Boltzmann, dessous il y a du désordre

I. La pierre tombale

Le cimetière central de Vienne. Une pierre tombale. Une équation gravée dans la pierre.

S = k log W

S désigne l'entropie, k la constante de Boltzmann. W compte les arrangements microscopiques capables de réaliser un même état macroscopique. Ici, log est le logarithme naturel. Peu de lettres. Beaucoup de choses sous ces lettres.

Regardez une bouteille de gaz. La température est stable, la pression aussi. L'aiguille du manomètre bouge à peine. À l'intérieur, pourtant, aucune troupe de molécules ne se tient au garde-à-vous. Elles se déplacent, se heurtent, changent de direction, se heurtent encore. Bien des choses différentes peuvent se passer dans la bouteille sans que les instruments cessent d'afficher presque les mêmes valeurs.

La stabilité est réelle. Le mouvement aussi. Le chiffre bien net ne ment pas. Il ne raconte simplement pas tout ce qui se passe en dessous.

Boltzmann a relié ces deux niveaux. Il n'annonçait pas que l'ordre n'existait pas. Il demandait comment il pouvait exister sans qu'il faille d'abord mettre chaque molécule en rang.

Plus tard, Planck donnera à cette relation sa forme familière. Plus tard encore, d’autres la feront graver sur la tombe. Une vie de travail tient ici en quelques lettres.

Une équation demeure.

L'homme qui a fait ce travail n'est plus là.

II. L'homme

Ludwig Boltzmann. Né à Vienne le 20 février 1844.

Il étudie la physique à l'université de Vienne, auprès de Josef Stefan. En 1866, il obtient son doctorat. Il a vingt-deux ans. Puis viennent Graz, Vienne, Munich, Leipzig. Il enseigne tantôt les mathématiques, tantôt la physique expérimentale ou la physique théorique. De retour à Vienne, il donne aussi des cours de philosophie de la nature.

À suivre ces noms de villes, on voit des bagages jamais tout à fait défaits. Les postes, les choix de recherche, les relations : tout entre dans la décision de partir ou de rester. Une autre ville, une autre salle de cours. Quelques années de plus à une nouvelle adresse.

Il est petit et corpulent, les cheveux bouclés. Ceux qui parlent de lui évoquent la sensibilité, la chaleur, mais aussi des périodes de profond abattement. Des climats si différents peuvent traverser le même homme.

Dans la salle de cours, un autre visage apparaît.

Lise Meitner a suivi ses cours. Paul Ehrenfest a également été son étudiant. En 1899–1900, Ehrenfest assiste à ses leçons sur la théorie mécanique de la chaleur. Pour ce jeune homme que l'école avait lassé, elles rouvrent un accès à la physique. Il obtiendra ensuite son doctorat sous la direction de Boltzmann.

On peut sortir épuisé d'une querelle et donner, dans une salle de cours, à quelqu'un d'autre l'envie de poursuivre ses études. L'étudiant n'emporte pas seulement une distribution ou une démonstration. Il peut aussi emporter cette découverte : il existe une entrée dans ces choses si difficiles. Quelqu'un lui a montré par où commencer.

Cela aussi fait partie du travail laissé derrière lui. Ce n'est pas gravé sur la tombe.

III. Sous le plancher, le désordre

La mécanique de Newton avait donné aux hommes une confiance considérable : connaître la position et la vitesse des particules, ainsi que leurs interactions, puis suivre les équations du mouvement pour calculer la suite.

Laplace avait poussé cette confiance jusqu'à une limite imaginaire. Une intelligence connaissant l'ensemble des états et des forces, et disposant d'une puissance d'analyse suffisante, pourrait réunir le passé et l'avenir dans un même calcul.

Devant une bouteille de gaz, nous ne sommes pas cette intelligence. Il y a trop de particules. Impossible de tenir le registre de ce que chacune vient de heurter et de l'endroit vers lequel elle se dirige.

Boltzmann ne s'est pas contenté de répondre que Newton avait tort et que le monde n'avait plus de lois. Il a déplacé la question. Sans connaître le trajet de chaque molécule, peut-on tout de même expliquer ce que fera le gaz ? Pourquoi la chaleur se transmet ? Pourquoi la pression se stabilise à telle valeur ?

