Ramanujan: sueños

I. Mire, por favor, estos resultados

El 16 de enero de 1913, un empleado del puerto de Madrás escribió a G. H. Hardy, en Cambridge. Empezó por su sueldo, sus estudios y sus circunstancias. Después venían resultados matemáticos, uno detrás de otro. Las páginas no ofrecían el camino cuidadosamente preparado de un artículo terminado. Desde muy lejos, alguien pedía que otra persona se detuviera a mirar.

Srinivasa Ramanujan acababa de cumplir veinticinco años, aunque en la carta se presentaba como alguien de unos veintitrés. No tenía un título universitario ni había completado una formación matemática convencional. Lo que traía en las páginas era mucho más importante que las credenciales con que podía presentarlo. ¿Cómo conseguir el tiempo de un desconocido antes de que haya leído lo que justifica concedérselo?

Hardy y Littlewood reconocieron algo extraordinario. Había resultados conocidos, errores, afirmaciones que necesitaban condiciones adicionales y relaciones profundamente sorprendentes. Aquello era un territorio al que valía la pena entrar, no un conjunto acabado a la espera de un sello. Juzgar bien exigía advertir los errores sin permitir que ocultaran la originalidad que tenían al lado.

Las expresiones de asombro de Hardy se harían famosas. Lo decisivo para Ramanujan fue que ese asombro tuvo consecuencias. Hardy contestó, planteó preguntas, pidió demostraciones y ayudó a buscar condiciones para que el trabajo continuara. Una carta hizo el viaje de vuelta. Al recibirla, alguien pudo saber que sus matemáticas habían entrado en una conversación que tendría un mañana.

Es fácil imaginar un sobre no solicitado sobre una mesa. Cuesta más ver cuánto puede depender del gesto siguiente. Una presentación poco habitual o unas credenciales desconocidas pueden enviar una pregunta al cajón antes de que nadie la examine. Hardy miró las matemáticas. Quienes ya ayudaban a Ramanujan en la India ganaron también una nueva conexión para continuar sus esfuerzos.

Llegar a Cambridge requería bastante más que una respuesta. Había que resolver la financiación, las dudas de la familia y los preparativos del viaje. Las matemáticas cruzan el mar en unas cuantas hojas. Una persona necesita un pasaje, comida y explicaciones; además, la vida de quienes se quedan en casa debe seguir de algún modo. Nada de eso viajaba resuelto dentro del sobre.

La importancia de aquella carta contiene, por tanto, algo más sencillo que el descubrimiento de un genio: una petición recibió respuesta. Ramanujan mostró lo que había estado haciendo y alguien lo tomó en serio sin exigirle primero que encajara en el perfil familiar de un candidato a Cambridge. La conversación pudo empezar mientras aún quedaban muchas diferencias por entender.

II. Antes del viaje de las páginas

Ramanujan nació el 22 de diciembre de 1887 en Erode, al sur de la India, y creció en Kumbakonam. Su padre trabajaba para un comerciante de telas; el dinero escaseaba. Fue a la escuela y después al college. Las dificultades con las materias ajenas a las matemáticas interrumpieron sus estudios: perdió una beca y no obtuvo un título. Una capacidad extraordinaria no organizaba por sí sola toda una vida.

Durante la adolescencia encontró la Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics, de G. S. Carr. Aquella acumulación de resultados, con desarrollos a menudo muy breves, le ofreció un territorio enorme. Podía calcular, transformar, conjeturar, buscar otro enlace. La forma concentrada de sus cuadernos posteriores tenía detrás una historia de lecturas y ejercicios; no había aparecido de la nada.

Llamarlo autodidacta debería dejar sitio para esa historia. Aprendió de libros, hizo extensos cálculos, buscó interlocutores y colaboró con el Journal of the Indian Mathematical Society. Su artículo sobre los números de Bernoulli apareció en 1911. La carta a Inglaterra no inauguraba su vida matemática: buscaba más espacio para un trabajo que ya existía y había empezado a circular.

