NON DUBITO

Mathématiques · 25 / 25

L’honneur de l’esprit humain

De la lettre de Jacobi aux démonstrations de l’intelligence artificielle : ce que les mathématiques accomplissent et pour qui elles existent sont deux questions distinctes.

Han Qin · Édition française intégrale

Dans cet essai
  1. 1. Une lettre en réponse
  2. 2. Pour l’utilité
  3. 3. Pour elles-mêmes
  4. 4. Ramener l’être humain
  5. 5. Prendre parti
  6. 6. Les machines arrivent
  7. 7. Qui en répond ?
  8. 8. Pour qui ?
  9. Sources et lectures complémentaires

1. Une lettre en réponse

Le 11 septembre 2026, une déclaration paraît en ligne, aussitôt reprise sur le blog de Terence Tao. Son titre : « L’IA en mathématiques : un grave décalage ». À sa publication, elle porte les signatures de vingt-cinq lauréats de la médaille Fields. Sa phrase essentielle dit, en substance, que résoudre des problèmes n’est qu’un outil, un indicateur de substitution : le premier but des mathématiques est la compréhension des concepts et les éclairages qu’elle apporte.

Cent quatre-vingt-seize ans plus tôt, quelqu’un avait écrit la même chose dans une lettre.

Le 6 avril 1829, le Norvégien Abel meurt de la tuberculose pulmonaire, à vingt-six ans. En juin de l’année suivante, l’Académie des sciences de Paris décerne conjointement son grand prix de mathématiques à Abel et au Prussien Jacobi. L’un n’est plus ; l’autre a vingt-cinq ans et enseigne à Königsberg. Dans les mêmes années, chacun a fait avancer de façon décisive l’étude des fonctions elliptiques. À Paris, le vieux Legendre y travaille depuis plus de quarante ans. Il ne défend pas son territoire : il ajoute au contraire, à la suite de son livre, des suppléments successifs où il accueille les résultats des deux jeunes hommes. En mars 1829, Jacobi lui avait demandé dans une lettre comment le long mémoire remis par Abel à l’Académie en 1826, peut-être la découverte mathématique la plus importante du siècle, avait pu rester sans écho deux ans après son dépôt.

En 1829, Jacobi publie un livre, « Nouveaux fondements de la théorie des fonctions elliptiques ». L’Académie charge Poisson d’en faire un rapport oral. Poisson y reprend une remarque faite par Fourier de son vivant, qui revenait à reprocher à Abel et à Jacobi de ne pas avoir étudié en priorité le mouvement de la chaleur. La théorie de la conduction de la chaleur est précisément l’œuvre la plus célèbre de Fourier. Il meurt à Paris le 16 mai 1830, alors qu’il est l’un des secrétaires perpétuels de l’Académie. Pour le même grand prix, un étudiant parisien de dix-huit ans, Galois, avait lui aussi remis un mémoire en février. Après la mort de Fourier, ce manuscrit ne parvient pas à l’évaluation finale ; on ne le retrouvera pas.

Le 2 juillet 1830, Jacobi écrit de Königsberg à Legendre. À propos du rapport de Poisson, il commence par dire combien sa lecture lui a fait plaisir : les deux transformations y sont très bien exposées, et l’on reconnaît l’influence des suppléments de Legendre. Puis il ajoute que Poisson n’aurait pas dû rappeler cette remarque peu convenable de feu M. Fourier. Viennent alors les quelques phrases si souvent citées depuis. En substance : feu M. Fourier estimait certes que les mathématiques avaient pour but principal l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe de sa stature aurait dû savoir que la science n’a d’autre fin que l’honneur de l’esprit humain, et qu’à ce titre une question sur les nombres vaut autant qu’une question sur le système du monde.

La présente vérification n’a pas permis de retrouver de transcription directe des paroles initiales de Fourier. La position exposée ici nous vient de Poisson, puis de la réponse et du résumé qu’en donne Jacobi. Du côté de Jacobi, en revanche, la lettre existe : elle a été publiée en 1875 dans une revue mathématique parisienne.

Ces phrases ont ensuite circulé seules, détachées de la lettre, et n’ont cessé de raccourcir. La science est devenue les mathématiques ; la moitié consacrée à Fourier a disparu. Bien souvent, il n’est resté que les mathématiques pour elles-mêmes. En 1987, Dieudonné donne à un livre le titre « Pour l’honneur de l’esprit humain ». Mais, dans la lettre d’origine, Jacobi ne dit pas que les mathématiques existent pour elles-mêmes. La fin qu’il leur assigne se trouve dans l’esprit humain.