Au lieu de demander où cette molécule sera dans un instant, demandons combien de molécules se trouvent dans une certaine plage de vitesses. Combien d'arrangements intérieurs peuvent donner la même indication sur l'instrument placé à l'extérieur ?

Imaginez un thermomètre posé sur un plancher. Vingt-six degrés Celsius.

On soulève la lame : dessous, des molécules se déplacent et se heurtent. Le thermomètre n’a pas besoin de suivre chacune. Dans le modèle classique du gaz parfait, la température absolue correspond à leur énergie cinétique moyenne de translation. En frappant sans cesse les parois, elles leur transmettent de la quantité de mouvement : c’est la pression. La stabilité de l’aiguille vient de mouvements qui ne s’arrêtent pas.

Et pourtant, une même température peut correspondre à une multitude de trajets moléculaires différents.

Dans cette série, Aristote ne cesse de poser un plancher : distinguer les choses, les placer là où elles deviennent compréhensibles. Boltzmann soulève une lame de cette thermodynamique que nous pensions déjà achevée. Il ne fait pas disparaître le sol. Il montre que sa solidité n'exige pas nécessairement que quelque chose, au-dessous, demeure immobile pour toujours.

Une difficulté plus grande encore surgit. La mécanique permet de décrire une collision moléculaire à l'envers. Pourquoi les transformations d'une bouteille entière de gaz ne se déroulent-elles généralement pas à l'envers dans la vie courante ? L'objection de réversibilité formulée par Loschmidt atteint précisément ce point. Ce n'est pas une insulte. C'est une question à laquelle Boltzmann doit répondre.

Faraday attire l'attention vers le champ. Boltzmann, vers les mouvements d'un nombre immense de particules. Ils n'ont pas trouvé sous le plancher deux mondes rivaux dont un seul aurait le droit d'être réel. Dans les deux cas, une explication que l'on croyait suffisante laisse apparaître un nouvel endroit où interroger.

Il y a du désordre en dessous. Cela ne le rend pas incompréhensible.

IV. Qui croyait aux atomes ?

Les atomes existent-ils ?

À la fin du XIXe siècle, tous les physiciens ne donnent pas la même réponse.

Pour Boltzmann, le mouvement moléculaire offre une véritable prise sur la nature de la matière. Mach s'inquiète d'autre chose : ce n'est pas parce qu'un modèle rend service qu'on peut aussitôt traiter les entités qu'il contient comme la réalité ultime du monde. Il doute fortement d'atomes que l'on ne peut observer directement. La description de l'expérience a-t-elle vraiment besoin d'eux ?

Ostwald emprunte une autre voie. Il veut organiser la physique autour de l'énergie et de ses transformations, sans faire porter tout le poids de l'explication à une multitude de petites particules supposées. Sa position n'est pas celle de Mach. Les adversaires de Boltzmann ne forment pas un chœur répétant une seule phrase : ils n'existent pas.

En 1895, lors d'une réunion scientifique à Lübeck, Ostwald critique les explications mécaniques. Boltzmann se lève pour lui répondre.

Bien plus tard, Sommerfeld comparera l'affrontement à celui d'un taureau et d'un combattant agile ; à ses yeux, cette fois, le taureau avait eu le dessus. Il se souviendra aussi que Felix Klein soutenait Boltzmann, tout comme les jeunes mathématiciens présents. C'est un souvenir raconté après de nombreuses années, non une transcription de la séance. Mais, dans ce souvenir du moins, Boltzmann est loin d'être seul.

Il a des adversaires, mais aussi des lecteurs, des étudiants, des collègues. En 1899, il est élu membre étranger de la Royal Society. Pour ses soixante ans, en 1904, des physiciens de plusieurs pays réunissent un volume d'articles en son honneur.

La discussion n'est pas terminée. La reconnaissance est déjà là. Le volume d'anniversaire ne peut répondre à sa place à l'objection de Loschmidt. Les objections lancées dans une salle de réunion ne peuvent pas davantage faire disparaître ce volume.

