两张纸上，最后都写着 5050。
题目是一加到一百。第一张纸写满了加法，算到哪里，就把那个数记在旁边。第二张纸没写几行：1 配 100，2 配 99，3 配 98；每一对都是 101，一共五十对。
如果是在交卷，两张纸都该得分。第一个人没有错，花的时间也不是罪过。
但若暂时不收卷，把两张纸摆在一起，就会发现，第二张多给了一样东西。它不只把答案送到我们手里，还把这串数为什么会加成这个答案，摆出了一个看得见的样子。
沿着这一对对数字看，一边添上的一点，恰好是另一边减掉的一点。原先是一长串等着累加的数，现在成了五十对相同的和。
“哦，原来可以这样。”
这句话里有时会有一点懊恼，怎么自己没想到。有时只有高兴。可不管是什么心情，我们都可以再看一眼那张纸：使这一配对站得住的东西，不是写它的人有多聪明。
不是因为快
假如计算器在我们动笔之前就显示了 5050，它更快。我们也可能完全信得过它。
但快没有替我们看见那五十对。
甚至配对的方法本身，也可以被学成另一条只管照办的指令：首尾相加，乘项数，再除以二。背熟以后很好用，碰到题目就代进去。用得没有错，并不保证每次都看见了为什么。一个曾经让人眼前一亮的办法，后来可以只是抽屉里一件顺手的工具。
工具没有因此坏掉。只是今天这一篇，想在拿起来用之前，多看它一会儿。
把一百改成十，1 配 10，2 配 9，五对，每对 11。数变少了，那个关系还在。如果改成九，正中间会剩一个 5，我们就得留意：刚才“五十对”的做法，不能原封不动地照搬。
也可以把这一到九写两遍，一遍正着，一遍倒着。上下配，九对，每对都是 10，总共 90。整串数用了两次，所以原来的和是 45。
现在再回头看一到一百，第二张纸不只是少写了很多步。它让人看见，长度换了，哪些关系跟着变，哪些关系还守得住。我们不必为每一串新的数，重新相信一个新的答案。
所以“漂亮”不是给速度发的奖。这里有一种可以重新走进去的清楚。
短，也可能只是把长藏起来
有的解答只有一句：“由某定理可知。”
对熟悉那个定理的人，这一句也许够了。他知道背后省掉了什么，可以把它展开。可对另一个人，纸上只是把一个不知道，推给了另一个更大的不知道。
字数少，不一定使为什么更近。有时，一份肯多写几行的解答，反而让关系显得更干净：这一行从哪里来，下一行为什么只能这样，读的人不必跳过去，假装自己懂了。
反过来，一串特别整齐的数，也未必交出了理由。前几个碰巧都合得上，不等于以后不会坏。我们会被整齐吸引，这是很自然的；但吸引我们去找一个证明，和它自己已经是证明，是两回事。
美可以使人想追下去，不能替追下去的人免掉核对。看起来太漂亮的想法，也可能是错的。发现错了，应该改的是判断，不是为了保住漂亮，把不合的地方悄悄藏起来。
原论文在这里坚持的区别很简单：一个结论成立，和它把成立的理由显出来，不是一回事。又对又短、又难又有名，都不能代替后一件事。
别人也可以再走一遍
还有一个古老的证明，讲素数为什么不会到某一处就用完。素数就是大于 1、只能被 1 和自己整除的整数，比如 2、3、5、7。
先不问它们一共有多少。请一个人拿出一张有限的单子，说：全在这里了。
把单子上的素数乘起来，再加一。得到的数，拿单子上任何一个素数去除，都会余一。可它大于 1，总得有素数能整除它。那个素数不在原来的单子上。
新数本身不一定是素数，这一点不能省。比如只列 2、3、5，乘起来加一是 31，它是素数；若列 2、3、5、7、11、13，乘起来加一是 30031，它可以分成 59 乘 509。我们需要的不是每次造出一个新的素数，而是新数里至少有一个原来没列到的素因子。
看见这一步，整件事就不靠那张单子有多长了。即使补上刚才漏掉的，再说这回全了，同样的办法仍然可以用。单子自己提供了越过它的材料。
这里当然需要耐心。初看不明白，也不是审美上的失败。可以把单子写短一点，自己除几次，再回去看。
但一旦走通，理由就不只属于告诉你的人。不是因为某个有名的数学家保证如此，你才接受它；你也能把那几步重新做出来，知道哪里不能偷换。发现这条路的那个人，不必永远站在前面带路。
这也是数学的美很特别的一处。一个发现的最初时刻不能重演，里面让它站住的关系，却可以由后来的人重新走一遍。不是只能听别人描述他当年有多激动。
没做完，不一定更美
说到这里，好像只有已经证明的东西才有美。原论文还保留了另一种情形：答案未到，但已经知道的关系，把缺少的那个理由围出了形状。
它用黎曼猜想讨论这种尚未补上的地方。那需要更多数学准备，这里不把几句话的比喻冒充它的内容。只先守住一个区别：不知道的东西很多，不是每一份不知道，都因此值得赞美。
我有一道习题没做出来，可能只是还没学会；一个数的小数位还没有算到某一处，也可能只是计算没有继续。这些都不能仅凭“尚未完成”，就自动变成一种深刻的美。
原论文要说的，是更有轮廓的缺：已经站住的关系让人看清，缺的究竟是哪一个为什么。它不是向未来的答案预借光彩，今天已经有值得看的东西；但它也不能凭好看，提前领走证明成立的资格。
这和那张完成的配对表并不争高低。可以喜欢正在寻找时的悬念，也可以喜欢答案已经站住、再看仍然清楚的安静。不必为了显得热爱探索，就嫌弃一件已经做好的东西。
桌边的人把第二张纸转过去，递给写第一张纸的人。对方拿起笔，给 1 和 100 之间画了一条线，又画了一条。
这时候不必说“这么简单，你怎么没想到”。
那会把一条刚刚能由他自己走的路，又变成一次关于他够不够聪明的考试。
让他把线画完。他也许会笑，也许只会点一下头。以后仍然不喜欢数学，都没关系。
今天，他看见这几个数为什么能这样站在一起。这已经是一件完整的事。