Gödel, die Grenzen eines Systems

I. Wien

1906. Kurt Gödel wird in Brünn geboren, im damaligen Österreich-Ungarn.

Als Kind nennt ihn seine Familie „Herr Warum“. Alles gibt Anlass zu einer Frage. Kaum ist eine Antwort da, folgt die nächste Frage.

Diese Gewohnheit nimmt er später mit in die Mathematik.

An der Universität Wien wendet er sich der Mathematik und der Logik zu. Im Wien der 1920er Jahre fragen viele Menschen neu nach den Grundlagen des Wissens. Der Wiener Kreis will die Wissenschaft durch Erfahrung und logische Analyse klären: Aussagen über die Welt sollen sich an der Erfahrung prüfen lassen, Logik und Mathematik gelten als analytisch. Sagen die großen Worte, die auf keinen solchen Boden zurückgeführt werden können, überhaupt etwas?

Gödel nimmt an einigen dieser Diskussionen teil, ohne sämtliche Positionen des Kreises zu übernehmen. Halten wir zunächst diesen jungen Zuhörer fest: In einer Zeit, die auf die Kraft der Klärung vertraut, fragt er weiter nach den Werkzeugen, mit denen geklärt wird.

1931 veröffentlicht er seine Arbeit über die Unvollständigkeit. In diesem Jahr wird er fünfundzwanzig. Was er gefunden hat, ist kein Versagen der Logik, sondern eine Grenze für eine bestimmte Klasse formaler Theorien.

II. Hilberts Traum

Um zu verstehen, was Gödel getan hat, muss man zunächst verstehen, woran er den Meißel ansetzte.

David Hilbert gehört zu den einflussreichsten Mathematikern seiner Zeit. Seine dreiundzwanzig Probleme von 1900 geben der späteren Mathematik zahlreiche Richtungen vor. Er glaubt, dass die Mathematik vor einem „Wir werden es niemals wissen“ nicht haltmachen sollte. Da ist das Problem: Man muss eine Lösung suchen oder beweisen, dass das Verlangte unmöglich ist.

Ein zentrales Ziel des später so genannten Hilbertprogramms besteht darin, die Mathematik zu formalisieren und dann mit verlässlichen finiten Methoden ihre Widerspruchsfreiheit zu beweisen. Damit verbunden sind die Hoffnungen auf Vollständigkeit und mechanische Entscheidbarkeit: Kann ein Regelwerk sämtliche Fragen seines Gebiets beantworten? Diese Ziele hängen zusammen, sind aber nicht dieselbe Forderung.

Legen wir diesen Anspruch auf einen Tisch. Die Axiome liegen bereit, die Regeln sind aufgeschrieben, jeder Schritt lässt sich überprüfen. Wenn jede arithmetische Wahrheit auf diesem Weg erreichbar wäre und die Regeln niemals in Widerspruch gerieten, läge dort scheinbar eine Welt ohne Lücken.

Ein gewaltiger Traum des Konstruierens. „Konstruktion“ meint hier zunächst die von uns errichtete Ordnung aus Axiomen, Regeln und Beweisen. Von den Voraussetzungen bis zum Schluss ist der Weg durchsichtig und jeder Schritt begründet.

Kant hatte in der Philosophie die Grenze zum Ding an sich gezogen. In diesem mathematischen Traum drängt sich dagegen eine Frage auf: Wenn wir die reinen Formen selbst festlegen, wie könnte uns noch etwas entgehen? So stellt dieser Essay die Fragen nebeneinander; er erklärt sie nicht für austauschbar.

Hilberts Zuversicht wirkt weit, doch über die Grundlagen der Mathematik wird unablässig gestritten. Nicht die ganze Welt träumt denselben Traum.

Gödels zwei Sätze treffen den härtesten Kern dieses Anspruchs. Die Grundlagenforschung endet nicht. Aber eine bestimmte Hoffnung, alles ein für alle Mal abschließen zu können, muss sich ändern.

III. Der erste Unvollständigkeitssatz

1931 veröffentlicht Gödel „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“. Die Arbeit eines jungen Mannes verändert, was ein Beweis versprechen kann.

