Boltzmann: debajo hay desorden

I. La lápida

El Cementerio Central de Viena. Una lápida. Una ecuación grabada en la piedra.

S = k log W

S es la entropía; k, la constante de Boltzmann. W cuenta las disposiciones microscópicas capaces de dar lugar a un mismo estado macroscópico. Aquí log significa logaritmo natural. Pocas letras. Muchas cosas debajo de ellas.

Miremos una botella de gas. La temperatura es estable, la presión también. La aguja del instrumento apenas se mueve. Dentro, sin embargo, no hay un pelotón de moléculas formado en espera de órdenes. Se mueven, chocan, cambian de dirección y vuelven a chocar. Pueden suceder muchas cosas distintas en el interior sin que las lecturas de los instrumentos cambien apenas.

La estabilidad es real. El movimiento también. Esa cifra tan limpia no miente. Sencillamente, no cuenta todo lo que sucede debajo.

Boltzmann conectó esos dos niveles. No anunció que el orden no existiera. Preguntó cómo podía existir sin tener que poner primero en fila a todas las moléculas.

Más tarde, Planck daría a esa relación su forma conocida. Más tarde aún, otros la harían grabar en la tumba. El trabajo de una vida queda aquí en unas pocas letras.

Queda una ecuación en la piedra.

La persona que hizo aquel trabajo ya no está.

II. El hombre

Ludwig Boltzmann. Nació en Viena el 20 de febrero de 1844.

Estudió física en la Universidad de Viena, con Josef Stefan como maestro. Se doctoró en 1866, a los veintidós años. Después vinieron Graz, Viena, Múnich, Leipzig. Unas veces enseñaba matemáticas; otras, física experimental o física teórica. De regreso en Viena, dio también clases de filosofía de la naturaleza.

Al seguir esos nombres de ciudades, vemos un equipaje nunca del todo deshecho. Los puestos, las decisiones de investigación, las relaciones: todo influía en quedarse o partir. Otra ciudad, otra aula. Unos años más de vida en una dirección distinta.

Era bajo y corpulento, de pelo rizado. Quienes escribieron sobre él hablan de sensibilidad y entusiasmo, pero también de períodos de profundo abatimiento. Tantos climas distintos pueden atravesar a una misma persona.

En el aula aparecía otra faceta.

Lise Meitner asistió a sus clases. Paul Ehrenfest fue también alumno suyo. En 1899–1900, Ehrenfest siguió su curso sobre la teoría mecánica del calor. Para aquel joven al que la escuela había hastiado, las lecciones volvieron a abrir una entrada a la física. Más tarde obtendría el doctorado bajo la dirección de Boltzmann.

Alguien puede quedar agotado por las discusiones y, al mismo tiempo, despertar en otro el deseo de seguir estudiando. Un alumno no se lleva solo una distribución o una deducción. Puede llevarse también este descubrimiento: hay una manera de entrar en esas cosas tan difíciles. Alguien le ha mostrado por dónde empezar.

Eso también forma parte del trabajo que dejó. No está grabado en la lápida.

III. Bajo el suelo hay desorden

La mecánica de Newton dio a las personas una confianza enorme: conociendo las posiciones y velocidades de las partículas y cómo actúan unas sobre otras, se podía seguir calculando mediante las ecuaciones del movimiento.

Laplace llevó esa confianza hasta un extremo imaginario. Una inteligencia que conociera todos los estados y las fuerzas, y tuviera suficiente capacidad de análisis, podría abarcar el pasado y el futuro en un mismo cálculo.

Pero ante una botella de gas no somos esa inteligencia. Hay demasiadas partículas. No podemos llevar un registro de lo que acaba de golpear cada una ni de hacia dónde se dirige después.

La respuesta de Boltzmann no fue declarar sin más que Newton estaba equivocado y que el mundo carecía de leyes. Cambió la pregunta. Sin conocer la trayectoria de cada molécula, ¿podemos explicar lo que hará el gas? ¿Por qué se transmite el calor? ¿Por qué la presión se estabiliza en un valor determinado?

