Feynman: el tambor

I. Todos los caminos

¿Cómo va una partícula de A a B?

Basta marcar dos puntos en una hoja para que la mano quiera unirlos con una línea. Si dibujamos una pelota lanzada al aire, quizá tracemos una curva. La mecánica clásica pide el estado inicial y las fuerzas que actúan, y a partir de ahí calcula el movimiento. La naturaleza no escoge un camino porque parezca el más corto sobre el papel.

Feynman propuso otra forma de calcular.

Empecemos por un caso sencillo de mecánica cuántica no relativista. Se fijan los puntos de partida y de llegada, así como los instantes correspondientes, y se incorporan al cálculo los distintos caminos que los conectan. Cada uno aporta una amplitud de probabilidad. Podemos imaginarla, por ahora, como una pequeña flecha con dirección: unas se refuerzan y otras se anulan. Primero se suman las amplitudes; después se utiliza el cuadrado del módulo del resultado para calcular una probabilidad de detección. Sumar directamente las probabilidades de cada camino dejaría fuera la interferencia.

Hay muchos caminos en la hoja. Ese bullicio ocurre dentro de una suma matemática. No hemos colocado una cámara en la partícula para verla recorrer el universo, ruta tras ruta, antes de regresar deprisa a B.

¿Cómo reaparece la trayectoria clásica que conocemos? En un límite clásico adecuado, los cambios de fase cancelan muchas contribuciones, mientras que las próximas a una trayectoria de acción estacionaria pueden concentrarse. «Estacionaria» significa que una pequeña modificación del camino no produce un cambio de primer orden en la acción. No garantiza la menor distancia, ni siquiera que la acción sea siempre mínima.

Aun así, hay motivo para alegrarse. Una pregunta no tiene por qué resolverse eternamente con la primera notación que aprendimos. La investigación doctoral de 1942 se desarrolló después en la formulación espacio-temporal publicada en 1948. Lo que las ecuaciones anteriores permitían calcular encontraba una entrada distinta.

Schrödinger ya ha dejado un gato y una hoja de papel en esta serie. Feynman no rompe la hoja. Coloca otra manera de escribir a su lado. Ambas entradas pueden responder a las preguntas de los mismos experimentos.

La vida humana no dispone de una suma equivalente que permita vivir también todos los caminos descartados. Cuando elegimos hacer algo, allí gastamos el tiempo. Cuando prometemos algo a alguien, esa persona nos espera un día concreto.

El «todos» de las matemáticas, al volver a la vida, tiene que aprender de nuevo los límites.

Más tarde, tomar un tambor tampoco lo eximiría de tener que dejarlo.

II. El hombre

Richard Feynman. Nació en Nueva York en 1918.

Al recordar a su padre, solía hablar de uniformes. Su padre había comerciado con ellos y sabía que dentro de la ropa seguía habiendo una persona que necesitaba comer y vivir sus días. Un título indica un puesto. No comprueba la verdad de lo que dice quien lo lleva.

En casa estaba también Joan, su hermana menor. Ella se hizo física y estudió el viento solar y el espacio que rodea la Tierra. Un mismo apellido conducía a trabajos diferentes.

De muchacho reparaba radios. Abría la carcasa y buscaba dónde estaba el fallo. Después vinieron el MIT, Princeton y su director de tesis, John Wheeler. En 1942 obtuvo el doctorado. Una pregunta podía seguirlo de una mesa a otra; cambiar de universidad no la resolvía por sí solo.

En 1943 llegó a Los Álamos y trabajó en la división teórica que dirigía Bethe. Los cálculos también necesitaban máquinas y personas que las manejaran. El trabajo de Naomi Livesay y sus compañeros con las tarjetas perforadas se enlazaba con las cuentas de los teóricos. El joven ingenioso de los relatos posteriores no era el único par de manos de la sala.

También estudiaba cerraduras. Le gustaba averiguar cómo funcionaban de verdad aquellas cosas que parecían tan seguras. Una puerta de armario que se abre da para una buena anécdota. El trabajo guardado dentro no se convierte por ello en un juego sin consecuencias.

Fuera del trabajo había otro camino.

El de Albuquerque. Arline estaba allí, en un sanatorio. Los cálculos de Los Álamos, un coche prestado, la espera en una habitación de enferma no ocupaban la misma clase de tiempo. Ni la mente más rápida podía ahorrarse ese trayecto.

En aquella vida era a veces quien calculaba y a veces quien llegaba de visita. Que el primero recibiera más tarde un premio no volvía menos importante al segundo.