Certains contestent ses arguments, d'autres les prolongent. Sa voix ne résonne pas dans une pièce vide. Des gens écoutent. Écouter ne signifie pas toujours être d'accord. Ne pas être d'accord ne signifie pas toujours refuser d'écouter.

V. Boltzmann et Cantor

Cantor a découvert que les infinis pouvaient avoir des tailles différentes. La promesse d'énumérer tous les éléments un par un ne peut être tenue pour tous les ensembles infinis. L'argument diagonal conduit une liste apparemment complète jusqu'à sa propre limite.

Boltzmann soulève une autre lame. Sous une mesure stable, il découvre une multitude de trajets moléculaires. Cantor examine une liste qui prétend tout contenir ; Boltzmann étudie un gaz dont on ne peut suivre les particules une à une. La preuve mathématique et l’expérience physique ont chacune leur chemin.

Les deux hommes peuvent pourtant se tenir côte à côte.

Dans chacun de leurs travaux, une manière familière de comprendre rencontre quelque chose à quoi elle n'avait pas encore fait place. L'opposition de Kronecker ne peut faire disparaître les questions mathématiques posées par Cantor. La controverse sur les atomes n'oblige pas non plus Boltzmann à faire comme si les méthodes statistiques n'expliquaient rien.

Tous deux ont connu une reconnaissance de leur vivant. Cantor participe à la fondation de la Société mathématique allemande et en devient le premier président. Il reçoit la médaille Sylvester en 1904. La même année, Boltzmann reçoit le recueil préparé pour ses soixante ans.

La reconnaissance existe. La maladie et les difficultés existent encore. Les deux peuvent être vrais à la fois.

Cantor meurt dans un établissement de soins en 1918. Boltzmann meurt à Duino en 1906. Ce sont les fins de deux vies. Ces fins n'effacent ni la société savante, ni les salles de cours, ni les pages que leurs collègues leur ont consacrées.

Nous aimerions peut-être, ici, une fin heureuse : quelqu’un vous reconnaît enfin, et tout s’arrange. Mais la médaille arrive, le volume d’hommage arrive, et il reste à vivre le lendemain. Un homme a besoin d’autre chose encore que d’entendre : vous aviez raison.

Une page de mathématiques peut survivre. Une équation aussi.

Ni l'une ni l'autre ne contient toute une vie.

VI. Boltzmann et Maxwell

Le lien entre Maxwell et Boltzmann n'est pas seulement une ligne tracée après coup pour les comparer. Leurs noms figurent dans une même distribution.

La distribution de Maxwell-Boltzmann décrit les vitesses des molécules d'un gaz, dans les conditions appropriées de l'équilibre classique. Toutes les molécules n'avancent pas à la même vitesse. Certaines sont plus rapides, d'autres plus lentes ; pour des conditions données, les proportions dans les différentes plages de vitesses suivent néanmoins une loi.

Maxwell a commencé. Boltzmann a poursuivi, reliant plus profondément la distribution à l'équilibre thermique, aux collisions et aux problèmes de la thermodynamique. Tous deux apprenaient à ne plus courir après chaque molécule, sans pour autant renoncer aux molécules.

Dans cette série, Maxwell apporte la lumière. Il prolonge la recherche sur les champs ouverte par Faraday jusqu'à une théorie électromagnétique. Boltzmann apporte le « désordre » : les innombrables mouvements sous les valeurs bien rangées de la thermodynamique.

Mais la théorie de la lumière n'a pas été accueillie sans heurts. Maxwell meurt en 1879 ; les grandes expériences de Hertz sur les ondes électromagnétiques viennent dans la seconde moitié des années 1880. La théorie et les résultats expérimentaux qui voisinent aujourd'hui sur une page de manuel étaient alors séparés par tout un chemin restant à parcourir.

Boltzmann lui-même défendait la théorie de Maxwell. Il l'enseignait, publiait des leçons à son sujet, contribuait à sa diffusion sur le continent européen. L'homme qui interrogeait le « désordre » avait aussi ouvert un passage à la théorie de la lumière.

La lumière nous fait lever les yeux ; les molécules nous font nous pencher. Ici, je préfère laisser les deux hommes côte à côte, sans réserver la beauté à une découverte et le froid à l’autre.