En lugar de preguntar dónde estará esta molécula dentro de un instante, preguntemos cuántas se encuentran en cierto intervalo de velocidades. ¿Cuántas disposiciones interiores pueden producir la misma lectura en el instrumento de fuera?

Imaginemos un termómetro colocado sobre un suelo de madera. Veintiséis grados Celsius.

Levantamos la tabla: debajo, las moléculas se mueven y chocan. El termómetro no necesita seguir a cada una. En el gas ideal clásico, la temperatura absoluta corresponde a su energía cinética media de traslación. Al golpear continuamente las paredes, les transfieren cantidad de movimiento y producen presión. La quietud de la aguja nace de movimientos que no descansan.

Y, aun así, una misma temperatura admite una inmensa variedad de trayectorias moleculares.

A lo largo de esta serie, Aristóteles ha ido poniendo un suelo: distinguir las cosas y situarlas donde puedan comprenderse. Boltzmann levanta una tabla de esa termodinámica que creíamos terminada. No hace desaparecer el suelo. Muestra que, para que sea firme, no tiene por qué haber debajo algo que permanezca inmóvil para siempre.

Aquí surge una pregunta más difícil. La mecánica permite describir al revés una colisión molecular. ¿Por qué los cambios de una botella entera de gas no suelen suceder al revés en la vida cotidiana? La objeción de reversibilidad de Loschmidt alcanzaba precisamente ese punto. No era un insulto. Era un problema al que Boltzmann debía responder.

Faraday dirigió la atención hacia el campo. Boltzmann, hacia el movimiento de cantidades enormes de partículas. No encontraron bajo el suelo dos mundos rivales de los que solo uno pudiera ser real. En ambos casos, una explicación que parecía suficiente dejó al descubierto otro lugar donde seguir preguntando.

Debajo hay desorden. Eso no significa que sea incomprensible.

IV. ¿Quién creía en los átomos?

¿Existen los átomos?

A finales del siglo XIX, no todos los físicos habrían dado la misma respuesta.

Boltzmann tomaba el movimiento molecular como una pista real para entender la materia. A Mach le preocupaba otra cosa: que un modelo fuera útil no autorizaba sin más a tratar lo que contenía como la realidad última del mundo. Desconfiaba profundamente de unos átomos que no podían observarse de manera directa. ¿Eran de verdad imprescindibles para describir la experiencia?

Ostwald siguió un camino distinto. Quería organizar la física alrededor de la energía y sus transformaciones, en lugar de hacer recaer toda la explicación sobre una multitud de pequeñas partículas supuestas. No defendía lo mismo que Mach. Los adversarios de Boltzmann no se limitaban a repetir a coro una única frase: no existen.

En 1895, en una reunión científica en Lübeck, Ostwald criticó las explicaciones mecánicas. Boltzmann se levantó para rebatirlo.

Muchos años después, Sommerfeld comparó el choque con el de un toro y un luchador ágil; a su juicio, aquella vez el toro había llevado las de ganar. Recordaba también a Felix Klein apoyando a Boltzmann y a los jóvenes matemáticos de la sala en el mismo bando. Era una evocación escrita mucho después, no una transcripción de la sesión. Pero al menos en ese recuerdo, Boltzmann no estaba solo.

Tenía adversarios. Tenía también lectores, alumnos y colegas. En 1899 fue elegido miembro extranjero de la Royal Society. En 1904, para su sexagésimo cumpleaños, físicos de varios países reunieron un volumen de artículos en su honor.

La discusión no había terminado. El reconocimiento ya había llegado. El libro de homenaje no podía responder por él a Loschmidt. Las objeciones de una sala de reuniones tampoco podían hacer que aquel libro dejara de existir.

Unos cuestionaban sus argumentos; otros seguían pensando a partir de ellos. Su voz no era un eco en una habitación vacía. Había quien escuchaba. Escuchar no siempre significaba estar de acuerdo. Discrepar no siempre significaba negarse a escuchar.

