兩張紙上，最後都寫著 5050。
題目是一加到一百。第一張紙寫滿了加法，算到哪裡，就把那個數記在旁邊。第二張紙沒寫幾行：1 配 100，2 配 99，3 配 98；每一對都是 101，一共五十對。
如果是在交卷，兩張紙都該得分。第一個人沒有錯，花的時間也不是罪過。
但若暫時不收卷，把兩張紙擺在一起，就會發現，第二張多給了一樣東西。它不只把答案送到我們手裡，還把這串數為什麼會加成這個答案，擺出了一個看得見的樣子。
沿著這一對對數字看，一邊添上的一點，恰好是另一邊減掉的一點。原先是一長串等著累加的數，現在成了五十對相同的和。
「哦，原來可以這樣。」
這句話裡有時會有一點懊惱，怎麼自己沒想到。有時只有高興。可不管是什麼心情，我們都可以再看一眼那張紙：使這一配對站得住的東西，不是寫它的人有多聰明。
不是因為快
假如計算器在我們動筆之前就顯示了 5050，它更快。我們也可能完全信得過它。
但快沒有替我們看見那五十對。
甚至配對的方法本身，也可以被學成另一條只管照辦的指令：首尾相加，乘項數，再除以二。背熟以後很好用，碰到題目就代進去。用得沒有錯，並不保證每次都看見了為什麼。一個曾經讓人眼前一亮的辦法，後來可以只是抽屜裡一件順手的工具。
工具沒有因此壞掉。只是今天這一篇，想在拿起來用之前，多看它一會兒。
把一百改成十，1 配 10，2 配 9，五對，每對 11。數變少了，那個關係還在。如果改成九，正中間會剩一個 5，我們就得留意：剛才「五十對」的做法，不能原封不動地照搬。
也可以把這一到九寫兩遍，一遍正著，一遍倒著。上下配，九對，每對都是 10，總共 90。整串數用了兩次，所以原來的和是 45。
現在再回頭看一到一百，第二張紙不只是少寫了很多步。它讓人看見，長度換了，哪些關係跟著變，哪些關係還守得住。我們不必為每一串新的數，重新相信一個新的答案。
所以「漂亮」不是給速度發的獎。這裡有一種可以重新走進去的清楚。
短，也可能只是把長藏起來
有的解答只有一句：「由某定理可知。」
對熟悉那個定理的人，這一句也許夠了。他知道背後省掉了什麼，可以把它展開。可對另一個人，紙上只是把一個不知道，推給了另一個更大的不知道。
字數少，不一定使為什麼更近。有時，一份肯多寫幾行的解答，反而讓關係顯得更乾淨：這一行從哪裡來，下一行為什麼只能這樣，讀的人不必跳過去，假裝自己懂了。
反過來，一串特別整齊的數，也未必交出了理由。前幾個碰巧都合得上，不等於以後不會壞。我們會被整齊吸引，這是很自然的；但吸引我們去找一個證明，和它自己已經是證明，是兩回事。
美可以使人想追下去，不能替追下去的人免掉核對。看起來太漂亮的想法，也可能是錯的。發現錯了，應該改的是判斷，不是為了保住漂亮，把不合的地方悄悄藏起來。
原論文在這裡堅持的區別很簡單：一個結論成立，和它把成立的理由顯出來，不是一回事。又對又短、又難又有名，都不能代替後一件事。
別人也可以再走一遍
還有一個古老的證明，講素數為什麼不會到某一處就用完。素數就是大於 1、只能被 1 和自己整除的整數，比如 2、3、5、7。
先不問它們一共有多少。請一個人拿出一張有限的單子，說：全在這裡了。
把單子上的素數乘起來，再加一。得到的數，拿單子上任何一個素數去除，都會餘一。可它大於 1，總得有素數能整除它。那個素數不在原來的單子上。
新數本身不一定是素數，這一點不能省。比如只列 2、3、5，乘起來加一是 31，它是素數；若列 2、3、5、7、11、13，乘起來加一是 30031，它可以分成 59 乘 509。我們需要的不是每次造出一個新的素數，而是新數裡至少有一個原來沒列到的素因子。
看見這一步，整件事就不靠那張單子有多長了。即使補上剛才漏掉的，再說這回全了，同樣的辦法仍然可以用。單子自己提供了越過它的材料。
這裡當然需要耐心。初看不明白，也不是審美上的失敗。可以把單子寫短一點，自己除幾次，再回去看。
但一旦走通，理由就不只屬於告訴你的人。不是因為某個有名的數學家保證如此，你才接受它；你也能把那幾步重新做出來，知道哪裡不能偷換。發現這條路的那個人，不必永遠站在前面帶路。
這也是數學的美很特別的一處。一個發現的最初時刻不能重演，裡面讓它站住的關係，卻可以由後來的人重新走一遍。不是只能聽別人描述他當年有多激動。
沒做完，不一定更美
說到這裡，好像只有已經證明的東西才有美。原論文還保留了另一種情形：答案未到，但已經知道的關係，把缺少的那個理由圍出了形狀。
它用黎曼猜想討論這種尚未補上的地方。那需要更多數學準備，這裡不把幾句話的比喻冒充它的內容。只先守住一個區別：不知道的東西很多，不是每一份不知道，都因此值得讚美。
我有一道習題沒做出來，可能只是還沒學會；一個數的小數位還沒有算到某一處，也可能只是計算沒有繼續。這些都不能僅憑「尚未完成」，就自動變成一種深刻的美。
原論文要說的，是更有輪廓的缺：已經站住的關係讓人看清，缺的究竟是哪一個為什麼。它不是向未來的答案預借光彩，今天已經有值得看的東西；但它也不能憑好看，提前領走證明成立的資格。
這和那張完成的配對表並不爭高低。可以喜歡正在尋找時的懸念，也可以喜歡答案已經站住、再看仍然清楚的安靜。不必為了顯得熱愛探索，就嫌棄一件已經做好的東西。
桌邊的人把第二張紙轉過去，遞給寫第一張紙的人。對方拿起筆，給 1 和 100 之間畫了一條線，又畫了一條。
這時候不必說「這麼簡單，你怎麼沒想到」。
那會把一條剛剛能由他自己走的路，又變成一次關於他夠不夠聰明的考試。
讓他把線畫完。他也許會笑，也許只會點一下頭。以後仍然不喜歡數學，都沒關係。
今天，他看見這幾個數為什麼能這樣站在一起。這已經是一件完整的事。