III. Arline

Arline Greenbaum. La conocía desde sus años de estudiante.

Se casaron el 29 de junio de 1942 en Staten Island, Nueva York. Ella ya tenía tuberculosis. En la primavera de 1943 viajaron a Nuevo México, y Arline ingresó en el Southwest Presbyterian Sanatorium de Albuquerque. La boda, el viaje y la estancia en el sanatorio eran páginas distintas de sus días.

Se escribían y bromeaban. Arline mandó una carta escrita en las piezas de un rompecabezas y preparó para el cumpleaños de él un periódico lleno de exageraciones. Tenía ocurrencias, añadía algo inesperado al intercambio. La dirección de una paciente no la convertía en alguien que solo supiera esperar visitas.

Querían aprender juntos a hacer ropa, estudiar chino y conseguir un proyector de cine. Esos planes se leen más despacio que la sola frase «él la amaba». Hay que cortar la tela, aprender los caracteres, buscar dónde poner el aparato. La vida se había extendido hacia el futuro hasta alcanzar esas pequeñas tareas.

Arline murió el 16 de junio de 1945. Feynman tenía veintisiete años.

Él volvió al trabajo. El calendario siguió pasando páginas. Ella no volvió.

El 17 de octubre de 1946 le escribió otra vez. Habían transcurrido dieciséis meses desde su muerte. Sabía que la carta no llegaría y, aun así, quería hablar con ella. Los planes compartidos regresaron al papel. Quería cuidarla, seguía queriendo escuchar su opinión.

La posdata decía: «Perdóname por no enviar esta carta: no conozco tu nueva dirección».

La frase tiene ese pequeño giro suyo, y también el lugar que el giro no consigue franquear. La carta puede acabarse. La dirección no puede completarse.

En esta serie, Emily convirtió los sentimientos en viento sobre el páramo; Charlotte hizo que una persona se plantara delante de otra y hablara. Con Arline quedan objetos más pequeños: un rompecabezas, un periódico, una carta sin enviar. Son voces distintas. No hace falta decidir cuál es más profunda.

Arline tampoco se volvió digna de nuestra lectura solo porque un físico la echara tanto de menos. Participó en aquella vida, le aportó sus propias ideas. Lo que dejó no fue únicamente el dolor de él.

El papel puede conservar una frase. No puede devolver al remitente y a la destinataria a la misma habitación.

IV. Bailar sobre los fragmentos

En el puente de esta serie, Aristóteles coloca el suelo, Faraday levanta una tabla y después llegan otros con campos, luz y movimiento molecular. Quizá Feynman empezara por golpear la madera. ¿Cómo suena esta tabla?

No esperaba a que todos los problemas estuvieran resueltos para permitirse hacer alguna otra cosa.

El tambor, la samba de Brasil, el papel de dibujo, el teatro. No son solo detalles pintorescos de un físico que también sabía divertirse. Para entrar en una música hay que escuchar cuándo interviene el de al lado. Para dibujar a alguien hay que dejar que los ojos se demoren.

En sus recuerdos de Brasil, tocaba en un grupo de samba un instrumento metálico parecido a una sartén pequeña. Un ensayo se detuvo para señalar que su ritmo no era correcto. Así que, con su pequeña baqueta, practicaba la muñeca mientras paseaba junto al mar. Más tarde, al aprender a dibujar, el artista Jirayr Zorthian le hizo empezar por zapatos y macetas. Tener algo nuevo entre las manos también puede volvernos torpes.

Así, jugar adquiere peso. No consiste en tocar algo un momento y proclamar que ya lo entendemos todo. Consiste también en aceptar una temporada de no saber hacerlo.

Después de la guerra, en Cornell, hubo un tiempo en que se sintió incapaz de producir nada importante. Según contó más tarde, alguien lanzó un plato en el comedor. La insignia roja giraba; el plato oscilaba. Lo miró hasta que quiso calcular la relación entre ambos movimientos.

Fue a contárselo a Bethe. ¿Qué importancia tenía?, le preguntó este. A él simplemente le parecía divertido. En su relato, aquel plato fue la entrada por la que recuperó las ganas de hacer física.

Desde el futuro resulta fácil convertirlo en un anuncio del Nobel. Pero entonces lo atraía aquella pequeña oscilación que tenía delante. Si toda curiosidad debe declarar de antemano para qué servirá, ya trabaja para un resultado antes de haber comenzado.