D’innombrables molécules suivent des chemins différents. Une distribution les relie pourtant. Même dans ce désordre, quelque chose se laisse peu à peu déchiffrer.

VII. L'entropie

Dans la description thermodynamique macroscopique, le deuxième principe dit que l'entropie d'un système isolé — qui n'échange ni matière ni énergie avec l'extérieur — ne diminue pas. Atteindre l'équilibre ne signifie pas que tout mouvement intérieur s'arrête.

On ne peut supprimer le mot « isolé ». Quand de l'eau chaude refroidit dans une pièce, l'entropie de l'eau elle-même peut diminuer. Le milieu environnant reçoit sa chaleur. C'est en faisant le bilan de l'ensemble que l'on peut savoir si le deuxième principe est respecté. Il ne commande pas à chaque endroit du monde de devenir, à tout instant, un peu plus désordonné.

Imaginez une boîte coupée en deux par une cloison. Le gaz occupe une moitié, l'autre est vide. On retire la cloison.

Le gaz se répand.

Il existe un nombre immense d'arrangements microscopiques dans lesquels le gaz occupe à peu près toute la boîte. Ceux où toutes les molécules restent par hasard dans la moitié initiale ne représentent qu'une proportion infime. L'équilibre macroscopique est fréquent non parce que chaque molécule sait où aller, mais parce que les états microscopiques qui lui correspondent sont très largement majoritaires.

Pour autant, « davantage de possibilités » n'est pas une force qui pousse les particules. Il faut aussi considérer leurs mouvements, leurs collisions et l'état dans lequel le système a commencé. L'explication statistique de Boltzmann laisse une place aux petites fluctuations. Elle demande également de distinguer l'extrêmement improbable de l'absolument impossible.

Une tasse brisée ne va pas se reconstituer toute seule pendant que nous attendons dans la vie ordinaire. Cela ne veut pas dire que chaque morceau a reçu l'ordre de faire aller les choses de mal en pis. Traduire l'augmentation de l'entropie par « la vie ne peut que se dégrader », c'est faire prononcer à une loi physique un jugement qu'elle n'a jamais rendu.

La mort thermique prête au même malentendu. Ce qu'elle a d'inquiétant n'est pas l'idée que chaque particule finira immobile, mais la disparition des différences permettant de produire durablement du travail. Sans différence de température, une machine thermique ne peut continuer à fonctionner de la même façon. Quant à l'avenir lointain de l'univers, il dépend aussi de son histoire et des conditions de son évolution. Une ligne sur une tombe ne peut en écrire à elle seule tout le dénouement.

Il reste ici un écho de Tchekhov.

Les sœurs des Trois Sœurs n'arrivent pas à Moscou. Mais « elles n'arrivent pas à Moscou » ne suffit pas à les raconter. Au quatrième acte, elles affrontent encore les départs et la question de savoir comment continuer à vivre.

Un relevé de température ne raconte pas non plus chaque mouvement dans la bouteille. La ressemblance tient à cette distance entre une brève description et tout ce qu'elle n'a pas décrit un à un. Les regrets des personnages ne sont pas de l'entropie. Les molécules n'ont pas des espoirs humains demeurés inaccomplis.

Tchekhov ne vit pas les journées des sœurs à leur place. Une équation ne peut décider comment doit vivre celui qui la lit.

VIII. Duino

Le 5 septembre 1906. Duino, près de Trieste.

Boltzmann y passe des vacances avec sa femme et sa fille. Il meurt par suicide au cours de ce séjour. Il a soixante-deux ans.

Les querelles scientifiques ont bien existé. La maladie et les difficultés de sa vie aussi. Mais les documents n'ont pas conservé la totalité de cet instant. On ne peut les aligner pour former une chaîne causale rectiligne, de la réunion de 1895 jusqu'à ce jour-là.

En 1905, Einstein avait déjà publié son article sur le mouvement brownien. À partir du mouvement moléculaire, il proposait des prévisions quantitatives, vérifiables par l'expérience, sur les déplacements de particules en suspension. Le jour de sa publication, l'article n'avait pas livré les atomes à chacun comme on tend une photographie. En 1908–1909, les mesures de Perrin apporteraient un puissant soutien expérimental à la théorie moléculaire. Boltzmann n'a pas vécu jusque-là.

