ボルツマン――下は乱れている

一、墓碑

ウィーン中央墓地。墓石がひとつ。その表面に、ひとつの式が刻まれている。

S = k log W

S はエントロピー、k はボルツマン定数。W は、同じ巨視的状態を実現できる微視的な配置の数を表す。ここで log は自然対数だ。文字は少ない。その下にあるものは、少なくない。

気体の入った瓶を見る。温度は落ち着き、圧力も落ち着いている。計器の針はほとんど動かない。けれども瓶の中で、分子たちが隊列を組んで待機しているわけではない。動き、ぶつかり、向きを変え、またぶつかる。内部で起きていることがいくら違っても、計器にはほぼ同じ値が現れうる。

安定は本当だ。運動も本当だ。整った数字は嘘をついていない。ただ、下で起きていることを一つ残らず伝えてはいない。

ボルツマンは、この二つをつないだ。秩序など存在しない、と宣告したのではない。一つ一つの分子を整列させなくても、どうして秩序が成り立つのか。それを問うた。

のちにプランクが、この関係を今の見慣れた形に表した。そして後世の人々が、墓石に刻んだ。一生をかけた仕事が、ここではわずかな文字になっている。

式は、石に残っている。

その仕事をした人は、もういない。

二、その人

ルートヴィヒ・ボルツマン。1844年2月20日、ウィーンに生まれた。

ウィーン大学で物理を学んだ。師はヨーゼフ・シュテファン。1866年、二十二歳で博士号を取得する。その後はグラーツ、ウィーン、ミュンヘン、ライプツィヒを移り歩いた。数学を教えることもあれば、実験物理、理論物理を教えることもあった。ウィーンに戻ってからは、自然哲学の講義もした。

地名をたどると、いつまでも解き終わらない荷物が見える。職も、研究の方向も、人との関係も、去就を左右した。別の街で、また別の教室に入る。いくつかの歳月が、新しい住所で始まる。

小柄で太り気味、髪は巻いていた。彼を語る記録には、繊細さや熱意も、ひどく気分が落ち込む時期も出てくる。同じ一人の中を、これほど違う天気が通り過ぎる。

教壇に立つと、また別の姿があった。

リーゼ・マイトナーは彼の講義を聴いた。パウル・エーレンフェストも学生だった。1899年から1900年にかけて、エーレンフェストは熱の力学的理論の講義を受けた。学校にうんざりしていた若者にとって、その授業は物理への入口をもう一度開いた。のちに彼は、ボルツマンの指導のもとで博士号を得る。

論争で疲れ果てている人が、教室では別の誰かに、もっと学んでみたいと思わせることがある。学生が持ち帰るのは、分布や導出だけではない。あの難しい学問にも入っていく道がある。そこから始めてよいのだという感覚も、残る。

それも、彼が残した仕事だった。墓碑には刻まれていない。

三、床の下の乱れ

ニュートン力学は、人に強い確信を与えた。粒子の位置と速度、粒子どうしの作用がわかれば、運動方程式をたどって先を計算できる。

ラプラスはその確信を、ひとつの思考実験の極限まで進めた。あらゆる状態と力を知り、十分な分析能力も備えた知性なら、過去と未来を同じ計算の中に収められるだろう、と。

だが、気体の瓶を前にした私たちは、その知性ではない。粒子が多すぎる。一つ一つについて、たったいま何にぶつかり、次にどこへ向かうのかを台帳につけることなどできない。

ボルツマンは、そこでニュートンは間違っていた、世界にはもう法則がない、と言ったわけではない。問い方を変えた。すべての分子の足取りを知らなくても、瓶の中の気体がどうなるかは説明できないか。なぜ熱が伝わるのか。なぜ圧力がこの値に落ち着くのか。

この分子が次の瞬間どこにいるか。その問いの代わりに、ある速さの範囲に入る分子はどれくらいあるかと問う。外の計器が同じ値を示すような内部の配置は、何通りあるのかと問う。

床の上に温度計が置いてあるとしよう。摂氏二十六度。

床板を持ち上げると、分子が動き、ぶつかり合っている。温度計は、その一つ一つを追いかけなくてもよい。古典的な理想気体では、絶対温度は分子の平均並進運動エネルギーに対応する。分子が壁に衝突して運動量を渡し続けることで、圧力も生じる。止まらない運動が、落ち着いた針の位置を支えている。

それでも、同じ温度の下には、おびただしい数の異なる分子の足取りがありうる。

この連作で、アリストテレスはずっと床を張っている。ものごとを分け、理解できる場所に置いていく。ボルツマンが持ち上げたのは、もう張り終えたつもりでいた熱力学の床板だ。床を消してしまったのではない。床が頼りになるためには、その下の何かが永遠に静止していなければならない、とは限らないことを見せた。