Ramachandra Rao y otros le proporcionaron ayuda práctica. Narayana Aiyar conversaba con él sobre matemáticas en el entorno del puerto; amigos y conocidos lo presentaban, lo recomendaban y buscaban oportunidades. No todos podían seguir cada página de los cuadernos. Algunos, aun así, comprometieron tiempo y confianza. Mucho antes del encuentro célebre, la continuidad de aquel trabajo dependía de estos intercambios.

La pobreza puede hacerse visible en una manera de calcular: trabajar primero sobre una pizarra reutilizable y pasar después al papel lo que parece necesario conservar. La pizarra se borra; las hojas se gastan. La expresión que sobrevive no cuenta todo lo que hubo a su alrededor. Los materiales disponibles ayudan a decidir qué partes de un pensamiento podrán conocer los lectores futuros.

Una beca de investigación de la Universidad de Madrás le dio finalmente un tiempo más seguro. El dinero tenía aquí una consecuencia directa: podía comprar una tarde sin libros de cuentas, permitir que un problema siguiera presente en lugar de aplazarlo hasta la noche. A veces, la libertad de investigar comienza con un acuerdo capaz de pagar una vida corriente.

La distancia entre una colonia y un centro imperial se vuelve concreta en estos detalles. Bibliotecas, reconocimiento y vías de acceso estaban repartidos de forma desigual. Ramanujan tenía trabajo propio y apoyos en la India; Cambridge le ofrecía oportunidades adicionales importantes. Ambas cosas pertenecen a la historia. Reconocer lo que hizo posible un encuentro no obliga a borrar el camino recorrido antes de llegar a él.

III. El sueño tiene su propio lenguaje

La familia de Ramanujan veneraba a Namagiri, diosa asociada con Narasimha, una encarnación de Visnú. Los relatos sobre revelaciones matemáticas y fórmulas aparecidas en sueños se repiten en recuerdos y biografías. Nos hablan también del lenguaje con que una persona y su comunidad pueden entender la llegada de una idea. Forman parte de un mundo religioso vivido.

Las primeras reservas familiares ante el viaje incluían prohibiciones religiosas y de casta sobre cruzar el mar. Según relatos biográficos, su madre aceptó finalmente la partida después de soñar que Namagiri la autorizaba. Podemos conservar ese recuerdo familiar como tal, sin tratar el contenido del sueño como un hecho observado desde fuera. Incluso el permiso para marcharse puede necesitar las palabras de la propia casa.

Zarpó en marzo de 1914 y llegó a Inglaterra en abril. Con los cuadernos viajaron su alimentación, sus compromisos religiosos, la preocupación por quienes quedaban lejos y esas pequeñas incertidumbres que hacen extranjero un lugar. Una invitación académica no explica cómo resolver cada comida, una mañana de invierno o una tarde en la que no hay nadie con quien hablar como en casa.

Un sueño merece ser escuchado porque pertenece a la experiencia de alguien. La validez de un resultado matemático exige, por su parte, razones matemáticas. El valor que una experiencia tiene para una persona no necesita expresarse en un único vocabulario autorizado. Distinguir ambas preguntas permite conversar con más amplitud que descalificarlo todo o dar por buena cualquier afirmación.

La posición religiosa de Hardy difería de la de Ramanujan. Eso no les impedía colocar una fórmula entre los dos y examinar sus condiciones, cálculos y demostración. Ninguno necesitaba adoptar la visión completa del otro para compartir ese trabajo. A veces se coopera mejor cuando se reconoce qué desacuerdos pueden permanecer mientras una pregunta concreta se investiga en común.

Podemos dejar una parte de los sueños abierta. Ni la certificación divina ni la sola palabra intuición dan cuenta de una vida entera. La lectura, la repetición de cálculos, la memoria y las relaciones que de pronto se hacen visibles forman parte de la misma historia. Un nombre ayuda a hablar de una experiencia; no tiene por qué agotar todo cuanto la hizo posible.

