Les deux réponses sont justes. Pourquoi l'une est-elle plus belle ?

Sur les deux feuilles, le résultat final est 5050.

Il fallait additionner les nombres de un à cent. La première feuille est couverte d'additions ; chaque total intermédiaire est noté à côté. Sur la seconde, quelques lignes : 1 avec 100, 2 avec 99, 3 avec 98. Chaque paire vaut 101, et il y a cinquante paires.

S'il s'agit de rendre une copie, les deux méritent leurs points. La première personne ne s'est pas trompée, et le temps qu'elle a pris n'est pas une faute.

Mais gardons les copies un instant et posons-les côte à côte. La seconde donne quelque chose de plus. Elle ne livre pas seulement le résultat : elle rend visible la raison pour laquelle ces nombres donnent cette somme.

Suivons les paires : ce qu'on ajoute d'un côté se retranche exactement de l'autre. La longue suite de nombres à accumuler devient cinquante paires de même somme.

« Ah, on peut faire comme ça. »

Il y a parfois un peu de dépit : pourquoi n'y ai-je pas pensé ? Parfois seulement de la joie. Quelle que soit l'humeur, nous pouvons revoir la feuille : ce qui fait tenir les paires n'est pas l'intelligence de celui qui les a écrites.

Ce n'est pas parce que c'est rapide

Une calculatrice pourrait afficher 5050 avant même que nous prenions un crayon. Elle serait plus rapide. Nous pourrions aussi lui faire entièrement confiance.

Aller vite ne nous fait pourtant pas voir les cinquante paires.

Même la méthode des paires peut devenir une consigne à appliquer : additionner le premier et le dernier terme, multiplier par le nombre de termes, diviser par deux. Bien apprise, elle sert chaque fois qu'on la reconnaît. L'appliquer correctement n'assure pas qu'on voie à chaque fois pourquoi elle fonctionne. Une idée qui éclairait peut devenir un simple outil commode au fond du tiroir.

L'outil n'est pas abîmé pour autant. Cet essai voudrait seulement le regarder un peu avant de s'en servir.

Remplaçons cent par dix : 1 avec 10, 2 avec 9, cinq paires de 11. Il y a moins de nombres, la relation reste là. Si nous allons seulement jusqu'à neuf, un 5 demeure au milieu. Il faut alors remarquer que les « cinquante paires » ne se transposent pas telles quelles.

Nous pouvons aussi écrire deux fois les nombres de un à neuf, dans l'ordre puis dans l'ordre inverse. Superposés, ils donnent neuf paires de 10, soit 90. La suite entière ayant servi deux fois, sa somme est 45.

Revenons maintenant à la somme des nombres de un à cent. La seconde feuille ne supprime pas seulement de nombreuses étapes. Elle montre ce qui change quand la longueur varie et les relations qui tiennent encore. Chaque nouvelle suite ne nous oblige pas à croire de nouveau à une réponse sans lien avec la précédente.

Le mot « beau » n'est donc pas une médaille de vitesse. Il désigne ici une clarté dont on peut refaire le parcours.

Le court peut simplement cacher le long

Certaines solutions tiennent en une phrase : « Cela résulte de tel théorème. »

Pour qui connaît ce théorème, cela peut suffire. Il sait ce qui a été omis et peut le développer. Pour quelqu'un d'autre, la feuille renvoie seulement d'un inconnu à un inconnu plus grand.

Moins de mots ne rapprochent pas forcément le pourquoi. Quelques lignes de plus rendent parfois la relation plus nette : d'où vient cette ligne ? Pourquoi la suivante doit-elle être ainsi ? Le lecteur n'a plus à sauter un passage en faisant semblant d'avoir compris.

À l'inverse, une suite particulièrement régulière n'a pas forcément donné sa raison. Les premiers cas peuvent convenir sans assurer que tous les suivants conviendront. Il est naturel d'être attiré par l'ordre. Mais donner envie de chercher une preuve n'est pas être déjà cette preuve.

La beauté peut inciter à poursuivre. Elle ne dispense pas celui qui poursuit de vérifier. Une idée éblouissante peut être fausse. Si nous le découvrons, nous devons corriger notre jugement et non cacher discrètement ce qui résiste pour conserver l'élégance.