La investigación posterior seguía necesitando colegas, cálculos y experimentos. El plato lo devolvió a la mesa. No hizo el trabajo que quedaba sobre ella.

Sócrates no tiene que terminar todas sus preguntas antes de salir a pasear. El tambor de Feynman tampoco necesita esperar a que no le quede ninguna grieta por dentro. Quien baila, sin embargo, debe saber dónde cae su pie y quién está a su lado.

También puede haber ritmo sobre los fragmentos. Sus bordes no desaparecen.

V. Los diagramas de Feynman

Una línea recta, una línea ondulada, unos puntos de unión.

En las representaciones habituales de la electrodinámica cuántica, las líneas continuas con flecha se relacionan con los electrones; las onduladas, con los fotones. Los puntos de unión registran interacciones. Ocupan poco papel. Detrás de cada trazo hay reglas de cálculo.

En su artículo de 1949, Feynman colocó junto a una fórmula el dibujo de una interacción entre dos electrones. A una unión le corresponde un factor; las posiciones espacio-temporales internas de las interacciones entran todavía en sumas o integrales. El diagrama registra cómo organizar una cuenta. No es la trayectoria de un electrón captada por una cámara de alta velocidad. Tampoco la línea ondulada demuestra que un fotón vaya nadando arriba y abajo por el espacio.

La dificultad no ha desaparecido al dibujarla. Se ha dispuesto de modo que sea más fácil localizarla.

Falta un término, una unión está mal hecha: otra persona puede volver por las líneas y comprobarlo. Es una claridad que se entrega a otras manos. Un trazo ligero no hace que el resultado dependa únicamente de lo que sienta el dibujante.

En 1949 Dyson también publicó un artículo que relacionaba el método de Feynman con las formulaciones de Tomonaga y Schwinger, mostraba su equivalencia y mejoraba la organización de las aplicaciones. En 1965 Feynman compartió el Nobel de Física con Shin’ichirō Tomonaga y Julian Schwinger. En aquella ruta había trabajos independientes y personas que conectaban los trabajos entre sí.

El Van Gogh de esta serie deja en el color el mundo que ha visto. Feynman dibuja líneas entre cálculos enmarañados. Ante cualquiera de las dos hojas nos acercamos un poco: también se podía mirar así. Frente al cuadro nos demoramos; junto al diagrama seguimos calculando y llevamos la respuesta al experimento. El trabajo es distinto. Ese primer impulso de curiosidad resulta familiar.

Llamar al diagrama una partitura de baile es una metáfora del lector. Un bailarín puede equivocarse de paso y volver riendo. El término omitido no se añade por sí solo porque el autor se ría.

Otras personas siguen utilizando las líneas de Feynman. Ya no tienen que esperar a que quien las dibujó venga a sentarse a la mesa.

VI. La junta tórica

28 de enero de 1986. El Challenger despega.

Setenta y tres segundos después, la estructura del transbordador se desintegró. Murieron los siete tripulantes.

Feynman participó en la investigación. En la audiencia pública del 11 de febrero sumergió en agua helada un trozo comprimido de material de sellado y después lo liberó de la presión. No recuperó inmediatamente la forma. Pidió a los presentes que observaran aquellos segundos de retraso.

Un pequeño trozo de material. Un vaso. El frío dejaba de ser una cifra de temperatura en un informe. Si una unión necesitaba sellarse a tiempo, ¿qué podía significar aquella demora?

Antes de aquel vaso, los ingenieros ya habían planteado el problema.

El informe registra que, la noche anterior al lanzamiento, Arnold Thompson dibujó la unión en una hoja y Roger Boisjoly presentó fotografías de juntas dañadas. Seguían oponiéndose a un lanzamiento a baja temperatura. Tras una discusión interna, los directivos del fabricante cambiaron la recomendación inicial de no lanzar. Los avisos, las discrepancias y el cambio ocurrieron antes de que el cohete se elevara.

Por eso, junto a la demostración que se reproduce una y otra vez también debería quedar aquella hoja con el dibujo de la unión. La claridad de una cámara no debe hacer desaparecer de nuevo a quienes ya habían hablado.

El agua helada no hizo por sí sola toda la investigación. Había que incorporar el diseño de la unión, los daños anteriores, los datos de temperatura y el modo en que la información llegaba a los superiores. En su apéndice al informe, Feynman también preguntó por qué las anomalías de vuelos que habían regresado sin accidentes se habían convertido poco a poco en razones para seguir aceptándolas.

Que una vez no ocurriera nada no garantiza la siguiente. Para quienes se sientan dentro del transbordador no es una ocurrencia ingeniosa sobre probabilidades.

