Dirac: la ecuación llegó antes que la observación

I. El hombre de pocas palabras

En las historias que cuentan los físicos existe una unidad que no figura en los repertorios oficiales: un dirac, una palabra por hora.

Es una broma transmitida entre colegas, no el resultado de registrar y contar cada hora de una vida. Conserva el recuerdo de alguien poco hablador. También invita a creer que una cifra basta para terminar de describir a una persona.

Podemos entrar por esa puerta sin cerrarla detrás de nosotros.

Crece en Bristol. Su padre enseña francés y exige que el hijo le hable en esa lengua. Dirac recordará que prefería callarse cuando no encontraba cómo decir lo que quería. Escuchemos el recuerdo sin usarlo para explicar todo su silencio, mucho menos su capacidad de amar. En la física encuentra otra forma poderosa de expresión: ni inglés ni francés, ecuaciones.

Una respuesta oral puede esperar. Una demostración no puede omitir por eso una condición necesaria. Los demás tienen que saber de dónde se parte, cómo se pasa de un paso al siguiente y dónde persiste un obstáculo. Dirac no dejó únicamente silencio. Dejó artículos que permiten preguntar línea por línea.

The Quantum Theory of the Electron llegó a la revista el 2 de enero de 1928 y apareció el 1 de febrero. Cuando la ecuación alcanzó a sus lectores, las preguntas que traía estaban lejos de resolverse.

El electrón no era entonces un desconocido. La espectroscopia, los estudios del espín, la teoría cuántica y la relatividad especial ya estaban sobre la mesa. Dirac no extrajo un mundo de una hoja vacía porque la naturaleza no le hubiese dado nada. Lo que ya había dado todavía no encontraba una disposición satisfactoria en conjunto.

Surgió una ecuación. Su interpretación no surgió completa a su lado.

Las soluciones de energía negativa seguían planteando dificultades. Llegarían la teoría de los huecos y el intento de identificar esos huecos con protones. En 1931, Dirac propuso expresamente una partícula nueva: la misma masa que el electrón, carga eléctrica opuesta. El antielectrón.

En 1932, Carl Anderson obtuvo indicios experimentales del positrón en una cámara de niebla. Su artículo de 1933 presentó una fotografía, pero también el dispositivo y las razones para interpretar la huella. Había que considerar otras explicaciones y descartarlas.

La ecuación sí llegó primero.

No antes de toda experiencia. Antes de aquel nuevo descubrimiento. Entre ambos hubo interpretaciones revisadas, objeciones de otros y trabajo en otro laboratorio.

Cuatro años no fueron un hueco vacío mientras el mundo se acercaba lentamente a un escritorio para dar el visto bueno a una respuesta ya acabada.

Comte preguntaba por el suelo fiable del saber. Popper, por la posibilidad de que el mundo dijera no. Aquí nos detenemos antes de que la pregunta esté lista para someterla al mundo: ¿cómo llegó alguien hasta ella?

¿Qué llegó primero? En esta historia, la ecuación.

II. ¿La belleza antes que el acierto?

En 1963, Dirac concedió a la belleza matemática una llamativa prioridad sobre el ajuste inmediato al experimento. Su ejemplo trataba de dificultades en un intento anterior de Schrödinger y de la comprensión posterior del espín. Era una propuesta acerca de cómo avanzar en la investigación, no un certificado de que las ideas bellas nunca fracasan.

Quizá la afirmación tenga más fuerza precisamente allí donde no ofrece seguro alguno.

Admirar lo que ya se sabe correcto no exige arriesgar mucho. La decisión difícil se toma antes. ¿Merece la pena seguir por aquí? ¿Puede una estructura con un problema todavía abierto llevar más lejos que una explicación que encaja con todo, pero no deja lugar a otra pregunta?

Dirac no quería ordenar una fórmula existente de manera más vistosa. Buscaba una estructura que reuniera los requisitos relativistas con la forma de evolución de la teoría cuántica. Con notación moderna habitual, la ecuación del electrón libre puede escribirse así:

iℏ ∂ψ/∂t = (c α·p + βmc²)ψ

El momento es aquí un operador, y ψ no es un número ordinario de una sola componente. El primer orden temporal, las exigencias relativistas y las relaciones algebraicas entre los coeficientes restringen conjuntamente la construcción. En el planteamiento de Dirac conducen a matrices de cuatro por cuatro y a una función de onda de cuatro componentes. Pedir únicamente linealidad en el tiempo no hace que la naturaleza entregue cuatro casillas.

Bello no significa necesariamente menos.