L’un dit : pour l’utilité. L’autre : pour l’esprit humain. À quelle fin fait-on des mathématiques ? Ces deux réponses se rencontrent ici ; elles prendront ensuite, tour à tour, le dessus dans cette discipline.

2. Pour l’utilité

Du côté de l’utilité, l’histoire commence plusieurs milliers d’années avant la lettre de Jacobi.

Les premières tablettes de Mésopotamie consignent presque toutes combien chacun a versé, ce qu’il doit encore et à qui l’on a distribué quelque chose. Elles ne sont pas écrites pour la postérité : il faut pouvoir s’y retrouver le mois suivant. Les écoles de la Babylonie ancienne ont laissé des textes littéraires que les élèves recopiaient. L’un d’eux commence au matin d’un écolier : il prend sa tablette, va à l’école, lit à haute voix, déjeune, prépare une nouvelle tablette ; rentré chez lui, il doit encore réciter devant son père. Le lendemain matin, le maître examine sa tablette, y trouve des omissions, et le bâton tombe. Il s’agit d’un texte scolaire, pas du relevé disciplinaire d’une journée réelle ; les motifs de correction y sont d’ailleurs surtout le bavardage, les déplacements ou une écriture mal faite. Mais l’écriture ainsi apprise sert en grande partie à tenir les comptes : combien a été versé, combien reste dû. Les chiffres doivent être justes, parce que les quantités de grain et les impôts doivent l’être. L’élève apprend à devenir le maillon qui ne fera pas d’erreur dans le registre.

Fourier n’est pas le dernier homme de cette lignée ; il en est le représentant le plus honorable. Il a accompagné Napoléon en Égypte. À son retour, il a été préfet de l’Isère pendant plus de dix ans, et c’est dans l’exercice de ses fonctions à Grenoble qu’il a mené ses recherches sur la chaleur. Sa théorie de la conduction répond à un problème physique bien réel. Pour le résoudre, il invente une méthode qui décompose les fonctions en une suite d’ondes ; elle transformera ensuite toute l’analyse. Chez lui, l’utilité et la profondeur ne faisaient qu’une.

Au XXe siècle, l’utilité prend de nouvelles formes. Tables de tir de l’artillerie, décryptage à Bletchley Park, tableaux de cours en bourse : les mathématiciens entrent en nombre au service des États et des entreprises. En 1973, un jeune homme du service britannique de renseignement électronique, le GCHQ, conçoit un algorithme de chiffrement à clé publique utilisable, celui-là même que trois chercheurs du MIT retrouveront quelques années plus tard. Pendant vingt-quatre ans, il lui est interdit d’en parler : l’invention appartient à l’État. Ellis, le premier à avoir envisagé cette voie, meurt moins d’un mois avant sa divulgation.

Il n’y a pas, de ce côté, que les bureaux de comptabilité et les casernes. Dans un article de 1947 intitulé « Le mathématicien », von Neumann avertit qu’une branche des mathématiques qui s’éloigne trop de ses sources empiriques court, après plusieurs générations d’abstraction, un grave danger : suivre la pente de moindre résistance et proliférer en une multitude de ramifications sans importance. Il ne réclame pas que l’on se limite aux applications. Il préconise une alternance entre la recherche de pureté et le retour à l’expérience. C’est l’un des arguments les plus forts du côté de l’utilité : les mathématiques ont besoin du monde pour ne pas se dessécher.

Mais, de ce côté, celui qui tient les comptes est lui aussi un poste du compte. L’écolier du récit sur la tablette, frappé à coups de bâton, les jeunes gens de Bletchley Park liés par des engagements de confidentialité, la mathématicienne qu’il fallait promouvoir au rang de linguiste pour pouvoir augmenter son salaire, le cryptographe qui ne pouvait publier sous son nom pendant vingt-quatre ans : leurs mathématiques étaient un moyen. Eux-mêmes étaient souvent traités comme des moyens.

3. Pour elles-mêmes

L’autre camp trouve au XXe siècle son manifeste. En 1940, la guerre a commencé ; Hardy écrit « Apologie d’un mathématicien ». Il compare les mathématiciens aux peintres et aux poètes, et fait de la beauté le premier critère. Il souhaite que les véritables mathématiques auxquelles il se consacre restent loin de la guerre, et s’en console. Il n’avait pas prévu que la théorie des nombres, sa discipline préférée, servirait quelques décennies plus tard de fondement à la cryptographie.