El apéndice termina con estas palabras: «No se puede engañar a la naturaleza».

Después de la demostración, el material recuperaría lentamente su temperatura. Lo que había que revisar no se limitaba al pequeño trozo del vaso.

VII. Feynman y Oppenheimer

Oppenheimer lleva ceniza sobre este puente. Feynman trae un tambor.

Es fácil convertirlos en dos vidas que ya han resuelto sus problemas: uno preocupado, el otro despreocupado. Pero en el sonido del tambor hay también un recuerdo que Feynman no quiso omitir.

En una entrevista de 1981 volvió al inicio de su participación en la bomba atómica. Dijo que lo había impulsado el peligro de que Alemania construyera aquella arma. Después de la derrota alemana, sin embargo, no volvió a preguntarse por qué seguía trabajando en ella. Era una pregunta dirigida a su propia conducta de entonces.

Recordó asimismo la celebración tras la noticia de Hiroshima: sentado sobre el capó de un jeep, tocando el tambor. Al contar la escena, situaba la excitación de Los Álamos junto a las muertes que ocurrían en Hiroshima. Más tarde, en Nueva York, al ver a unos hombres construir un puente, pensaba que todo aquello pronto sería destruido. Los días que siguieron al tambor no mantuvieron una ligereza constante.

Reconocer el episodio no cancela aquel día. La preocupación prolongada tampoco retira de los registros el trabajo realizado. Hay que leer por separado los textos de Oppenheimer y de Feynman. La ceniza y el tambor no pueden distribuir por ellos toda la responsabilidad.

La dificultad no está en exigir que una persona no vuelva a reír. Convertir en castigo todos los días que le quedan no concede un día más a nadie. Lo difícil es que, una vez que vuelva la risa, siga habiendo sitio para preguntar por el pasado.

La muerte de Arline fue una pérdida íntima para él. Quienes murieron lejos también tenían, cada cual, una vida que no podía reemplazarse. Conocer el propio dolor no equivale a conocer todos los dolores. Querer seguir viviendo tampoco permite dejar el dolor ajeno fuera de la historia.

Ese sonido hace menos sencillo escuchar el tambor de este ensayo. Puede expresar la alegría de explorar, y también entrar en una celebración que todavía no ha sido interrogada seriamente. El instrumento no elige por quien lo lleva.

Otros seguirán queriendo aprender su física y escuchar sus bromas. Al llegar a una página agradable, también podrán volver a esta.

La ceniza sigue ahí. El tambor también. Encontrarse aquí no los anula mutuamente.

VIII. Lo que decía

Cuando hablaba de mecánica cuántica, Feynman empezaba por advertir que ni las bolitas conocidas ni las ondas del agua podían sostener por completo el comportamiento que se intentaba describir. La imagen de siempre ya no bastaba. Aun así, se podía calcular y se podía preguntar mediante experimentos.

La advertencia no cerraba una puerta. Se parecía más a unas palabras en el umbral: puedes entrar con tu viejo mapa, pero no dejes de mirar bajo tus pies solo porque un camino no esté dibujado en él.

Hay otra frase, del discurso de graduación de 1974: «El primer principio es no engañarte a ti mismo, y tú eres la persona a la que más fácilmente puedes engañar».

Hablaba de una honestidad concreta en la investigación. También había que entregar los resultados desfavorables a la conclusión, las condiciones capaces de invalidar una explicación. Colocar en fila las pruebas más convenientes hace fácil creer que el trabajo ha terminado. Los demás necesitan ver lo que no ha entrado en esa fila.

La frase también puede ponerse al lado de Feynman, el narrador. El niño listo, el plato del comedor, el vaso de la audiencia se dejan enlazar fácilmente en una recta sin pausas. Al leer con atención aparecen quienes le enseñaron, el trabajo previo, las preguntas que no se hizo.

«No sé» tiene, por tanto, varios pesos. Hay desconocimientos que invitan a seguir buscando y otros que exigen más cautela antes de actuar. Una persona puede aceptar que el universo guarde misterios. Pero no puede entregar un «quién sabe» a quienes van a correr un riesgo como si con eso hubiera dado todas las explicaciones necesarias.

Al final de la conversación de 1981, dijo que podía vivir con las dudas y la incertidumbre, y que tenía distintos grados de confianza en unas cosas y en otras. Lo desconocido no le había quitado el gusto por descubrir.

