Gödel, los límites de un sistema cerrado

I. Viena

1906. Kurt Gödel nace en Brünn, en el Imperio austrohúngaro.

De niño, su familia lo llama «Señor Por Qué». Todo invita a preguntar. Apenas llega una respuesta, aparece otra pregunta.

El niño llevará esa costumbre a las matemáticas.

En la Universidad de Viena se orienta hacia las matemáticas y la lógica. En la Viena de los años veinte, muchos vuelven a preguntar sobre qué se sostiene el conocimiento. El Círculo de Viena quiere esclarecer la ciencia mediante la experiencia y el análisis lógico: las afirmaciones sobre el mundo deben someterse a la prueba de la experiencia, mientras que la lógica y las matemáticas se entienden como analíticas. ¿Dicen algo, en realidad, los grandes discursos que no pueden llegar a ese suelo?

Gödel participa en algunas de esas discusiones sin adoptar todas las posiciones del Círculo. Recordemos primero al joven que escucha: en una época confiada en su capacidad de esclarecer, sigue preguntando por las herramientas con que se esclarece.

En 1931 publica su artículo sobre la incompletitud. Ese año cumple veinticinco. Lo que ha encontrado no es un fracaso de la lógica, sino un límite para cierta clase de teorías formales.

II. El sueño de Hilbert

Para entender lo que hizo Gödel, primero hay que entender dónde puso el cincel.

David Hilbert es uno de los matemáticos más influyentes de su tiempo. Sus veintitrés problemas de 1900 abren numerosos caminos para las matemáticas posteriores. Cree que estas no deben detenerse ante un «nunca lo sabremos»: ahí está el problema; hay que encontrar una solución o demostrar que lo que pide es imposible.

Un objetivo central del llamado programa de Hilbert consiste en formalizar las matemáticas y demostrar, mediante métodos finitistas fiables, que no producen contradicciones. A él se vinculan las aspiraciones de completitud y decisión mecánica: ¿puede un conjunto de reglas resolver todas las preguntas de su ámbito? Son objetivos relacionados, pero no una misma exigencia.

Pongamos esa aspiración sobre una mesa. Dispongamos los axiomas, escribamos las reglas, hagamos comprobable cada paso. Si todas las verdades aritméticas pudieran alcanzarse siguiendo esas reglas, sin que estas entraran nunca en contradicción, sobre la mesa parecería haber un mundo sin omisiones.

Un sueño inmenso de construcción. Aquí, «construcción» designa primero el orden de axiomas, reglas y demostraciones que levantamos. Desde las premisas hasta las conclusiones, el camino es visible y cada paso tiene apoyo.

Kant había trazado en filosofía el límite de la cosa en sí. Dentro de este sueño matemático, sin embargo, surge una pregunta irresistible: si las formas puras las fijamos nosotros, ¿cómo puede algo escapar de nuestras manos? Esta es la comparación que propone el ensayo, no una equivalencia que permita intercambiar los problemas de ambos.

La confianza de Hilbert tiene enorme influencia, pero los fundamentos de las matemáticas siempre son terreno de disputa. No todo el mundo comparte un único sueño.

Los dos teoremas de Gödel cortan en el núcleo más duro de esa aspiración. La investigación de los fundamentos no termina. Lo que debe cambiar es cierta esperanza de dejarlo todo resuelto de una vez para siempre.

III. El primer teorema de incompletitud

En 1931, Gödel publica «Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines I». El artículo de un joven cambia lo que una demostración puede prometer.

Hoy suele enunciarse el primer teorema incorporando el posterior refuerzo de Rosser:

Si los axiomas de una teoría formal pueden enumerarse efectivamente mediante un programa, si la teoría contiene suficiente aritmética elemental y es consistente —nunca demuestra a la vez un enunciado y su negación—, entonces hay enunciados aritméticos que no pueden demostrarse ni refutarse dentro de ella. Eso es la incompletitud.

Una vez fijada la teoría, ese límite no depende de que a los matemáticos les falte inteligencia. En la interpretación habitual de los números naturales, verdad y demostrabilidad son distintas: puede haber enunciados aritméticos verdaderos sin demostración dentro de esa teoría.

No se trata de una prueba que hoy no aparece y mañana se encontrará tras otra noche de trabajo. Mientras los axiomas y las reglas no cambien, esa demostración no existe. Una teoría más fuerte puede resolver algunas preguntas antes abiertas; si sigue cumpliendo aquellas condiciones, tendrá a su vez enunciados que no decide.

