Ramanujan, les rêves

I. Regardez ces résultats, s’il vous plaît

Le 16 janvier 1913, un employé du port de Madras écrit à G. H. Hardy, à Cambridge. Il commence par son salaire, ses études et sa situation, puis présente une collection serrée de résultats mathématiques. Les pages n’offrent pas le chemin soigneusement préparé d’un article achevé. Quelqu’un, très loin, demande à quelqu’un d’autre de regarder sérieusement ce qu’il a trouvé.

Srinivasa Ramanujan vient d’avoir vingt-cinq ans, bien que sa lettre lui en attribue environ vingt-trois. Il n’a pas de diplôme universitaire et n’a pas achevé la formation mathématique habituelle. Le travail sur le papier dépasse largement les titres avec lesquels il peut se présenter. Comment montrer que l’on mérite le temps d’un lecteur avant que ce lecteur nous ait lus ?

Hardy et Littlewood reconnaissent quelque chose d’exceptionnel. Certains résultats sont connus, d’autres faux, d’autres demandent des conditions supplémentaires ; quelques-uns sont profondément surprenants. Ils ne reçoivent pas une réponse complète attendant son tampon officiel, mais un territoire qui mérite d’être exploré. Bien juger suppose ici de reconnaître les erreurs sans qu’elles cachent l’originalité qui les entoure.

Les mots d’émerveillement de Hardy deviendront célèbres. Ce qui change la vie de Ramanujan, c’est que cet émerveillement se transforme en actes. Hardy répond, pose des questions, demande des démonstrations et aide à obtenir des conditions de recherche. Une lettre repart. À l’autre bout du trajet, quelqu’un apprend que son travail est entré dans une conversation qui aura une suite.

Une enveloppe non sollicitée posée sur un bureau : la scène paraît banale. Les conséquences de ce qui arrive ensuite le sont moins. Une présentation ou un parcours inhabituel peuvent faire classer une question avant qu’elle soit examinée. Hardy regarde les mathématiques. Les personnes qui soutiennent déjà Ramanujan en Inde trouvent un nouveau lien par lequel leurs efforts peuvent se prolonger.

Le voyage à Cambridge ne se règle pas par retour du courrier. Il faut un financement, rassurer la famille, organiser la traversée. Les mathématiques franchissent des distances sur une feuille ; une personne doit encore payer son passage, manger, expliquer où elle va et trouver comment la vie de ceux qui restent pourra continuer. Le déplacement a besoin de plusieurs mains.

Cette lettre est donc davantage que le moment où un génie est découvert. Une demande rencontre une réponse. Ramanujan propose le travail qu’il fait ; quelqu’un le reçoit avec attention sans exiger qu’il devienne d’abord le candidat dont le parcours rassurerait entièrement le bureau de Cambridge. La conversation commence avant que toutes les différences soient réglées.

II. Avant le voyage des pages

Ramanujan naît le 22 décembre 1887 à Erode, dans le sud de l’Inde, et grandit à Kumbakonam. Son père travaille chez un marchand de tissus ; les ressources sont modestes. Il fréquente l’école, puis commence des études supérieures. Ses difficultés dans les matières autres que les mathématiques interrompent son parcours : une bourse perdue, aucun diplôme achevé. Un talent ne suffit pas à organiser toute une vie.

Adolescent, il découvre le Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de G. S. Carr. Cette accumulation de résultats, souvent accompagnés de peu de développements, ouvre un immense terrain. On peut recalculer, conjecturer, transformer, essayer une autre relation. L’écriture concentrée des futurs cahiers possède elle aussi une histoire de lectures et de pratiques ; elle n’arrive pas hors de toute expérience.

Le qualifier d’autodidacte doit laisser cette histoire visible. Il apprend dans les livres, multiplie les calculs, cherche des interlocuteurs et contribue au Journal of the Indian Mathematical Society. Son article sur les nombres de Bernoulli paraît en 1911. La lettre envoyée en Angleterre cherche une place plus grande pour un travail qui existe déjà ; elle ne fait pas naître sa vie mathématique.