Heute formuliert man den ersten Satz meist zusammen mit Rossers späterer Verschärfung:

Sind die Axiome einer formalen Theorie durch ein Programm effektiv aufzählbar, enthält sie genügend elementare Arithmetik und ist sie widerspruchsfrei — beweist sie also niemals zugleich einen Satz und dessen Negation —, dann gibt es arithmetische Sätze, die sich in dieser Theorie weder beweisen noch widerlegen lassen. Das heißt Unvollständigkeit.

Ist die Theorie einmal festgelegt, liegt diese Grenze nicht an mangelnder Klugheit der Mathematiker. Unter der üblichen Interpretation der natürlichen Zahlen sind Wahrheit und Beweisbarkeit verschieden: Es kann wahre arithmetische Sätze geben, für die innerhalb dieser Theorie kein Beweis existiert.

Nicht nur heute unentdeckt und morgen nach einer weiteren Nachtschicht zu finden. Solange Axiome und Regeln unverändert bleiben, existiert dieser Beweis nicht. Eine stärkere Theorie kann manche zuvor offenen Fragen entscheiden; erfüllt sie weiterhin jene Bedingungen, hat auch sie ihre eigenen unentschiedenen Sätze.

Wie gelingt Gödel das? Er codiert Formeln und Beweise durch natürliche Zahlen, sodass die Arithmetik über Beweise sprechen kann. Dann konstruiert er einen arithmetischen Satz, der sinngemäß besagt: „In dieser Theorie gibt es keinen Beweis für mich.“ Kein sprachliches Paradox, sondern eine mathematische Konstruktion, deren Schritte überprüfbar sind.

Gäbe es für diesen Satz einen Beweis in der Theorie, geriete die codierte Beweisrelation in Konflikt mit der vom Satz behaupteten Unbeweisbarkeit. Widerspruchsfreiheit schließt einen solchen Beweis deshalb aus.

Von außerhalb der Theorie betrachtet gibt es unter der Voraussetzung ihrer Widerspruchsfreiheit tatsächlich keinen solchen Beweis. Der Gödelsatz ist daher für die üblichen natürlichen Zahlen wahr. Um auch einen Beweis seiner Negation auszuschließen, verwendete Gödels ursprüngliches Argument eine stärkere Voraussetzung. Rosser änderte später die Konstruktion, sodass gewöhnliche Widerspruchsfreiheit genügte.

Unter den Bedingungen effektiver Axiomatisierung und hinreichender arithmetischer Stärke lassen sich Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit also nicht zugleich erreichen. Die Bedingungen sind wesentlich: Schwächere Theorien können vollständig sein. Auch die Gesamtheit aller wahren arithmetischen Sätze als Axiome ergibt eine widerspruchsfreie und vollständige Theorie; nur gibt es kein Verfahren, das diese Axiome effektiv aufzählt.

Hier stößt der Hilbertsche Anspruch auf eine Grenze. Nicht die Mathematik hat nichts mehr zu sagen. Kein festes Regelwerk dieser Art kann alles sagen, was die Arithmetik zu sagen hat.

IV. Der zweite Unvollständigkeitssatz

Der zweite Satz führt die Frage zurück unter die Füße dessen, der beweist.

Eine effektiv axiomatisierte Theorie mit hinreichender arithmetischer Stärke, welche die üblichen Bedingungen an das Beweisen erfüllt, kann, sofern sie widerspruchsfrei ist, den arithmetischen Satz, der ihre eigene Widerspruchsfreiheit auf die übliche Weise ausdrückt, nicht in sich selbst beweisen.

Als wollte man sich heben, indem man auf die eigenen Schultern steigt. Das Bild ist kurz; die Voraussetzungen des Satzes bleiben notwendig.

Hilbert wollte die Mathematik durch einen verlässlichen Beweis ihrer Widerspruchsfreiheit absichern. Gödels Ergebnis setzt dieser Hoffnung eine Grenze: Lassen sich die verwendeten finiten Schlussweisen bereits in der untersuchten Theorie ausdrücken, können sie diese Aufgabe nicht leisten. In einem stärkeren Rahmen kann man weiterhin nach einem relativen Widerspruchsfreiheitsbeweis suchen; dann muss aber die Grundlage dieses neuen Rahmens erläutert werden. Die Mathematik kommt dadurch weder zum Stillstand noch verliert sie jeden Grund.

Eine bestimmte Art von Selbstgarantie lässt sich mit bestimmten internen Werkzeugen nicht erbringen. Wenn wir diesen Gedanken auf ein Leben beziehen, wechseln wir vom Beweis zur Metapher.

