NON DUBITO · THE CHISEL–CONSTRUCT CYCLE凿构周期律鑿構週期律
A Human History of Mathematics
数学史：在确定性之外
數學史：在確定性之外
From clay accounts to infinity, computers, and the people who make proofs: a history of what mathematics can settle, and what it leaves to us.
从一块记账的泥板，走到无穷、计算机与证明背后的人。数学解决了什么，又把什么留给了我们？
從一塊記賬的泥板，走到無窮、計算機與證明背後的人。數學解決了什麼，又把什麼留給了我們？
No advanced mathematics required. Start at the beginning, or choose a question below. The mathematics matters; so do the classrooms, institutions, and lives that made it possible.
不需要高等数学基础。可以从第一篇顺读，也可以从下面一个问题进入。这里写数学，也写课堂、制度，以及让数学成为可能的那些人。
不需要高等數學基礎。可以從第一篇順讀，也可以從下面一個問題進入。這裡寫數學，也寫課堂、制度，以及讓數學成為可能的那些人。
Numbers, proof and transmission
数字、证明与传递
數字、證明與傳遞
Counting, Measuring, and Keeping Accounts
计数、丈量与账目
計數、丈量與賬目
Clay could remember sheep, grain, and days of work. What it remembered depended on who was holding the stylus.
泥板替人记住了羊、谷物与工日。它也开始决定，哪些事情可以进入总账，哪些人只能留在账外。
泥板替人記住了羊、穀物與工日。它也開始決定，哪些事情可以進入總賬，哪些人只能留在賬外。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Incommensurable
不可通约
不可通約
The common measure does not exist. The proof does; the murdered discoverer is another matter.
没有共同的尺，不等于不能比较。把发现、传说与现代危机叙事分开。
沒有共同的尺，不等於不能比較。把發現、傳說與現代危機敘事分開。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Architecture of Axioms
公理之构
公理之構
The most disputed premise was the one the book made visible. Other foundations remained inside its diagrams.
明说的前提接受了两千年的怀疑，图中默用的资源则等待另一种严格。
明說的前提接受了兩千年的懷疑，圖中默用的資源則等待另一種嚴格。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Approaching Without Arriving
逼近而不触及
逼近而不觸及
Archimedes could reach exact equality without completing an infinite process—and explained why discovery was not yet proof.
有限次的逼近可以证明精确的相等；发现的办法却不必就是证明。
有限次的逼近可以證明精確的相等；發現的辦法卻不必就是證明。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Another Criterion
另一种判据
另一種判據
A procedure can be something to execute and something to justify. Liu Hui shows why those are not opposing traditions.
术不仅给出答案，也可以成为论证的对象；原图、绳序和注释层都关系到我们怎样读它。
術不僅給出答案，也可以成為論證的對象；原圖、繩序和注釋層都關係到我們怎樣讀它。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Transmission and Naming
传递与命名
傳遞與命名
An Arabic book disappears. Its author's name becomes algorithm. Between those events lies a history of translation, work, and renaming.
原书失传，人名成为算法；词的连续并不等于对象和意义从未改变。
原書失傳，人名成為算法；詞的連續並不等於對象和意義從未改變。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The objects that did not belong
不被承认的对象
不被承認的對象
Absurd Numbers
荒谬的数
荒謬的數
Using a negative term, keeping a negative answer, and admitting negative numbers are different historical questions.
会算负项、能留负解、承认一类数，不是同一件事。
會算負項、能留負解、承認一類數，不是同一件事。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Imagined Quantities
想象出来的量
想象出來的量
A route to real roots can pass through nonreal quantities. Calculation, interpretation, and acceptance do not arrive together.
三次方程的实根，可以要求非实的中间量；规则、解释、发表和接受各有自己的时间。
三次方程的實根，可以要求非實的中間量；規則、解釋、發表和接受各有自己的時間。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Infinitesimals and the Demand for Rigor
无穷小与不严格
無窮小與不嚴格
Berkeley challenged a vanishing increment. The calculus had to explain a success that kept growing.
一位主教追问消逝的增量，一套改变物理学的工具开始重写自己的理由。
一位主教追問消逝的增量，一套改變物理學的工具開始重寫自己的理由。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The End of the Hunt
追猎的终结
追獵的終結
The search for a general quintic formula ended in a theorem. The search for the real Galois must still negotiate a legend.
一般五次根式公式的追猎如何终结，以及伽罗瓦的档案为何仍未能阻止天才神话。
一般五次根式公式的追獵如何終結，以及伽羅瓦的檔案為何仍未能阻止天才神話。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →When the Fifth Postulate Broke Open
第五公设爆开
第五公設爆開
A failed attempt to defend Euclid became a new geometry. Models finally explained why the old proof could never work.
从反证中的敌对假设到可以独立运转的几何，模型怎样改变了两千年的举证责任。
從反證中的敵對假設到可以獨立運轉的幾何，模型怎樣改變了兩千年的舉證責任。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Driving Out the Infinitesimal
把无穷小赶走
把無窮小趕走
The foundations of analysis were rebuilt through limits, real numbers, and classroom notes—not by a single victorious expulsion.
严格性不是一次驱逐：极限、连续、实数和课堂笔记共同改变了分析的边界。
嚴格性不是一次驅逐：極限、連續、實數和課堂筆記共同改變了分析的邊界。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Infinity and foundations
无穷与基础
無窮與基礎
What Cannot Be Counted Out
数不完的东西
數不完的東西
Matching infinite collections changed the meaning of size—and exposed a disagreement about what mathematical existence demands.