Ramachandra Rao et d’autres lui apportent un soutien matériel. Au port, Narayana Aiyar discute de mathématiques avec lui ; des amis le présentent, le recommandent et cherchent des occasions. Tous ne peuvent pas comprendre chaque page. Certains engagent néanmoins du temps et de la confiance. La survie d’un travail dépend souvent de tels relais bien avant que son auteur devienne célèbre.

La pauvreté prend parfois la forme d’une méthode de calcul : travailler d’abord sur une ardoise réutilisable, puis recopier sur papier ce qui semble mériter de rester. L’ardoise s’efface ; le papier se ménage. Une formule finale ne restitue pas tout ce qui s’est passé autour d’elle. Les matériaux participent eux aussi au choix de ce qui parvient jusqu’aux lecteurs futurs.

Une bourse de recherche de l’université de Madras lui donne enfin un temps plus stable. L’argent a ici une signification très simple. Il peut acheter un après-midi sans comptes à tenir et laisser une question présente à l’esprit, au lieu de la repousser jusque tard dans la nuit. La liberté de chercher commence parfois par un arrangement permettant de vivre.

La distance entre un pays colonisé et un centre impérial devient concrète à travers ces conditions. Les bibliothèques, la reconnaissance et les voies d’accès ne sont pas également distribuées. Ramanujan possède déjà un travail et des soutiens en Inde ; Cambridge lui offre de nouvelles possibilités importantes. Les deux faits comptent. Reconnaître une aide ultérieure n’oblige pas à effacer le chemin précédent.

III. Le rêve a sa langue

La famille de Ramanujan vénère Namagiri, associée à Narasimha, incarnation de Vishnou. Les récits de formules apparues en rêve et de révélations de la déesse reviennent dans les souvenirs et les biographies. Ils nous parlent aussi du langage par lequel une personne et son entourage comprennent l’arrivée d’une idée. Ils appartiennent à un monde religieux effectivement vécu.

Les premières réticences familiales au voyage comprennent des interdits de caste et des scrupules religieux concernant la traversée des mers. Les biographies racontent que sa mère accepte le départ après un rêve où Namagiri l’autorise. On peut conserver ce récit familial sans traiter le contenu du rêve comme un événement attesté de l’extérieur. La permission de partir a parfois besoin d’une langue familière.

Il embarque en mars 1914 et atteint l’Angleterre le mois suivant. Ses cahiers voyagent avec ses habitudes alimentaires, sa foi, ses inquiétudes pour ses proches et toutes les petites incertitudes qui font d’un pays étranger un pays étranger. Une invitation universitaire ne dit pas encore comment se passeront chaque repas, chaque matin d’hiver, chaque soirée loin de chez soi.

Un rêve mérite d’être entendu parce qu’il appartient à l’expérience de quelqu’un, non parce qu’il dispense de vérifier un énoncé. La validité d’un résultat demande des raisons mathématiques. La valeur intime d’une expérience peut appeler d’autres mots. Distinguer ces questions donne parfois plus de place à la rencontre que le rejet immédiat ou l’adhésion à tout ce qui est raconté.

Hardy n’a pas les convictions religieuses de Ramanujan. Ils peuvent pourtant placer une formule entre eux et en examiner les conditions, les calculs et la démonstration. Pour travailler ensemble, aucun n’a besoin de rendre entièrement identique à la sienne la vision du monde de l’autre. Coopérer suppose aussi de savoir quels désaccords peuvent rester pendant que l’on traite une question commune.

Nous pouvons donc laisser une part des rêves ouverte. Ni une certification divine ni le seul mot « intuition » ne racontent toute une vie. Lecture, calcul répété, mémoire et rapports qui soudain deviennent visibles appartiennent à la même histoire. Nommer une expérience permet d’en parler ; cela ne signifie pas que l’on ait épuisé tout ce qui l’a rendue possible.