Sokrates' Haltung wird oft als „wissen, dass man nicht weiß“ zusammengefasst. Seine Fragen entlarven das vermeintliche Wissen. Es geht darum, wie ein Mensch dem begegnet, was er zu wissen glaubt.

Gödels Frage ist eine andere: schärfer bestimmt und sehr viel enger. Liest man beides nebeneinander, wird eine Haltung dennoch fragwürdig: der Glaube, die eigene Darstellung nur schön genug ordnen zu müssen, um ihr bereits jede nötige Garantie gegeben zu haben.

In Zhuangzis Gleichnis werden sieben Öffnungen gebohrt, und Hundun stirbt. Auch gut gemeintes Formen kann das Leben zerstören, dem es sich zuwendet. Dieser Preis lässt sich nicht in einen logischen Widerspruch umrechnen.

Bei Gödel gilt: Wer effektive Regeln, genügend Arithmetik und Widerspruchsfreiheit behalten will, muss auf die Forderung verzichten, dass diese Regeln alles entscheiden. Das ist eine genaue Grenze, nicht die Behauptung, alles Vollständige müsse zusammenbrechen.

Hundun stirbt im Gleichnis. Den späteren Lesern bleibt die Frage: Was hat unser Ordnen übersehen? Dieser Essay leiht sich ein Licht aus der Nähe des Satzes, um diese Frage zu beleuchten. Die Grenze des Abschließens ist hier ein Lesefaden, kein Satz, der alles erledigt.

V. Der Spaziergang

1940 verlassen Gödel und seine Frau Adele das nationalsozialistisch beherrschte Europa, reisen in die Vereinigten Staaten und lassen sich in Princeton nieder. Gödel hatte das Institute for Advanced Study bereits zuvor besucht.

Dort vertieft sich seine Freundschaft mit Einstein.

Oft gehen die beiden gemeinsam den Weg zwischen dem Institut und ihren Wohnungen. Der eine hat Grenzen der Formalisierung der Arithmetik bestimmt. Der andere hat verändert, wie die Physik Raum, Zeit und Gravitation versteht. Zwei verschiedene Fragen sind auf demselben Weg unterwegs.

1905 verändert Einsteins spezielle Relativitätstheorie das Newtonsche Bild von absoluter Zeit und absolutem Raum. 1915 beschreibt die allgemeine Relativitätstheorie die Gravitation durch die Geometrie der Raumzeit und nicht mehr bloß als Kraft vor einem flachen Hintergrund. Einstein gehört zu denen, die im zwanzigsten Jahrhundert den Meißel am tiefsten angesetzt haben.

Doch angesichts der Quantentheorie sucht er weiter nach einer Beschreibung, in der die Wahrscheinlichkeit nicht das letzte Wort hat.

Die Quantenmechanik gibt Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse an und begrenzt, wie bestimmt Ort und Impuls zugleich sein können. Wie die physikalische Wirklichkeit vor einer Messung zu verstehen ist, wird jedoch unterschiedlich gedeutet. „Vor der Messung gibt es schlicht keine Antwort“ ist keine von allen Physikern geteilte Schlussfolgerung.

Das Bild eines Gottes, der nicht würfelt, drückt Einsteins Unbehagen aus. In ihrer gemeinsamen Arbeit von 1935 fragen er, Podolsky und Rosen, ob die Wellenfunktion die physikalische Wirklichkeit vollständig beschreibt. Ihm geht es nicht nur um Zufälligkeit, sondern auch darum, wie weit voneinander entfernte Systeme jeweils eine eigene Wirklichkeit besitzen können. Auch seine späte Suche nach einheitlichen Feldtheorien ist nicht bloß die Suche nach einer übersehenen Variablen.

„Vollständige Beschreibung“ und Vollständigkeit einer formalen Theorie im Sinne Gödels betreffen hier unterschiedliche Fragen. Ein mathematischer Satz kann den Streit um die Quantentheorie nicht für die beiden entscheiden.

Die Spaziergänger müssen deshalb nicht als „derjenige, der die Grenzen akzeptiert hat“ und „derjenige, der sie bis zum Tod verweigert“ auftreten. Beide fragen weiter. Auch Gödel arbeitet weiter an Mathematik und Philosophie; mit der Unvollständigkeit hat er nicht sämtliche Fragen beiseitegelegt.