L'article tient à une distinction simple : qu'une conclusion soit valable et qu'elle fasse apparaître sa raison ne sont pas la même chose. Juste et court, difficile et célèbre : rien de cela ne remplace le second aspect.

Un autre peut refaire le chemin

Une autre démonstration ancienne explique pourquoi les nombres premiers ne s'épuisent pas à un certain endroit. Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, par exemple.

Sans demander encore combien il y en a, invitons quelqu'un à présenter une liste finie en disant : « Ils sont tous ici. »

Multiplions les nombres premiers de la liste, puis ajoutons 1. Diviser le nombre obtenu par n'importe lequel de ceux de la liste laisse un reste de 1. Pourtant, ce nombre est supérieur à 1 : un nombre premier doit donc le diviser. Celui-là n'est pas dans la liste de départ.

Le nouveau nombre n'est pas nécessairement premier lui-même : il faut le préciser. Avec 2, 3, 5, le produit augmenté de 1 vaut 31, qui est premier. Avec 2, 3, 5, 7, 11, 13, il vaut 30031, soit 59 multiplié par 509. Nous n'avons pas besoin de produire à chaque fois directement un nouveau nombre premier, mais de trouver dans le nombre obtenu au moins un facteur premier absent de la liste.

Une fois ce pas compris, la longueur de la liste ne décide plus de l'affaire. Même si l'on ajoute le nombre manquant et prétend ensuite avoir vraiment tout, le même procédé fonctionne encore. La liste fournit elle-même de quoi la dépasser.

Cela demande bien sûr de la patience. Ne pas comprendre au premier regard n'est pas un échec esthétique. On peut raccourcir la liste, essayer quelques divisions, puis revenir au raisonnement.

Quand le chemin devient praticable, la raison n'appartient plus seulement à celui qui te l'a expliqué. Tu ne l'acceptes pas parce qu'un mathématicien célèbre l'a garantie. Tu peux refaire les pas et voir où aucun glissement n'est permis. Le découvreur n'a pas à rester éternellement devant pour guider.

C'est une singularité de la beauté mathématique. L'instant de la première découverte ne peut pas se reproduire. La relation qui la fait tenir peut pourtant être parcourue à nouveau par ceux qui viennent après. Ils ne sont pas réduits au récit de l'émotion du premier.

Inachevé ne veut pas dire plus beau

On pourrait croire, à ce stade, que seul le démontré est beau. L'article garde une autre possibilité : la réponse manque encore, mais les relations déjà connues dessinent la forme de la raison qui manque.

Il examine cette situation à propos de l'hypothèse de Riemann. Il faut davantage de préparation mathématique pour entrer là-dedans ; quelques images ne prétendront pas en tenir lieu. Gardons seulement une distinction : il y a beaucoup de choses inconnues, et toutes ne méritent pas d'être louées pour cela.

Si je n'ai pas résolu un exercice, je ne maîtrise peut-être pas encore la méthode. Si les décimales d'un nombre n'ont pas été calculées plus loin, c'est peut-être seulement que le calcul s'est arrêté. « Pas terminé » ne fait pas automatiquement de ces situations une beauté profonde.

Il s'agit d'un manque plus dessiné : des relations établies font voir quel pourquoi reste absent. Elles n'empruntent pas leur éclat à une réponse future. Quelque chose est déjà visible aujourd'hui. Mais leur beauté ne leur accorde pas à l'avance le statut de démonstration accomplie.

Il n'y a pas à classer cette possibilité au-dessus ou au-dessous du tableau des paires achevé. On peut aimer le suspense de la recherche ou le calme d'une réponse qui reste claire lorsqu'on y revient. Pas besoin de dédaigner une chose terminée pour avoir l'air d'aimer explorer.

À table, quelqu'un tourne la seconde feuille vers la personne qui a rempli la première et la lui passe. Celle-ci prend le crayon, trace une ligne de 1 à 100, puis une autre.

Nul besoin de dire : « C'était si simple, pourquoi n'y as-tu pas pensé ? »

Ce serait transformer le chemin qu'elle peut enfin parcourir elle-même en un nouvel examen de son intelligence.

Laissons-la terminer ses lignes. Elle sourira peut-être ou se contentera d'un signe de tête. Elle peut très bien ne toujours pas aimer les mathématiques ensuite.

Aujourd'hui, elle a vu pourquoi ces nombres peuvent tenir ainsi ensemble. C'est déjà quelque chose de complet.