IV. Dos personas ante una mesa

Cambridge ofreció a Ramanujan, en 1914, libros, tiempo e interlocutores capaces de discutir a fondo sus problemas. Colaboró con Hardy y publicó por su cuenta. Allí se desarrollaron aspectos importantes de su trabajo. Pero había llegado con preguntas y métodos propios, que también modificaron lo que hacía la persona sentada enfrente. El intercambio tenía más de una dirección.

Juntos estudiaron las particiones: ¿de cuántas maneras puede escribirse un entero positivo como suma de enteros positivos, sin contar como distintas las diferencias de orden? Para cuatro hay cinco posibilidades: cuatro; tres más uno; dos más dos; dos más uno más uno; y cuatro unos. Una pregunta que al principio cabe en los dedos crece rápidamente hasta desbordar cualquier enumeración cómoda.

Hardy y Ramanujan desarrollaron métodos poderosos para describir cómo aumenta el número de particiones. Fue una creación matemática compartida. Los hallazgos abrían direcciones; las estimaciones, los desarrollos y las pruebas permitían recorrerlas a otras personas. Ninguno ocupaba permanentemente el puesto de recibir revelaciones o corregir al otro. Sus capacidades se encontraron en problemas concretos y cambiaron lo que juntos podían hacer.

Una demostración puede entenderse como un acto dirigido a un lector futuro. ¿Cómo podrá establecer por sí mismo lo que has visto alguien que no tiene tu memoria, tu fe ni tu momento de inspiración? Mostrar los pasos lo libera de creer solo porque lo ha dicho un genio. También da a la discrepancia un lugar preciso: este es el paso que no funciona.

Ramanujan también desarrollaba argumentos y demostraba resultados. La ausencia de pasos en un cuaderno no prueba que su autor careciera de razonamiento. Algunas afirmaciones se sostienen; otras requieren correcciones o condiciones más estrechas. Su extraordinaria obra pertenece así a un mundo donde se aprende, se comprueba y se cometen errores. El brillo resulta más tangible cuando no exige infalibilidad.

La guerra alteró pronto la vida cotidiana británica. Las exigencias de una alimentación vegetariana, la cocina, el abastecimiento difícil y la distancia de su hogar complicaban los días. En 1917 enfermó gravemente y pasó largos periodos bajo cuidados médicos. Las mejores oportunidades de investigación no atendían automáticamente su cuerpo, su comida o su soledad. Fuera de la mesa de trabajo seguía habiendo una vida que necesitaba atención.

En 1918 fue elegido miembro de la Royal Society y fellow de Trinity College. El reconocimiento cambió su posición académica; la vida diaria en una habitación de enfermo seguía necesitando cuidados. Una institución que aprecia los resultados de alguien también ha de aprender a recibir a quien los trae: cuerpo, costumbres, necesidades y vulnerabilidad, no una fuente incorpórea de ideas.

V. Después de 1729 hay otra pregunta

Hardy recordó una visita a Ramanujan cuando estaba enfermo en Putney. El taxi que lo había llevado tenía el número 1729, que le parecía bastante anodino. Ramanujan reconoció inmediatamente una propiedad interesante. La escena llega hasta nosotros a través del recuerdo del visitante. Antes de cargarla con toda la mitología del genio, podemos verla como un momento de compañía.

1729 es el menor entero positivo que puede expresarse de dos maneras diferentes como suma de dos cubos de enteros positivos: 1³ más 12³, y 9³ más 10³. A un lado están 1 y 1728; al otro, 729 y 1000. Comprobar ambas sumas resulta sencillo. Demostrar que es el menor exige descartar también las posibilidades anteriores.