Podemos leer allí una forma de vivir. No es una receta que exija a los demás la misma soltura. Quien ahora no tiene fuerzas para tocar el tambor también puede sentarse al lado. La curiosidad no debe convertirse en otra obligación de mostrarse lleno de energía.

La carta sin dirección ya lo había dicho con mucha suavidad. No poder preguntar adónde se ha ido alguien no borra el echarlo de menos. La mano puede descansar un momento y después hacer una cosa de este día.

IX. El tambor

Feynman murió en Los Ángeles el 15 de febrero de 1988. Tenía sesenta y nueve años.

Sus líneas siguen en los artículos. Su voz sigue en las grabaciones. La carta que no envió también permanece sobre el papel.

Hagámoslo llegar ahora a este puente imaginario.

El tambor le cuelga delante del cuerpo. Las manos bajan, dan dos golpes y añaden unos cuantos más. El sonido llega primero; después aparece él por un extremo del puente. El pelo algo revuelto. No lleva un uniforme capaz de explicarlo todo.

Sócrates está en el claro. Platón dibuja planos en cuclillas. Hume permanece junto a su tablero de backgammon. Schopenhauer mira debajo del puente. Kierkegaard ha saltado. Turing observa la manzana que tiene en la mano. Chéjov se apoya en la baranda. Cantor mira al cielo. Copérnico ha dejado su libro y se ha marchado. Sartre pasea con su pipa. Beauvoir sostiene un espejo en alto. Quine ha dicho algo en voz baja.

Tesla escucha un zumbido. Edison lleva una bombilla apagada. La posición de Heisenberg es incierta. Bohr tiene una carta sin enviar. Tolstói, con una receta, está frente a Chéjov. Shakespeare no está en la orilla: es el agua bajo el puente. Spinoza tiene polvo de vidrio en las manos. Aristóteles coloca el suelo en cuclillas. Faraday levanta una tabla. Maxwell escribe ecuaciones de pie.

Juana de Arco está sobre el puente con el fuego. Wilde se mantiene elegante, sosteniendo aquella frase. Ramanujan asoma medio cuerpo por una rendija. Oppenheimer lleva ceniza. Charlotte tiene una pluma. Emily está en el páramo, fuera del puente, y de allí viene el viento. Boltzmann abraza la piedra donde está grabada su ecuación. Los pinceles de Van Gogh todavía gotean colores. Dickens está sobre la grieta con la pluma y la caja de cerillas en las manos. Churchill sujeta la bandera sobre su hombro. La silla de ruedas de Roosevelt se detiene junto a la pendiente suave. Schrödinger lleva al gato en brazos.

Feynman se acerca a Oppenheimer y baja un poco el volumen. Ve la ceniza en su ropa, pero no extiende la mano para sacudirla. Se quedan un rato juntos. Ninguno ahorra ese rato con una broma.

Boltzmann acomoda la piedra en sus brazos. Feynman se aparta, espera a que recupere el equilibrio y toca un breve ritmo. La piedra pesa; los pasos también. El tambor los acompaña unos compases y luego toma un pequeño giro, más ligero.

El gato levanta la cabeza en los brazos de Schrödinger. Feynman se detiene y le ofrece un dedo. El gato lo olfatea, vuelve la cara y sigue cómodamente acurrucado. Él retira la mano, sonríe y da dos golpes suaves en el tambor. El gato ya no levanta la cabeza.

El tambor vuelve a sonar y se mezcla con el agua. A lo lejos aún queda el eco de las palabras de Churchill. Aquí no hace falta decidir qué voz llega más lejos. Hume mueve una ficha; a los pies de Dickens también suena levemente el papel.

Feynman lleva una carta en el bolsillo. Al andar, el borde del papel roza la tela. Aparta una mano del tambor y presiona un instante sobre el bolsillo. La carta no tiene dirección. El tambor tampoco puede enviarla.

A lo lejos, Kant ya está de pie. Al recibir el sonido vuelve el rostro y espera a que Feynman se acerque un poco más.

Feynman camina hacia él, sobre tablas que otros han reparado y juntas que aún necesitan arreglo. A veces toca; otras, deja de tocar para escuchar. Los pasos continúan.

Aristóteles alza la mirada, con una tabla todavía sostenida entre las manos. Al pasar junto a él, Feynman suaviza el sonido y espera a que la coloque bien. Porque alguien baile, el puente no deja de necesitar cuidados.

El viento llega del páramo. La comisura de la boca de Feynman se mueve un poco.

Quizá sea una sonrisa. El tambor calla por un momento. La carta sigue ahí.