V. Boltzmann y Cantor

Cantor descubrió que los infinitos podían tener distintos tamaños. La promesa de enumerar todos los elementos, uno por uno, no podía cumplirse para cualquier conjunto infinito. El argumento diagonal llevaba una lista aparentemente completa hasta su propio límite.

Boltzmann levantó otra tabla. Bajo una lectura estable encontró innumerables recorridos moleculares. Cantor examinaba una lista que pretendía contenerlo todo; Boltzmann estudiaba un gas cuyas partículas no podían seguirse una a una. La demostración matemática y el experimento físico tenían cada cual su camino.

Y, sin embargo, los dos pueden estar uno al lado del otro.

En el trabajo de cada cual, una forma habitual de entender las cosas se encontró con algo para lo que todavía no había hecho sitio. La oposición de Kronecker no podía borrar las preguntas matemáticas planteadas por Cantor. Que los átomos fueran objeto de disputa tampoco obligaba a Boltzmann a fingir que los métodos estadísticos no explicaban nada.

Ambos recibieron reconocimiento en vida. Cantor participó en la fundación de la Sociedad Matemática Alemana y fue su primer presidente. Recibió la medalla Sylvester en 1904. Ese mismo año, Boltzmann recibió los artículos reunidos para celebrar sus sesenta años.

El reconocimiento estaba allí. La enfermedad y las dificultades seguían allí también. Ambas cosas podían ser ciertas.

Cantor murió en un sanatorio en 1918. Boltzmann murió en Duino en 1906. Fueron los finales de dos vidas. Lo ocurrido al final no borró de ellas la sociedad científica, las aulas ni los trabajos que sus colegas les habían dedicado.

Quizá aquí esperemos un final feliz: alguien te reconoce por fin y todo se arregla. Pero llega la medalla, llega el libro de homenaje, y aún hay que vivir el día siguiente. Una persona necesita algo más que oír que tenía razón.

Una página de matemáticas puede permanecer. Una ecuación también.

Ninguna contiene todo lo que alguien ha vivido.

VI. Boltzmann y Maxwell

Entre Maxwell y Boltzmann hay algo más que una línea trazada por un autor posterior para compararlos. Sus nombres permanecen en una misma distribución.

La distribución de Maxwell-Boltzmann describe las velocidades de las moléculas de un gas bajo las condiciones correspondientes de equilibrio clásico. No todas se mueven igual de deprisa. Las hay rápidas y lentas; para unas condiciones dadas, las proporciones en los distintos intervalos de velocidad siguen una regla.

Maxwell recorrió primero una parte del camino. Boltzmann lo prolongó, enlazando más profundamente la distribución con el equilibrio térmico, las colisiones y las preguntas de la termodinámica. Los dos aprendían a dejar de perseguir cada molécula sin renunciar por ello a las moléculas.

En esta serie, Maxwell trae la luz. Llevó la investigación de los campos iniciada por Faraday hasta una teoría electromagnética. Boltzmann trae el «desorden»: los incontables movimientos que hay bajo las lecturas estables de la termodinámica.

Pero la teoría de la luz tampoco recibió una bienvenida sin tropiezos. Maxwell murió en 1879; los importantes experimentos de Hertz con ondas electromagnéticas llegaron en la segunda mitad de la década de 1880. La teoría y los resultados que hoy comparten una página de manual estaban entonces separados por un camino aún sin recorrer.

El propio Boltzmann apoyaba la teoría de Maxwell. La enseñó, publicó lecciones sobre ella y ayudó a difundirla por la Europa continental. El hombre que se hacía preguntas dentro del «desorden» también abrió paso a la teoría de la luz.

La luz nos hace alzar la vista; las moléculas, inclinarnos. Aquí prefiero dejar a los dos hombres uno junto al otro, sin reservar la belleza para un descubrimiento y el frío para el otro.