IV. Deux personnes devant la table

Cambridge, en 1914, offre à Ramanujan des collègues capables de discuter ses problèmes en profondeur, des livres et du temps. Il collabore avec Hardy et publie aussi seul. Quelque chose y grandit réellement. Mais les questions et les méthodes qu’il apporte modifient également le travail de celui qui lui fait face. L’échange circule dans les deux sens.

Ils étudient ensemble les partitions d’un entier : combien de façons de l’écrire comme somme d’entiers positifs, sans tenir compte de leur ordre ? Pour quatre, il y en a cinq : quatre ; trois plus un ; deux plus deux ; deux plus un plus un ; quatre fois un. Le problème commence à portée des doigts, puis dépasse très vite les possibilités d’une simple énumération.

Hardy et Ramanujan développent des méthodes puissantes pour décrire la croissance du nombre de partitions. C’est une création commune. L’intuition indique des directions prometteuses ; estimations, développements et preuves permettent à d’autres de les atteindre. Aucun des deux ne reste enfermé dans le rôle de révéler ou de vérifier. Leurs capacités se rencontrent dans des problèmes précis et transforment ce qui devient possible.

Une démonstration peut se lire comme un geste adressé à un lecteur futur. Comment quelqu’un dépourvu de votre mémoire, de votre foi et de votre inspiration du moment pourra-t-il vérifier ce que vous avez aperçu ? Donner les étapes le dispense de croire une proposition sur la seule réputation de son auteur. Cela donne aussi au désaccord un endroit précis où commencer.

Ramanujan raisonne et démontre lui-même. Des étapes absentes d’un cahier n’impliquent pas une pensée sans raisons. Certains énoncés tiennent ; d’autres doivent être corrigés ou restreints. Son œuvre extraordinaire appartient ainsi à un monde où l’on peut apprendre, vérifier et se tromper. Sa puissance devient plus tangible dès lors qu’elle n’exige pas que chaque ligne soit infaillible.

La guerre transforme bientôt la vie britannique. Ses exigences végétariennes, la cuisine à préparer, les difficultés d’approvisionnement et l’éloignement compliquent les journées. En 1917, il tombe gravement malade et passe de longues périodes en soins. De meilleures conditions scientifiques n’ont pas automatiquement réglé le corps, les repas et l’isolement. Au-delà de la table commune, une vie quotidienne demande encore de l’attention.

En 1918, il est élu à la Royal Society puis Fellow de Trinity College. La reconnaissance change sa situation universitaire ; les journées dans une chambre de malade continuent à nécessiter des soins. Une institution qui apprécie des résultats doit aussi apprendre à recevoir celui qui les apporte : un corps, des habitudes, des besoins et des fragilités, pas seulement une production d’idées.

V. Après 1729, une autre question

Hardy raconte être allé voir Ramanujan malade à Putney. Son taxi portait le numéro 1729, qu’il trouvait plutôt quelconque. Ramanujan y reconnaît aussitôt une propriété intéressante. Cette scène vient du souvenir du visiteur. Avant de lui faire porter toute la légende du génie, on peut la lire comme un petit moment de présence auprès d’un ami.

1729 est le plus petit entier positif qui s’écrit de deux façons différentes comme somme de deux cubes d’entiers positifs : 1³ plus 12³, et 9³ plus 10³. D’un côté, 1 et 1728 ; de l’autre, 729 et 1000. Le lecteur vérifie facilement l’égalité. Affirmer qu’il s’agit du plus petit demande encore d’exclure les possibilités inférieures.

Le souvenir ne s’arrête pas à la réponse brillante. Hardy demande ensuite ce qu’il en serait pour les puissances quatrièmes. Après réflexion, Ramanujan ne voit pas d’exemple évident et suppose le premier nombre très grand. Celui qui aperçoit immédiatement une relation remarquable possède aussi des endroits où il ne sait pas. La conversation peut continuer à partir de là.

