen verglichen. Das heißt nicht, dass er dreizehn Millionen Codezeilen Zeile für Zeile von Hand geprüft hätte.

Buzzard vom Imperial College London arbeitete schon seit Jahren an dieser Aufgabe. Von einem britischen Forschungsrat hatte er eine Million Pfund für ein fünfjähriges Projekt erhalten, das im Oktober 2024 begann. Sein zugesagtes Ziel war, den großen Fermatschen Satz auf Ergebnisse aus den achtziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts zurückzuführen. Am Tag der Bekanntgabe schrieb er auf seinem Blog: Glückwunsch. Der Code erfülle einen Teil der Ziele seines Projekts und gehe darüber noch weit hinaus. Er selbst wolle nun ein lebendiges Dokument schaffen, in dem Menschen den modernen Beweis erkunden könnten. Das Prüfprogramm erkennt lediglich, ob die Aussage im Code aus den Axiomen im Code folgt. Ob diese Aussage tatsächlich der große Fermatsche Satz ist, den Menschen meinen, müssen Menschen prüfen. Warum der Beweis funktioniert, wo sein entscheidender Gedanke liegt und welche Ideen sich auf andere Fragen übertragen lassen, darum kümmert sich das Prüfprogramm nicht.

Drei Jahre zuvor hatte es einen Vergleichsfall gegeben. Im November 2023 stellten Gowers, Green, Manners und Terence Tao den Beweis einer kombinatorischen Vermutung ins Netz. Wenige Tage später eröffnete Tao ein Projekt und zeichnete den Beweis als Bauplan auf, mit einem Baustein für jedes Lemma. Jeder konnte sich einen davon vornehmen. Drei Wochen später hatte der gesamte Beweis die maschinelle Prüfung bestanden. Insgesamt waren fünfundzwanzig Menschen beteiligt gewesen. Der Bauplan ist noch heute da. Wer ihm folgt, kann verstehen, wie der Beweis aufgebaut ist.

Am 8. September 2026 gab OpenAI bekannt, nach Angaben des Unternehmens hätten ungefähr zehntausend Agenten seit dem 1. September an einer möglichen Lösung des Millennium-Problems für die Navier-Stokes-Gleichungen gearbeitet. Nach etwa achtundachtzig Stunden sei sie gefunden gewesen; weitere rund siebzehn Stunden habe die Formalisierung in Lean gedauert. Der Lösungsvorschlag: Unter dem Einfluss einer glatten äußeren Kraft kann die Geschwindigkeit eines Fluids in endlicher Zeit außer Kontrolle geraten. Nach der Problemstellung des Clay Mathematics Institute ist dies eine der zulässigen Arten von Antworten. Ob der vorgelegte Beweis alle Bedingungen erfüllt, ist noch Gegenstand der Prüfung. Das Unternehmen erklärte, die Million Dollar nicht beanspruchen zu wollen. In seiner Erklärung vom 11. September schrieb das Clay Mathematics Institute, das Problem scheine nun eine Antwort gefunden zu haben; man werde sich für die Bewertung bewusst Zeit lassen. Die Erklärung erwähnte das Preisgeld von einer Million Dollar und die Vergaberegeln; eine Preisvergabe wurde jedoch nicht bekanntgegeben.

In der Nacht vor der Bekanntgabe stellten der Mathematiker Buckmaster von der New York University und sein Mitautor Alpöge eilig einen Preprint ins Netz. Mitte August hatten sie bei einigen verwandten Gleichungen ähnliche Ergebnisse erzielt. Alpöge arbeitet bei Anthropic, hatte diese Forschung aber persönlich betrieben, nicht im Auftrag des Unternehmens. Nachdem OpenAI am nächsten Tag seine Mitteilung veröffentlicht hatte, gab Buckmaster eine Erklärung ab. Er fragte, ob seine noch unveröffentlichten Fortschritte auf irgendeinem Weg zu diesem Unternehmen gelangt sein könnten, auch über die Daten, die bei seiner Nutzung von dessen Programmierwerkzeug entstanden waren. Zugleich hielt er ausdrücklich fest, dass er niemanden beschuldige. Er berichtete außerdem, die andere Seite habe einen Kompromiss vorgeschlagen, zu dessen Bedingungen gehört habe, Alpöges Namen aus der Autorenliste zu streichen. Dies ist seine Darstellung. OpenAI bestritt, ihre Arbeit gesehen zu haben, und erklärte, die beiden Beweise unterschieden sich stark. In der am 10. September ergänzten Unternehmensmitteilung erklärte OpenAI, eine interne Untersuchung habe ergeben, dass die betreffenden Materialien aus der Nutzung des Programmierwerkzeugs dieses Ergebnis unmöglich über das Training beeinflusst haben könnten. Das ist das Untersuchungsergebnis des Unternehmens. Es darf nicht als Tatsache dargestellt werden, die eine unabhängige dritte Instanz bereits festgestellt hätte. Bis zum Stichtag dieser Überprüfung, dem 1. Oktober 2026, ließ sich kein öffentlich zugänglicher Bericht finden, in dem eine unabhängige Untersuchung zu einem abschließenden Urteil gelangt wäre. Weder die interne Untersuchung des Unternehmens noch die Erklärungen der Beteiligten ersetzen eine unabhängige Klärung. Doch die Frage steht bereits im Raum: Woher eine Idee im Arbeitsablauf einer Maschine stammt, ist sehr viel schwerer zu ermitteln als die Frage, wer die letzte Zeichenfolge eingegeben hat.