A veces significa que tampoco se puede cortar a voluntad la parte que parece sobrar. Una mitad de la construcción gusta; la otra exige, sin embargo, una explicación. La atracción se convierte en responsabilidad. No «lo quiero, por tanto existe», sino «si he aceptado estas condiciones, no puedo quedarme solo con las consecuencias agradables».

El historiador Helge Kragh relata que en 1956, en Moscú, Dirac escribió en una pizarra unas palabras sobre leyes físicas y belleza matemática. Con tiza, un investigador dejó una convicción a la que estaba dispuesto a dedicar su tiempo.

Aunque la tiza se hubiese borrado, la elección seguiría ahí. Cambiar una interpretación cuando no puede acoger una estructura prometedora. Cambiar también la estructura si se enfrenta a pruebas fiables en contra.

La belleza puede ser una brújula.

La brújula no puede llegar por nosotros.

III. La primera grieta

La ecuación de Dirac abre aquí la primera grieta.

No aparece una verdad fuera de la ciencia, libre de pruebas. Se agrieta nuestro relato demasiado liso: observar y generalizar; o conjeturar y probar. El trabajo más difícil entre esos verbos desaparece.

Comte sabía que observar requiere teoría. Popper puede acoger a Dirac como autor de una teoría audaz y contrastable. El problema no es si tienen una palabra donde alojar el resultado.

Está antes del resultado.

Dirac no desea primero un positrón y luego busca una ecuación para vestirlo. Describe al electrón y la descripción trae algo que no sabe acomodar. Tiene que dejar retroceder un poco su intención inicial.

A eso llamo escuchar la ecuación.

No tiene voluntad. Pero su autor tampoco elige libremente todas sus consecuencias. Las condiciones, una vez reunidas, se limitan entre sí. Puede cambiarlas; no conservarlas y fingir que una consecuencia incómoda no ha llegado.

Hay dos necesidades distintas. Aceptadas las premisas, hay que aceptar sus consecuencias matemáticas. Si la naturaleza acepta las premisas, aún hay que preguntárselo. La necesidad del papel no es una promesa del mundo.

Por eso escuchar no equivale a creer en un oráculo. La ecuación puede llevar a Dirac más allá de sus expectativas; el experimento debe poder traerlo de vuelta.

La belleza orienta una búsqueda. Hace caminar un poco más, seguir mirando donde otros se cansan. Todavía no es la conclusión.

Una brújula no es el destino. Pero sin brújula algunos caminos nunca se recorrerían.

En la grieta se oye un descubrimiento que aún está ocurriendo.

IV. Dirac y Einstein

Einstein deja a Dirac una exigencia que no puede esquivar.

Una teoría cuántica del electrón tiene que tomarse en serio la relatividad. El electrón no puede mudarse a otro mundo solo porque viaje deprisa.

Respetar un trabajo puede consistir en llevar su pregunta adonde el autor no caminó por nosotros.

Es más cercano y menos cómodo que poner dos nombres juntos en un panteón. La relatividad no entrega una ecuación cuántica lista para usar. No cabe dejar caer ninguna de las exigencias. Hay que trabajar entre ambas.

En su conferencia Nobel de 1933, Dirac explica cómo las exigencias relativistas impuestas a la mecánica cuántica limitan las propiedades posibles de las partículas. La restricción no solo cierra caminos: también le da contorno a lo desconocido.

Einstein no llevaba en el bolsillo la respuesta de Dirac. Uno había profundizado una pregunta; el otro la recogía y seguía.

No quiero pesar esa relación contando lágrimas recordadas. No verlas no demuestra ausencia de dolor. Un puñado de recuerdos no contiene una vida afectiva entera. Darle ecuaciones a este hombre callado, pero ningún afecto cotidiano, sería hablar otra vez demasiado en su nombre.

Podemos ver con claridad la respuesta que dejó su trabajo.

Einstein no eligió su camino. Respetarlo no obligaba a Dirac a repetirlo.

Hay herencias que abren más una puerta ya abierta. Al otro lado aparece incluso lo que su primer autor no había previsto.

V. Conocer en silencio

Comte prepara el suelo. Popper traza una línea. Dirac se sienta y vuelve a su ecuación.

El silencio no demuestra ningún resultado físico. Callarse no acerca automáticamente a la verdad.

Pero puede reservar un lugar para el trabajo.

No redondear enseguida lo que aún no entendemos. No anunciar una conjetura solo para satisfacer al público. Un signo se resiste, una deducción no sale. Poder quedarse ahí, antes del relato bien contado.