La voie de Hardy conduit les mathématiques à ne répondre, de plus en plus, que d’elles-mêmes. Les livres de Bourbaki poussent cette démarche à son point le plus extrême : les définitions viennent en premier, les origines en dernier, les exemples se retirent dans les exercices, les personnes n’apparaissent pas. Ce style d’écriture, particulièrement influent, présente les mathématiques comme une structure qui ne garde presque aucune trace individuelle. Cela ne veut pas dire que toutes les mathématiques modernes cherchent à exclure les êtres humains.

Que l’on fasse des mathématiques pour leur utilité ou pour elles-mêmes, ce sont souvent elles que l’on porte au compte, plutôt que les personnes. Le coût est supporté par des êtres bien précis, et dans un grand silence.

Dans l’article de Turing de 1936, le calculateur est d’abord une personne assise devant un cahier d’arithmétique. La définition ne retient que la part de son activité où il suit les règles, pas à pas. Tout ce qui, chez lui, déborde ces règles est laissé de côté. C’est ainsi que l’on obtient la machine.

Durant les premières années où Noether enseigne à Göttingen, le nom inscrit au programme est celui de Hilbert ; elle n’y figure qu’en qualité d’assistante. Le cours est gratuit, mais c’est elle qui le donne. Elle obtient ensuite l’habilitation et devient privat-docente, sans traitement fixe ; plus tard seulement, on lui accorde une très faible rémunération pour son enseignement. Le 25 avril 1933, un télégramme annonçant sa suspension arrive à l’université. Ceux qui la défendent sollicitent les avis de quatorze mathématiciens, de Hardy à Cambridge, en Angleterre, à Teiji Takagi à Tokyo. Ces textes établissent sans ambiguïté la valeur de ses travaux. Douze étudiants signent également une pétition. Rien de tout cela ne change l’issue. Ce qui lui barre la route, ce sont d’abord les anciennes règles qui interdisent l’habilitation aux femmes, puis les purges raciales et politiques du régime nazi en 1933, avec sa suspension et les mesures légales qui lui sont ensuite appliquées. Chacun sait évaluer la valeur de ses mathématiques. Ici, cette valeur ne lui sert à rien.

Sur la liste qui accompagne l’annonce de la démonstration du théorème des quatre couleurs en 1976 figurent 1 936 configurations ; la version publiée en 1977 en comptera 1 482. C’est la machine qui détermine, pour chacune, si elle est réductible. Pour vérifier un à un les dessins qu’elle imprime, Appel et Haken mettent à contribution cinq enfants de leurs deux familles. Parmi eux, Dorothea, la fille de Haken, alors au lycée puis à l’université, avait déjà passé des mois à travailler à la main avec son père et Appel. Il y a aussi Laurel, la fille d’Appel : elle a treize ans cette année-là et y consacre un mois entier. Selon les souvenirs ultérieurs de Haken, elle repère environ huit cents erreurs de copie ou de dessin sur quelque sept cents pages. Ce ne sont pas huit cents failles laissées dans la démonstration définitive. Les noms de ces enfants ne figurent pas parmi les auteurs de la preuve.

À partir de 2002, Perelman met trois fichiers en ligne. N’importe qui peut les télécharger, sans distinction. Il dira ensuite que, si la démonstration est correcte, elle n’a besoin d’aucune autre reconnaissance. C’est la formulation la plus nette de cette voie : une preuve peut se détacher de la personne qui l’a écrite. Mais, une fois devenu un homme en vue, il dit qu’il ne peut plus être gardé comme un animal de compagnie et rester muet. Il ne lui reste donc qu’à se retirer.

Du côté de l’utilité, l’être humain est un poste du compte. Du côté des mathématiques pour elles-mêmes, il ne figure souvent même pas dans le compte. Ces deux camps se disputent depuis près de deux siècles, mais ils s’accordent sur ce point : dans aucun des deux, l’être humain n’occupe la place de la fin.

4. Ramener l’être humain

Chaque fois, quelqu’un ramène l’être humain dans l’histoire.

En 1907, Brouwer dépose sa thèse de doctorat à Amsterdam. Pour lui, affirmer qu’une chose est établie suppose que l’on dispose d’une construction achevée. Les mathématiques sont faites, étape par étape, par l’esprit humain : selon sa conception de l’existence, on ne peut affirmer qu’une chose existe sans disposer d’une justification constructive appropriée. Cela n’impose pas de mener matériellement chaque processus infini à son terme dans le temps physique. L’année suivante, il écrit encore que l’une des règles les plus anciennes de la logique, le principe du tiers exclu, ne peut être appliquée sans condition. Sur ce point, il disputera pendant des années avec Hilbert.