Hardy attribue à Littlewood l’image des entiers positifs comme amis personnels de Ramanujan. Elle exprime une familiarité sans transformer littéralement les nombres en personnes. Après une longue fréquentation, un visage que d’autres regardent à peine vous offre quantité de nuances. Les combinaisons numériques peuvent, elles aussi, acquérir cette densité de possibilités reconnaissables à force de rencontres.

Cette proximité comprend du travail autant que du talent. Hardy décrit calculs abondants, recherche de régularités dans les exemples et modifications rapides des hypothèses. Derrière la vitesse d’une réponse, il peut y avoir une longue lenteur attentive. Ne pas voir tout le processus au moment où quelqu’un parle ne signifie pas qu’aucun processus n’a rendu la réponse disponible.

L’histoire du taxi peut ainsi laisser deux choses : une relation numérique inattendue et une conversation où il reste permis de ne pas savoir. Exiger que Ramanujan réponde instantanément à tout pour demeurer lui-même, ce serait l’enfermer dans notre légende. Sa prochaine question mérite une place à côté de la réponse que nous avons déjà tous retenue.

VI. Entre apercevoir et rendre clair

Cantor a lui aussi donné au monde familier des profondeurs inattendues. Il distingue rigoureusement des tailles d’infini ; Ramanujan découvre des relations entre séries, fractions continues, partitions et fonctions. Il n’est pas nécessaire de décider lequel a vu davantage. Chacun modifie les questions que l’on peut formuler, avec des outils et des chemins différents à travers la difficulté.

Leurs maladies ne se réunissent pas pour autant sous le prix d’avoir trop vu. L’audace intellectuelle n’est pas une explication médicale. Présenter la souffrance comme le destin du génie risque de transformer les questions de traitement, de soutien et de conditions de vie en décor seulement destiné à émouvoir. Le travail et la maladie demandent chacun une attention réelle.

Faraday et Maxwell proposaient une autre forme de continuation. Faraday disposait déjà d’expériences et de théorie ; Maxwell développait d’autres relations et d’autres expressions. Chez Ramanujan et Hardy, la pensée se trouve également des deux côtés de la table. Leurs expériences et leurs forces diffèrent, et cette différence contribue à ce que chacun peut remarquer et proposer ensuite.

La lecture auprès de Jeanne d’Arc fait apparaître deux questions distinctes. Comment une personne raconte-t-elle une voix ou une vision ? Comment d’autres peuvent-ils examiner un énoncé ? Respecter l’expérience peut aller avec une interrogation sur le jugement. Ni la moquerie ni l’abandon de son propre discernement ne sont nécessaires pour que l’autre mérite d’être entendu.

Wilde et Ramanujan montrent tous deux certains seuils du centre impérial, mais ne partagent pas un seul destin. Wilde subit une condamnation pénale. Ramanujan trouve collaboration et reconnaissance, tout en rencontrant guerre, maladie et difficultés quotidiennes. Les ressemblances aident à questionner ; les différences empêchent une personne de disparaître dans un schéma préparé avant que l’on ait commencé à la lire.

Entre apercevoir une direction et la rendre claire, il existe de la place pour un travail commun. Quelqu’un propose une régularité ; un autre apporte un contre-exemple ; la même personne peut tenir les deux rôles à différents moments. Une rencontre féconde agrandit ce que chacun peut faire, au lieu de lui assigner définitivement une seule espèce d’esprit autorisée.

VII. Celui qui revient

Ramanujan revient en Inde en 1919, toujours très malade. Janaki participe aux soins. Les explications contemporaines et ultérieures de sa maladie divergent : une tuberculose a été envisagée, puis des recherches ont proposé une amibiase hépatique. À travers un siècle de documents, la souffrance est certaine là où le diagnostic reste discuté. Nous ne disposons pas d’un nouvel examen clinique.