さらに難しい問いもある。分子の衝突ひとつなら、力学では逆向きに記述できる。なのに、瓶全体で起きる変化は、なぜ日常の中では普通、逆向きに起こらないのか。ロシュミットの可逆性についての異議は、まさにそこに届いていた。悪口ではない。ボルツマンが答えなければならない問題だった。

ファラデーは場へ注意を向けた。ボルツマンは膨大な粒子の運動へ注意を向けた。二人が床の下に見つけたのは、どちらか一方しか実在できない二つの世界ではない。十分だと思われていた説明に、まだ問うべき場所があったのだ。

下は乱れている。だからといって、理解できないわけではない。

四、誰が原子を信じたのか

原子は存在するのか。

十九世紀末、すべての物理学者が同じ答えを返す問いではなかった。

ボルツマンは分子の運動を、物質を理解するための実在に根ざした手がかりと考えていた。一方、マッハが警戒したのは別のことだった。モデルが役に立つからといって、その中身を世界の究極の実在とみなす権利まで得られるのか。直接観察できない原子に、彼は強い疑いを抱いた。経験を記述するのに、原子は本当に欠かせないのか。

オストヴァルトはまた違う道を選んだ。仮定された小さな粒子の集団に説明をすべて担わせず、エネルギーとその変換を軸に物理を組み立てようとした。マッハと同じ主張ではない。ボルツマンに反対した人々も、ただ同じ声で「存在しない」と繰り返していたのではなかった。

1895年、リューベックの学術集会で、オストヴァルトが力学的な説明を批判した。ボルツマンは立ち上がり、反論した。

ずっと後の回想で、ゾンマーフェルトはこの応酬を、雄牛と身軽な闘士の対決にたとえ、今度は雄牛が優勢だったと評した。フェリックス・クラインがボルツマンを支持し、会場の若い数学者たちも同じ側にいた、とも記憶していた。何十年もたってからの回想であって、会場の速記録ではない。それでも、少なくともその記憶の中で、ボルツマンはひとりではなかった。

反対者はいた。読者も、学生も、同僚もいた。1899年にはロンドン王立協会の外国人会員に選ばれた。1904年の六十歳の誕生日には、各国の物理学者が論文を寄せ、記念論文集を編んだ。

論争は終わっていない。評価は、すでに届いている。誕生日の論文集がロシュミットへの答えを代わりに書いてくれるわけではない。会場の反対の声が、その一冊を存在しなかったことにできるわけでもない。

彼の議論に異を唱える人がいた。続きを考える人もいた。彼の声は、空っぽの部屋のこだまではなかった。聴いている人がいた。聴くことは、いつも同意することではない。同意しないことも、いつも聴くのを拒むことではない。

五、カントールとボルツマン

カントールは、無限にも大きさの違いがあることを見いだした。すべての要素を一つずつ並べられるという約束は、どんな無限集合に対しても守れるわけではない。対角線論法は、完全に見えた一覧表を、その表自身の限界へ連れていった。

ボルツマンは別の床板を持ち上げた。一定の測定値の下に、これほど多くの分子の行方がある。カントールはすべてを含むという一覧表を問い、彼は粒子を一つずつ追えない気体を調べた。数学の証明と物理の実験には、それぞれ進む道があった。

それでも、二人を隣に立たせることはできる。

それぞれの仕事で、慣れ親しんだ理解の仕方が、それまで収めてこなかったものに出会った。クロネッカーが反対したからといって、カントールの提起した数学の問題が消えるわけではない。原子に議論が残っているからといって、ボルツマンも統計的方法が何も説明していないふりをする必要はなかった。

二人とも、生きているうちに評価を受けていた。カントールはドイツ数学会の創設に加わり、初代会長を務めた。1904年にはシルヴェスター・メダルを受けている。同じ年、ボルツマンに届いたのが、六十歳を祝うあの論文集だった。

評価はそこにあった。病気も困難も、まだそこにあった。両方が同時にありえた。

カントールは1918年に療養施設で亡くなった。ボルツマンは1906年、ドゥイーノで亡くなった。二つの生の、それぞれの終わりだった。だが、その後の結末を知ったからといって、学会も教室も、同僚たちが寄せた論文も、二人の一生から消えるわけではない。

ここで私たちは、幸福な結末を待ちたくなる。ようやく認めてもらえた。だから、もう大丈夫だと。けれどもメダルが届き、記念論文集が届いても、翌日は生きなければならない。一人の人に必要なのは、「あなたは正しかった」という言葉だけではない。

