깎아내기와 구축의 주기

사람이 만들어 온 수학의 역사

점토 장부에서 무한과 컴퓨터, 그리고 증명을 만드는 사람들까지. 수학이 무엇을 해결할 수 있고 무엇을 우리에게 남기는지를 따라가는 역사.

완결된 에세이 25편 · 8개 언어

고급 수학 지식은 필요하지 않습니다. 처음부터 읽거나 아래에서 궁금한 질문을 골라 시작하세요. 수학 자체도 중요하지만, 그것을 가능하게 한 교실과 제도, 사람들의 삶도 중요합니다.

수와 증명, 전승

셈과 측량과 장부

점토판은 사람 대신 양과 곡물과 노동일을 기억했다. 그리고 어떤 일이 총장부에 들어갈 수 있는지, 누구는 장부 바깥에 남아야 하는지까지 결정하기 시작했다.

통약 불가능성

공통된 자가 없다고 비교할 수 없는 것은 아니다. 발견과 전설, 그리고 현대의 위기 서사를 가려 읽는다.

공리의 구축

명시한 전제는 2천 년 동안 의심을 받았다. 그림 속에서 말없이 쓰인 자원들은 또 다른 엄밀함을 기다렸다.

다가가되 닿지 않는다

유한한 횟수의 근사만으로도 정확히 같다는 것을 증명할 수 있다. 하지만 발견에 이르는 방법이 곧 증명일 필요는 없다.

또 다른 판단 기준

계산 절차인 술(術)은 답을 내놓는 데 그치지 않고 논증의 대상이 될 수도 있다. 원래의 도해, 죽간을 꿴 순서, 주석의 여러 층위는 모두 우리가 그 글을 어떻게 읽을지에 관여한다.

전달과 명명

원서는 사라지고 사람의 이름은 알고리즘이 되었다. 단어가 이어져 내려왔다고 해서 그 대상과 의미까지 변함없이 이어진 것은 아니다.

기존 체계에 들어맞지 않던 대상들

터무니없는 수

음의 항을 계산하는 것, 음의 해를 답으로 남기는 것, 수의 한 종류로 인정하는 것은 같은 일이 아니다.

상상으로 만들어 낸 양

삼차방정식의 실근을 구하려면 중간에 실수가 아닌 양이 필요할 수 있다. 규칙과 해석, 발표와 수용은 저마다 다른 시간에 찾아온다.

무한소와 엄밀성의 빈틈

한 주교가 사라지는 증분을 캐묻자, 물리학을 바꾼 도구가 자기 근거를 다시 쓰기 시작했다.

사냥의 끝

일반 오차방정식의 근호 공식을 향한 사냥은 어떻게 끝났는가. 그리고 갈루아의 기록은 왜 천재 신화를 막지 못했는가.

제5공준이 터지다

귀류법에서 없애야 할 가설이 스스로 작동하는 기하학이 되기까지. 모형은 어떻게 이천 년 이어진 입증 책임을 뒤집었는가.

무한소를 내쫓다

엄밀성은 한 번의 추방으로 이루어지지 않았다. 극한, 연속성, 실수, 그리고 강의 필기가 함께 해석학의 경계를 바꾸었다.

무한과 기초

다 셀 수 없는 것들

칸토어는 짝짓기로 무한의 크기를 재면서 크기에 관한 질문을 바꾸었다. 동시에 존재와 증명을 둘러싼 견해 차이도 드러냈다.

괴팅겐

열람실, 세미나, 교수직, 편집자의 책상, 자격의 문턱은 어떻게 수학 연구를 오래 이어 갈 수 있는 하나의 길로 묶었을까.

집합론의 위기

편지 한 통이 명확하게 세워진 체계를 강타했다. 그렇다고 수학 전체가 작업을 멈춘 것은 아니다. 역설과 선택, 위기가 등장한 시점은 따로 짚어야 한다.

배중률 논쟁

무언가가 존재한다고 말하는 것과 그것을 구성해 내는 것은 같은 일인가? 브라우어의 고정점에서 힐베르트의 증명론까지, 이 논쟁은 우리가 증명에 무엇을 물을 수 있는지를 바꾸었다.

산술이 자신을 말하게 하다

괴델은 논리식과 증명을 자연수로 부호화해, 형식 산술이 자기 자신에 대해 어디까지 증명할 수 있는지 정확히 경계를 그었다. 그 한계는 이성의 파산도, 체계라고 불리는 모든 것에 주어진 숙명도 아니다.

닫힘은 값을 치르면 얻을 수 있다

완전성, 결정 가능성, 실용성은 서로 다른 것을 보장한다. 프레스버거에서 수학 기계화에 이르기까지, 경계와 비용은 각자의 장부에 기록된다.

수학을 만드는 사람들

모두 비우다

조상의 신원을 묻는 설문지에서 빈 강의실까지, 괴팅겐의 흩어짐은 무사히 도착한 사람들의 이야기만으로는 기록할 수 없다. 떠나도록 내몰린 모든 사람을 세는 데서 시작해야 한다.

기계

튜링은 종이와 연필로 계산하는 사람의 활동 가운데 한 부분을 기계로 정의했다. 그리고 그 정의로, 그런 기계라면 어느 것도 넘을 수 없는 경계를 증명했다.

저자가 사라지다

부르바키는 말다툼과 직관과 버린 원고로 존재하지 않는 저자를 만들어 냈다. 익명으로 남은 것은 완성된 책이지, 그 책을 만든 노동이 아니었다.

한 사람이 붙들 수 없는 증명

사색 정리와 유한 단순군, 케플러 추측은 논증의 성립과 이해, 검사 가능성을 서로 다른 세 가지 완성으로 갈라놓았다.

어디에 쓰는가?

수학과 돈

수학자가 트레이딩룸과 암호기관, 플랫폼 회사에 들어선 뒤 달라진 것은 월급만이 아니었다. 성과를 어떻게 공개하는지, 모델이 얼마나 큰 권력을 갖는지, 직장을 떠날 때 무엇을 가져갈 수 있는지도 달라졌다.

거부

공개된 세 파일이 백 년 묵은 문제를 풀었다. 그러나 메달과 상금도 그 글을 쓴 사람이 수학 공동체와 어떤 관계를 맺을지 대신 결정해 줄 수는 없었다.

인간 정신의 영예

야코비의 편지에서 인공지능의 증명까지. 수학이 무엇을 이루었는가와 수학이 누구를 위한 것인가는 서로 다른 질문이다.