Weyl a été l’élève de Hilbert ; pourtant, dans cette querelle, il prend un temps le parti de Brouwer. En 1921, il écrit que les fondements des mathématiques traversent une nouvelle crise, et lance cette phrase : Brouwer, c’est la révolution. Plus tard, il écrit aussi, en substance, que la mathématisation pourrait bien être une activité créatrice humaine, semblable au langage ou à la musique, dotée d’une originalité première, et que les choix qu’elle a faits au cours de l’histoire ne se laissent pas entièrement expliquer par des raisons objectives. En 1946, il revient sur l’épuisement que la querelle lui a laissé. Il ajoute que tout mathématicien qui se soucie du sens de ses recherches dans l’existence humaine prise tout entière, avec ses préoccupations et ses connaissances, ses souffrances et ses créations, a probablement connu quelque chose de semblable.

En août 1976, à un congrès annuel organisé à l’université de Toronto, Haken présente la démonstration du théorème des quatre couleurs qu’il a élaborée avec Appel. Elle comprend mille deux cents heures de calcul par ordinateur. Les applaudissements sont polis ; après la séance, les mathématiciens expriment, l’un après l’autre, leur malaise. Peut-on dire que l’on connaît une démonstration que personne ne peut vérifier entièrement à la main ? La question fera débat pendant de longues années.

Dix-huit ans plus tard, Thurston écrit « De la démonstration et du progrès en mathématiques ». Il commence par demander ce que les mathématiciens accomplissent au juste. Il ne veut pas poser la question sous la forme : comment les mathématiciens démontrent-ils des théorèmes ? Il préfère demander comment ils font progresser la compréhension humaine des mathématiques. À propos de la controverse sur le théorème des quatre couleurs, il explique que l’on ne doute ni de la vérité du théorème ni de la correction de la démonstration. La querelle exprime un désir qui a toujours existé : au-delà de savoir qu’un théorème est vrai, parvenir à une compréhension humaine de sa preuve.

Dans ce même article, il raconte une expérience personnelle. Au début des années 1970, il a démontré d’un seul élan une série de grands théorèmes dans la théorie des feuilletages. En quelques années, les chercheurs ont quitté ce domaine les uns après les autres. Quelqu’un lui a dit, comme un compliment et non comme un reproche, qu’il était en train de tuer le domaine. Il a fini par comprendre : ses articles n’exposaient pas, et ne pouvaient pas exposer, tout l’ensemble d’idées qui les sous-tendait. Le seuil d’entrée était trop élevé. Or, davantage que des connaissances, les gens cherchent à comprendre par eux-mêmes. Il ajoute que les mathématiciens voulaient surtout apprendre de lui sa façon de penser, plutôt que sa démonstration de la conjecture de géométrisation dans une vaste classe de cas. La conjecture entière sera démontrée plus tard par Perelman.

De Brouwer à Thurston, le sens de cette démarche tient en une idée : les mathématiques ne sont pas seulement un amas de propositions vraies. C’est une activité faite par des êtres humains, pour des êtres humains.

5. Prendre parti

L’autre point de vue possède lui aussi son argument le plus fort. Il mérite d’être présenté tel quel.

Dans la section 24 de son « Apologie », Hardy voit dans les mathématiques pures un récif où tout idéalisme vient se briser : 317 est un nombre premier, non parce que les humains le pensent, ni parce que leur cerveau est fait de telle manière plutôt que de telle autre, mais parce qu’il est premier, parce que la réalité mathématique est ainsi faite. En 1964, Gödel va plus loin. Bien que les objets de la théorie des ensembles soient très éloignés de l’expérience sensible, dit-il, nous avons bel et bien à leur égard quelque chose d’analogue à une perception. Pour preuve, les axiomes s’imposent à nous et nous obligent à les reconnaître comme vrais.

La force de ce camp tient à un fait tout simple : personne ne peut faire de 317 un nombre composé par un vote. La justesse d’un résultat ne dépend ni de la personne qui l’a trouvé en premier, ni de l’année où elle l’a trouvé.

Cette série se place dans l’autre camp : elle tient les mathématiques pour une construction. Les raisons en ont été données au fil des vingt-quatre épisodes précédents.