Das Bild bleibt zärtlich: Zwei Denker gehen miteinander, ohne ihre Weltanschauungen erst zu einer einzigen Antwort verschmelzen zu müssen, um Freunde zu sein. Wir brauchen den Spaziergängen keine Debatte hinzuzudichten, die nirgends festgehalten ist.

Einer oft wiedergegebenen Erinnerung zufolge sagte Einstein im Alter, er gehe um des Vergnügens willen ins Institut, mit Gödel nach Hause zu laufen. Jenseits der großen Theorien gab es auch dieses Stück Weg.

VI. Verhungern

Gödel litt über viele Jahre an körperlichen und psychischen Erkrankungen. Im Alter wurden seine Verfolgungsängste besonders schwer.

Er fürchtete, sein Essen sei vergiftet. Adele half ihm über lange Zeit beim Essen und kostete sogar Speisen für ihn vor. Sie war seine Frau und ein wichtiger Halt, keine Vorrichtung, die ein Genie am Laufen hielt.

1977 erkrankte Adele selbst schwer und musste ins Krankenhaus. Die bisherige Fürsorge konnte sie nicht fortsetzen.

Gödels Ernährung und Gesundheitszustand verschlechterten sich weiter. Freunde und medizinische Fachkräfte versuchten zu helfen. Das Grausame an dieser Geschichte ist nicht, dass es auf der Welt tatsächlich nur einen Menschen gab, der kochen konnte. Die Krankheit erschwerte es ihm, die Hilfe anzunehmen, die ihn erreichte.

Am 14. Januar 1978 starb Gödel in Princeton an Unterernährung und Auszehrung. Laut Dawsons Biografie wog er bei seinem Tod nur fünfundsechzig amerikanische Pfund, rund neunundzwanzigeinhalb Kilogramm.

Wer einen Beweis mit außergewöhnlicher Klarheit durchschaut, kann dennoch außerstande sein, sich aus einer Krankheit herauszudenken. Das Verständnis eines Satzes gibt niemandem einen Körper, der alles erträgt.

Wenn wir weiterhin von „Konstruktion“ sprechen, sollten wir hier vor allem sehen, wie sehr ein Leben auf Beziehungen und Fürsorge angewiesen ist. Die Krankheit beeinträchtigte seine Fähigkeit, Hilfe anzunehmen. Sie hob seinen Status als Zweck nicht auf und war keine philosophische Entscheidung, die ihm vorzuwerfen wäre.

Halten wir also am Krankenbett inne, ohne seinen Tod zum „Unvollständigkeitssatz in Fleisch und Blut“ zu machen. Der Satz betrifft Grenzen formaler Beweise; Fürsorge gilt einem bestimmten Menschen. Zwischen beiden führt keine kausale Abkürzung an Medizin und biografischer Untersuchung vorbei.

Sokrates' Schierling, Jesu Kreuz und Gödels Hunger können einander in dieser Reihe beleuchten. Sie lassen sich aber nicht in eine Tabelle übersetzen, die verzeichnet, wem jeder vertraute und wie er deshalb starb. Gerichtsverfahren, Hinrichtung und schwere Krankheit haben jeweils Umstände, die sichtbar bleiben müssen.

Vertrauen und Angst, Konstruktion und Rest reichen durchaus ins menschliche Leben hinein. Hier sollte Denken uns mehr von diesem Menschen sehen lassen, statt ihn auf das Anschauungsbild eines Beweises zu reduzieren.

VII. Die Erhaltung des Rests

Nun kann Gödel seinen Platz in dieser Reihe einnehmen.

Sokrates meißelte eine freie Fläche heraus: Er trug vermeintliches Wissen ab.
Konfuzius arbeitete sich zum Ren vor, zum eigenen Boden eines jeden Menschen.
Laozi gelangte an den Rand der Sprache und ging in der Überlieferung fort.
Zhuangzi blickte auf Hundun zurück und sah den Preis des Meißelns.
Kant trug ab und baute auf: Er begrenzte Erkenntnis und ließ das Ding an sich.
Nietzsche meißelte bis zum Grund: Gott ist tot.
Wang Yangming wechselte die Richtung, nach innen zum angeborenen moralischen Wissen.
Shakyamuni setzte mit einem Floß über; am anderen Ufer trug er es nicht weiter.
Jesus am Kreuz hinterließ eine Stimme der Vergebung.