Janaki était une enfant lors de leur mariage, en 1909. Cette union mérite davantage qu’une phrase rappelant la coutume. Sa vie entière ne se réduit pas non plus à l’image d’une épouse attendant le retour du mari. Elle possède son âge, sa situation et une longue existence après lui. Prendre soin d’un mathématicien ne fait pas d’une vie l’annexe de la sienne.

Bien plus tard, des chercheurs obtiennent d’elle des photographies et des souvenirs qui contribuent à conserver l’image de Ramanujan. La mémoire est portée par quelqu’un qui continue à vivre ; la légende ne garde pas ses propres archives. Qui nous pouvons encore voir dépend souvent de ce qu’un autre a retenu, protégé et accepté de transmettre.

En janvier 1920, Ramanujan écrit à Hardy sur de nouveaux objets qu’il appelle fonctions thêta fictives. Il n’est pas nécessaire de maîtriser le terme pour comprendre le geste : il trouve encore des relations et souhaite les communiquer à quelqu’un au loin. La maladie n’a pas soudain supprimé leur attrait. Continuer reste pourtant ce qu’il fait, non une dernière obligation attachée à son importance.

Il meurt le 26 avril, à trente-deux ans. Les pages contiennent des choses que d’autres ne comprennent pas encore. L’âge à côté de l’œuvre fait mal ; la première perte demeure néanmoins la vie d’une personne, avant le décompte des théorèmes supplémentaires dont les mathématiques sont privées. Il aurait aussi pu connaître davantage de journées ordinaires, sans résultat mémorable à leur attribuer.

Le retour ne guérit pas la maladie ; les distinctions n’accomplissent pas le travail des soins. Ceux qui viennent après peuvent conserver, lire et vérifier tout en se souvenant de l’être au-delà des pages. Prolonger les mathématiques n’exige ni de faire un autel du lit, ni de laisser la longue vie restante d’une autre personne en dehors de la fin du récit.

VIII. La seconde vie d’un cahier

En 1976, consultant des documents à Trinity College, George Andrews reconnaît un ensemble de feuillets de la dernière période de Ramanujan. Ils deviendront le cahier perdu. Ce ne sont pas des reliques demeurées intactes et ignorées depuis sa mort. D’autres mathématiciens les ont étudiées, conservées, classées et transmises avant qu’Andrews puisse en reconnaître à nouveau l’importance.

Watson, Rankin et Whittaker appartiennent à cette chaîne ; les indications de Lucy Slater figurent aussi dans le récit d’Andrews. Une découverte comprend plus que l’instant où des yeux s’illuminent. Quelqu’un garde le papier, quelqu’un le dépose dans une archive, quelqu’un pense au lecteur possible. Attendre le bon lecteur suppose déjà quantité d’actions antérieures.

Andrews, Berndt et de nombreux collaborateurs poursuivent le travail : trouver des preuves, préciser des conditions, distinguer les résultats anciens des découvertes nouvelles. La compréhension des fonctions thêta fictives progresse elle aussi sur plusieurs générations, avec de nouveaux cadres importants au début du XXIe siècle. Les mathématiques n’ont pas dormi collectivement cent ans ; des recherches prolongées ont peu à peu relié les indices.

Une expression conservée peut être un résultat et une question. Sous quelles conditions tient-elle ? Pourquoi des formes voisines se comportent-elles autrement ? Peut-on dégager une relation plus générale ? Le travail ultérieur ne dore pas simplement un héritage. Il rend les pages à une vie dans laquelle elles peuvent être examinées, contestées et développées par des personnes qui arrivent plus tard.