Nombres négatifs, nombres imaginaires : ces deux noms gardent une blessure. Ils ont été choisis du côté du manque : le négatif du côté de la perte ; l’imaginaire disait qu’aucune grandeur ne lui correspondait. Les objets ont fini par être admis, mais leurs noms sont restés. Le côté et la diagonale du carré n’avaient pas de commune mesure. Les Grecs ne se sont pas mis à chercher la règle inexistante qui les mesurerait tous deux : ils ont changé ce que signifiait l’égalité de deux rapports. Le cinquième postulat est resté en suspens pendant deux mille ans. On s’obstinait à vouloir le déduire des autres ; puis certains l’ont tout bonnement remplacé. Une autre géométrie tenait tout aussi bien debout, et il y eut désormais plus d’une géométrie. Les infinitésimaux ne savaient pas dire clairement ce qu’ils étaient ; cela ne les a pas empêchés de soutenir les calculs de la mécanique et de l’astronomie pendant plus d’un siècle. Dans de nombreuses démonstrations, ils ont ensuite cédé leur place au langage des limites, qui contrôle, par des quantificateurs, des accroissements et des erreurs finis. Cette analyse pouvait néanmoins toujours faire intervenir des ensembles et des processus infinis. Dans les années 1960, on a de nouveau construit un système de nombres contenant des infinitésimaux, où l’on a pu faire du calcul différentiel et intégral avec autant de rigueur. Le choix de la voie appartenait aux humains. Après 1976, ce qui peut compter comme une démonstration est devenu une question publiquement débattue. Certaines théories arithmétiques et géométriques aux moyens d’expression restreints peuvent effectivement être à la fois complètes et décidables ; en contrepartie, certaines relations ne peuvent pas être exprimées dans leur langage. Ce caractère décidable ne rend pas nécessairement le calcul de la réponse facile. Chaque fois, modifier une définition, conserver tel axiome, décider de ce qui fait preuve ou de ce que l’on peut dire connaître : ce sont des décisions prises par des êtres humains, dans une année bien précise.

317 est premier, à condition que quelqu’un ait d’abord défini ce que sont un nombre, la divisibilité et un nombre premier. Une fois ces définitions posées, la conclusion n’est plus au choix : aucun entier positif autre que 1 et 317 lui-même ne le divise. Qui que soit la personne qui calcule, quelle que soit l’année, le résultat reste le même. La contrainte que Hardy et Gödel ressentent est réelle. Seulement, ce qui nous contraint est le cadre que nous avons nous-mêmes bâti. Une conclusion peut être objective sans pour autant être indépendante de l’être humain.

Depuis le premier épisode, cette série emploie un mot : construction. C’est un cadre que les humains bâtissent pour y faire tenir quelque chose : une façon de noter les nombres, un ensemble d’axiomes, une règle fixant ce qui constitue une preuve ; mais aussi une université, un règlement, un prix. Ce que la construction ne peut contenir, cette série l’appelle le reste. La racine carrée de deux est un reste ; le cinquième postulat, les infinitésimaux, l’infini indénombrable sont des restes. Noether laissée à la porte par le règlement, tout ce qui, chez la personne qui calcule, déborde les règles et se voit écarté par la définition : ce sont aussi des restes. La série compare, dans un même cadre d’interprétation, ce que les structures ne peuvent contenir et ce que les institutions ne peuvent accueillir. Il s’agit d’une analogie philosophique de l’auteur, et non d’une démonstration que les deux relèvent d’un même mécanisme scientifique.

Les humains taillent une ouverture là où la construction ne suffit pas, puis ils en bâtissent une autre. Mais celle-ci, à son tour, laisse quelque chose dehors. C’est ce que désigne le nom de cette série : « La loi des cycles de taille et de construction ». Le théorème de 1931, avec l’amélioration apportée quelques années plus tard, dit ceci : dans un système formel suffisamment puissant, dont les axiomes peuvent être énumérés mécaniquement et qui ne comporte pas de contradiction, il existe toujours un énoncé que l’on ne peut ni démontrer ni réfuter à l’intérieur du système. Dans ce domaine, l’impossibilité de clore la construction est un théorème démontré. Au-delà, l’impossibilité de clore la construction et d’éliminer les restes est la position que défend cette série.

Les constructions sont bâties par des humains, pour servir aux humains. L’être humain est la fin ; la construction, le moyen. Au terme de vingt-quatre épisodes, ce qui revient dans l’histoire des mathématiques est au fond la querelle de savoir lequel des deux doit passer en premier.

6. Les machines arrivent

Juillet 2025, sur la Sunshine Coast, en Australie : les Olympiades internationales de mathématiques. Six cent trente élèves du secondaire, venus de cent dix pays, passent deux épreuves de quatre heures et demie, sur deux jours, avec trois problèmes par jour. Le seuil de la médaille d’or est de trente-cinq points ; soixante-douze élèves l’obtiennent. Des systèmes informatiques ont eux aussi traité les mêmes problèmes. Les deux premiers dont les résultats sont annoncés, l’un conçu par Google DeepMind, l’autre par OpenAI, obtiennent chacun trente-cinq points sur quarante-deux. Les réponses du premier ont été vérifiées par les correcteurs de l’organisateur ; pour le second, on a fait appel à trois anciens concurrents médaillés.