La ecuación también es lenguaje: lo bastante preciso para que otros lo comprueben y encuentren errores. Aquí no hay un místico que agarre la naturaleza eludiendo toda expresión.

La expresión tiene distintas velocidades. Antes de explicar su juicio, alguien cambia una fórmula, descarta una ruta, vuelve a calcular. El trabajo ya le impide continuar igual. Las razones que pueda exponer llegarán después.

Solemos llamar conocimiento al resultado acabado: artículo publicado, deducción ordenada, conclusión citable. Las pausas que aún no forman frases retroceden a un segundo plano.

Pero sin ellas, ¿de dónde vendría lo acabado?

Tras Comte y Popper, Dirac devuelve aquí la mirada. No para anunciar su derrota, sino para que la revisión de las credenciales del saber no oculte cómo nace.

Él no llena el silencio de palabras innecesarias. No lo hagamos por él.

VI. Quienes vendrán después

Qu Yuan, Barbara McClintock y Michael Polanyi llegarán a esta serie desde direcciones diferentes.

Estos caminos no tienen que fundirse en uno. Sigámoslos lo bastante para ver qué se aprende en cada cual.

La poesía de Qu Yuan nos pone ante una belleza que no puede canjearse por éxito experimental. El Li Sao no es una predicción de partículas que todavía espera el detector adecuado. El lector ha de encontrarse con una voz, una manera de organizar la experiencia y los lugares donde ese encuentro lo afecta. Las afirmaciones sobre el poema siguen abiertas a discusión, también las factuales. Pero el poema no tiene que aprobar primero un examen de física para recibir permiso de existir como poema.

Que el poema y la ecuación puedan ser bellos no les asigna idéntica carga de prueba. Dirac hace una afirmación física sobre el electrón. Su juicio estético no lo libera de ella.

El artículo de McClintock de 1950 comienza con experimentos sobre el brazo corto del cromosoma 9 del maíz. Un fenómeno antes raro empezó a repetirse en los cultivos. Ella llevaba al experimento una pregunta y años de experiencia con ese material.

Hay intuiciones que crecen dentro de una observación prolongada. Pueden hacer visible un cambio tratado antes como fondo y modificar la siguiente siembra, comparación o pregunta. Notarlo no equivale a conocer su causa. Tampoco a ver por el microscopio una cosa que ya lleva el rótulo «elemento transponible».

Polanyi abre otra entrada: las reglas que podemos declarar quizá no agoten el conocer que ya está actuando.

Un ciclista no necesita convertir cada ajuste del equilibrio en una orden verbal completa antes de ejecutarlo. Pero saber montar no significa explicar correctamente toda la mecánica implicada. Sentir que una ecuación merece más trabajo tampoco equivale a haber demostrado su interpretación física.

Estas distinciones no expulsan la parte tácita. Le permiten quedarse sin fingir que es otra cosa.

Las tres rutas no se funden aquí en una sola. Una voz poética, el discernimiento dentro de un experimento, una habilidad aún no del todo articulada preguntan de modos distintos si hemos reducido el conocimiento reconocido a aquello que ya resulta fácil ordenar en casillas.

Lo que no puede decirse no es automáticamente más profundo.

De Dirac a Polanyi se aclara el hilo: no todo lo que aún no podemos decir es desperdicio del saber. Parte de ello ya sostiene su llegada.

VII. El signo menos

Volvamos al papel.

Para una partícula libre, una relación conocida de energía se escribe así:

E = ±√(|p|²c² + m²c⁴)

La dificultad no consiste en que la física prohíba todos los números negativos. Una energía puede ser negativa respecto de un cero elegido. Aquí se trata, más concretamente, de una rama sin cota inferior junto a la positiva, y de por qué los electrones no caen continuamente hacia estados de menor energía.

El artículo de 1928 no encuentra serenamente alojamiento para todas las soluciones. Algunas fueron rechazadas al principio y quedó un problema expresamente abierto. Volver sobre él después no exige convertir la vacilación inicial en una seguridad que siempre habría estado allí.

La teoría de los huecos fue un intento de respuesta. Si los estados electrónicos de energía negativa están ocupados, la ausencia de un electrón se comporta como un hueco de energía positiva y carga positiva. Dirac quiso identificarlo inicialmente con el protón conocido. Pero la igualdad de masas exigida no admitía la enorme diferencia entre protón y electrón. Las objeciones sobre la aniquilación añadían dificultades para explicar la estabilidad de la materia. El argumento de Weyl sobre la masa y los trabajos de Tamm, Oppenheimer y otros no son nombres intercambiables ligados a una sola demostración. Dirac distinguió esos problemas en su artículo de 1931.