数学の一頁は残る。ひとつの式も残る。

それは、一人が生きたすべてではない。

六、マクスウェルとボルツマン

マクスウェルとボルツマンの間にあるのは、後世の書き手が引いた比較の線だけではない。二人の名は、同じ分布に残っている。

マクスウェル＝ボルツマン分布。古典的な平衡の適切な条件のもとで、気体分子の速さがどのように分布するかを表す。どの分子も同じ速さで動くわけではない。速いものも遅いものもある。それでも、条件が定まれば、それぞれの速さの範囲に入る割合には規則がある。

先に道を進んだのはマクスウェルだった。ボルツマンはその先を広げ、分布を熱平衡や衝突、熱力学の問題へと深くつないだ。分子を一個ずつ追いかけるのをやめながら、分子そのものを捨てない。その方法を二人とも探っていた。

この連作でマクスウェルが持ってくるのは、光だ。ファラデーが開いた場の研究を、電磁気の理論へ進めた。ボルツマンが持ってくるのは「乱れ」。熱力学の整った数値の下にある、数えきれないほどの運動だ。

しかし、光の理論だからといって、ただ歓迎されてきたわけではない。マクスウェルが亡くなったのは1879年。ヘルツによる重要な電磁波の実験は、1880年代後半だった。いまでは同じ教科書の頁に収まっている理論と実験の間に、当時はまだ歩かなければならない距離があった。

ボルツマン自身も、マクスウェルの理論を支持していた。講義し、講義録を出版し、ヨーロッパ大陸での普及を助けた。「乱れ」の中を問うていたその人が、光の理論のためにも道を開いていた。

光に顔を上げ、分子には身をかがめる。ここでは二人を並んで立たせておきたい。一方の発見に美を、もう一方には冷たさだけを割り当てずに。

無数の分子が別々の道を行く。それでも、ひとつの分布がそれらを結ぶ。乱れの中にも、少しずつ読み取れるものがある。

七、エントロピー

巨視的な熱力学で、第二法則はこう述べる。外界と物質もエネルギーも交換しない孤立系では、エントロピーは減少しない。平衡に達することは、内部の運動がすべて止まることではない。

「孤立」という限定は外せない。部屋に置いた湯が冷えるとき、湯そのもののエントロピーは減りうる。その熱は周囲に渡っている。全体の変化を数えて初めて、第二法則に反したのかがわかる。世界のどの場所も、どの瞬間も、ただ乱れを増すことしか許されない、と読み替えてはいけない。

真ん中に仕切りのある箱を思い浮かべる。気体は片側だけを満たし、もう片側は真空だ。仕切りを外す。

気体が広がる。

箱全体にほぼ均等に広がる状態には、膨大な数の微視的な実現の仕方がある。すべての分子が偶然もとの半分にとどまる配置の割合は、驚くほど小さい。巨視的な平衡がよく現れるのは、分子がそれぞれ行き先を知っているからではない。それに対応する微視的状態が、圧倒的に多いからだ。

ただし、「実現の仕方が多い」ことは粒子を押す力ではない。粒子がどう動き、衝突するか。系がどのような状態から始まったか。それも問わなければならない。ボルツマンの統計的説明には、小さなゆらぎの余地がある。そして、きわめて起こりにくいことと、絶対に不可能なことを区別する必要がある。

割れたカップは、日常の時間を待っているうちに自然に元へ戻ったりはしない。だが、破片の一つ一つが「悪くなる方へしか進んではいけない」と命じられているわけではない。エントロピーの増大を、人生は悪くなるばかりだと言い換えれば、物理法則に、語っていない判決を語らせることになる。

熱的死も同じだ。不安をかき立てるのは、最後には粒子がすべて止まるということではない。仕事を継続して取り出すために使える差が、失われていくということだ。温度差がなくなれば、熱機関はそれまでと同じように働き続けられない。宇宙の遠い未来については、その歴史や進化の条件も関わる。墓石の一行だけで、結末をすべて書ききれるわけではない。

ここには、なおチェーホフの響きが少しある。

『三人姉妹』の姉妹は、モスクワへたどり着かない。けれども、「たどり着かなかった」だけでは、彼女たちのことを語り終えられない。第四幕でも、別れに向き合い、これからどう生きるかという問いに向き合っている。

温度計の数字も、瓶の中の一つ一つの動きを語り終えてはいない。似ているのは、短い説明と、その説明が個別には語らなかったものとの距離だ。登場人物の後悔がエントロピーだというのではない。分子に人間の果たせなかった願いがあるというのでもない。