El recuerdo no termina con la respuesta brillante. Hardy preguntó después por las cuartas potencias. Ramanujan pensó y dijo que no veía un ejemplo evidente; suponía que el primer número sería muy grande. Alguien capaz de reconocer enseguida una relación extraordinaria tenía también cosas que no sabía. La conversación podía continuar desde ahí sin que nadie dejara de merecer su lugar en ella.

Hardy atribuyó a Littlewood la imagen de los enteros positivos como amigos personales de Ramanujan. La metáfora comunica familiaridad. Un rostro ante el que los demás pasan sin detenerse contiene muchas particularidades para quien lo conoce desde hace años. Los encuentros repetidos con combinaciones numéricas pueden darles una densidad semejante de posibilidades que alguien aprende a reconocer.

Esa familiaridad implica trabajo, además de talento. Hardy describió cálculos extensos, inducción a partir de ejemplos y modificaciones rápidas de las hipótesis. Tras la velocidad de una respuesta puede haber mucho tiempo de atención paciente. Cuando el proceso no se ve en el instante en que alguien habla, no significa que nunca haya existido un proceso que preparó esa respuesta.

La anécdota del taxi puede dejarnos, por tanto, dos cosas: una relación inesperada y una conversación en la que todavía está permitido no saber. Si Ramanujan debe contestar inmediatamente a cualquier pregunta para seguir siendo él, lo hemos encerrado en una leyenda nuestra. Su próxima pregunta merece un lugar junto a la respuesta que todo el mundo conoce.

VI. Entre ver y hacerse entender

Cantor también hizo aparecer profundidades extrañas dentro de un mundo familiar. Distinguió tamaños del infinito mediante argumentos rigurosos; Ramanujan encontró relaciones entre series, fracciones continuas, particiones y funciones. No ayuda establecer quién vio más. Cada uno cambió las preguntas matemáticas que otras personas podían formular, con herramientas distintas y diferentes caminos a través de un terreno difícil.

Sus enfermedades no deben fundirse en el precio de haber visto demasiado. La audacia intelectual no es una explicación médica. Convertir el sufrimiento en el destino obligatorio del genio puede relegar los tratamientos, las condiciones de vida y los apoyos a una triste decoración. La obra merece ser comprendida; la enfermedad merece atención por sí misma. No hay que elegir entre ambas obligaciones.

Faraday y Maxwell ofrecieron otra forma de continuar un trabajo. Faraday ya tenía experimentos e ideas teóricas; Maxwell desarrolló nuevas relaciones y formas de expresarlas. También había pensamiento a ambos lados de la mesa de Hardy y Ramanujan. Distintas experiencias y modos de trabajar ayudaban a decidir qué podía advertir cada uno y qué ofrecer al otro a continuación.

Leído junto a Juana de Arco, el relato abre dos preguntas distintas. La descripción de una voz o una visión no es lo mismo que el examen de una afirmación por otras personas. Se puede respetar una experiencia y preguntar por la validez de un juicio. Para escuchar a alguien no hace falta ridiculizarlo ni renunciar a la capacidad propia de juzgar.

Wilde y Ramanujan muestran umbrales dentro de un centro imperial, pero sus historias no caben en un destino único. Wilde sufrió un castigo penal. Ramanujan encontró colaboración y reconocimiento decisivos, además de guerra, enfermedad y dificultades prácticas. Las semejanzas sirven para preguntar; las diferencias evitan que la persona desaparezca en un esquema que llevábamos preparado antes de leer su vida.

Entre advertir una dirección y hacerla comprensible hay espacio para trabajar juntos. Alguien propone un patrón, alguien presenta un contraejemplo; una misma persona puede hacer ambas cosas en momentos diferentes. Un encuentro fértil amplía lo que las personas pueden hacer. No reparte para siempre los papeles de intuitivo y razonador, como si cada mente tuviera una sola tarea permitida.