把配对用来衡量无穷，康托尔改变了大小的问题，也暴露了关于存在与证明的分歧。
把配對用來衡量無窮，康托爾改變了大小的問題，也暴露了關於存在與證明的分歧。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Göttingen
哥廷根
哥廷根
Reading rooms, seminars, appointments, journals, and barriers to entry made a research community that could carry unfinished work forward.
阅览室、讨论班、教席、编辑桌与资格门槛，怎样把数学研究接成一条能够延续的路。
閱覽室、討論班、教席、編輯桌與資格門檻，怎樣把數學研究接成一條能夠延續的路。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Set-Theoretic Crisis
集合论危机
集合論危機
A short contradiction struck a precise foundation. Its consequences were profound—but neither instantaneous nor uniform across mathematics.
一封信击中了一个明确的体系，却没有让全部数学停工；悖论、选择与危机需要分别定年。
一封信擊中了一個明確的體系，卻沒有讓全部數學停工；悖論、選擇與危機需要分別定年。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Dispute over Excluded Middle
排中律之争
排中律之爭
Brouwer and Hilbert disputed what existence proofs must deliver. Their conflict changed not everyday mathematics so much as the questions mathematics could ask about its own proofs.
说一样东西存在，与把它构造出来，是同一件事吗？从布劳威尔的不动点到希尔伯特的证明论，争论改变了人们能向证明追问什么。
說一樣東西存在，與把它構造出來，是同一件事嗎？從布勞威爾的不動點到希爾伯特的證明論，爭論改變了人們能向證明追問什麼。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Arithmetic Talks about Itself
让算术谈论算术自身
讓算術談論算術自身
By coding formulas and proofs as numbers, Gödel made exact limits of formal arithmetic visible. The force of those limits lies in their qualifications, not in removing them.
哥德尔把公式与证明编进自然数，精确划出形式算术自证的边界。那些边界不是理性的破产，也不是所有被叫作系统的东西的宿命。
哥德爾把公式與證明編進自然數，精確划出形式算術自證的邊界。那些邊界不是理性的破產，也不是所有被叫作系統的東西的宿命。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Closure Has a Price
闭合可以买到
閉合可以買到
Presburger and Tarski found islands of decidability. Their guarantees reveal what a language excludes—and what a real machine can afford.
完备、可判定与可用并不是同一份担保；从普雷斯伯格到数学机械化，边界与代价各有一本账。
完備、可判定與可用並不是同一份擔保；從普雷斯伯格到數學機械化，邊界與代價各有一本賬。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The people who make mathematics
谁来做数学
誰來做數學
Emptied Out
清空
清空
The destruction of Göttingen's mathematical community appears in forms, petitions, and an empty classroom—and in the lives missing from histories of successful exile.
从祖辈问卷到空教室，哥廷根的离散必须从所有被迫出发的人数起，而不只从成功抵达者讲起。
從祖輩問卷到空教室，哥廷根的離散必須從所有被迫出發的人數起，而不只從成功抵達者講起。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Machine
机器
機器
Turing made rule-following precise enough to prove its limits. The person behind the model lived a life no definition could contain.
图灵把纸笔计算者的一段活动定义成机器，也由此证明了任何这种机器都越不过的一条边界。
圖靈把紙筆計算者的一段活動定義成機器，也由此證明了任何這種機器都越不過的一條邊界。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Author Disappears
作者消失
作者消失
Bourbaki turned argumentative collaboration into an impersonal mathematical voice. The finished books hid their authors; the archives did not.
布尔巴基把争吵、直觉与废稿变成一个不存在的作者：匿名的是成书，不是让它成书的劳动。
布爾巴基把爭吵、直覺與廢稿變成一個不存在的作者：匿名的是成書，不是讓它成書的勞動。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →A Proof Too Large for One Person
一个人握不住的证明
一個人握不住的證明
The four-colour theorem, finite simple groups, and sphere packing separate three questions: Is it valid? Can we check it? Do we understand it?
四色、有限单群与开普勒猜想，让成立、理解与可检查成为三种不同的完成。
四色、有限單群與開普勒猜想，讓成立、理解與可檢查成為三種不同的完成。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →What is it for?
为了谁
為了誰
Mathematics and Money
数学与钱
數學與錢
Trading floors, intelligence agencies, and technology companies changed more than mathematicians’ salaries. They changed what could be published, what a model could do, and what its maker could take away.
数学家进入交易室、密码机构和平台公司以后，改变的不只是工资，还有成果如何公开、模型有多大权力，以及离职时能带走什么。
數學家進入交易室、密碼機構和平台公司以後，改變的不只是工資，還有成果如何公開、模型有多大權力，以及離職時能帶走什麼。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →Refusal
拒绝
拒絕
Three public files settled a century-old problem. A medal and a million dollars could not settle their author’s relationship with the mathematical community.
三个公开文件解决了一个百年问题。奖章和奖金却没能替写下它们的人决定，他与数学共同体应当保持什么关系。
三個公開文件解決了一個百年問題。獎章和獎金卻沒能替寫下它們的人決定，他與數學共同體應當保持什麼關係。
Read essay →阅读全文 →閱讀全文 →The Honour of the Human Mind
人类精神的荣誉
人類精神的榮譽
From Jacobi's letter to machine-generated proofs, mathematical achievement and mathematical purpose remain different questions.
从雅可比的一封信到人工智能的证明：数学做成了什么，与数学为了谁，不是同一个问题。
從雅可比的一封信到人工智能的證明：數學做成了什麼，與數學為了誰，不是同一個問題。
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