チェーホフは姉妹の代わりに日々を生きてくれない。方程式も、それを読む人の生き方を代わりに決めてはくれない。

八、ドゥイーノ

1906年9月5日。トリエステ近郊のドゥイーノ。

ボルツマンは妻と娘と休暇を過ごしていた。その休暇のさなか、自ら命を絶った。六十二歳だった。

学問上の論争は現実にあった。病気も、暮らしの難しさもあった。だが、残された記録は、その瞬間のすべてを保存してはいない。1895年の会場からこの日まで、一本のまっすぐな因果関係に並べ直すことはできない。

1905年、アインシュタインはすでにブラウン運動の論文を発表していた。分子運動から出発し、液体中に浮遊する微粒子の動きについて、実験で確かめられる定量的な予測を与えた。発表されたその日に、原子が写真のように読者の手へ渡ったわけではない。1908年から1909年にかけて、ペランの測定が分子論を実験から強く支えた。ボルツマンは、その実験を見るまで生きなかった。

しかし、一生をずっと、壁の前でひとり立ち尽くしていたわけでもない。

1904年には、セントルイス万国博覧会に合わせて開かれた学術会議に出席した。1905年にはバークリーで講義し、スタンフォードも訪問した。二つの年、二つの旅。一度の旅ではない。

カリフォルニア旅行の文章には、英語に苦労する彼もいる。「blackboard」と「chalk」――黒板とチョークという二つの単語を、わざわざ話題にしている。分子運動を人に教えられる人でも、別の言葉で授業を進めるには、また学ばなくてはならなかった。

食事や旅や講義をつづった文章も、ボルツマンのものだ。そこに苦痛がなかったと証明するわけではない。ただ、苦痛が一人の人を丸ごと飲み込むのを防いでくれる。

科学の壁は、いくつかの場所で崩れ始めていた。そのうちどれほどを彼が見たのか、こちらで決めるだけの証拠はない。

彼は、その後を見届けることはできなかった。その後が、彼を返してくれることもない。

九、乱れ

以下の橋のたもとでの出会いは、本篇の文学的な想像である。

S = k log W。

石に並ぶ文字は整っている。だが、その文字が語っているのは、整列した分子の一団ではない。

橋のたもとに、また一人やって来た。少し太っていて、目がよく見えない。石を抱えたまま、立って息を整えている。

石には方程式が刻まれている。両腕で抱いている。重い。

ソクラテスは開けた場所に立っている。プラトンはしゃがんで設計図を描いている。ヒュームはバックギャモンの盤を広げる。ショーペンハウアーは橋の下をのぞく。キルケゴールは跳躍した。チューリングはリンゴを見ている。チェーホフは欄干にもたれる。カントールは空を見上げる。コペルニクスは本を置いて去った。サルトルは行きつ戻りつしている。ボーヴォワールは鏡を掲げ、クワインは一文を口にした。

テスラは低い唸りに耳を澄ませる。エジソンは電球を持っている。ハイゼンベルクの位置は定まらない。ボーアは出さなかった手紙を持つ。トルストイは処方箋を手に、チェーホフの向かいに立つ。シェイクスピアはいない――彼は橋の下を流れる水だ。スピノザの手にはガラスの粉がある。アリストテレスはしゃがんで床を張り、ファラデーはしゃがんで床板を持ち上げる。マクスウェルは立ったまま式を書いている。

ジャンヌ・ダルクは火をまとい、橋の上に浮かんでいる。ワイルドは美しい立ち姿で、あの一文を手にしている。ラマヌジャンは隙間から半身をのぞかせる。オッペンハイマーは灰を背負って歩いていく。シャーロット・ブロンテはペンを持つ。エミリーは橋の外の荒野にいる。風は彼女のいる方から来る。

ボルツマンはアリストテレスの隣に立ち、床を見下ろす。

アリストテレスが一枚の板を落ち着かせている。ボルツマンに見えるのは、その板だけではない。下では異なる微視的な状態が、変わり続けている。上に名前を一つ置いたからといって、一斉に止まることはない。

床は今も二人を支えている。ボルツマンが見下ろす。足元の確かさと、その下に見える運動が、同時にそこにある。

別の隙間からファラデーが顔を向ける。マクスウェルは書き続けている。ボルツマンはそのペンを見て、それから腕の中の石を見る。

石を少し抱え直す。角が手に食い込んでいる。立ち止まって息を整える。腕が下がるにつれ、あの文字も少し下がる。

それから、顔を上げる。

遠くに、カントが立っている。

人影は遠い。ふと、統計的なゆらぎを思い出す。束の間だけ現れ、やがて消える輪郭なのだろうか。

それでも、その方へ歩き出す。速くはない。腕の中に石。足の下に橋。エミリーのいる荒野から風が吹いてくる。

秩序は、いつまでも揺るがないとは限らない。それでも、秩序へ向かって歩くことは、偽物ではない。