Nous ne reconstituerons pas tous les chemins par lesquels Ramanujan parvient à ses idées. Des calculs sur ardoise sont effacés, les notes condensées omettent des étapes, les souvenirs diffèrent. Cette ignorance n’empêche pas de démontrer un résultat déterminé. L’humilité devant l’histoire d’une découverte et l’exactitude dans l’argument présent peuvent habiter la même personne, au même moment.

Peut-être est-ce ce que le titre Les rêves permet de garder. Le chemin entier d’une personne vers une question ne se remplace pas par l’article achevé. Mais une partie de ce qu’elle découvre devient partageable. Celui qui n’a jamais fait ce rêve peut poursuivre la pensée, sans devoir entrer dans l’esprit de son auteur pour rencontrer son travail.

IX. Attendez avant d’effacer

Retournons au pont explicitement imaginaire de ce cinquième mouvement. Ramanujan arrive avec une ardoise. Il a fait un long voyage et quelqu’un lui prépare une place. Qu’il s’assoie et pose ses affaires. Ses vêtements, son corps, la fatigue du trajet et les questions qui l’occupent encore sont arrivés ensemble, sans qu’il soit nécessaire de les séparer pour l’accueillir.

L’appareil de Faraday est toujours là ; des corrections restent sur la feuille de Maxwell. Ramanujan pose l’ardoise et écrit une relation. Certains en comprennent une partie, d’autres rien. Ne pas encore comprendre n’empêche pas d’offrir une chaise. Offrir une chaise ne promet pas non plus que toute expression sera vraie. L’hospitalité et l’examen peuvent partager la table.

Hardy approche. Il n’a pas son numéro propre dans cette suite de vies, mais nous l’invitons dans la fiction. Il regarde, désigne une étape. Ramanujan reprend la craie et ajoute une ligne. Chacun peut signaler une difficulté ; chacun peut apprendre de l’autre ce qu’il ignorait encore en arrivant. La page ne distribue pas définitivement les rôles.

Cantor rapproche sa feuille. Elle contient des démonstrations et des questions que l’on continuera d’examiner. Il n’a pas à lever l’infini au-dessus des formules voisines. La table est assez grande pour différents problèmes, chacun demandant des raisons là où elles sont nécessaires. Prêter attention à l’un n’efface pas les autres et ne leur retire pas leur place.

Jeanne peut parler de ses voix, Ramanujan de ses rêves ; Wilde peut garder une phrase qu’il n’a pas choisi de dire. Personne ne doit livrer la langue intime de son expérience pour obtenir un siège. Celui qui conteste une conclusion peut également rester et parler. Le désaccord n’a pas besoin de devenir l’expulsion de celui dont on examine la pensée.

Janaki a aussi une chaise. Nous ne la convions pas seulement pour apporter de l’eau ou témoigner du génie d’un autre. Elle peut raconter sa propre vie, ou se taire un moment. Tchekhov demande d’abord si quelqu’un est fatigué. Interrompre la discussion pour s’occuper d’une personne réelle ne fera pas disparaître les mathématiques de la table.

Ramanujan lève machinalement la main pour effacer. Quelqu’un lui tend quelques feuilles blanches. Attendez ; peut-être les lignes intermédiaires peuvent-elles rester aussi. Tout ne mérite pas nécessairement d’être conservé, mais ce raisonnement n’a pas à disparaître tout de suite faute de papier. Une condition matérielle change parfois ce qui sera disponible pour une conversation future.

Il recommence à écrire. Les autres attendent sans exiger un récit complet de la provenance de ses pensées. Il leur faut cette étape, maintenant, et un endroit d’où la suivante puisse partir. Le rêve demeure le sien. Le papier peut néanmoins passer dans d’autres mains et porter quelque chose que plusieurs personnes examineront ensemble.

La lampe éclaire le papier et l’ardoise. Personne n’a besoin de devenir un génie omniscient avant de mériter assez de lumière pour voir. Ramanujan termine la ligne et s’arrête. Cette fois, avant l’effacement, quelqu’un a le temps de lire.