¿Cómo lo logra Gödel? Codifica fórmulas y demostraciones mediante números naturales, de modo que la aritmética pueda hablar de las demostraciones. Después construye un enunciado aritmético que, aproximadamente, dice: «No hay una demostración de mí en esta teoría». No es una paradoja verbal, sino una construcción matemática cuyos pasos pueden comprobarse.

Si ese enunciado tuviera una demostración dentro de la teoría, la relación de demostración codificada entraría en conflicto con la ausencia de prueba que afirma el propio enunciado. La consistencia excluye, por tanto, esa demostración.

Visto desde fuera de la teoría, y suponiendo su consistencia, efectivamente no existe tal demostración: el enunciado de Gödel es verdadero en los números naturales habituales. Para excluir también una demostración de su negación, el argumento original empleaba una condición más fuerte. Rosser modificará la construcción y reducirá la exigencia a la consistencia ordinaria.

Por tanto, bajo las condiciones de axiomatización efectiva y suficiente fuerza aritmética, consistencia y completitud no pueden tenerse a la vez. Las condiciones importan: algunas teorías más débiles son completas. Tomar todos los enunciados aritméticos verdaderos como axiomas también produce una teoría consistente y completa, pero no existe un procedimiento que enumere efectivamente esos axiomas.

Aquí la aspiración hilbertiana encuentra un límite. No es que las matemáticas ya no tengan nada que decir. Ningún conjunto fijo de reglas de esta clase puede decir todo lo que la aritmética tiene que decir.

IV. El segundo teorema de incompletitud

El segundo teorema devuelve la pregunta al suelo bajo los pies de quien demuestra.

Una teoría efectivamente axiomatizada, con suficiente fuerza aritmética y que satisface las condiciones habituales sobre las demostraciones no puede, si es consistente, demostrar dentro de sí el enunciado aritmético que expresa su propia consistencia de la manera estándar.

Es como querer levantarse subiéndose sobre los propios hombros. La imagen es breve; las condiciones del teorema siguen siendo necesarias.

Hilbert quería asegurar las matemáticas con una demostración fiable de su consistencia. El resultado de Gödel delimita esa esperanza: si el razonamiento finitista empleado ya puede expresarse en la teoría examinada, no puede completar la tarea. Todavía es posible buscar una demostración de consistencia relativa en un marco más fuerte, pero entonces habrá que explicar los fundamentos de ese nuevo marco. Las matemáticas no se detienen ni se quedan sin fundamento alguno.

Cierta clase de garantía de sí no puede obtenerse con ciertas herramientas internas. Cuando llevamos esta idea a una vida humana, hemos pasado de la demostración a la metáfora.

La actitud de Sócrates suele resumirse como «saber que no se sabe». Sus preguntas desmontan la postura de quien presume de saber. Se trata de cómo una persona se relaciona con lo que cree conocer.

La pregunta de Gödel es otra: mucho más rigurosamente delimitada y mucho más estrecha. Leídas juntas, sin embargo, ambas vuelven menos cómoda una postura: creer que ordenar nuestro propio discurso con suficiente elegancia equivale a proporcionarle todas las garantías que necesita.

En la fábula de Zhuangzi, se perforan siete aberturas y Hundun muere. Incluso dar forma con buenas intenciones puede destruir la vida que se tiene delante. Ese coste no puede convertirse en una contradicción lógica.

En Gödel, si conservamos reglas efectivas, suficiente aritmética y consistencia, debemos renunciar a exigir que esas reglas lo decidan todo. Es un límite preciso, no una afirmación de que cualquier cosa completa deba derrumbarse.

Hundun muere en la fábula, pero queda una pregunta para sus lectores: ¿qué hemos dejado fuera al poner orden? Este ensayo toma una luz de las inmediaciones del teorema para iluminar esa pregunta. «Los límites del cierre» es aquí un hilo de lectura, no un teorema que resuelva todo.

V. El paseo

En 1940, Gödel y su esposa Adele salen de la Europa bajo dominio nazi, llegan a Estados Unidos y se establecen en Princeton. Él ya había visitado el Instituto de Estudios Avanzados.

Allí se hace más profunda su amistad con Einstein.