L’année précédente, deux systèmes de DeepMind travaillant ensemble avaient obtenu vingt-huit points sur les problèmes de l’année. Des humains avaient d’abord traduit les énoncés dans un langage formel lisible par la machine. Le score se situait tout en haut de la zone des médailles d’argent, à un point de l’or. Gowers et Myers, le président du comité de sélection des problèmes de cette édition, avaient corrigé les réponses. Pour certains problèmes, les systèmes avaient calculé jusqu’à trois jours.

Les deux systèmes de 2025 ne sont pas des concurrents : ils n’ont pas passé les sélections des équipes nationales, ni pris place dans les salles d’examen. Les deux entreprises disent avoir respecté les mêmes deux sessions de quatre heures et demie. Mais l’organisateur précise qu’il ne peut confirmer indépendamment ni les ressources de calcul utilisées dans ces tests privés, ni le degré d’intervention humaine, ni leur reproductibilité. Noter les réponses ne revient pas à certifier que tout leur processus de production s’est déroulé dans des conditions identiques à celles des élèves. Il faut donc dire que leurs scores ont atteint le seuil de l’or, et non qu’ils ont remporté une médaille d’or. L’organisateur souhaitait que les laboratoires retardent leurs annonces, pour que l’attention reste encore un temps sur les élèves ; les récits des différentes parties ne concordent pas entièrement sur les délais précis et les autorisations. OpenAI, qui n’avait pas collaboré avec l’organisateur pour la correction, publie son annonce le soir même de la clôture. L’entreprise dit qu’un membre du conseil lui avait demandé d’attendre que la clôture soit passée. DeepMind, qui avait travaillé avec l’organisateur, attend son feu vert le lundi. La communauté mathématique a sa propre horloge : soumettre un article, le faire évaluer, être cité, voir son travail repris par d’autres. Les entreprises ont la leur : la date d’annonce, être les premières. Ce samedi-là, les deux horloges se sont heurtées de plein fouet.

Trois mois plus tard, elles se heurtent de nouveau. En octobre 2025, un vice-président d’OpenAI annonce en ligne que le modèle de l’entreprise a trouvé les réponses à dix problèmes d’Erdős jusque-là non résolus. Erdős, l’un des mathématiciens les plus prolifiques du XXe siècle, a laissé plus d’un millier de problèmes. Le mathématicien britannique Bloom a créé un site qui consigne l’état de chacun. Il répond très vite : l’annonce induit gravement en erreur. Le modèle a retrouvé d’anciens articles où ces problèmes étaient déjà résolus, et dont lui-même ignorait jusque-là l’existence. La mention « non résolu » sur le site signifiait simplement qu’il ne connaissait pas personnellement d’article apportant une solution. Le message a ensuite été supprimé. Durant ces quelques jours, les auteurs de ces anciens articles ont failli être effacés par une seule ligne.

Les accomplissements des machines sont pourtant bien réels. En mai 2026, un modèle interne d’OpenAI réfute une conjecture d’Erdős sur les distances unitaires. On note u(n) le nombre maximal de paires de points à distance exactement égale à un que peuvent former n points du plan. La conjecture donne comme borne supérieure n à la puissance 1 + o(1) : la part de l’exposant qui dépasse un tend vers zéro. Le contre-exemple atteint, le long d’une suite de valeurs de n de plus en plus grandes, n à la puissance 1 + ε, où ε est un nombre positif fixé. Ce qui ne diminue pas est le supplément dans l’exposant, et non l’écart effectif entre le nombre de paires et le nombre de points. L’article attribue au modèle la contribution décisive qui a produit le contre-exemple. Les neuf mathématiciens signataires, parmi lesquels Bloom, ont aussi vérifié le résultat, l’ont amélioré et généralisé dans une certaine mesure, et en ont donné une exposition lisible par des humains. L’article précise également les constructions mathématiques antérieures sur lesquelles il s’appuie.

7. Qui en répond ?

En janvier 2023, la revue Nature fixe quelques règles pour les grands modèles de langage. La première interdit de faire figurer ces outils parmi les auteurs d’un article de recherche. Le motif tient en peu de mots : signer signifie assumer la responsabilité du travail, et ces outils ne peuvent pas en répondre. Plusieurs grands éditeurs adopteront ensuite des règles comparables. Selon ces règles de signature, la responsabilité doit rester humaine ; elle ne se transfère pas à un outil.