Gödel bringt eine andere Art von Arbeit in diese Runde. Er beglaubigt die neun vorhergehenden Leben nicht mathematisch. In einem genau bestimmten Gebiet beweist er eine bestimmte Grenze.

Sokrates verwechselt vermeintliches Wissen nicht mit Wissen; Gödel unterscheidet, was eine Theorie beweisen kann. Beide Fragen können Selbstzufriedenheit erschüttern, ohne Sokrates' Leben auf einen Satz zu reduzieren.

Zhuangzis Öffnungen und Hundun zeigen den Preis gut gemeinter Formung. Gödels Ergebnis fordert die Einsicht, dass bestimmte Formalisierungsziele nicht zugleich erreichbar sind. Beides nebeneinander zu lesen erhellt die jeweiligen Grenzen; es übersetzt kein Gleichnis in eine Gleichung.

Kant fragt nach den Bedingungen der Erkenntnis; Gödel begrenzt die internen Widerspruchsfreiheitsbeweise bestimmter Theorien. Dieselben Werkzeuge können womöglich nicht jede Garantie für den Boden liefern, auf dem sie stehen. Diesen Anklang kann man hören und dennoch den Abstand zwischen Ding an sich und formalem Beweis wahren.

Laozi fragt, wie Sprache das verdeckt, worauf sie weist; Gödel trennt Wahrheit und Beweisbarkeit. Gerade der unbeweisbare Satz lässt sich niederschreiben. Ihn nach einem Regelwerk nicht beweisen zu können heißt nicht, ihn nicht sagen zu können. Die Grenzen der Sprache und des Beweises liegen hier nebeneinander, ohne zusammenzufallen.

Shakyamuni lehrt, nicht am Floß der Überfahrt festzuhalten; Gödel macht die Grenzen fester Regeln sichtbar. Das kann Leser dazu bewegen, den Werkzeugen nicht mehr zu huldigen, macht aber aus der Vergänglichkeit kein mathematisches Ergebnis.

In dem Bild, das diese Reihe zusammensetzt, scheinen die Menschen an verschiedenen Stellen dieselbe Wand zu berühren. Die Wand ist die Metapher des Autors, die sie verbindet. Gödel selbst hinterlässt einen Beweis mit klaren Voraussetzungen, der sich Schritt für Schritt prüfen lässt.

„Erhaltung des Rests“ nennt dieser Essay das, was nicht restlos eingefangen wurde. Es ist kein von Gödel bewiesener Erhaltungssatz. Die Mathematik liefert ein strenges Beispiel: Unentscheidbarkeit innerhalb einer festen Theorie ist strukturell und nicht bloß Folge einer zu kurzen Suche. Sie besagt nicht, dass es nirgends eine Antwort gibt, geschweige denn, dass keine Wahrheit existiert.

Die Grenzen des Abschließens: Verstehen wir darunter, dass die vor uns stehende Konstruktion nicht die ganze Welt vertreten darf. Diese Erinnerung möchte der Essay übernehmen.

Das muss keine schlechte Nachricht sein. Es kann ein Grund zum Neubeginn sein.

Stellen wir uns vor, jemand überreichte uns ein vollkommenes System mit dem Anspruch, jeden Menschen zu erklären, ohne Rest und ohne blinden Fleck. Konfuzius, Sokrates, Jesus und Zhuangzi dürften darin nur noch Fußnoten sein. Genau jener Abriegelung, die anderen das Recht nimmt, weiterzusprechen, widersetzt sich diese Reihe.

Wir wollen die Arbeit am Stein eines jeden bewahren und jede wirkliche Öffnung. Nicht weil ein Satz die Richtigkeit sämtlicher Gedanken garantierte, sondern weil kein Leben bloß als Fußnote zum System eines anderen behandelt werden sollte.

Am Zugang zur Brücke sollen viele Menschen stehen. Nicht um eine Menge zusammenzubringen, sondern damit verschiedene Menschen einander weiterhin begegnen, befragen und korrigieren können. Jeder ist Zweck, nicht bloß Mittel. Das ist die ethische Verpflichtung dieses Essays, keine aus der Arithmetik abgeleitete Folgerung.

Gödel bewies bestimmte Grenzen formaler Theorien. Später starb er unter Krankheit und Hunger. Sein Leben ist nicht bloß ein Anhang zu einem Satz.

Sein Beweis lebt weiter.