VII. Quien regresó, quien siguió viviendo

Ramanujan volvió a la India en 1919, todavía muy enfermo. Janaki ayudó a cuidarlo. Las interpretaciones de su enfermedad, contemporáneas y posteriores, no coinciden: se consideró la tuberculosis y una investigación posterior propuso la amebiasis hepática. A través de los documentos, el sufrimiento resulta claro allí donde el diagnóstico sigue siendo incierto. Un siglo después no disponemos de una nueva exploración clínica.

Janaki era una niña cuando se casaron en 1909. Ese matrimonio merece algo más que tranquilizarnos diciendo que era costumbre. Tampoco su vida entera debería reducirse a una esposa que espera el regreso del marido. Tenía una edad, unas circunstancias y una larga vida posterior. Cuidar a un matemático no convertía su existencia en un apéndice de la suya.

Años después, los investigadores obtuvieron de ella fotografías y recuerdos que contribuyeron a conservar la imagen pública de Ramanujan. La memoria la llevaba una persona que había seguido viviendo; la leyenda no archivaba sus propios documentos. A quién podemos ver todavía depende de lo que otro guardó, recordó y aceptó transmitir. La conservación tiene historia humana, no solo un protagonista célebre.

En enero de 1920, Ramanujan escribió a Hardy sobre unos nuevos objetos que llamaba funciones theta simuladas. No hace falta dominar el término para comprender el gesto: seguía descubriendo relaciones y quería comunicárselas a alguien lejano. La enfermedad no había borrado su interés. Continuar trabajando era, sin embargo, algo que hacía, no una última obligación impuesta por la importancia de su nombre.

Murió el 26 de abril, a los treinta y dos años. Las páginas contenían trabajo que otros aún no comprendían por completo. La edad junto a la obra duele, pero lo primero que se pierde es una vida, no una cantidad calculable de teoremas futuros. También podría haber tenido más días corrientes, valiosos aunque no dejaran un resultado al terminar.

El regreso a casa no deshizo la enfermedad; los honores no realizaron el trabajo de cuidar. Quienes vinieron después pudieron conservar, leer y estudiar sin olvidar a la persona que excedía sus páginas. Llevar más lejos las matemáticas no requiere convertir la cama del enfermo en un altar ni dejar fuera del relato la larga vida que continuó a su lado.

VIII. La vida posterior de un cuaderno

En 1976, mientras consultaba documentos en la biblioteca de Trinity College, George Andrews reconoció la importancia de unas hojas del último periodo de Ramanujan. Se conocerían como el cuaderno perdido. No eran reliquias que nadie hubiera tocado desde la muerte del autor. Otros matemáticos habían estudiado, conservado, ordenado y trasladado materiales antes de que Andrews pudiera volver a reconocer su alcance.

Watson, Rankin y Whittaker forman parte de esa cadena; la orientación de Lucy Slater aparece también en el relato de Andrews. El descubrimiento incluye más que un instante de entusiasmo. Alguien guardó los papeles, alguien los llevó a un archivo, alguien sabía a quién podían interesar. Que un documento pueda esperar a su lector ya depende de muchas acciones previas.

Andrews, Berndt y numerosos colaboradores siguieron buscando demostraciones, estableciendo condiciones y distinguiendo lo conocido de lo nuevo. La comprensión de las funciones theta simuladas avanzó durante generaciones y recibió marcos nuevos importantes a comienzos del siglo XXI. Las matemáticas no habían dormido colectivamente cien años. El trabajo continuado permitió reunir pistas que antes aparecían separadas en una imagen más amplia.

Una expresión conservada puede ser un resultado y una pregunta a la vez. ¿Bajo qué condiciones se cumple? ¿Por qué dos expresiones parecidas se comportan de forma diferente? ¿Existe una relación más general? El trabajo posterior hace algo más que dar brillo a una herencia: devuelve la página a una vida donde sus afirmaciones pueden examinarse, discutirse y crecer.