Le 4 septembre 2026, Anthropic annonce que quelques dizaines de ses agents Claude ont réalisé, en onze jours selon son propre compte rendu, la première démonstration du grand théorème de Fermat vérifiée de bout en bout par ordinateur. Elle comprend environ treize millions de lignes de code et démontre quelque 30 300 résultats intermédiaires, dont environ 29 500 entrent dans la preuve finale. Ce n’est pas une nouvelle démonstration du théorème : des humains l’ont déjà démontré dans les années 1990. La nouveauté annoncée par l’entreprise est la première formalisation complète de ce théorème déjà démontré par des humains. Buzzard indique ensuite avoir compilé le code et effectué une vérification comparative de l’énoncé du théorème. Cela ne signifie pas qu’il a relu et vérifié à la main chacune des treize millions de lignes.

Buzzard, à l’Imperial College de Londres, travaille à cette tâche depuis des années. Il a obtenu un million de livres sterling auprès d’un conseil de recherche britannique, pour un programme de cinq ans commencé en octobre 2024. Son engagement était de ramener le grand théorème de Fermat à des résultats des années 1980. Le jour de l’annonce, il écrit sur son blog : félicitations. Ce code, dit-il, réalise une partie des objectifs de son projet et va beaucoup plus loin. Puis il ajoute que ce qu’il veut produire, lui, est un document vivant, dans lequel chacun puisse entrer pour explorer la démonstration moderne. Le programme de vérification ne reconnaît qu’une chose : l’énoncé écrit dans le code découle-t-il des axiomes écrits dans le code ? S’agit-il bien du grand théorème de Fermat que les humains ont en tête ? Cela, des personnes doivent le vérifier. Pourquoi la démonstration fonctionne, où se trouvent ses idées décisives, lesquelles pourraient servir à d’autres problèmes : de tout cela, le vérificateur ne s’occupe pas.

Trois ans plus tôt, un autre exemple donne un point de comparaison. En novembre 2023, Gowers, Green, Manners et Terence Tao publient en ligne une démonstration d’une conjecture de combinatoire. Quelques jours après, Tao lance un projet et transforme la démonstration en un plan d’ensemble : une case pour chaque lemme, et chacun peut en prendre une en charge. Trois semaines plus tard, toute la démonstration a passé la vérification par ordinateur ; vingt-cinq personnes ont participé au travail. Le plan est toujours là aujourd’hui. On peut le suivre pour comprendre comment la démonstration est bâtie.

Le 8 septembre 2026, OpenAI annonce, selon son propre compte rendu, qu’environ dix mille agents, mis au travail à partir du 1er septembre, ont obtenu en quelque quatre-vingt-huit heures une solution candidate au problème du millénaire concernant les équations de Navier–Stokes. Ils auraient ensuite achevé sa formalisation dans Lean en environ dix-sept heures supplémentaires. Sous l’action d’une force extérieure lisse, la vitesse d’un fluide peut devenir incontrôlable en un temps fini. La formulation du problème par l’Institut Clay autorise ce type de réponse ; la vérification de l’ensemble des conditions que doit satisfaire la démonstration reste en cours. L’entreprise dit qu’elle ne réclamera pas le million de dollars. Dans sa déclaration du 11 septembre, l’Institut Clay estime que le problème semble avoir trouvé une réponse et annonce une évaluation délibérément lente. La déclaration mentionne le prix d’un million de dollars et les règles d’attribution, sans annoncer que le prix est décerné.

La veille au soir de cette annonce, Buckmaster, mathématicien à l’université de New York, et son collaborateur Alpöge mettent précipitamment une prépublication en ligne. À la mi-août, ils avaient obtenu des résultats voisins pour plusieurs équations proches. Alpöge travaille chez Anthropic, mais il mène ces recherches à titre personnel, et non pour l’entreprise. Après l’annonce d’OpenAI, le lendemain, Buckmaster publie une déclaration. Il demande si ses avancées encore inédites ont pu parvenir à cette entreprise par certains canaux, notamment les données laissées lorsqu’il utilisait son outil de programmation, tout en précisant qu’il n’accuse personne. Il affirme aussi que l’autre partie a proposé un compromis, dont l’une des conditions était de retirer le nom d’Alpöge de la liste des auteurs. Ce sont les affirmations d’une seule partie. OpenAI nie avoir eu connaissance de leurs travaux et dit que les deux démonstrations diffèrent profondément. Dans son explication mise à jour le 10 septembre, l’entreprise indique qu’une enquête interne a conclu que les données liées à l’utilisation de l’outil de programmation n’avaient pas pu influencer ce résultat par l’entraînement du modèle. C’est la conclusion de son enquête ; elle ne saurait être présentée comme un fait tranché par un tiers indépendant. Lors de la présente vérification, arrêtée au 1er octobre 2026, aucun compte rendu public d’une enquête indépendante ayant tranché la question n’a été retrouvé. Ni l’enquête interne de l’entreprise ni les déclarations des intéressés ne remplacent une décision indépendante. Mais la question est désormais posée : dans le processus de travail d’une machine, retracer de qui vient une idée est bien plus difficile que déterminer qui a saisi le texte final.