Drei Tage danach erschien die Erklärung der fünfundzwanzig Fields-Medaillenträger. Sie wandten sich gegen die immer schnellere Massenproduktion und die übereilte Veröffentlichung, bei denen entscheidende Schritte übersprungen werden: sorgfältiges Ausarbeiten, das gesonderte Herausarbeiten neuer Methoden und Gedanken, das Zitieren früherer Arbeiten. So, schrieben sie, drohe eine entscheidende Überlieferungskette zwischen Mathematikern, von Mensch zu Mensch, abzureißen. Wenn Mathematiker diese Ideen nicht sorgsam entwickelten und in die vorhandene Mathematik einfügten, würden sie nie wirklich lebendig.

8 Für wen

Zwischen 1830 und 2026, zwischen den beiden Sätzen, liegen hundertsechsundneunzig Jahre. Jacobi sprach von der Ehre des menschlichen Geistes. Die fünfundzwanzig Fields-Medaillenträger sagen: Probleme zu lösen ist nur ein Werkzeug, das Ziel ist Verständnis. Beide Sätze treffen denselben Punkt. Der Zweck liegt in etwas, das zum Menschen gehört.

Seit Maschinen Mathematik betreiben, haben die Reaktionen verschiedener Seiten den Menschen unabhängig voneinander an zwei Stellen gesetzt. An einem Ende steht der verantwortliche Mensch: Zeitschriften erklären, Autorschaft bedeute Verantwortung; das Clay Mathematics Institute will langsam und sorgfältig bewerten; wer formalisiert, muss prüfen, ob der Satz im Code wirklich derjenige ist, den Menschen meinen. Am anderen Ende steht der verstehende Mensch: Buzzard will ein Dokument schaffen, in dem man selbst auf Erkundung gehen kann; neun Mathematiker machen aus einem Gegenbeispiel einen lesbaren Aufsatz; die Erklärung sagt, Gedanken würden erst lebendig, wenn sie in die Mathematik der Menschen eingingen. Dazwischen erledigen Maschinen immer mehr. An beiden Enden stehen weiterhin Menschen.

An jenen zwei Tagen an der Sunshine Coast saßen sechshundertdreißig Schüler, jeder für sich, im Prüfungssaal. Die fünfunddreißig Punkte der Maschine sind ein Ergebnis. Was sich in diesen zwei Tagen in den Köpfen der Schüler abspielte, ist der Grund, warum diese Wissenschaft den Wettbewerb veranstaltet.

Mathematik wird von Menschen konstruiert. Der Mensch ist der Zweck. In der Geschichte dieser Wissenschaft kehrt immer wieder die Frage zurück, wer der Zweck ist: die Mathematik oder der Mensch. Manchmal wird Mathematik zum Zweck: Was am rechnenden Menschen über die Regeln hinausgeht, bleibt beiseite; die Menschen, die Zeichnungen prüfen, verschwinden aus der Autorenliste. Manchmal wird Mathematik zum Mittel, um Getreideabgaben einzuziehen, Kriege zu gewinnen oder Preisdifferenzen an der Börse auszunutzen, und die rechnenden Menschen werden es mit ihr. Die Maschine ist die jüngste Wiederkehr dieser Frage. Sie wird nicht die letzte sein. Sie kann einen Aufbau so weit vom Menschen wegschieben, dass er selbstständig weiterläuft: dreizehn Millionen Zeilen, zehntausend Agenten, achtundachtzig Stunden. Je weiter sie ihn wegschiebt, desto dringender die Frage: Für wen wurde das errichtet?

Der Satz aus Jacobis Brief wurde später zu „Mathematik um der Mathematik willen“ abgeschliffen. Der Mensch im ursprünglichen Satz war die ganze Zeit da.

Je selbstständiger etwas ohne Menschen weiterlaufen kann, desto wichtiger wird es, sich zu erinnern, für wen es geschaffen wurde.

1843 übersetzte eine Gräfin einen Aufsatz über eine Maschine, die noch gar nicht gebaut war. Ihre Anmerkungen waren etwa dreimal so lang wie der ursprüngliche Text. In einer schrieb sie, diese Maschine könne nichts aus eigenem Antrieb in Gang setzen.

Die Zahlen werden weiterberechnet. Doch zu fragen, wozu gerechnet wird, bleibt eine Verantwortung, die Menschen nicht ablegen können.

Der hier dargestellte Stand neuer KI-Ergebnisse und der damit verbundenen Kontroversen reicht bis zum 1. Oktober 2026. Unternehmensankündigung, Kompilierungsprüfung, Überprüfung durch die mathematische Gemeinschaft und förmliche Preisvergabe sind verschiedene Stadien.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen im Text. Sammlungsnachweise, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind unterschiedliche Arten von Belegen.

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