Proponer el antielectrón implicaba, por tanto, abandonar una interpretación que había deseado conservar.

Las restricciones matemáticas lo trajeron hasta aquí. También contribuyeron las objeciones ajenas. Un paso que parece solitario sobre el papel lleva huellas de trabajo compartido.

La fotografía de Anderson del 2 de agosto de 1932 muestra una trayectoria que cruza una placa de plomo de seis milímetros. La pérdida de energía al atravesarla cambia la curvatura y ayuda a establecer la dirección del movimiento. Esa dirección, junto con el campo magnético, permite identificar el signo de la carga. Otros datos, incluida la longitud de la trayectoria, ayudan a excluir un protón ordinario. El límite original de masa no era una medición precisa moderna; aun así, el argumento era mucho más que adivinar un signo más.

La cámara conservó una huella. El razonamiento experimental la convirtió en evidencia que podía discutirse.

La teoría y el experimento se encuentran. No es que una mande y el otro por fin obedezca.

Las cuatro componentes también requieren condiciones. Las soluciones de una partícula libre con momento fijado pueden ordenarse por rama energética y espín. Eso no convierte permanentemente las dos primeras componentes de cualquier representación en electrones y las otras dos en positrones. Componentes, soluciones e interpretaciones de partículas no son una misma clasificación.

En la teoría cuántica de campos moderna, el positrón es una excitación de energía positiva respecto del vacío, no un electrón de energía negativa que deambula por el laboratorio. La noción de antipartícula tampoco autoriza a aplicar sin condiciones la misma ecuación electrónica a cualquier partícula. Algunas son su propia antipartícula, como el pión neutro. Un espejo que siempre deba contener otro yo distinto ofrece una imagen demasiado ordenada.

El descubrimiento del antiprotón en 1955 y los trabajos sobre el antineutrón en 1956 ampliaron esta historia. No pueden introducirse retrospectivamente en una afirmación según la cual la ecuación de 1928 ya lo había hecho todo. En 1931 y 1933, Dirac siguió considerando antiprotones y reconoció dificultades para aplicar directamente la teoría del electrón al protón. Los experimentos posteriores necesitaron sus propios aparatos, criterios e inferencias.

La ecuación contenía consecuencias que no había visto al principio. Él mismo había escrito aquellos signos. Aun así, tenía que volver a leerlos.

La eliminación encuentra también un lugar más riguroso. Para fijar la respuesta restante, la lista de posibilidades debe ser exhaustiva, las premisas deben resultar aplicables y las exclusiones válidas. Si falta una posibilidad o falla una suposición común, descartar varias interpretaciones antiguas no garantiza que la nueva sea la verdad de la naturaleza.

La estructura matemática no evita el razonamiento. Por medio de él, las personas reconocen poco a poco los lugares donde la estructura no se acomoda a sus deseos.

El signo menos no asumió su juicio.

Hizo más difícil cerrar sin más una pregunta de la que ya se había hecho cargo.

VIII. A la entrada del puente

Dejémoslo entrar en el puente imaginario de esta serie.

Dirac llega casi sin ruido y mira a lo lejos. Allí no hay nada, al menos para los demás.

Popper se acerca: «¿Primero imaginaste el antielectrón y después buscaste la ecuación?»

Dirac lo mira. Un silencio largo. Después: «No».

Y vuelve a callar.

Popper espera. También quiere preguntar cómo probarla. Dirac no cierra esa pregunta; sencillamente su pluma aún no ha terminado de moverse.

Comte busca una casilla cerca del mes de Newton. Físico: se puede añadir. Pero la extrañeza de aquel signo menos queda un poco fuera.

El resultado ha encontrado sitio. La manera en que sacó a su autor de su disposición inicial no ha cabido con él.

Kant mira la pluma desde lejos, sin apresurarse a ponerle nombre. Necesario en el papel; ¿verdadero en el mundo? Entre ambas cosas queda camino.

Dirac busca un lugar tranquilo, saca la pluma y escribe una ecuación en el aire. Tiene un signo menos.

Nadie lo distingue bien. Pero la huella de Anderson parece iluminarse un instante a lo lejos.

Él permanece ahí. Callado. Completamente callado.

Acerca el oído al puente bajo sus pies: sube un zumbido muy tenue. La ecuación. Por debajo del cemento de Comte, desde el otro lado de la línea de Popper.

Hay algo en las grietas. La ecuación lo sabe.