C’est trois jours après l’annonce que paraît la déclaration des vingt-cinq lauréats de la médaille Fields. Ils s’opposent à une production en série toujours plus rapide, à des annonces précipitées, qui sautent les étapes d’une rédaction soignée, de la présentation distincte des méthodes et des idées nouvelles, et des références aux travaux antérieurs. À ce rythme, disent-ils, une chaîne essentielle de transmission entre les mathématiciens, d’une personne à une autre, se rompra. Si des mathématiciens ne développent pas ces idées avec soin et ne les relient pas aux mathématiques existantes, elles ne prendront jamais véritablement vie.

8. Pour qui ?

De 1830 à 2026, cent quatre-vingt-seize ans séparent les deux phrases. Jacobi parle de l’honneur de l’esprit humain. Les vingt-cinq lauréats de la médaille Fields disent que résoudre des problèmes n’est qu’un outil, et que le but est de comprendre. Les deux phrases aboutissent au même endroit : la fin se trouve dans l’être humain.

Depuis que les machines font des mathématiques, les réactions des uns et des autres, sans concertation, ont réservé aux humains deux places. À une extrémité, l’être humain qui répond du travail : les revues disent que signer, c’est en assumer la responsabilité ; l’Institut Clay veut prendre son temps pour évaluer ; les auteurs d’une formalisation doivent vérifier que l’énoncé du code est bien le théorème que l’on a en tête. À l’autre, l’être humain qui comprend : Buzzard veut un document dans lequel chacun puisse entrer pour explorer ; neuf mathématiciens font d’un contre-exemple un article lisible ; la déclaration dit que les idées ne vivent qu’une fois reliées aux mathématiques humaines. Entre les deux, les machines accomplissent toujours davantage. Aux deux extrémités se tiennent encore des humains.

Pendant ces deux journées sur la Sunshine Coast, six cent trente élèves étaient assis, chacun à sa place, dans les salles d’examen. Les trente-cinq points de la machine sont un résultat. Ce qui s’est passé pendant ces deux jours dans l’esprit de ces élèves est la raison pour laquelle cette discipline organise cette épreuve.

Les mathématiques sont une construction humaine. La fin, c’est l’être humain. L’histoire de cette discipline revient sans cesse à la question de savoir qui, des mathématiques ou des êtres humains, constitue la fin. Parfois, on fait des mathématiques une fin : tout ce qui déborde les règles chez la personne qui calcule est laissé de côté ; ceux qui vérifient les dessins disparaissent de la liste des auteurs. Parfois, on en fait un moyen de prélever l’impôt en grain, de gagner des guerres, de tirer parti des écarts de cours en bourse ; ceux qui font les calculs deviennent des moyens avec elles. La machine en est la répétition la plus récente. Il y en aura d’autres. Elle peut pousser une construction très loin des humains et la faire fonctionner seule : treize millions de lignes, dix mille agents, quatre-vingt-huit heures. Plus elle la pousse loin, plus il faut demander : pour qui a-t-on bâti cela ?

On a fini par tailler la phrase de Jacobi jusqu’à n’en garder que les mathématiques pour les mathématiques. L’être humain qui figurait dans la phrase d’origine a toujours été là.

Plus une chose peut fonctionner seule, loin des humains, plus il faut se rappeler pour qui elle a été faite.

En 1843, une comtesse traduit un article consacré à une machine qui n’a pas encore été construite. Elle lui ajoute des notes environ trois fois plus longues que le texte d’origine. L’une d’elles dit que cette machine ne saurait rien entreprendre de sa propre initiative.

Le calcul continue. Mais demander pourquoi l’on calcule reste une responsabilité dont les humains ne peuvent se décharger.

Pour les nouveaux résultats et les controverses liés à l’intelligence artificielle, cet article s’arrête à l’état connu au 1er octobre 2026 ; les annonces des entreprises, les vérifications de compilation, la vérification par la communauté et l’attribution officielle d’un prix correspondent à des étapes distinctes.

Sources et lectures complémentaires

Les documents ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans le texte. Les notices de collections, les textes anciens et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

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