Innumerables moléculas siguen caminos distintos y, sin embargo, una distribución las conecta. También en ese desorden hay algo que podemos aprender a leer.

VII. La entropía

En la descripción macroscópica de la termodinámica, la segunda ley dice que la entropía de un sistema aislado —que no intercambia ni materia ni energía con su entorno— no disminuye. Alcanzar el equilibrio no significa que todo movimiento interior se haya detenido.

No se puede quitar la palabra «aislado». Cuando el agua caliente se enfría en una habitación, la entropía del agua misma puede disminuir. El entorno recibe su calor. Solo al hacer el balance del cambio completo podemos saber si se ha violado la segunda ley. No cabe convertirla en una orden de que cada lugar del mundo, a cada instante, se vuelva más desordenado.

Imaginemos una caja con una separación en medio. El gas ocupa una mitad; en la otra hay vacío. Retiramos la separación.

El gas se extiende.

Hay muchísimas disposiciones microscópicas en las que el gas ocupa aproximadamente toda la caja. Aquellas en las que todas las moléculas permanecen por casualidad en la mitad inicial representan una proporción asombrosamente pequeña. El equilibrio macroscópico es frecuente no porque cada molécula sepa adónde debe ir, sino porque los estados microscópicos compatibles con él son abrumadoramente más numerosos.

Pero «hay más posibilidades» no es una fuerza que empuje a las partículas. También importan sus movimientos, sus colisiones y el estado del que partió el sistema. La explicación estadística de Boltzmann deja espacio para las pequeñas fluctuaciones. Y nos pide distinguir entre lo extraordinariamente improbable y lo absolutamente imposible.

Una taza rota no volverá a montarse sola mientras esperamos en la vida corriente. Eso no significa que cada fragmento haya recibido la orden de empeorar las cosas. Traducir el aumento de entropía por «la vida solo puede deteriorarse» atribuye a una ley física un veredicto que nunca pronunció.

Lo mismo ocurre con la muerte térmica. Lo inquietante no es que cada partícula vaya a quedarse inmóvil, sino que desaparezcan las diferencias de las que se puede extraer trabajo de manera sostenida. Sin una diferencia de temperatura, una máquina térmica no puede seguir funcionando de la misma manera. El futuro remoto del universo depende además de su historia y de las condiciones de su evolución. Una sola línea en una lápida no puede escribir todo ese desenlace.

Aquí aún se oye un pequeño eco de Chéjov.

Las hermanas de Las tres hermanas no llegan a Moscú. Pero «no llegan a Moscú» no termina de contarnos quiénes son. En el cuarto acto siguen afrontando despedidas y la pregunta de cómo continuar viviendo.

Una lectura de temperatura tampoco cuenta todos los movimientos de la botella. El parecido está en esa distancia entre una descripción breve y todo lo que no ha descrito uno por uno. No significa que los pesares de los personajes sean entropía ni que las moléculas tengan esperanzas humanas incumplidas.

Chéjov no vive los días de las hermanas por ellas. Una ecuación tampoco puede decidir cómo ha de vivir quien la lee.

VIII. Duino

5 de septiembre de 1906. Duino, cerca de Trieste.

Boltzmann estaba allí de vacaciones con su mujer y su hija. Durante aquel viaje murió por suicidio. Tenía sesenta y dos años.

Las disputas científicas fueron reales. También lo fueron la enfermedad y las dificultades de su vida. Pero los documentos no han conservado todo lo que había en aquel instante. No pueden ordenarse en una línea recta de causa y efecto que vaya desde la reunión de 1895 hasta ese día.

En 1905, Einstein ya había publicado su artículo sobre el movimiento browniano. Partiendo del movimiento molecular, formuló predicciones cuantitativas sobre el desplazamiento de partículas en suspensión que podían comprobarse experimentalmente. El día de su publicación no entregó los átomos a cada lector con la inmediatez de una fotografía. En 1908–1909, las mediciones de Perrin proporcionaron un respaldo experimental sólido a la teoría molecular. Boltzmann no vivió hasta aquellos experimentos.