A menudo caminan juntos entre el Instituto y sus casas. Uno ha establecido límites a la formalización de la aritmética. El otro ha cambiado la manera en que la física entiende el espacio, el tiempo y la gravedad. Dos preguntas distintas comparten el camino.

En 1905, la relatividad especial de Einstein transforma la imagen newtoniana del tiempo y el espacio absolutos. En 1915, la relatividad general describe la gravedad mediante la geometría del espacio-tiempo, y no solo como una fuerza sobre un fondo plano. Einstein es uno de quienes más hondo han llevado el cincel en el siglo XX.

Pero ante la teoría cuántica sigue buscando una descripción en la que la probabilidad no tenga la última palabra.

La mecánica cuántica ofrece probabilidades para los resultados de las mediciones e impone límites a la determinación simultánea de la posición y el momento. Cómo entender la realidad física antes de medir, sin embargo, admite interpretaciones diferentes. «Antes de la medición sencillamente no hay respuesta» no es una conclusión compartida por todos los físicos.

La imagen de un Dios que no juega a los dados expresa el descontento de Einstein. En su artículo de 1935 con Podolsky y Rosen, pregunta si la función de onda describe completamente la realidad física. No le preocupa solo el azar, sino también cómo pueden tener realidades propias los sistemas muy separados. Tampoco su búsqueda tardía de teorías de campo unificado se reduce a buscar una variable olvidada.

La «descripción completa» y la completitud de una teoría formal en el sentido de Gödel responden aquí a preguntas distintas. Un teorema matemático no puede zanjar por los dos hombres el debate sobre la teoría cuántica.

Por eso, no hace falta presentar a los caminantes como «el que aceptó los límites» y «el que los rechazó hasta morir». Ambos siguen preguntando. El propio Gödel continúa trabajando en matemáticas y filosofía: descubrir la incompletitud no pone fin a su búsqueda.

La imagen conserva su ternura: dos pensadores caminan juntos sin necesitar fundir antes sus visiones del mundo en una sola respuesta para ser amigos. Tampoco necesitamos inventar una discusión no documentada para acompañar aquellos paseos.

Según un recuerdo muy repetido, Einstein dijo en sus últimos años que iba al Instituto por el placer de volver a casa caminando con Gödel. Más allá de las grandes teorías, también estaba ese tramo de camino.

VI. Morir de hambre

Gödel sufrió durante muchos años enfermedades físicas y mentales. En su vejez, los temores de persecución se hicieron especialmente graves.

Temía que la comida estuviera envenenada. Adele lo ayudó a alimentarse durante mucho tiempo, hasta el punto de probar la comida por él. Era su esposa y un apoyo esencial, no un aparato para mantener en funcionamiento a un genio.

En 1977, Adele enfermó gravemente y tuvo que ser hospitalizada. No pudo continuar los cuidados que le prestaba.

La alimentación y la salud de Gödel empeoraron aún más. Amigos y profesionales sanitarios intentaron ayudarlo. La crueldad de esta historia no consiste en que solo quedara en el mundo una persona capaz de cocinar. La enfermedad le dificultaba aceptar la ayuda que llegaba hasta él.

El 14 de enero de 1978, Gödel murió en Princeton de desnutrición e inanición. La biografía de Dawson recoge que solo pesaba sesenta y cinco libras, unos veintinueve kilos y medio.

Alguien que ve una demostración con claridad extraordinaria puede no lograr salir de una enfermedad mediante el pensamiento. Comprender un teorema no proporciona un cuerpo capaz de soportarlo todo.

Si todavía tomamos prestado el lenguaje de la «construcción», lo importante aquí es cuánto depende una vida de las relaciones y los cuidados. La enfermedad deterioró su capacidad para aceptar ayuda. No anuló su condición de fin ni constituyó una elección filosófica por la que debiera ser culpado.

Detengámonos, pues, junto a la cama sin convertir su muerte en «el teorema de incompletitud hecho carne». El teorema trata de los límites de la demostración formal; el cuidado atiende a una persona concreta. Entre ambos no hay un atajo causal que sustituya a la medicina y al estudio de su vida.

La cicuta de Sócrates, la cruz de Jesús y el hambre de Gödel pueden iluminarse mutuamente en esta serie. No pueden reducirse a una tabla que diga en quién confió cada uno y, por eso, cómo murió. Juicio, ejecución y enfermedad grave tienen circunstancias propias que deben seguir siendo visibles.