No podemos reconstruir todos los caminos por los que Ramanujan llegó a una idea. Se borraron cálculos de la pizarra; las notas comprimidas omitían pasos; los recuerdos ofrecen perspectivas distintas. Mantener abierta una parte de esa historia no impide demostrar un resultado concreto. La modestia ante la historia del hallazgo y la precisión ante el argumento actual pueden convivir en una misma persona.

Quizá el título «Sueños» permita conservar esa distancia. El artículo terminado no reemplaza el recorrido entero por el que alguien llegó a una pregunta. Sin embargo, algo de lo encontrado puede comunicarse. Quien nunca tuvo aquel sueño puede seguir pensando a partir del trabajo, sin tener que reproducir antes toda la vida interior de su autor.

IX. Esta vez, espera antes de borrar

Volvamos al puente expresamente imaginario de este quinto movimiento. Ramanujan llega con una pizarra. Ha recorrido un camino largo y alguien le hace sitio en la mesa. Puede sentarse y dejar sus cosas. Han llegado juntos su ropa, su cuerpo, el cansancio del viaje y las preguntas que todavía lo ocupan. No necesita dejar ninguna parte de sí en la entrada.

El aparato de Faraday sigue allí; el papel de Maxwell tiene correcciones. Ramanujan apoya la pizarra y escribe una relación. Algunos entienden una parte; otros, nada. No entender todavía no les impide ofrecer una silla. Ofrecerla tampoco garantiza que todas las expresiones sean verdaderas. La hospitalidad y el examen de lo que se afirma pueden compartir la mesa.

Hardy se acerca. Aunque no tenga una vida numerada propia en esta secuencia, podemos invitarlo a su ficción. Mira la escritura y señala un paso. Ramanujan toma la tiza y añade una línea. Cualquiera de los dos puede advertir un problema; cualquiera puede aprender del otro algo que no sabía antes de sentarse. La conversación mantiene abiertas ambas posibilidades.

Cantor acerca su propio papel. Contiene argumentos y preguntas que seguirán atrayendo trabajo. No tiene que colocar el infinito por encima de todas las demás fórmulas. La mesa es lo bastante grande para cuestiones distintas, cada una con razones allí donde hacen falta razones. Atender a una no exige que las otras desaparezcan o pidan permiso para existir.

Juana puede hablar de sus voces; Ramanujan, de sus sueños; Wilde puede reservarse una frase que aún no desea decir. Nadie entrega un lenguaje querido de su experiencia a cambio de un asiento. Quien discrepa de una conclusión también puede quedarse y hablar. Discutirla no tiene por qué convertirse en expulsar a la persona que la formuló.

Janaki también tiene una silla. No la han invitado únicamente para traer agua o dar testimonio de un genio. Puede hablar de su propia vida o permanecer callada un rato. Chéjov pregunta primero si alguien está cansado. Detener la conversación para atender a una persona real no hará que las matemáticas desaparezcan de la mesa.

Ramanujan levanta por costumbre la mano para borrar. Alguien le ofrece unas hojas blancas. Espera: quizá puedan quedarse también las líneas intermedias. No todo pensamiento necesita conservarse, pero al menos este recorrido no tiene por qué desaparecer inmediatamente por falta de papel. Una condición material puede cambiar lo que estará disponible para una conversación futura.

Vuelve a escribir. Los demás esperan sin exigir un relato completo del origen de todo lo que pasa por su cabeza. Ahora necesitan este paso y un lugar desde el que pueda comenzar el siguiente. El sueño sigue siendo suyo. El papel, en cambio, puede pasar a otras manos y llevar algo sobre lo que trabajen varias personas.

La lámpara del puente ilumina el papel y la pizarra. Nadie necesita convertirse en un genio que lo sabe todo para merecer luz suficiente con la que mirar. Ramanujan termina la línea y se detiene. Esta vez, antes de borrarla, hay tiempo para que alguien más la lea.