Tampoco había pasado toda su vida solo delante de un muro.

En 1904 asistió al congreso científico celebrado durante la Exposición Universal de San Luis. En 1905 dio clases en Berkeley y visitó Stanford. Dos años, dos viajes. No una única estancia.

En su relato de California se preocupaba por su inglés y se detenía en dos palabras: «blackboard» y «chalk», pizarra y tiza. Un hombre capaz de enseñar a comprender el movimiento molecular aún tenía que aprender cómo dar sus clases en otra lengua.

Los pasajes sobre las comidas, los viajes y las lecciones también pertenecen a Boltzmann. No prueban que no sufriera. Solo impiden que el sufrimiento se trague a la persona entera.

En algunos puntos, el muro científico comenzaba a ceder. No tenemos pruebas suficientes para decidir cuánto de eso alcanzó a ver.

No vivió para conocer lo que vino después. Lo que vino después tampoco puede devolverlo.

IX. El desorden

El encuentro junto al puente que sigue pertenece a la imaginación literaria de este ensayo.

S = k log W.

Las letras de la piedra están ordenadas. No describen, sin embargo, una tropa de moléculas bien formada.

Ha llegado alguien más al extremo del puente. Es algo corpulento y ve mal. Está de pie, con una piedra en los brazos, tratando de recuperar el aliento.

La ecuación está tallada en ella. La sostiene contra el pecho. Pesa.

Sócrates está en el claro. Platón se agacha para dibujar planos. Hume dispone su tablero de backgammon. Schopenhauer mira debajo del puente. Kierkegaard ha dado su salto. Turing mira una manzana. Chéjov se apoya en la barandilla. Cantor mira el cielo. Copérnico ha dejado su libro y se ha marchado. Sartre va de un lado a otro. Beauvoir levanta un espejo. Quine ha dicho una frase.

Tesla escucha un zumbido. Edison sostiene una bombilla. La posición de Heisenberg es incierta. Bohr lleva una carta que nunca envió. Tolstói está frente a Chéjov, con una receta en la mano. Shakespeare no está: es el agua bajo el puente. Spinoza tiene polvo de vidrio en las manos. Aristóteles se agacha para colocar el suelo. Faraday se agacha para levantar una tabla. Maxwell, de pie, escribe ecuaciones.

Juana de Arco flota sobre el puente, llevando fuego. Wilde se mantiene erguido con elegancia, con aquella frase en la mano. Ramanujan ha asomado medio cuerpo por una grieta. Oppenheimer avanza con ceniza a la espalda. Charlotte Brontë sostiene una pluma. Emily está en el páramo, más allá del puente. El viento viene de donde ella está.

Boltzmann se coloca junto a Aristóteles. Mira hacia el suelo.

Aristóteles está asentando una tabla. Boltzmann no ve solo la madera. Debajo, las distintas disposiciones microscópicas siguen cambiando. Haberles puesto un nombre por encima no las ha detenido a todas.

El suelo sigue sosteniéndolos. Boltzmann mira hacia abajo. La firmeza bajo sus pies y el movimiento que ve debajo están allí a la vez.

Faraday mira desde otra rendija. Maxwell sigue escribiendo. Boltzmann mira la pluma y después la piedra que lleva en los brazos.

Acomoda un poco la piedra. Una arista le presiona la mano. Se detiene a recuperar el aliento. Los brazos bajan un poco; las letras bajan con ellos.

Luego alza la vista.

A lo lejos está Kant.

La figura se encuentra tan lejos que, por un momento, piensa en una fluctuación estadística. ¿Será solo una silueta pasajera, algo que aparece y luego se disipa?

Aun así, camina en esa dirección. No deprisa. La piedra en los brazos. El puente bajo los pies. El viento llega del páramo de Emily.

Puede que el orden no permanezca firme para siempre. Pero caminar hacia él no es una ilusión.