La confianza y el miedo, la construcción y el resto entran, en efecto, en las vidas humanas. Aquí el pensamiento debería ayudarnos a ver más de la persona, en lugar de dejarla convertida en una mera ilustración de una prueba.

VII. La conservación del resto

Ahora Gödel puede ocupar su lugar en esta serie.

Sócrates abre un claro: retira el saber que se daba por supuesto.
Confucio avanza hacia el ren, hacia el suelo propio de cada persona.
Laozi llega al borde del lenguaje y se marcha en la leyenda.
Zhuangzi vuelve la mirada a Hundun y descubre el precio del cincel.
Kant talla y luego construye: delimita el conocimiento y deja la cosa en sí.
Nietzsche llega hasta el fondo: Dios ha muerto.
Wang Yangming cambia de dirección: hacia dentro, hacia el saber moral innato.
Shakyamuni cruza en una balsa y, en la otra orilla, deja de cargarla.
Jesús en la cruz deja una voz de perdón.

Gödel trae a esta compañía otra clase de trabajo. No certifica matemáticamente las nueve vidas anteriores. En un ámbito claramente definido, demuestra un límite concreto.

Sócrates se niega a confundir el supuesto saber con el saber; Gödel distingue lo que una teoría puede demostrar. Ambas preguntas pueden sacudir la complacencia, sin reducir la vida de Sócrates a un teorema.

Las aberturas de Zhuangzi y la muerte de Hundun muestran el coste de dar forma con buenas intenciones. El resultado de Gödel exige reconocer que ciertos objetivos de formalización no pueden cumplirse a la vez. Leerlos juntos ilumina sus límites respectivos; no traduce una fábula a una ecuación.

Kant pregunta por las condiciones del conocimiento; Gödel limita las demostraciones internas de consistencia de ciertas teorías. Las mismas herramientas quizá no puedan dar todas las garantías del suelo que las sostiene. Podemos escuchar esa resonancia y conservar la distancia entre la cosa en sí y la demostración formal.

Laozi pregunta cómo el lenguaje oculta aquello a lo que apunta; Gödel separa verdad y demostrabilidad. Precisamente el enunciado indemostrable puede escribirse. No poder demostrarlo con un conjunto de reglas no significa no poder decirlo. Los límites del lenguaje y de la prueba están cerca aquí, sin coincidir.

Shakyamuni enseña a no aferrarse a la balsa de la travesía; Gödel hace visibles los límites de reglas fijas. Esto puede animar al lector a abandonar la adoración de las herramientas, pero no convierte la impermanencia en un resultado matemático.

En la imagen que compone esta serie, estas personas parecen tocar una pared en lugares distintos. La pared es la metáfora con que el autor las enlaza. Lo que Gödel deja realmente es una demostración con premisas definidas, comprobable paso a paso.

La «conservación del resto» es el nombre que este ensayo da a lo que no ha quedado enteramente recogido, no una ley de conservación demostrada por Gödel. Las matemáticas ofrecen un ejemplo riguroso: la indecidibilidad dentro de una teoría fija es estructural, no resultado de una búsqueda demasiado corta. No significa que no haya respuesta en ningún lugar, y mucho menos que no exista la verdad.

Los límites del cierre: entendámoslos como la negativa a dejar que la construcción ante nosotros se haga pasar por el mundo entero. Ese es el recordatorio que este ensayo quiere asumir.

No tiene por qué ser una mala noticia. Puede ser un motivo para volver a empezar.

Imaginemos que alguien nos entrega un sistema perfecto que dice explicar a todas las personas, sin restos ni puntos ciegos. Confucio, Sócrates, Jesús y Zhuangzi solo podrían convertirse en notas a pie de página. Esta serie se resiste, precisamente, a ese cierre que retira a los demás el derecho a seguir hablando.

Queremos preservar el trabajo de cada cincel y cada abertura real. No porque un teorema garantice la corrección de todo pensamiento, sino porque ninguna vida debería tratarse como una simple nota al pie del sistema de otro.

La entrada del puente debe llenarse de personas. No para formar una multitud, sino para que personas distintas sigan encontrándose, preguntándose y corrigiéndose mutuamente. Cada una es un fin, no un mero medio. Ese es el compromiso ético de este ensayo, no una conclusión deducida de la aritmética.

Gödel demostró ciertos límites de las teorías formales. Más tarde murió entre la enfermedad y el hambre. Su vida no es solo un apéndice de un teorema.

Su demostración sigue viva.