Il n'a pas non plus passé toute sa vie, seul, devant un mur.

En 1904, il participe au congrès scientifique organisé lors de l'Exposition universelle de Saint-Louis. En 1905, il donne des cours à Berkeley et se rend aussi à Stanford. Deux années, deux voyages. Pas un seul séjour.

Dans son récit de Californie, il s'inquiète de son anglais et s'arrête sur deux mots : « blackboard » et « chalk », le tableau noir et la craie. Un homme capable d'enseigner le mouvement moléculaire doit encore apprendre à faire cours dans une autre langue.

Les passages consacrés aux repas, aux voyages et aux leçons appartiennent eux aussi à Boltzmann. Ils ne prouvent pas qu'il ne souffrait pas. Ils empêchent seulement la souffrance d'avaler l'homme tout entier.

Par endroits, le mur scientifique commençait à céder. Nous n'avons pas assez d'éléments pour décider de ce qu'il en avait vu.

Il n'a pas connu la suite. La suite ne peut pas nous le rendre.

IX. Le désordre

La rencontre au bord du pont qui suit relève de l'imagination littéraire de cet essai.

S = k log W.

Les lettres sur la pierre sont en bon ordre. Elles ne décrivent pourtant pas une troupe de molécules bien alignées.

Quelqu'un d'autre est arrivé près du pont. Il est un peu gros, voit mal. Il tient une pierre dans ses bras et reprend son souffle.

L'équation est gravée dessus. Il serre la pierre contre lui. Elle est lourde.

Socrate se tient dans la clairière. Platon, accroupi, dessine des plans. Hume installe son plateau de backgammon. Schopenhauer regarde sous le pont. Kierkegaard a fait son saut. Turing regarde une pomme. Tchekhov s'appuie à la balustrade. Cantor regarde le ciel. Copernic a posé son livre et s'en est allé. Sartre va et vient. Beauvoir tient un miroir. Quine a prononcé une phrase.

Tesla écoute un bourdonnement. Edison tient une ampoule. La position de Heisenberg est incertaine. Bohr tient une lettre jamais envoyée. Tolstoï, sa prescription à la main, fait face à Tchekhov. Shakespeare n'est pas là : il est l'eau sous le pont. Spinoza a de la poussière de verre sur les mains. Aristote s'accroupit pour poser le plancher. Faraday s'accroupit pour en soulever une lame. Maxwell, debout, écrit des équations.

Jeanne d'Arc flotte au-dessus du pont, portant du feu. Wilde se tient avec élégance, cette phrase à la main. Ramanujan émerge à demi d'une fente. Oppenheimer marche, chargé de cendres. Charlotte Brontë tient une plume. Emily est sur la lande, au-delà du pont. Le vent vient de là où elle se trouve.

Boltzmann s'arrête auprès d'Aristote. Il baisse les yeux vers le plancher.

Aristote ajuste une lame. Boltzmann ne voit pas seulement le bois. Les différents arrangements microscopiques, dessous, continuent de changer. Ce n'est pas parce qu'on leur a posé un nom au-dessus qu'ils se sont tous arrêtés.

Le plancher les porte toujours. Boltzmann baisse les yeux. La fermeté sous ses pieds et le mouvement qu’il voit en dessous sont là, ensemble.

Faraday regarde depuis une autre fente. Maxwell continue d’écrire. Boltzmann regarde la plume, puis la pierre dans ses bras.

Il déplace un peu la pierre. Une arête lui presse la main. Il s’arrête pour reprendre son souffle. Ses bras s’abaissent, et les quelques lettres descendent avec eux.

Puis il lève les yeux.

Au loin, Kant se tient debout.

La silhouette est si lointaine qu'il songe un instant à une fluctuation statistique. Ne serait-ce qu'une forme passagère, apparue pour un moment et bientôt dissipée ?

Il marche tout de même dans cette direction. Pas vite. La pierre dans les bras. Le pont sous les pieds. Le vent souffle depuis la lande d'Emily.

L’ordre ne restera peut-être pas toujours assuré. Mais marcher vers lui n’est pas une illusion.